Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Mathematische Grundlagen des Information Engineering 1 WS 2004/2005 Dr. U. Friedrichsdorf Lehrstuhl für Praktische Informatik Daniel Fleischer 8. Übungsblatt Ausgabe: 9. Dezember 2004 Abgabe: 14. Dezember 2004, 14:00 Uhr Die Bearbeitung in Zweiergruppen ist ausdrücklich erwünscht. Aufgabe 22: 6 Punkte Auf den natürlichen Zahlen N sei die Relation R = {(a, b) ∈ N 2 : a teilt b} gegeben. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation ist. Handelt es sich dabei um eine totale Ordnung? b) Ist R ein Verband? c) Induziert R auf der Menge M = {a ∈ N : a ≤ 100} einen Verband? (D.h. ist R ∩ M 2 ein Verband?) d) Finden Sie eine endliche Teilmenge M 0 der natürlichen Zahlen, welche die Zahlen 2,3,4 und 5 enthält und auf der R einen Verband induziert. Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm dieses Verbands. Aufgabe 23: 6 Punkte Widerlegen Sie folgende Aussagen durch Angabe eines Gegenbeispiels. a) ∀x ∃y xRy → ∃y ∀x xRy b) (∀x P x → ∀x Qx) → (∃x P x → ∃x Qx) c) ∀x (P x → Qc) ↔ (∀x P x → Qc) Aufgabe 24: 6 Punkte a) Skizzieren Sie die Hasse Diagramme aller Verbände mit maximal 5 Elementen. b) Geben Sie für die 5 Verbände mit je 5 Elementen alle Ordnungsisomorphismen an. c) Geben Sie für die beiden Verbände V14 und V24 mit 4 Elementen jeweils 4 Durchschnittshomomorphismen Vi4 −→ Vi4 , i = 1, 2 an.