Lösung23 (MS Word)

Lösungen zu Blatt 23
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Übungen zu Physik für Bauingenieure SS 2002
Prof. P. Böni
Lösungen zu Blatt 23
Florian Grünauer, Institut E21
Besprechung am 27.6.02 (N1090 15:00 Uhr)
http://www.ph.tum.de/antares/uebungen/uebungen.html
1. Aufgabe: Interferenz dünner Schichten
Seifenblasen oder Ölfilme auf Wasser leuchten in der Sonne in schillernden Farben. Dieses
Phänomen ist auf die Interferenz von Licht an dünnen Schichten zurückzuführen. Auf eine
planparallele Schicht der Dicke d und dem Brechungsindex n2 fällt ein Lichtstrahl mit der Wellenlänge
 unter dem Winkel 1. Das Licht wird teilweise an der Oberfläche und teilweise an der Unterseite
reflektiert.
a) Berechnen Sie den optischen Wegunterschied und die Phasendifferenz zwischen beiden
Strahlen.
Lösung
Geometrischer Gangunterschied GU:
GU  2  n2b  n1 x (I)
1
Aus der Geometrie folgt:
x
d
b
(II)
a
cos  2
d
b
x  a sin 1  (2d tan  2 ) sin 1 (III)
2
(II) und (III) in (I) einsetzen:
GU  2  n2
d
 n1 2d tan  2  sin  1
cos  2
unter Verwendung des Brechnungsgesetzes:
GU  2  n2
n
d
 n1 2d tan  2  2 sin  2
cos  2
n1
 1
sin 2  2 
1
  2  n2 d
GU  2  n2 d 

cos 2  2  2  n2 d  cos  2
cos  2
 cos  2 cos  2 
Die Phasendifferenz aufgrund des GU ist : GU /    2
Zusätzlich gibt es noch einen Phasensprung  von  des an der Schichtoberfläche reflektierten


Lichtes, falls der Brechungsindex der Schicht größer ist als der des umgebenden Mediums.
Somit ergibt sich für die gesamte Phasendifferenz:
2
GU


b) Welche Bedingung gilt für konstruktive Interferenz?
Lösung
Phasendifferenz  muß ein Vielfaches von 2 sein.
 
2  GU

   2  m mit m=0,1,2,3,4,.......
Lösungen zu Blatt 23
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ausführlich:
 
4  n2 d  cos  2
oder
GU




m
2
mit m=0,1,2,3,4,.......
ausführlich:
2  n2 d  cos  2


   2  m

 m Bedingung für konstruktive Interferenz gleicher Neigung
2
oder unter Verwendung des Einfallswinkels 1:
2d
n2  n1 sin 2  1 
2

2

m
2
c) Welche Bedingung muß erfüllt sein, damit bei senkrechtem Einfall die reflektierte Intensität ein
Minimum hat (=vergütete Optik!)?
Lösung
Phasendifferenz muß ein ungerades Vielfaches von  sein.

 m +0,5
mit m=0,1,2,3,4,.......

2
2  n2 d  cos  2 

 m  0,5

2
GU

wegen senkrechtem Einfall:
2  n2 d


2  n2 d 
2  n2 d

 m  0,5 

 m  0,5 
m
2

2

Hinweis: Zur Vergütung von Glasoptiken (Reflexminderung) wird auf eine Glasplatte eine dünne
Schicht aufgebracht, deren Brechungsindex zwischen dem des umgebenden Mediums und der
Glasplatte liegt. Dadurch wird die Phasensprungdifferenz der Reflexionen an der Vorder- und
Rückseite der dünnen Schicht zu null und es gilt:
2  n2 d
 m  0,5
2  n2 d
 0,5 (für 1. Interferenzminimum)


n2 d 

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Bedingung für Antireflexionsvergütung
n2 ist hierbei der Brechungsindex der aufgebrachten dünnen Schicht!
2. Aufgabe: Michelson Interferometer
Sie sollen über den San Andreas Graben in
Kalifornien eine Brücke bauen. Um die flexiblen
Elemente groß genug zu dimensionieren, wollen
Sie mit einem Michelson Interferometer die
Verschiebung der beiden Seiten gegeneinander
messen. Sie verwenden einen Laser mit der
Wellenlänge =632,8nm. In zwei Stunden messen
Sie 13 Hell-Dunkel-Hell Durchgänge in Ihrem
Detektor.
a) Ist bei Nullstellung des Interferometers die
Interferenz konstruktiv?
Verschiebbarer
Spiegel S2
Versilberte
Glasplatte
II
II
Kompensator
I
Quelle
I
II
I
Detektor
Fester
Spiegel S1
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Lösung
Die Nullstellung ist jene Einstellung, bei der die beiden Strahlgänge genau gleich lang sind. Bei der
Nullstellung muß gerade destruktive Intereferenz für alle Wellenlängen auftreten. Der dabei
vorliegende Phasenunterschied von  kommt daher, daß Bündel I an der Außenfläche des
halbdurchlässigen Spiegels und Bündel II an der Innenfläche reflektiert wurde.
b) Wie groß ist die Verschiebung in einem Jahr?
Lösung
Ändert sich eine der beiden Strahlweglängen, ergibt sich immer dann eine konstruktive Interferenz,
wenn der halbe Wegunterschied (das Licht legt die Strecke 2mal zurück) der Wellenlänge des Lasers
entspricht.
Also verschiebt sich der San Andreas Graben in 2 Stunden um
Die Verschiebung in einem Jahr ist:
13 
632,8  10 9 m
 4,11  10 6 m
2
4,11  10 6 m  12  365  1,8cm
3. Aufgabe: Newtonsche Ringe
Bei der Beobachtung der Newtonschen Ringe wird eine plankonvexe Linse (Brechungsindex n=1,5)
mit einem Krümmungsradius r von 400cm mit ihrer konvexen Seite auf eine Glasplatte gelegt. Zur
Beleuchtung wird das Licht einer Natriumdampf-Lampe verwendet (Wellenlänge  ist ca. 590nm).
R
r
a) Welche Radien (rn) besitzen die innersten drei dunklen Ringe?
Lösung
In Aufgabe 1 wurde folgender Ausdruck für die Phasendifferenz gefunden:
 
4  n2 d  cos  2

  (I)
Im hier vorliegenden Fall soll das Licht senkrecht einfallen. Die Bedingung für destruktive Interferenz
ist dann:
 
4  n2 d

   2 (m  0,5) mit m=0,1,2,3,4,.......
mit einem Phasensprung von  wird dies zu:

 m  0,5
2
m
2  n2 d

2  n2 d
md 


2n2
(II)
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Nun muß noch die Abhängigkeit der Schichtdicke vom Ort bestimmt werden:
R 2  R  d ( r )   r 2
2
R 2  R 2  2 R  d (r )  d (r ) 2  r 2
R
r 2  2 R  d (r )  d (r ) 2
R-d(r)
für R>>d(r) wird dies zu:
r 2  2 R  d (r )
d(r)
unter Verwendung von (II)
r  2R 
m

2n 2
Rm
n2
n2
r
(III)wobei n2 der
Brechungsindex des umgebenden Mediums ist!
Hier: Radien der innersten drei dunklen Ringe
r1 
R 1  

n2
4m  1  590  10 9 m
 1,54mm
1
r1 
R2

n2
4m  2  590  10 9 m
 2,17mm
1
r1 
R 3 

n2
4m  3  590  10 9 m
 2,67mm
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b) Wie kann man mit dieser Anordnung angenähert die Lichtwellenlänge des verwendeten Lichtes
bestimmen?
(III) von Aufgabe 3a nach auflösen und Radien der Ringe bestimmen.
c) Was beobachtet man bei Verwendung von "weißem" Licht?
Farbaufspaltung