3. Übung Tensorrechnung

3. Übung Tensorrechnung
Prof. K. Weinberg · Universität Siegen · Lehrstuhl für Festkörpermechanik
Aufgabe 1:
a) Sei A = Aij gi ⊗ gj , wobei
h
Aij








4
2
1





,
g
=
1
,
g
=
1
g1 = 
 2 




3
2
1
−2
0
0 −1 0
0
0 0 
=
,

1 0 0
i
Berechnen Sie nun die Komponenten Aij , Ai·j und Aji· .
b) Seien A = Ai·j gi ⊗ gj , B = B·ji gi ⊗ gj und C = C·ji gi ⊗ gj ,
h
Ai·j
i


0 2 0


=  0 0 0 ,
0 0 0
h
B·ji
i


0 0 0


=  0 0 0 ,
0 0 1
h
C·ji
i


1 0 0


=  0 21 0  .
0 0 10
Finden Sie nun heraus, welche Paare von Tensoren kommutativ sind.
Aufgabe 2:
a) Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchy-Produktes (Siehe Rückseite) die Beziehung
exp (A + B) = exp (A) exp (B) ,
wobei A und B kommutative Tensoren sind.
Hinweis: Für kommutative Tensoren A und B gilt der binomische Lehrsatz
k
(A + B) =
k
X
i=0
!
k
Ak−i Bi
i
b) Zeigen Sie exp (kA) = [exp (A)]k , für k = 1, 2, 3, . . .
c) Berechnen Sie exp (0) und exp (I).
d) Beweisen Sie, dass für Tensoren A und B mit A B = B A = 0 gilt:
exp (A + B) = exp (A) + exp (B)
Hausuafgabe
a) Zeigen Sie folgende Gleichung für alle z ∈ En
z(x ⊗ y) = (z · x)y .
Hinweis: Verwenden Sie die letzte Hausaufgabe und die Beziehung (yA) · x = y · (Ax).
b) Betrachten wir die Tensoren


und berechnen nun
P∞
k=0
0.5 −0.5
0

0 
B =  0 0.25

0
0
−0.25
Ak , so erhalten wir



0 0.5 0.25


A = 0 0 0.5  ,
0 0
0



0 0 0
0 0 0.25




3
4
0
2
A = I , A = 0 0 0  , A = A = .... = 0 0 0 .
0 0 0
0 0 0
k
2
Und damit ∞
k=0 A = I + A + A . Dies gilt leider nur für sogenannte „nilpotente“ Tensoren (Das
sind Tensoren, die ab einer gewissen Potenz Ak , k ∈ N den Nulltensor ergeben). Finden Sie nun
P
k
eine Möglichkeit ∞
k=0 B zu berechnen. Hinweis: Geometrische Reihe für Tensoren.
Abgabe der Hausaufgaben bis zum 23.11.2012 per E-Mail an [email protected].
P
[email protected]
13. November 2012
3. Übung Tensorrechnung
Prof. K. Weinberg · Universität Siegen · Lehrstuhl für Festkörpermechanik
Cauchy-Produkt
P
P∞
Sind ∞
n=0 an und
n=0 bn zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt
∞
X
∞
X
cn =
an
n=0
n=0
!
∞
X
n=0
bn
!
wiederum eine absolut konvergente Reihe und es gilt
cn =
n
X
ak bn−k .
k=0
N0 × N0
b5
b4
b3
b2
b1
b0
a0
a1
a2
a3
a4
a5
Abbildung 1: Graphische Interpretation des Cauchy-Produktes
Geometrische Reihe
Für komplexe Zahlen q mit |q| < 1 gilt
∞
X
k=0
qk =
1
.
1−q
Achtung: Lässt man die Einschränkung an q weg, so gilt z.B. für q = 2:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · = −1 .
[email protected]
13. November 2012