09 Lineare Gleichungssysteme

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(9)
Zum Themengebiet
Lineare Gleichungssysteme
Vorschlag 9.1: An der Kinokasse ....................................................................... 3
Einführung Linearer Gleichungssysteme anhand eines unvollständigen Comics
Vorschlag 9.2: In der Kneipe ............................................................................. 4
Bier- und Kornpreise sollen anhand linearer Gleichungssysteme bestimmt werden
Vorschlag 9.3: Magie der Münzen ..................................................................... 6
Wie kann ein Zaubertrick mathematisch aufgeklärt werden?
Vorschlag 9.4: Wanderung im Odenwald ......................................................... 8
Eine defekte Waschmaschine wirft eine offene Frage auf
Vorschlag 9.5: Fahrpläne ................................................................................... 9
Die Fahrpläne des öffentlichen Personenverkehr (Bus und Bahn) basieren auf zahlreichen
(linearen) Gleichungssystemen und sollen diesbezüglich untersucht werden
Vorschlag 9.6: Internetadressen zu linearen Gleichungssystemen .............. 11
Verschiedene Internetadressen zum Thema lineare Gleichungssysteme
Vorschlag 9.7: Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben ........................... 12
Acht Dreiecke verraten über sich nur das Nötigste. Trotzdem kann man sie mit enttarnen.
Vorschlag 9.8: Katz und Hund......................................................................... 14
Welche Geschichte erzählen die Graphen?
Vorschlag 9.9: Trimino ..................................................................................... 15
Erweitertes Domino, bei dem Funktionsterme, Graphen und Schnittpunkte einander
zugeordnet werden müssen
Vorschlag 9.10: Zahnbürstenmüll ................................................................... 17
Neue Bürste oder Köpfe wechseln? Das ist hier die Frage
Vorschlag 9.11: Geometrie ............................................................................... 19
Geometrische Aufgaben zur Vernetzung mit linearen Gleichungssystemen
Vorschlag 9.12: Unterwegs mit der Bahn ....................................................... 21
„Wann kommt der Zug wohl an?“ In der Realität eine offenere Fragestellung als in dieser
Aufgabe
Vorschlag 9.13: Jonglieren mit den Tarifen ................................................... 22
Die Frage nach dem günstigsten Telefontarif bietet Anlass zum Aufstellen und Lösen
verschiedener linearer Gleichungssysteme
Vorschlag 9.14: Fehlerteufel............................................................................. 23
Wer schafft es in diesem Spiel dem Fehlerteufel die Hölle heiß zu machen?
Vorschlag 9.15: Rückspiegel............................................................................. 28
In vielen neueren Schulbüchern finden sich „Rückspiegel“, mit denen die Schüler
selbständig überprüfen können, inwieweit sie den Lernstoff anwenden können. Hier ist ein
Beispiel zu linearen Gleichungssystemen abgedruckt
Vorschlag 9.16: Aufgaben zur Anwendung .................................................... 30
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung der Kenntnisse über lineare
Gleichungssysteme
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2
Vorschlag 9.1: An der Kinokasse
An der Kinokasse: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einstieg in LGS: Schüler finden eine Vielzahl von Lösungsmöglichkeiten, die oft direkt auf
die Standardverfahren lenken.
Variationen der Aufgabe:
 Obige Fragestellung weglassen und die Schüler selbst fragen entwickeln lassen.
 Weitere Aufgabenstellung: „Ändert den Comic so ab, dass die Informationen nicht
ausreichen, um die Preise eindeutig errechnen zu können!“
Lösungen:
 Erwachsene: $ 5,25; Kinder: $ 3,75
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
3
Vorschlag 9.2: In der Kneipe
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In der Kneipe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme
 Anregen von Argumentieren und Begründen
Variationen der Aufgabe:
 Nur erste Situation vorgeben: Schüler nach Preisen fragen. „Wie viele Möglichkeiten gibt
es?“ Wie kann man alle Lösungen darstellen?“, „Was müsste gegeben sein, damit man die
Preise bestimmen kann?“ (Verbindungen zu Schnittpunkt zweier Geraden herstellen)
 „Unmögliche“ Zahlen vorgeben (Schnittpunkt bei negativem Bierpreis). Schüler selbst
sinnvolle Möglichkeiten finden lassen.
 Eine „Bestell-Sprechblase“ leer lassen und nach dem möglichen Inhalt fragen.
Lösungen:
Erdnüsse: 3,90 € ; Bier: 4,20 €
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- bzw. Gruppenarbeit
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Vorschlag 9.3: Magie der Münzen
(Schröder, M. / Wurl, B.: Mat(h)erialien 7-10 Algebra. Schroedel 1996, S. 150.)
a) Versuche herauszufinden,
funktioniert.
wie
der
Zaubertrick
des
Magiers
b) Erfinde selber einen (ähnlichen) „mathematischen Zaubertrick“ und
teste ihn an deinem Nachbar.
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Magie der Münzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Behandlung eines offenen Problems
 Erkennen der eventuell verblüffenden Wirkung von Mathematik und ihrer Bedeutung für
manche Zaubertricks
 Aufstellen von einfachen linearen Gleichungssystemen aus einem komplizierten Kontext
 Bei der Fragestellung aus der Variation als Einstieg geeignet, ansonsten eher als Vertiefung
Variationen der Aufgabe:
 Verwenden der original (leichteren da vorstrukturierten) Fragestellung:
(1) 34 wird als Rechenergebnis genannt. Welche Gleichung gilt also für x = Anzahl der
Münzen links und y = Anzahl der Münzen rechts?
(2) Es gibt noch eine zweite Gleichung für x und y. An sie denkt der Zauberer im zweiten
Bild bei einem schnellen Blick auf die Münzen. Welche ist es?
(3) Könnte der Zauberer auch mit anderen Zahlen als 3 und 4 multiplizieren lassen?
Lösungen:
 Das Ergebnis liegt zwischen 27, falls alle Münzen in der linken Hand sind und 36, falls alle
Münzen in der rechten Hand sind. Zieht man als Zauberer das genannte Ergebnis von 36 ab,
so erhält man die Anzahl der Münzen in der rechten Hand.
Dahinter steckt, dass sich der Zauberer irgendwann einmal die beiden linearen Gleichungen
3x + 4y = 34 und x + y = 9 gedacht, für y = 9 – x eingesetzt und so die Gesetzmäßigkeit
erkannt hat.
 Bei der Variation sind die beiden eben aufgestellten Gleichungen die Lösungen für Teil (1)
und (2). Für Teil (3) gilt: Falls die Zahlen nicht aufeinander folgen, sondern x Schritte
auseinander liegen, muss die Differenz durch x dividiert werden.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
 Der Lehrer führt den Zaubertrick in der Klasse vor und gibt dann den Schülern die Aufgabe
(+ Arbeitsblatt), den Zaubertrick zu enträtseln. Wichtig: Schüler spielen dann selbst in
Gruppen
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Vorschlag 9.4: Wanderung im Odenwald
Familie Müller wandert 12 km im Odenwald auf
einem Rundweg und plant, da sie mit
Freunden und mehreren Kindern unterwegs
sind, dafür 4 Stunden ein. Sie starten nach
dem Mittagessen um 14 Uhr.
Eine Stunde später tropft es bei ihrem
Untermieter Herrn Muffig durch die Decke.
Müllers Waschmaschine ist defekt!
Herr Muffig ist wütend und macht sich auf den
Weg, um Familie Müller zu benachrichtigen. Er
läuft mit einem Tempo von 5 km/h.
Wanderung im Odenwald: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einstieg in lineare Gleichungssysteme
 Anwendung unterschiedlicher Lösungsstrategien, z.B. graphisches Verfahren,
Zuordnungstabelle, Lösen eines LGS
Variationen der Aufgabe:
 Schüler entwickeln eigene Fragestellung
 Wie kann man diese Aufgabe graphisch lösen?
 Wie kann man den jeweiligen Graphen durch eine Gleichung beschreiben?
 Wie kann die Aufgabe mit einem LGS gelöst werden?
Lösungen:
Wenn Herr Muffig hinter der Familie herläuft: nach 2,5 Stunden. Er kann ihnen aber auch
entgegen laufen.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partnerarbeit
Erfahrungen:

„Die Schüler diskutieren die Lösungsmöglichkeiten sehr intensiv und interessiert. Die meisten
Gruppen wählen ein graphisches Lösungsverfahren. Keine Gruppe kommt auf die Idee, dass
H. Muffig Fam. Müller entgegen laufen könnte. Die Frage wird anschließend von mir
aufgeworfen. Die meisten Gruppen nähern das Ergebnis an (Tabelle oder Rundkurs). Nur eine
Schülerin bemüht sich um ein LGS. Dies gelingt ihr zu Hause. In der darauffolgenden Stunde
stellt sie dies an der Tafel vor.“
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Vorschlag 9.5: Fahrpläne
Die Bewegungen der Züge im Schienennetz
der Bundesbahn werden in Bildfahrplänen
dargestellt (siehe nebenstehende Grafik).
Im Gegensatz zu der üblichen Darstellung mit
horizontaler Zeitachse, sind hier die Strecken
waagrecht
und
die
Zeit
senkrecht
abgetragen.
a) Was könnten die Vorteile eines solchen
Bildfahrplans
im
Gegensatz
zu
herkömmlichen Fahrplänen sein?
Für die normalen Passagiere werden jedoch
lediglich herkömliche Fahrpläne erstellt, in
denen man die An- und Abfahrtszeiten eines
einzelnen Zuges von bestimmten Bahnhöfen nachlesen kann.
Links abgebildet siehst du einen
Fahrplanausschnitt der Züge 8025 / E
3665 / D 319 / E 3020 / 8020 / D 248
für die Strecke Aachen – Düren – Köln.
b) Erstelle für vier Züge deiner Wahl
einen Bildfahrplan der Strecke
(Hin- oder Rückfahrt) Aachen –
Düren - Köln. Bestimme die
Zeitpunkte und Orte, wann und wo
sich die verschiedenen Züge
treffen. Wann und wo finden
Überholvorgänge statt?
In der Realität werden Computer für die
Erstellung von Fahrplänen benötigt, da
eine riesige Anzahl an (linearen)
Gleichungen zu lösen ist.
c) Versuche in einem kurzen Text zu
beschreiben, welche Bedeutung
lineare Gleichungen bei der
Erstellung von Fahrplänen haben
könnten.
(Verändert entnommen aus: Bachmann, Agathe u.a.:
Schnittpunkte 9, Klett, Stuttgart 1995)
9
Fahrpläne: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Erkennen der Bedeutung von linearen Gleichungen im alltäglichen Leben
 Schreiben eines mathematischen Textes
Lösungen:
a) An den Unterbrechungen der Linien erkennt man die Haltestationen der Züge. Die
verschiedenen Richtungen der Strecken lassen Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit und die
Fahrtrichtung der Züge zu. Die Überschneidungen zweier Linien markieren die
Anschlussmöglichkeit von einem zum anderen Zug.
b) Individuell
c) Individuell
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
 Fahrpläne regionaler Verkehrsgesellschaften untersuchen
 Einen original Bildfahrplan der DB betrachten (weitaus mehr Züge sind darauf dargestellt)
 Klassenbrief an die Deutsche Bahn schreiben, um sich eventuell das genauer Vorgehen beim
Erstellen der Fahrpläne erläutern zu lassen
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Vorschlag 9.6: Internetadressen zu linearen Gleichungssystemen
1. http://home.t-online.de/home/rudolf/Link/mathe.htm
2. http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/j08/lings/lings.htm
3. http://www.mathe-material.de/startpage.html
4. http://mathematik.zum.de
5. http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
6. http://www.mathe-online.at/materialien/TechnikumKaernten/files/
Ungleichungen/ungleichungen_allg1.html
7. http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hammproj3/
W3/App5/Page1.htm
8. http://www.4teachers.de/unt/stu/klasse.cfm?fach=11&klasse=8
9. http://www.4teachers.de/unt/stu/klasse.cfm?fach=11&klasse=9
10. http://www.acdca.ac.at/material
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Vorschlag 9.7: Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben
Acht Dreiecke verraten so viel von ihren Maßen, dass man sie konstruieren
kann. Allerdings haben sie ihre Angaben ein wenig verschlüsselt. –
Berechne die Maße und konstruiere dann die Dreiecke.
Übrigens: Eins der Dreiecke hat sich wohl geirrt. Mit seinen Maßen ist beim
besten Willen kein Dreieck zu konstruieren. Welches Dreieck ist es?
Dreieck 1:
Die Seite c ist 8cm lang. a und b sind zusammen 10cm lang, b ist 3cm
größer als a.
Dreieck 2:
Die Höhe hc und die Seite a sind gleich lang, und zwar 4cm. Die vierfache
Länge von b ist gleich der siebenfachen Länge von a.
Dreieck 3:
Es gilt: a < b < c. Je zwei Seiten unterscheiden sich jeweils um 3cm oder
um 6cm. a ist halb so groß wie c.
Dreieck 4:
Der Umfang beträgt 20 cm. c ist 4 cm länger als b. Die dreifache Länge von
b ist um 2 cm länger als die doppelte Länge von c.
Dreieck 5:
Die Winkel  und  sind gleich groß. Die doppelte Länge von a ist die
dreifache Länge von c. Der Umfang des Dreiecks beträgt 16cm.
Dreieck 6:
Der Winkel  beträgt 60°. Die sechsfache Länge von hc ist die dreifache
Länge von c. Die Differenz von hc und c beträgt 4cm.
Dreieck 7:
a und b sind zusammen 21cm lang. Die Länge von b beträgt 75% der
Länge von a. c2 ist um 1 größer als das Vierfache von a.
Dreieck 8:
Der Umfang des Dreiecks beträgt 12cm. Die Länge von c beträgt 80% der
Länge von b. a und b zusammen sind doppelt so lang wie c.
Quelle: Annelies Paulitsch: Rund ums Dreieck, veröffentlich unter:
http://www.a-paulitsch.de/website/rundumsdreieck.doc
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Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme
 Vernetzung zur Geometrie
 Vernetzung zur Prozentrechnung
Variationen der Aufgabe:
 Zu anderen geometrischen Figuren sind ist eine ähnliche Aufgabenstellung denkbar
(Mögliche) Lösungen:
1: Es wird angegeben:
I: c = 8 II: a + b = 10
Lösung: a = 3,5
b = 6,5 c = 8
III: b = a + 3
2: Es wird angegeben:
I: β= 90° (da hc = a) II: a = 4
Lösung: a = 4
b = 7 β= 90°.
3: Es wird angegeben:
I: a + 3 = b
Lösung: a = 6
b = 9 c = 12
II: a + 6 = c
III: 4b = 7a
III: 2a = c
4: Es wird angegeben:
I: a + b + c = 20 II: c = b + 4
Lösung: a = - 4
b = 10 c = 14
Dieses Dreieck kann nicht konstruiert werden!
III: 3b = 2c + 2
5: Es wird angegeben:
I: a = b (da α =β)
Lösung: a = 6
b=6 c=4
III: a + b + c = 16
6: Es wird angegeben:
I: α = 60°
Lösung: α = 60° hc = 4 c = 8
II: 2a = 3c
II: 6hc = 3c
7: Es wird angegeben:
I: a + b = 21
Lösung: a = 12
b=9 c=7
8: Es wird angegeben:
I: a + b +c = 12
Lösung: a = 3
b=5 c=4
III: c – hc = 4
II: b = 0,75a
II: c = 0,80b
III: c2 = 4a + 1
III: a +b = 2c
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
13
Vorschlag 9.8: Katz und Hund
Die Nachbarshündin Senta jagt oft unsere Katze Minka.
a) Erfinde sinnvolle Geschichten zu den folgenden Graphen (sie sollen
Teile von Geraden darstellen):
b) Stelle zu den drei Abbildungen passende Geradengleichungen auf.
c) Versuche jeweils die Geschwindigkeit von der Hündin und der Katze
zu bestimmen. Wo findest du diese in der jeweiligen
Geradengleichung wieder?
(Cukrowicz, Jutta / Zimmermann, Bernd (Hg.): Mathe Netz9, Westermann, S. 33)
Katz und Hund: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Schreiben eines mathematischen Textes
 Aufstellen von Geradengleichungen zu vorgegebenen Graphen
Variationen der Aufgabe:
 Zu vorgegebenen Geschichten die Graphen zeichnen (auch nicht linear)
 Eigene Graphen und Geschichte erfinden
Lösungen:
(I) K: y= 1 x+5
(II) K: y=7
(III) K: y= 3 x+4
(I) H: y= 34 x
(II) H: y= 34 x
(III) H: y= 34 x
4
4
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
14
Vorschlag 9.9: Trimino
Schröder, M. / Wurf, B. (Hg.): Mat(h)erialien 7-10 Algebra, Schroedel 1996, S. 156.
15
Trimino: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Zuordnen von Funktionstermen und Lösungen linearer Gleichungen zu den entsprechenden
Graphen
 Wiederholung und Festigung
Spielbeschreibung:
Zu Beginn des Spiels sollte der Aufbau des Spiels für alle Schüler sichtbar aufgezeichnet oder
als Skizze ausgeteilt werden.
Das Spiel kann zu zweit oder in größeren Gruppen gespielt werden, wobei die Schüler nicht
gegeneinander, sondern miteinander spielen. Während des Spiels geht es nicht darum, mit einem
Dreieck anzufangen und die passenden Steine für dieses Dreieck zu finden, sondern es ist viel
mehr erlaubt, an verschiedenen Dreiecken passende Teile anzulegen (mögliche
Binnendifferenzierung), so dass Teilgruppe entstehen. Das gesamte Parallelogramm lässt sich
dann aus diesen Teilgruppen zusammensetzen.
Variationen des Spiels:
 Das Spiel kann man auch in einer Gruppe gespielt werden, so dass die Gruppen
gegeneinander spielen
Spieldauer:
20 – 25 Minuten
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Das Spiel ist nach dem Erarbeiten der grafischen Lösung linearer Gleichungssysteme
einsetzbar, und zwar kann es sowohl allein als auch zu zweit gespielt werden. Die Steigung
einer Geraden und der Abschnitt auf der y-Achse müssen aber schnell und sicher bestimmt
werden können.
16
Vorschlag 9.10: Zahnbürstenmüll
Griff behalten, Köpfe wechseln = weniger Müll?
1. Durch die vollständige Umstellung auf Wechselkopfzahnbürsten
kann
viel
Abfall
vermieden werden. Stimmt die
Angabe zur Müllreduzierung?
Bitte einen vollständigen Satz
notieren!
2. Mit welchem Gewicht für eine
Zahnbürste wurde gerechnet?
3. Mit welchem Gewicht für einen
Wechselkopf wurde gerechnet,
wenn der Griff „ewig“ hält?
4. Mit welchem Gewicht für einen
Wechselkopf und für den Griff
wurde gerechnet, wenn jedes
Jahr ein neuer Griff fällig ist?
Tipp: Benenne 2 Variablen und
stelle zwei Gleichungen auf!
5. Was
stimmt
denn
das
Wechselkopfgewicht aus Nr. 3
oder das aus Nr. 4? Bitte
recherchieren
6. Wenn du der „Forderung der
Zahnmedizin“ folgst und etwa
jeden Monat den Wechselkopf
wechselst, wie viel Gramm Müll
sparst du dann gegenüber der
monatlich
ganz
neuen
Zahnbürste? – Nimm an, der Griff
hält ein Jahr.
7. Wie viele Tonnen wären das im
Jahr für die BRD?
8. Wechselkopfzahnbürste -„umweltfreundlich, weil abfallvermeidend
und
entsorgungs-freundlich“
(Diedenhof) Nimm Stellung dazu!
Durch Wegfall der üblichen
Metallverankerungen besteht
der Wechselkopf aus nur
einem Material und ist
damit recyclebar.
Griff
behalten,
Köpfe
wechseln = weniger Abfall.
Für die BRD, mit ca. 80 Millionen
Einwohnern,
würde
z.B.
die
vollständige
Umstellung
auf
Wechselzahnbürsten
bedeuten,
dass bei einem durchschnittlichen
Verbrauch von 3 Zahnbürsten pro
Person jährlich, bei denen 3360
Tonnen Abfall entsteht, dieser auf
1440 Tonnen reduziert würde.
D.h. 192 Tonnen weniger Abfall!
Wybert Lörrach elmex Forschung
Abfallvermeidend.
3 Zahnbürsten, 1 Stiel – einfaches
Wechseln des Bürstenkopfes.
Alle 4-6 Wochen die Zahnbürste zu
wechseln ist die Forderung der
Zahnmedizin
Diedenhofen
Gesundheitspflege
Stalz (Hg.): MUED – Materialien für den Mathematikunterricht – Unterricht in der Sek. I – Nr. 5, Appelhülsen 1996, S. 26-27.
17
Zahnbürstenmüll: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einstieg
 Argumentieren
 Vernetzung zu Zuordnungen
Lösungen:
1. 3360 Tonnen – 1440 Tonnen = 1920 Tonnen – Werden in der BRD Wechselköpfe statt
normaler Zahnbürsten benutzt, so fallen 1920 t weniger Müll an.
2. Beim durchschnittlichen Verbrauch von drei Zahnbürsten pro Person im Jahr ergeben sich bei
80 Millionen Einwohnern 3360 Tonnen Abfall. Pro Person: 3360 Tonnen/80 Mio. =
33360000000 g/80000000 = 42 g für 3 Zahnbürsten. Gewicht einer Zahnbürste (Griff + Kopf)
= 42 g : 3 = 14 g.
3. 1440 t/80 Mio. = 18 g pro Person und Jahr für 3 Wechselköpfe. Ein Wechselkopf wiegt 6 g.
4. Werden pro Person im Jahr durchschnittlich ein Griff und drei Köpfe verbraucht, so entsteht
der Müll aus Nr. 3, nämlich 18 g dafür. Sei G das Gewicht des Griffes, K das Gewicht des
Kopfes dann gilt:
I : G  K  14
 K = 2 und G = 12
II : G  3K  18
Der Griff wiegt 12g. Ein Wechselkopf wiegt 2 g.
5. Auswiegen liefert: Ein Wechselkopf wiegt 2 g. Da immer 1 Griff und 3 Wechselköpfe in
einer Packung sind, ist wohl auch gemeint, dass ein Griff ein Jahr lang hält und in der Zeit 3
Wechselköpfe gebraucht werden (sollten) – also alle 4 Monate ein neuer.
6. 12 vollständige Zahnbürsten à 14 g macht 168 g Müll. 1 Griff von 12 g und 12 Wechselköpfe
à 2 g (die können auch ohne Griff gekauft werden) ergeben pro Person 36 g Müll im Jahr und
somit eine Ersparnis von 132 g.
7. Wenn alle Einwohner vollständige Zahnbürsten verwenden würden wären das 13440 Tonnen
Müll für die BRD pro Jahr. Bei Wechselköpfen würde der Zahnbürstenmüllberg jedoch nur
2880 Tonnen wiegen, also 10560 Tonnen Ersparnis.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Mitbringen von verschiedenen Zahnbürsten und Auswiegen des jeweiligen Gewichts
 Partner- oder Gruppenarbeit
18
Vorschlag 9.11: Geometrie
19
Schröder, M. / Wurf, B. (Hg.): Mat(h)erialien 7-10 Algebra, Schroedel 1996, S. 152.
Geometrie: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme
 Vernetzung zur Geometrie
Lösungen:
1. M – U – R – C – I – A
(Stadt im Südosten Spaniens, Hauptstadt der Provinz und der autonomen Region Murcia
(11.317 Quadratkilometer, 1,1 Millionen Einwohner) am Ufer des Segura.
2. x = 17 / y = 32
3. x = 21 / y = 30
4.  = 66 /  = 48
5. x = 120 / y = 240
6. x = 50 / y = 120
7. x = 7 / y = 21
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
20
Vorschlag 9.12: Unterwegs mit der Bahn
Ein Interregio wird um 6 Uhr in Arbeitsstedt eingesetzt
und fährt dann mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit
von 120 km pro Stunde über Freital nach
Schlafhausen. Ein Vorortszug startet um 6 Uhr in Freital auf
einem Gleis, das neben dem des
Interregio verläuft. Sein Ziel ist
ebenfalls
Schlafhausen,
seine
Durchschnittsgeschwindigkeit 100 km/h. Arbeitsstedt und
Freital sind 10 km (20 km, 30 km, …) voneinander entfernt,
Arbeitsstedt und Schlafhausen 500 km.
a) Versuche möglichst einfach – ggf. auf verschiedenen
Wegen – herauszufinden, wann der Interregio den
Vorortszug einholt. Du darfst hierbei auch sinnvoll probieren.
b) Bei welcher Entfernung zwischen Arbeitsstedt und Freital treffen sich
die Züge vor (in, nach) Schlafhausen?
c) Versucht selbst Probleme zu entwerfen und zu lösen, in denen es um
die Frage geht, wann ein schnelleres Fahrzeug (oder eine schnellere
Person) ein langsameres (eine langsamere) einholt bzw. sich deren
Wege kreuzen(Raumschiff Enterprise; Wettlauf beim Sport; …).
d) Denkt euch passende Aufgaben aus, bei denen die zugehörigen
Geraden im Koordinatensystem zusammenfallen oder sich nicht
schneiden. Was bedeutet das jeweils für die Lösung des
entsprechenden Problems? Begründe deine Vermutung.
e) Fasst zusammen, welche Methoden ihr bislang entwickelt habt, um Probleme mit
zwei Unbekannten zu lösen. Diskutiere Vor- und Nachteile.
Unterwegs mit dem Interregio: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einstieg in Lineare Gleichungssysteme
 Erfinden von sinnvollen Aufgaben
 Diskutieren mathematischer Sachverhalte
Variationen der Aufgabe:
 Weglassen der Fragestellungen c) / d) / e) und die Schüler selber weitere Fragestellungen zum
Thema „Fahren mit der Deutsche Bahn“ erfinden und lösen lassen.
Lösungen:
120 x
y
 x  1,5; y  180
a)
100 x  30  y
[bei einer Entfernung von 30 km
zwischen Arbeitsstedt und Freital]
b) Die Züge treffen sich bei weniger (genau, mehr) als 100 km Entfernung zwischen Arbeitsstedt
und Freital vor (in, nach) Schlafhausen.
(individuell)
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
21
Vorschlag 9.13: Jonglieren mit den Tarifen
Die Deutsche Telekom bietet ihren Kunden verschiedene Tarife für ihre
Telefonanschlüsse an. Die unten abgebildete Tabelle zeigt die beiden Tarife der
Anschlüsse T-Net und T-Net 100 in den Zeiten von 7 – 18 Uhr (Stand: März 2002).
T-NET
T-NET 100
(Mo.-Fr. 7-18 Uhr)
(Mo.-Fr. 7-18 Uhr)
City (Orts- und
Nahbereich)
4 Cent pro Minute
3,1 Cent pro Minute
Deutschland
12,3 Cent pro Minute
4,6 Cent pro Minute
Monatliche
Grundgebühr
13,33 €
15,93 €
a) Wie viel muss man telefonieren, wenn sich der T-Net 100 Tarif für einen lohnen
soll, vorausgesetzt man ruft nur im Citybereich (nur im Deutschlandbereich) an?
b) Angenommen bei dir sind 80%
aller Gespräche Ortsgespräche
und
20%
Ferngespräche
innerhalb Deutschlands, ab wie
viel Minuten lohnt sich dann für
dich der T-Net 100 Tarif?
c) Die Telekom wirbt mit der neben
stehenden Anzeige für den
neuen T-Net 100 Tarif. Nimm in
einem kurzen Aufsatz (ca. 10
Zeilen) Stellung dazu!
Jonglieren mit den Tarifen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme
 Vernetzung mit der Prozentrechnung
 Einen mathematischen Text schreiben
 Argumentieren
Variationen der Aufgabe:
 Die Schüler entwickeln eigene Fragestellungen
 Vergleich von Tarife anderer Branchen (z.B. Internet, Strom …)
Lösungen:
a) 289 Minuten (34 Minuten)
b) 115
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
 Als Hausaufgabe können die Schüler nach solchen Tarifvergleichen in ihrer Umwelt schauen
und selbst Fragestellungen dazu entwickeln und lösen
22
Vorschlag 9.14 Fehlerteufel:
Der euch allen bekannte Fehlerteufel hat mal wieder
zugeschlagen. Eure Aufgabe in dem folgenden Spiel ist es, seine
Taten aufzudecken und ihm die Hölle heiß zu machen.
Material:

Kartensatz (à 16 Spielkarten)
Spielanleitung:

Jede Gruppe bestehend aus 4 Mitspielern bekommt einen
Kartensatz à 16 Spielkarten.

Jeder Spieler zieht insgesamt vier Karten, wobei jede
Kartenfarbe von ihm einmal gezogen werden muss. Die Karten sind von 1.1, 1.2
usw. bis 4.4 durchnummeriert.

Jede Karte enthält eine Aufgabe aus dem Bereich Lineare Gleichungssysteme. Zu
jeder Aufgabe wurde eine Behauptung oder eine Rechnung aufgestellt. Allerdings
befindet sich auf jeder Karte ein Fehler, den es zunächst allein zu finden gilt.

Nachdem jeder Spieler insgesamt vier Karten bearbeitet hat (d.h. die Fehler
gefunden hat), beginnt der Spieler mit der Karte 1.1 den Fehler dieser Karte den
anderen Mitspieler der Vierergruppe zu erläutern.

Wurde der richtige Fehler gefunden, bekommt der Spieler einen Punkt. War die
Erklärung falsch oder unvollständig, versucht die Gruppe gemeinsam den Fehler zu
finden. Daraufhin fährt der Spieler mit der Karte 1.2 usw. bis 4.4 fort.

Ziel jeder Vierergruppe ist es, möglichst alle Fehler zu finden und dem Fehlerteufel
so richtig einzuheizen.
(Die Grafiken entstammen leicht verändert: Enzensberger, Hans Magnus: Der Zahlenteufel, München 1999.)
Fehlerteufel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Erkennen von „typischen“ Fehlvorstellungen / Fehlern beim Aufstellen bzw. Bearbeiten von
linearen Gleichungssystemen
 Als Gruppe gemeinsam über mathematische Sachverhalte diskutieren
Variationen der Aufgabe:
 Da es sich hierbei eher um eine Methode handelt, als um ein themenspezifisches Spiel kann
diese Methode je nach Thema durch Gestaltung anderer Karten immer wieder eingesetzt
werden.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Vor Spielbeginn müssen die Karten möglichst auf verschiedenfarbige Karton entsprechend
der Klassengröße kopiert/geklebt werden und zwar immer die Karten von 1.1-1.4 bzw. 2.1-2.4
… auf die gleiche Farbe.
 Abschließende Behandlung linearer Gleichungssysteme
 Gruppenarbeit
23
1.1 Lösen eines LGS mit dem Einsetzungsverfahren
1.2 Lösen eines LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren
Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
I: 5x + y = 13
II: 4x + 2y = 40
Löse das folgende LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren:
I: x = – 2y + 3
II: 9 = 6y + 3x
Rechnung:
Rechnung:
5 x  y  13
4 x  2 y  40
umformen

5 x  y  13
x  10  0,5 y

   50  0,5 y  y  13
Für x einsetzen
umformen
 0,5 y  37 
 y  74 

 x 
y einsetzen in I
87
5
Welcher Fehler wurde hier begangen?
1.3 Lösen eines LGS mit dem Subtraktionsverfahren
x  2 y  3
x  2 y  3
x  2 y  3
IInach




x
umformen
9  6 y  3x
9  6 y  3x
3 2y  x
Gleichunge

 2 y  3  3  2 y 
 0  0 
 L   
n gleichsetzen
Welcher Fehler wurde hier begangen?
1.4 Lösen eines LGS mit dem Additionsverfahren
Löse das folgende LGS mit dem Subtraktionsverfahren:
I: 5x – 7y = 44
II: 3x + 7y =4
Löse das folgende LGS mit dem Additionsverfahren:
I: 6x + 5 y = 27
II: -5x + 7y = 11
Rechnung:
Rechnung:
5 x  7 y  44
IIvon
I
 2 x  14 y  40
subtrahieren
3x  7 y  4
6 x  5 y  27
30 x  25 y  135
5

Gleichunge


 67 y  201
 I ; 6 II
n addieren
 5 x  7 y  11
 30 x  42 y  66

 Die Lösungsmenge ist eine Gerade, d.h. es gibt unendlich
y  3 

 x  2
x einsetzen in I
viele Lösungen des LGS.
Welcher Fehler wurde hier begangen?
Welcher Fehler wurde hier begangen?
24
2.1 Additionsverfahren
2.2 Gleichsetzungsverfahren
Erläutere das Additionsverfahren beim Lösen eines linearen
Gleichungssystems mit zwei Gleichungen.
Erläutere das Gleichsetzungsverfahren beim Lösen eines linearen
Gleichungssystems mit zwei Gleichungen.
Behauptung:
Behauptung:
Man addiert beide Gleichungen. Dadurch entsteht eine lösbare
Gleichung mit nur einer Variablen.
Beim Gleichsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach einer
Variablen auf. Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen erhält
man dann eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen.
Welcher Fehler wurde hier begangen?
Welcher Fehler wurde hier begangen?
2.3 Einsetzungsverfahren
2.4 Subtraktionsverfahren
Erläutere das Einsetzungsverfahren beim Lösen eines linearen
Gleichungssystems mit zwei Gleichungen.
Erläutere das Subtraktionsverfahren beim Lösen eines linearen
Gleichungssystems mit zwei Gleichungen.
Behauptung:
Behauptung:
Durch Einsetzen der einen Gleichung in die andere Gleichung erhält
man eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen.
Man formt beide Gleichungen so um, dass beim Subtrahieren der
Gleichungen eine Seite der neuen Gleichung gleich Null ist. Somit
entsteht eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen.
Welcher Fehler wurde hier begangen?
Welcher Fehler wurde hier begangen?
25
3.1 Zahlenrätsel
3.2 Euro
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf:
Das Negative der einen Zahl ist viermal so groß wie die andere Zahl
minus 10. Die Summe der beiden Zahlen beträgt 13.
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf:
Ein 50-Euro-Schein wird so in 10-Euro-Scheine und 5-Euro-Scheine
gewechsel, dass die Anzahl der kleineren Scheine dreimal so groß ist
wie die Anzahl der größeren Scheine. Wie viele Scheine sind es
jeweils?
Lösung:
4( x)  y  10
 x  1; y  14
x  y  13
Welcher Fehler wurde hier begangen?
Lösung:
x  y  50
 x  12,5; y  37,5
3x  y
Welcher Fehler wurde hier begangen?
3.3 Kapitänsaufgabe
3.4 Alter
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf:
Ein Schiff ist viermal so lang wie der Kapitän alt ist. Die Summe aus
beiden ist so hoch wie die Siedetemperatur des Wassers. Wie alt ist
der Kapitän und wie lang das Schiff?
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf:
Birgit ist jetzt 36 Jahre alt. Damit ist sie jetzt dreimal so alt wie Lisa
war, als Birgit so alt war, wie Lisa jetzt ist. Wie alt ist Lisa jetzt und
wann war Birgit so alt?
Lösung:
Lösung:
L  4A
 L  50; A  12,5
L  4 A  100
Welcher Fehler wurde hier begangen?
Birgitdamals  Jahre  36
Birgitdamals  Jahre  3Birgitheute
 Birgitdamals  72; Jahre  36
Welcher Fehler wurde hier begangen?
26
4.1 Geradengleichungen
4.2 Koeffizienten
Rechts sind zwei Geraden dargestellt. Gib
die entsprechenden Geradengleichungen
sowie die Koordinaten des Schnittpunktes
möglichst genau an.
Gegeben ist das neben stehende lineare Gleichungssystem y  ax  b
y  cx  d
mit den Koeffizienten a, b, c und d. Wie müssen die
Koeffizienten jeweils gewählt werden, damit das
Gleichungssystem keine, eine, unendliche viele Lösungen hat?
Lösung:
Lösung:
Keine Lösung: a  c
Eine Lösung: a  c
Unendlich viele Lösungen: a  c und b  d
y1  x  3
Schnittpunkt (-1/2)
2
y 2  x  1,5
5
Welcher Fehler wurde hier begangen?
Welcher Fehler wurde hier begangen?
4.3 Ungleichungssystem
Stelle ein Ungleichungssystem auf,
dessen Lösungsmenge der grau
unterlegten Fläche entspricht.
Lösung:
y  0,5 x  2
4
y x4
5
Welcher Fehler wurde hier begangen?
4.4 Schnittpunkte
Aufgabe:
Drei verschiedene Geraden können keinen, einen, zwei oder
Schnittpunkte haben. Stelle fest, welcher der vier Fälle im folgenden
Beispiel vorliegt:
y  0,5 x  3
y  0,5 x  2
→
Die drei Geraden liegen parallel zueinander und
y  0,5 x
haben somit keinen Schnittpunkt.
Welcher Fehler wurde hier begangen?
27
Vorschlag 9.15: Rückspiegel
Mit dem folgenden Rückspiegel sollt ihr eure Kenntnisse der Bereiche Lineare Funktionen und Lineare
Gleichungssysteme testen bzw. auffrischen. Es gibt zwei Schwierigkeitsstufen: „mittel“ und „etwas
schwieriger“. Für jede richtig gelöste Aufgabe der linken Spalte gibt es drei Punkte und in der rechten
Spalte vier Punkte. Am Ende bekommt ihr die Lösungen. Innerhalb des Tests dürft ihr jede
Aufgabennummer nur einmal bearbeiten, aber ihr dürft von Nummer zu Nummer in den Spalten wechseln.
So ist es z.B. möglich, Aufgabe 1 „mittel“ und Aufgabe 2 „etwas schwieriger“, usw. zu bearbeiten.
1
* * *
Gegeben ist eine Gerade g mit
Punkt P (0|3) und der Steigung a = 2.
a) Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem.
b) Gib die zum Graph gehörende Funktionsgleichung an.
1
2
3
3
4
4
Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die
Koordinaten des Schnittpunkts.
f ( x)   12 x  5
f ( x)  4 x  5
a)
b)
g ( x)  8 x  2
g ( x)  13 x  13
Entscheide, ob die Funktionsgraphen sich
schneiden, parallel verlaufen oder identisch sind.
f ( x)  5 x  6
f ( x)  2 x  5
a)
b)
g ( x)  2 x  1
g ( x)  2 x  4
f ( x)  0,2 x  6
g ( x)  0,2 x  2
c)
d)
f ( x)  12 x  32
g ( x)  0,5 x  1,5
5
Löse das lineare Gleichungssystem.
a)
5 x  19  y
3x  11  y
b)
3 x  2 y  10
2 x  2 y  20
c)
3a  5b  34
2a  19  5b
d)
3 x  27 y  120  0
3 x  7 y  60  0
6
Die Kosten für eine Fahrt mit einem Funktaxi
setzen sich aus der Grundgebühr und den Kosten
pro gefahrenem Kilometer zusammen. Für eine
16km lange Fahrt muss man 16,90€, für eine
24km lange Fahrt 24,10€ bezahlen.
a) Wie hoch sind die Grundgebühr und die
Kosten pro gefahrenem Kilometer?
b) Ein Konkurrenzunternehmen verlangt für eine
Fahrt 3,50€ Grundgebühr und pro gefahrenem
Kilometer 80 ct. Welches Unternehmen ist
günstiger?
* * * *
mit dem Punkt P (2| –2) und der Steigung a = 12
a) Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem.
b) Gib die zum Graph gehörende Funktionsgleichung an.
2
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der linearen Funktion, deren Graph
durch die Punkte P1 (2|1) und P2 (6|7) verläuft.
Gegeben ist eine Gerade g
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung
der linearen Funktion, deren Graph durch die
Punkte P1 (2|0) und P2 (6|–6) verläuft.
Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die
Koordinaten des Schnittpunkts.
f ( x)  12 x  13
f ( x)  0,4 x  1
a)
b)
g ( x)  0,8 x  2
g ( x)  13 x  15
Entscheide, ob die Funktionsgraphen sich
schneiden, parallel verlaufen oder identisch sind.
f ( x)  12 x  5
f ( x)  3x  11
a)
b)
g ( x)  11x  3
g ( x)  12 x  5
c)
f ( x)  0,4 x  0,5
g ( x)  0,4 x  0,5
5
Löse das lineare Gleichungssystem.
a)
3x  y  32
y  x4
c)
9a  4b  99
3a  5b  0
d)
b)
d)
f ( x)  14 x  15
g ( x)  0,25 x  0,2
7 y  2 x  67
5 y  3 x  47
10 x  5 y  62  13 y  5 x  16
3 x  y  11  2 y  2 x  12
6
An einer Theaterkasse bezahlen Herr und
Frau Meyer und ihre drei Kinder zusammen 57 €
Eintritt. Familie Grünler bezahlt mit drei
Erwachsenen und einem Kind noch 44 €,
nachdem sie einen Theatergutschein für 10 €
eingelöst haben.
a) Wie viel kostet eine Theaterkarte für einen
Erwachsenen, wie viel für ein Kind?
b) Familie Keinen bezahlt 75 €. Wie viele
Erwachsene und wie viele Kinder gehören zur
Familie? Es gibt mehrere Lösungen.
Quelle: mathe-live. Klett (2002), S. 122.
28
Rückspiegel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Selbständige Überprüfung des Lernstands zu Linearen Funktionen und linearen
Gleichungssystemen
Bemerkung:
 Solche „Rückspiegel“ finden sich bei mathe-live zu jedem Kapitel!
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit zur Vorbereitung der Klassenarbeit
(Mögliche) Lösungen:
1
* * *
1
* * * *
b) f ( x)  2 x  3
2
f ( x)  1,5 x  2
b) f ( x)  12 x  3
2
f ( x)  1,5 x  3 .
3
3
4
4
a) Schneiden sich, da unterschiedliche
Steigungen.
b) Parallel, da gleiche Steigungen. Nicht
identisch, da unterschiedlicher y-Achsenabschnitt.
c) Schneiden sich, da unterschiedliche
Steigungen.
d) Identisch, da gleiche Steigung und gleicher
y-Achsenabschnitt.
a) Schneiden sich, da unterschiedliche
Steigungen.
b) Parallel, da gleiche Steigungen. Nicht
identisch, da unterschiedlicher y-Achsenabschnitt.
c) Schneiden sich, da unterschiedliche
Steigungen.
d) Identisch, da gleiche Steigung und gleicher
y-Achsenabschnitt.
5
5
a) x  4; y  1
c) a  3; b  5
6
b) x  6; y  4
d) m  13; n  3
a) a bezeichnet die Grundgebühr;
b bezeichnet die Kosten pro gefahrenen km:
a  16b  16,90
 a  2,50; b  0,90
a  24b  24,10
b) Bis 19 km ist das Funktaxi günstiger, danach
das Konkurrenzunternehmen.
a) x  9; y  5
c) a  15; b  9
b) m  1; n  10
d) x  10; y  9
6
a) e bezeichnet den Preis für Erwachsene.
k bezeichnet den Preis für Kinder.
2e  3k  57
 e  15; k  9
3e  k  54
b) Z.B. „2 Erwachsene und 5 Kinder“ oder „5
Erwachsene“.
29
Vorschlag 9.16: Aufgaben zur Anwendung
1
In einem Stall sind Hasen und Hennen und zwar 9 Tiere mit
insgesamt 24 Füßen. Wie viele Hasen und Hennen sind es
jeweils?
Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 15, die Differenz der Ziffern ist 3. Welche
2 Die
beiden Zahlen können das sein?
In den Vereinigten Staaten von Amerika wird die
Temperatur in Grad Fahrenheit gemessen. Bei der
Umrechnung von Celsius in Fahrenheit muss zu einem
bestimmten Betrag jeweils ein Vielfaches der CelsiusZahl addiert werden.
Wie lautet die Umrechnungsformel, wenn 68°F = 20
°C und 104°F = 40°C ist?
Bei welcher Fahrenheittemperatur schmilzt also Eis?
Trage die fehlenden Werte in die Grafik ein.
3
4
Lötzinn ist eine Legierung aus Zinn und Blei. Aus zwei Sorten
mit 30% bzw. 40% Zinngehalt sollen 80 kg einer neuen Sorte
Lötzinn mit 33% Zinngehalt hergestellt werden. Berechne, wie
viel kg man von jeder Sorte braucht!
anhand der unten abgebildeten Zeichnungen, warum Addieren
5 Begründe
(entsprechender Seiten) zweier Gleichungen I und II eine neue, richtige Gleichung
liefert! Zeichne eine analoge Figur für die Subtraktion zweier Gleichungen und erkläre!
+
=
dem Buch „Vollständige Anleitung zur Algebra“ von Leonhard Euler
6 Aus
(1707-1783):
„Zwei Personen sind 29 Rubel schuldig; nun hat zwar jeder Geld, doch nicht
so viel, dass er diese gemeinschaftliche Schuld allein bezahlen könnte; drum
sagt der Erste zum anderen: Gibst du mir zwei Drittel deines Geldes, so kann
ich die Schuld sogleich allein bezahlen. Der andere antwortet dagegen: Gibst
du mir drei Viertel deines Geldes, so kann ich die Schuld allein bezahlen.“
Wie viel Geld hat jeder?
30
aus den vorgegebenen Gleichungen jeweils
1 Bilde
zwei Gleichungssysteme mit einer Lösung, mit
keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen.
Zeichne.
2
Ein Schiff fährt stromabwärts mit 23 km/h, stromaufwärts
mit 9 km/h. Berechne die Eigengeschwindigkeit des
Schiffes und die Fließgeschwindigkeit des Wassers?
Bemerkung: Es wird angenommen, dass das Schiff
stromaufwärts
und
stromabwärts
die
gleiche
Eigengeschwindigkeit hat.
3
Kleine Ursache – große Wirkung. Löse beide Gleichungssysteme rechnerisch.
A
123x – 124y = 61
B 123,01x – 124y = 61
248x – 250y = 123
248x – 250y = 123
In welchen Quadranten liegen die Schnittpunkte? Vergleiche die Ergebnisse und
versuche zu erklären!
4
Welches Gleichungssystem wird in den Grafiken jeweils graphisch gelöst?
5
6
Drei verschiedene Geraden können unterschiedlich viele
Schnittpunkte miteinander haben. Erstelle für alle vier Fälle ein
Gleichungssystem.
Das Alte Land ist ein wichtiges Obstanbaugebiet in Norddeutschland. Hier befindet sich
eine kleine Fabrik, die aus dort angebautem Obst drei
Sorten von Produkten herstellt: Obstsalat, Multivitaminsaft
und Marmelade.
In der Hauptsaison sollen aus Äpfeln, Birnen und Kirschen
pro Monat 100 kg Obstsalat, 500 l Saft (1 l  1 kg) und
200 kg Marmelade hergestellt werden. Für den Obstsalat
werden zu gleichen Anteilen Äpfel, Birnen und Kirschen
verwendet. Pro Liter Multivitaminsaft werden an Gewicht
dreimal so viele Äpfel wie Kirschen und doppelt so viele
Birnen wie Kirschen verwendet. Für die Herstellung der
Marmelade kommen auf ein Kilogramm jeweils gleich
viele Äpfel und Birnen.
Welche Fruchtmengen sind für die Herstellung dieser
Produkte erforderlich?
31
1
Denk Dir selbst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen aus, dass die
Lösungsmenge L   2; 5 hat und sich besonders gut
a) mit dem Einsetzungsverfahren;
b) mit dem Gleichsetzungsverfahren;
c) mit dem Additionsverfahren
lösen lässt.
2
Vor 6 Jahren war Frau Noether fünfmal so alt wie ihre Tochter Emmy.
Heute ist Frau Noether dagegen nur noch dreimal so alt wie ihre Tochter.
Wie alt sind die beiden heute?
3
Der Umfang eines Rechtecks beträgt 80 cm. Verlängert man zwei gegenüberliegende
Seiten um je 8 cm und verkürzt zugleich die beiden anderen Seiten um je 5 cm, so
verringert sich der Flächeninhalt des Rechtecks um 45 cm 2. Wie lang sind die Seiten
des ursprünglichen Rechtecks?
4
Verlängert man in einem Rechteck die kürzere Seite um 1 cm und die längere Seite um
4 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 56 cm2 zu.
Verkürzt man dagegen die kürzere Seite um 4 cm und die längere Seite um 1 cm, dann
nimmt der Flächeninhalt um 69 cm2 ab.
Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?
5
Jeder Zwerg isst 2, jeder Räuber isst 3 Hühner. Jeder Zwerg trinkt 3, jeder Räuber trinkt
5 Flaschen Wein. Zusammen essen sie 134 Hühner und trinken 221 Flaschen Wein.
Wie viele Zwerge und wie viele Räuber nehmen an dem Mahl teil?
6
Ein Flugzeug kommt in einer Stunde 760 km weit, wenn es mit dem
Wind fliegt, und 690 km, wenn es gegen den Wind fliegt. Wie weit
käme es in einer Stunde bei Windstille? Wie groß ist die
Windgeschwindigkeit?
(Beide Geschwindigkeiten werden als gleichbleibend angenommen.)
7
Für die 150 km lange Strecke zwischen Mellrichstadt und Heilbronn
braucht ein Motorsegler auf dem Hinflug bei Rückenwind 1 Stunde 15
Minuten und auf dem Heimflug bei Gegenwind 1 Stunde 40 Minuten.
Wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Motorseglers; wie groß ist die
Windgeschwindigkeit?
8
Die menschliche Nahrung besteht im Wesentlichen aus
Kohlenhydraten, Fett und Eiweiß. 1 g Eiweiß liefert dem
Körper 17 Kilojoule, 1 g Kohlenhydrate ebenfalls
17 Kilojoule, 1 g Fett liefert 39 Kilojoule.
Bei leichter Arbeit benötigt ein Erwachsener täglich etwa
9200 Kilojoule. Die tägliche
Eiweißmenge soll 101 der täglich umgesetzten Energie
(Kilojoule) liefern. Die Menge des Fettes soll 15 der Menge
der Kohlenhydrate betragen.
Welche Mengen an Eiweiß, Fett und Kohlenhydraten soll
ein Erwachsener täglich zu sich nehmen?
32
Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterricht
Ziel:
 Übung / Anwendung
 Vertikale Vernetzung
(Mögliche) Lösungen:
Blatt (1)
 Aufgabe 1: Es sind 6 Hennen und 6 Hasen.
 Aufgabe 2: Es kann entweder die Zahl 69 oder die Zahl 96 sein.
 Aufgabe 3: Laut Rechnung bei >31 Fahrenheit.
 Aufgabe 4: Man benötigt 53,33 kg der Sorte A (30%) und 26,66 kg der Sorte B (40%)
 Aufgabe 5: Individuell
 Aufgabe 6: Der eine hat 14,5 Rubel; der andere hat 19 1/3 Rubel.
Blatt (2)
 Aufgabe 1: Individuell
 Aufgabe 2: Die Flussgeschwindigkeit beträgt 7 km/h und das Schiff fährt mit 16 km/h.
 Aufgabe 3: a) x=1 und y=0,5
b) x=-4 und y=-4,46
Die Ursache dafür liegt darin, dass die beiden Geraden fast die gleiche Steigung
haben und folglich eine geringfügige Änderung der Steigung einer Geraden den
Schnittpunkt beider Geraden erheblich verschiebt.
 Aufgabe 4: a) y  0,5x  0,5 b) y  0,25x  0,25 c) y  2 x  4
d) y  3x  4
x2
y  0,5x  1
y  0,5x
yx
 Aufgabe 5: Individuell
 Aufgabe 6: Man benötigt 383,33 kg Äpfel, 300,33 kg Birnen und 216,33 kg Kirschen.
Blatt (3)
 Aufgabe 2: Frau Noether: 36; Emmy: 12
 Aufgabe 3: Rechtecksseitenlängen: 15cm und 25cm
 Aufgabe 4: Rechtecksseitenlängen: 9cm und 16cm
 Aufgabe 5: 7 Zwerge und 40 Räuber
 Aufgabe 6: Fluggeschwindigkeit: 725 km/h; Windgeschwindigkeit: 35 km/h
 Aufgabe 7: Fluggeschwindigkeit: 105 km/h; Windgeschwindigkeit: 15 km/h
920
2070
10350
 54,1 ; Fett:
 66,8 ; Kohlenhydrate:
 333,9 ;
 Aufgabe 8: Eiweiß:
17
31
31
33