Humboldt-Universität zu Berlin Bereich Stochastik und

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 7
WS 2010/11
1. Dezember 2010
Prof. Dr. Dirk Becherer
Dipl. Math. Alexander Fromm
Übungen zur Stochastik 2
Aufgabe 1 (5 Punkte).
Es seien (Ω, F, (Fn )n∈N0 , P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, σ ≤ τ beschränkte Stoppzeiten
und (Mn )n∈N0 ein Martingal mit Mn ∈ L2 (P) für n ∈ N0 . Es ist zu zeigen:
a) Mσ , Mτ ∈ L2 (P).
b) E[(Mτ − Mσ )2 |Fσ ] = E[Mτ2 − Mσ2 |Fσ ].
c) Sei (An )n∈N0 der vorhersehbare Prozess aus der Doob-Meyer-Zerlegung von X = (Mn2 )n∈N0
entsprechend der P
Aufgabe 2 in Serie 5.
Zeigen Sie: An = nk=1 E[(Mk − Mk−1 )2 |Fk−1 ] für alle n ∈ N.
Aufgabe 2 (5 Punkte).
Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Familie von Zufallsvariablen.
Zeigen Sie, dass X genau dann gleichgradig integrierbar ist, wenn gilt:
sup E[|X|] < ∞
und
X∈X
lim
sup
δ→0 X∈X ,A∈F
P(A)≤δ
E[1A |X|] = 0
Aufgabe 3 (2+2+2 Punkte).
Es sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beweisen Sie:
a) Es seien X und Y zwei gleichgradig integrierbare Familien von Zufallsvariablen. Dann ist X +Y =
{X + Y |X ∈ X , Y ∈ Y} ebenfalls gleichgradig integrierbar.
b) Existiert für eine Familie X von Zufallsvariablen ein Y ∈ L1 mit |X| ≤ |Y | P-f.s. für alle X ∈ X ,
so ist X gleichgradig integrierbar.
c) Es sei (Xn )n∈N0 ⊂ L1 eine in L1 gegen X ∈ L1 konvergierende Folge von Zufallsvariablen, d.h.
limn→∞ E[|Xn − X|] = 0. Dann ist {Xn |n ∈ N0 } gleichgradig integrierbar.
Aufgabe 4 (5 Punkte).
a) Es seien (Ω, F, (Fn )n∈N0 , P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und (Mn )n∈N0 ein in L2 beschränktes Martingal, d.h. supn∈N0 E[|Mn |2 ] < ∞. Zeigen Sie: limn→∞ Mn = M ∈ L2 P-f.s.
b) Es sei (Xn )n∈N0 eine Folge unabhängiger identisch verteilter P
Zufallsvariablen mit E[X02 ] < ∞
∞
2
und E[X0 ] = 0 und sei (an )P
n∈N0 eine Folge reeller Zahlen mit
n=0 an < ∞.
Zeigen Sie, dass die Reihe ∞
n=0 Xn an P-f.s. konvergent ist.
Abgabe: Donnerstag, 09.12.2010 in der Übung