Protokoll

Westfälische Wilhelms – Universität zu Münster
Physikalisches Institut
Experimentelle Übungen für Fortgeschrittene
Sommersemester 2004
Aufgabe 420
Untersuchung der
Doppelbrechung mit
Hilfe des Kerr-Effektes
Durchgeführt am:
15. Juni 2004
Durchgeführt und ausgewertet von:
Martin Stadlbauer
[email protected]
2
I Theorie
Beschreibung von monochromatischem, polarisiertem Licht
Lichtwellen können als transversale elektromagnetische Welle beschrieben werden. Hier bilden das
E- Feld und das B-Feld mit der Ausbreitungsrichtung ein orthogonales Rechtssystem. Das E und B
über die Maxwellgleichungen zusammenhängen (z. B. rot E = - d/dt B ), genügt es das E-Feld zu
betrachten. Ist die Ausbreitungsrichtung die z-Achse, so folgt für E:
E(x, y, z, t) = Ex·ex + Ey·ey
mit
Ex(x, y, z, t) = Ex0·cos (kz-ωt+Φx)
Ey(x, y ,z ,t) = Eyo·cos (kz-ωt+Φy)
Im folgenden werde monochromatisches Licht fester Wellenlänge λ verwendet. Dann kann die
Dispersion des Lichtes vernachlässigt werden, d. h. k 
2

ist für alle Lichtwellen des
Wellenpaketes gleich, ebenfalls ω = ku, da die Phasengeschwindigkeit u einheitlich ist.
Weiter sei das Licht polarisiert, d. h. dass die Richtung von E für alle Lichtwellen an jedem z und
jedem t gleich ist. Für obige Gleichung bedeutet dies, dass Ex0, Ey0 als auch die relative Φ = Φx – Φy
konstant seien.
Es werden grob drei Fälle unterschieden:
Linear polarisiertes Licht:
Ist Φ = 0 oder Φ = π, so schwingt E längs einer Linie senkrecht zur Ausbreitungsrichtung k.
Zirkular polarisiertes Licht:
Für Φ = ± π/2 und Ex0 = Ey0 = E0 beschreibt E eine Spirale längs der Ausbreitungsrichtung.
Elliptisch polarisiertes Licht:
Für Φ = ± π/2 aber Ex0 von Ey0 verschieden ergibt sich für E eine elliptische Spirale.
Doppelbrechung
Doppelbrechung tritt in allen anisotropen Medien auf, also in Medien, deren optische Eigenschaften
richtungsabhängig sind, wenn sie sich in einem elektrischen Feld befinden. Die dem huygensschen
Prinzip zugrundeliegenden sphärischen Elementarwellen müssen dabei durch eine Kombination aus
sphärischer Welle (ordentliche Welle) und elliptischer Welle (außerordentliche Welle) ersetzt
werden. Diese kombinierte Welle hat zur Folge, dass sich das Licht mit zwei verschiedenen
Geschwindigkeiten ausbreitet, was diesem zwei verschiedene Brechzahlen n0 und ne zuordnet.
Hierdurch kommt es zu einer Phasenverschiebung δ zwischen den Komponenten des Lichtes, die
waagerecht bzw. senkrecht zum elektrischen Feld stehen. Ist d die Dicke des Materials so gilt:
δ = 2π/λ (ne – n0)d
3
Experimentell findet sich folgende Beziehung :
ne – n0 = K·λ·E²
Dabei ist λ die Wellenlänge und E der Betrag der benutzten Feldstärke und K die Kerr-Konstante.
Im folgenden Versuch ist die Kerrkonstante K einer piezoelektrischen Keramik zu bestimmen.
Durch Kombination der letzten beiden Gleichungen und der Relation E = U/d ergibt sich für K:
K
d
2U ²
Die vom Analysator durchgelassene Lichtintensität
In den weiteren Überlegungen falle linear polarisiertes Licht im Winkel von 45° gegen die optische
Achse auf eine doppelbrechende Kristallplatte. Dadurch sind die Amplituden in x- als auch yRichtung gleich, Ex0 = Ey0 = E0. Dieses ändert sich auch nach Austritt aus der Platte nicht. Wird nun
in y-Richtung ein elektrisches Feld angelegt, so erleidet die y-Komponente beim Austritt eine
Phasenverschiebung δ. Wird das austretende Licht durch einen Analysator aufgefangen, der mit
dem Polarisator den Winkel φ bildet, so lassen sich die dortigen Feldstärken beschreiben durch:
Ex,A = E0 · cos Φ0 · cos (π/4 + φ)
Ey,A = E0 · cos (Φ0 + δ) · cos (π/4 - φ)
wobei Φ0 = kz – ωt und k, ω konstant, da monochromatisches Licht verwendet wird.
Diese beiden Komponenten interferieren und bilden Licht der Intensität I:
I = <E²> = ½ E0²·(1+cos 2φ · cos δ)
Für die Spezialfälle ergibt sich:
linear polarisiert:
δ=0
=> I = E0²·cos²φ
zirkular polarisiert:
δ = π/2
=> I = ½ E0²
Für 0 < δ < π/2 ist das Licht elliptisch polarisiert und für die Parallel- bzw. Orthogonalkomponente
gilt:
φ=0
=>
Ip = ½ · E0² (1 + cos δ)
φ = π/2
=>
Is = ½ · E0² (1 - cos δ)
Durch Messung von Is und Ip lässt sich die Phasenverschiebung δ bestimmen.
4
II Versuchsdurchführung
Versuchsaufbau
Auf einer optischen Bank werden eine Natriumdampflampe, ein Polarisator, Kerr-Zelle, Analysator
und Photoelement installiert. Dem werden zwei Linsen hinzugefügt, um das Licht so zu
fokussieren, dass die Lampe komplett auf die viel kleinere Kerr-Zelle abgebildet wird und es beim
Verlassen der Zelle in das Photoelement fällt. Der Aufbau wird vor Beginn der Messungen auf
möglichst hohen Photostrom getrimmt, das Hintergrundlicht sollte möglichst gering gehalten
werden, um den Dunkelstrom zu minimieren. Dieser werde bei den Auswertungen jeweils von den
gemessenen Werten abgezogen.
Messungen
[Messung 1]
Die Apparatur werde wie oben beschrieben aufgebaut.
Messung 2
Der Polarisator wird senkrecht zur optischen Achse der Kerr-Zelle gestellt. Dann wird die vom
Analysator durchgelassene Intensität als Funktion des Drehwinkels φ gemessen.
Bei der Auswertung wurde der Dunkelstrom von den gemessenen Werten abgezogen.
Hierzu Diagramm „Messung 2“.
Messung 3
Der Polarisator wird so gedreht, dass seine Polarisationsrichtung mit der optischen Asche der KerrZelle einen Winkel von 45°bildet. Der Analysator werde senkrecht und parallel zum Polarisator
gestellt. Dann wird Ip und Is als Funktion der Kerr-Spannung gemessen.
Hierzu Diagramm „Messung 3“.
Sein Minimum hat Ip bei einer Spannung von U = 700 V ± 20 V
Die Dicke der Zelle beträgt 1,5 mm.
Damit ergibt sich die Kerr-Konstante
K
d
= (1,53 ± 0,09)·10-9 m/V²
2U ²
Messung 4
Es wird die Spannung eingestellt, für die Ip die Hälfte des Wertes hat, den Ip bei Null Volt besitzt.
Das ist der Fall bei U = 600 V. Die vom Analysator durchgelassene Intensität wird als Funktion des
Drehwinkels φ gemessen.
5
Hierzu Diagramm „Messung 4 und 5“.
Messung 5
Nun wird die Spannung eingestellt, für die Ip etwa ¾ des Wertes von Null Volt annimmt. Im
Experiment lag die zugehörige Spannung bei 550 V. In diesem Fall sollte das austretende Licht
elliptisch polarisiert sein. Wieder wird die vom Analysator durchgelassene Intensität als Funktion
des Drehwinkels φ gemessen.
Hierzu Diagramm „Messung 4 und 5“.
Das Maximum der Intensität lag bei 1,85 nA ± 0,05 nA, das Minimum bei 0,80 nA ± 0,05 nA.
Das Minimum ist der Amplitude von der Kerrspannung unbeeinflussten Richtung, die senkrecht
zum elektrischen Feld steht, zuzuordnen. Das Maximum dagegen gehört zur Amplitude der
Richtung, die parallel zum elektrischen Feld ist.
Für die Halbachsen a und b der Ellipse gilt a ~ Ex² ~ Is und b ~ Ey² ~ Ip.
Also gilt für das Verhältnis der Halbachsen:
a : b = 0,80 nA ± 0,05 nA : 1,85 nA ± 0,05 nA = 0,43 (1 ± 9,0%)
Die Phasenverschiebung δ des elliptisch polarisierten Lichtes ergibt sich aus der Verschiebung des
Maximums gegenüber dem Fall für Null Volt.
Im Diagramm „Messung 4 und 5“ ist dieses beim Wert 50° der Fall, für das elliptisch polarisierte
Licht liegt der Wert bei 80°. Unter Berücksichtigung der Messungenauigkeit bedeutet das für δ:
δ = 30° ± 10°
Im Diagramm „Messung 5 und Berechnung“ wurde auf Richtigkeit der Beziehung
I = <E²> = ½ E0²·(1+cos 2φ · cos δ)
geprüft.
E0² kann aus der Gleichung
Ip = ½ · E0² (1 + cos δ)
für φ = 0
berechnet werden. Dem Diagramm ist zu entnehmen:
Ip = 1,85 nA ± 0,05 nA
=>
E0² = Ip / (1+ cos δ) = 0,96
Die Berechnete Kurve gehorcht also der Gleichung:
½ · 0,96 · (1 + cos 2φ · cos 30°)
wobei für φ noch das richtige Offset zu wählen ist.
6
Diskussion der Messergebnisse
Die Messungen in Abhängigkeit vom Drehwinkel φ sehen recht gut aus, da Maxima und Minima
immer die erwarteten 90° auseinander liegen.
Zu Messung 2 : Die Kurve hat die erwartete Sinus-Form. Die Ungenauigkeiten fallen gegenüber
den großen Werten kaum ins Gewicht.
Zu Messung 3:
Die ermittelte Kerr-Konstante liegt drei Größenordnungen höher als die von Nitrobenzol. Da es sich
um eine piezoelektrische Keramik handelt, ist der Wert durchaus plausibel.
Zu Messung 5:
Das Verhältnis der Ellipsenhalbachsen ist durch aus plausibel, auch hat sich eine nennenswerte
Phasenverschiebung gezeigt.
Die berechneten Werte stimmen mit den gemessenen in der Phase überein.
Die Amplitude ist nicht die gleiche. Hier könnte die Differenz durch Störung der Messung durch
den Dunkelstrom erklärt werden.