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formeln-physik-tm3-v6.doc
17.3.2010
Ergänzende Formeln aus der Physik-Vorlesung
2 Mechanik
2.1 Kinematik der Linienbewegung
Geschwindigkeit, Beschleunigung
2.2 Kinematik der Drehbewegung
2.3 Dynamik der geradlinigen Bewegung
Newtonsche Axiome, schiefe Ebene, Reibung, Stöße
2.4 Dynamik der Drehbewegung
Massenträgheitsmoment, Corioliskraft, Präzession
2.5 Arbeit, Energie, Leistung
2.7 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase
3 Schwingungen
3.1 Begriffe
3.2 ungedämpfte elastische Sinusschwingung
Federschwingung, Flüssigkeitsschwingung
Drehschwingung, Pendel, elektrischer Schwingkreis
3.3 Viskos gedämpfte Schwingung
3.4 Erzwungene Schwingung
2.
Mechanik:
2.1
Kinematik der Linienbewegung:
Definitionen der Begriffe:
Geschwindigkeit:
momentane:
mittlere:
Beschleunigung:
momentane:
mittlere:
Fallbeschleunigung auf Erdoberfläche (Normwert)
2.2
s ds

 s
t 0 t
dt
s
v
t
v dv
a  lim

 v  s
t  0 t
dt
v
a
t
g n  9,80665 m2
v  lim
s
Kinematik der Drehbewegung:
Anzahl der Umdrehungen:
N
N
t
1
T 
n
n
Drehzahl:
Zeit für eine Umdrehung:
Bogenmaß: (Radiant)
1 rad ˆ
360
 57,3
2
Winkelgeschwindigkeit: momentane:
  lim
 d

 
t
dt
mittlere:
Bahngrößen: zurückgelegte Wegstrecke:
t  0
2
 2  n
T
s   r

2  r
 2  r  n    r
T
  r
Tangentialgeschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit): v tan 
Tangentialbeschleunigung
Radialbeschleunigung:
Bahnbeschleunigung (momentane):
Winkelbeschleunigung (momentane):
gleichförmige Kreisbewegung: ( = konstant)
gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung:
( = konst.), allgemein:
Spezialfall: aus dem Stand (0=0, 0=0):
a tan
ar 
2
v tan
2  r
r
v dv

 v
t  0 t
dt

v
  lim
  
t  0 t
r
  0    t
at  lim
   0    t    0   0  t  12    t 2

4   N
t2
Betrag der Tangentialbeschleunigung:
at 
v
vx
v
 a x  y  a y  z  az
v
v
v
Betrag der Normalbeschleunigung:
an  a 2  at2
2.3
Dynamik (Kinetik) der Bewegung:
Erstes Newtonsches Axiom: ohne äußere Beeinflussung (Kräfte) gilt:
Zweites Newtonsches Axiom: (dynamisches Grundgesetz)
hieraus folgt für den Fall konstanter Masse (m = const):
Drittes Newtonsches Axiom: (actio = reactio)
Schwerpunkt
(Massenmittelpunkt):
Der Schwerpunkt eines Systems
von Massen ist derjenige Punkt,
der sich so bewegt als sei die
Gesamtmasse in ihm konzentriert
und als griffen äußere Kräfte in
ihm an.

v  konst.
 d ( m  v )
F
dt


F ma


F /  F

Die Koordinate s des Schwerpunkts
eines Körpers ergibt sich durch
Summation über die Massenpunkte
bzw. durch Integration über die
Massenelemente des Körpers:
 r m   r dm
m
m


s
Beispiel: Körper aus Flächenelementen.
Ermittlung des Schwerpunktes eines
homogenen Körpers durch Summation
über seine Flächenelemente nach dem
rechts stehenden Schema:
i
i
i
Massenelement (i)
Nr. 1
Nr. 2
Summe
sx(i)
sy(i)
A(i)
----
-----
-----
sx(i)·A(i) sy(i)·A(i)
Beispiel: beliebiges Dreieck: Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Gewichtskraft:
FG  m  g
Lineares Kraftgesetz: D = Federkonstante


F  D  s
Elastizitätsmodul: F/A =Zug- bzw. Druckspannung
E
F l

A l
d
Poissonsche Zahl (Querkontraktion):

l
d
l
= 0: keine Kontraktion
 0,3: typischer Wert
= 0,5: Volumenerhaltung
Reibung:
- Haftreibungskraft:
FR   H  FN
µH = Haftreibungszahl
- Gleitreibungskraft:
FR   G  FN
µG = Gleitreibungszahl
- Rollreibungskraft:
FR   R  FN
µR = Rollreibungszahl
FR 
f
 FN
r
f = Rollreibungslänge
- Haften auf schiefer Ebene
tan    H
- Gleiten (Rutschen) auf schiefer Ebene
a  g  (sin    G  cos  )
- Schraube ist Beispiel für schiefe Ebene
tan  
(s = Steigung = Abstand zweier Gänge)
(d = Flankendurchmesser)
s
 d
beschleunigende Kraft:
Trägheitskraft:
D´ Alembertsches Prinzip:


Fa  m  a


FTr   m  a
N 

 Fi  FTr  0
i 1
Impuls eines Körpers mit der Masse m:
Impulssatz: In einem abgeschlossenen
System (keine Krafteinwirkung von außen),
ist der Gesamtimpuls konstant.
Raketengleichung: Eine Rakete hat beim Start
die Masse m0 und die Geschwindigkeit v0.
Während der Beschleunigungsphase wird Masse mit
der Relativgeschwindigkeit vTr zur Rakete
herausgeschleudert, so dass die Masse m(t) der
Rakete mit der Zeit abnimmt und ihre
Geschwindigkeit v(t) zunimmt.
Kraftstoß:
(Wirkt eine Kraft eine Zeit auf einen Körper ein, so
bewirkt diese eine Impulsänderung des Körpers)
Zweites Newtonsches Axiom verallgemeinert:


p  mv
N


pges   pi  const .
i 1
m




v (t )  vTr  ln 0  v0  g  t
m(t )

t

p   Fdt
0
 dp
F
dt
Zentraler Stoß zweier Körper: (zweier Körper mit den Massen m1, m2)
Der Gesamt-Impuls bleibt beim Stoß immer erhalten.
1. Fall: elastischer Stoß
Hierbei bleibt die kinetische Energie beim Stoß
vollständig erhalten
v: Geschwindigkeit vor dem Stoß
u: Geschwindigkeit nach dem Stoß

2  m2 
m  m2 
u1 
 v2  1
 v1
m1  m2
m1  m2

2  m1  m2  m1 
u2 
 v1 
 v2
m1  m2
m1  m2

 

v1  u1  v 2  u2


  m1  v1  m2  v2
u1  u2 
Hierbei haften die Körper nach dem Stoss aneinander,
m1  m2
dabei wird kinetische Energie maximal möglich vernichtet
2. Fall: völlig inelastischer Stoß
2.4
Dynamik der Drehbewegung:
Zentrifugal- und Zentripetalkraft:



Fzf   Fzp  m  ar
Fzp  m  ar 
Steinerscher Satz:
für Massenträgheitsmoment, wenn
Drehachse um Strecke s gegen
Schwerpunktachse versetzt ist
Drehimpuls
- allgemeiner Körper:
- bei punktförmigem Körper:
Drehimpulssatz:
Drehmoment
- erzeugt durch äußere Kraft
m  v2
 m  2  r
r
J A  JS  m  s2
berechnet Massenträgheitsmoment JA bezüglich Drehachse A
aus Massenträgheitsmoment JS bezüglich Schwerpunktachse S


L  J
  
Lrp
In einem nicht von außen beeinflussten System
bleibt der Drehimpuls erhalten.
  
M  r  FE
M  D*  
- erzeugt durch Feder
- erzeugt durch Trägheit
Corioliskraft
Präzessionsbewegung eines mit
Drehimpuls L drehenden Körpers, verursacht durch äußeres Drehmoment M



dL
M  J   
dt

 
Fc  2  m  v  
 

M
p 
M  p  L
L
2.5
Arbeit, Energie, Leistung:
2.5.1
Arbeit: Arbeit = Kraft x Weg, wobei die Kraft in Wegrichtung zeigt
Einheit: 1J = 1 Nm
W  F  s  cos 
 
W  Fs
s2 

W   F  ds
s1
Hubarbeit:
WH  FG  h  m  g  h
Reibungsarbeit:
WR  FR  s    FN  s
Beschleunigungsarbeit:
WB  F  s  m  a  s  12  m  v 2
Arbeit der Drehbewegung:
M = konstant
2.5.2
W  M 
Energie:
potentielle (Lage-)Energie:
E pot  FG  h  m  g  h
Spannenergie: (bei Feder)
E S  12  D  s 2
Bewegungs- oder kinetische Energie:
E kin  12  m  v 2 
Rotationsenergie: wobei das Massenträgheitsmoment
JA bezüglich diese Achse A zu nehmen ist
E rot  1  J A  2
2
Energiesatz: Im abgeschlossenen System
E  E pot  E S  E kin  E rot  const .
ist die Gesamtenergie konstant.
p2
2m
2.5.3
Leistung:
Leistung:
mittlere:
momentane:
bei linearer Bewegung:
bei Drehbewegung
P
W
t
dW
 W
dt
 
P  F v
 
P  M 
P
Wirkungsgrad:
WN = Nutzarbeit
Wges= insgesamt aufgewandte Arbeit
PN = Nutzleistung
Pges= insgesamt aufgewandte Leistung
W 
2.7
Mechanik der Flüssigkeiten und Gase:
2.7.1
Strömung
Volumenstrom: A: durchströmte Fläche
v
: über Fläche gemittelte Strömungsgeschwindigkeit
WN
P
 N
W ges Pges
dV A  ds

 A v
dt
dt
Kontinuitätsgleichung: (Erhaltung des Volumens
bei inkompressibler Strömung, d.h. = const)
A1  v1  A2  v2
Betriebsdruck:
p
geodätischer Druck: (Schweredruck)
 g h
dynamischer Druck: (Staudruck)
1
2
Bernoullische Gleichung: resultiert aus
p    g  h  12    v 2  const .
Energieerhaltung, gilt also bei reibungsfreier Strömung
Torricelli-Ausflusstheorem:
Ausströmungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit
mit Dichte  aus einer Öffnung
   v2
v  2 gh
v 2
p

bei Flüssigkeitssäule Höhe h
bei Druckdifferenz p
dv
dx
Newtonscher Reibungsansatz:
F   A
Viskosität (dynamische Zähigkeit):

kinematische Viskosität:
 
laminare Umströmung einer Kugel:
- Reibungskraft: Gesetz von Stokes
FR  6     r  v


Umströmung von Körpern: (turbulent)
- Druckwiderstandskraft
FD  cD  12    v 2  A
cD : Druckwiderstandsbeiwert
- Strömungswiderstandskraft:
FW  cW  12    v 2  A
cW : Strömungswiderstandsbeiwert
Stromlinienkörper:
Kugel:
Kreisplatte:
- dynamische Auftriebskraft:
FA  c A  12    v 2  AT
cW = 0,06
cW = 0,3
cW = 1,2
3.
Schwingungen und Wellen:
3.1
Begriffe:
Frequenz:
f
Einheit: Hz = 1/s
Kreisfrequenz:
= 2 f
Einheit: 1/s = Hz
Schwingungsdauer: T = 1/f
3.2
Einheit: s
ungedämpfte elastische Sinusschwingungen:
Anmerkung: Der Index 0 gilt bei ungedämpfter Schwingung.
3.2.1
lineare Schwingung:
Federschwingung:
- Kraftgleichung: (Federkonstante D = F/s)
m  s  D  s  0
- Auslenkung: (Amplitude: ŝ )
s(t )  sˆ  sin 0  t 
- Geschwindigkeit: Amplitude: vˆ  sˆ  0
v(t )  vˆ  cos0  t 
- Beschleunigung: Amplitude: aˆ  vˆ   0  sˆ   02
a(t )   aˆ  sin  0  t 
- Kreisfrequenz:
0  D m
- Schwingungsdauer:
T0  2  m
D
Flüssigkeitsschwingung:
l: Länge der Flüssigkeitsfüllung
s: Auslenkung aus Ruhelage
- Druckdifferenz:
p  2 s   g
- rücktreibende Kraft:
F  p A  2 s   g  A
- effektive Federkonstante:
D  2   g  A
- träge Masse:
m   l A
- Kreisfrequenz:
0  D m  2 g l
- Schwingungsdauer:
T0  2
0   
2l
g
3.2.2
Drehschwingung:
Drehschwinger:
z.B. Unruhe einer Uhr,
Pohlsches Rad
- Drehmomentgleichung:
J    D *   0 (Winkelrichtgröße D*  M
- Auslenkung:
 (t )  ˆ  sin 0  t 
- Kreisfrequenz:
0  D * J
- Schwingungsdauer:
T0  2  J
(Amplitude
̂ )
D*
Physikalisches Pendel:
(kleine Schwingungsamplitude)
- rückstellendes Drehmoment:
(s = Abstand Achse-Schwerpunkt)
- Trägheits-Drehmoment:
(JA=Massenträgheitsmoment
bezüglich einer beliebigen Achse A)
- Kreisfrequenz Schwingung:
(JS=Massenträgheitsmoment
bezüglich Achse durch Schwerpunkt)
 
M  s  Fg  s  m  g  sin   s  m  g  
M  J A  
0 
smg
smg

JA
J S  m  s2
- Schwingungsdauer:
T0  2 
J S  m  s2
JA
 2 
smg
smg
Mathematisches Pendel:
(Punktmasse im Abstand l)
(kleine Schwingungsamplitude)
Physikalisches Pendel mit JS=0
- Massenträgheitsmoment:
J A  m  l2
- Kreisfrequenz:
0  g l
- Schwingungsdauer:
T0  2 
l
g
Pendel: (physikalisch oder mathematisch)
bei größerer Schwingungsamplitude wird die Schwingungszeit länger
Bei Amplitude ̂  10 wird T um 0,2% größer.
Bei Amplitude ̂  20 wird T um 0,8% größer.
)
Zwei gekoppelte mathematische Pendel:
0 
g
l
- gegenphasige Schwingung:
1 
g 2D  L 

 
l
m l
- Kopplungsgrad:
K
- gleichphasige Schwingung
2
12   02
12   02
Elektrischer Schwingkreis:
1
U L  U C  L  I   I  0
C
- Kreisfrequenz:
0  1 L  C
- Schwingungsdauer:
T0  2  L  C
Viskos gedämpfte Schwingung:
Index d kennzeichnet eine Schwingungsgröße im Fall mit Dämpfung.
Viskose Dämpfung bedeutet, dass die Bremskraft proportional zur Geschwindigkeit ist.
Kraftgleichung: b = Dämpfungskonstante
m  s  b  s  D  s  0
= bremsende Reibungskraft / Geschwindigkeit
[b] = N / (m/s) = kg/s
Auslenkung:
s(t )  sˆ  e   t  sin  d t 
Abklingkonstante = Abklingmaß

[ = 1/s
Kreisfrequenz ungedämpft:
Güte der Schwingung
Anschaulich ist die Güte bei kleiner Dämpfung
die Anzahl der Schwingungen, nach denen die
Amplitude auf e-  4,3% abgefallen ist.
Dämpfungsgrad
= Lehrsches Dämpfungsmaß [] = 1
Kreisfrequenz gedämpft:
1
s(t)
3.3
- Gleichung:
F
b
 R
2m 2mv
0
0  D m

Q 0 
2

-1
  
2
1

4
In der Zeichnung ist
Q = 15 und  0,21

1

 0 2Q
 d   02   2 
0
1   2 2
Schwingungsdauer:
Td  2
logarithmisches Dekrement:
  ln
Beispiel Flüssigkeitsschwingung
b  8    l und   4 
(siehe oben). Wenn bei kleiner Amplitude der
Flüssigkeitsfilm an der Wand haften bleibt, gilt:
t
 0  1 
1
4Q 2
d
s(t )


   Td  2

s(t  Td )
d
Q 2  14

A
Fallunterscheidung nach Größe der Dämpfung:
schwache (unterkritische) Dämpfung: Schwingfall:
   0  d  0
kritische Dämpfung: aperiodischer Fall:
   0  d  0 b2  4  D  m
überkritische (sehr starke) Dämpfung: Kriechfall:
  0
3.3.3
3.4
Elektrischer Schwingkreis:
R
2L
Abklingkonstante:

Kreisfrequenz:
d     
2
0
1
 R 
 
L  C  2L 
2
2
Erzwungene Schwingung: (im eingeschwungenen stationären Zustand)
Kreisfrequenz des frei schwingenden ungedämpften Systems: 

Kreisfrequenz der äußeren Anregung:
s  sˆ  sin   t   
Auslenkung der Masse:
äußere Erregung mittels ausgelenkter Feder:
Federbewegung
Differentialgleichung
Amplitude:
yt   yˆ  sin   t
m  s  b  s  D  s  D  y
sˆ  yˆ 

 02
2
0
  2   2     
2
2
innere Erregung mittels Kraft (z.B. bei Unwucht):
FE t   FˆE  sin   t
wirkende Kraft
Differentialgleichung
m  s  b  s  D  s  FE
Amplitude:
sˆ 

FˆE / m
2
0
 2
  2     
für beide Erregungen gilt:
Phase als Funkt. der Antriebsfrequenz
  arctan
2  
 02   2
Amplitudenresonanz (maximales ŝ ) bei
  R  02  2   2
Schwingungsüberhöhung bei
Amplitudenresonanz
sˆmax

 02
Q
 0 

2
2
sˆ(  0) 2    0  
1 1
4Q 2
Phasenresonanz (   90 ) bei
  0
Schwingungsüberhöhung bei
Phasenresonanz
sˆ(   0 )  0

Q
sˆ(  0)
2 
Antriebsleistung =
Reibungsverlustleistung
P  FR  v  b  v 2  12  b  vˆ 2  m    sˆ 2   2
2
2