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Übungsblatt 8 Analysis I, Prof. Dr. Rainer Löwen, WS 2009/10 Für Matrikelnummer: CHECKING ALL VARIANTS Abgabezeitpunkt: Di 05 Jan 2010 15:00:00 CET Dieses Blatt wurde erstellt: Di 15 Dez 2009 17:43:16 CET Dieses Blatt geht in die Wertung ein. Es wird in den Übungen am 11.01.2010 und 12.01.2010 besprochen. 1 Kreuzen Sie jeweils “Ja” an, wenn die Aussage wahr ist oder “Nein”, wenn sie nicht wahr ist! 1 2 3 Die Umkehrfunktion jeder stetigen, umkehrbaren Funktion ist stetig. Die Umkehrfunktion jeder streng monotonen Funktion ist monoton. Ja / Nein Ja / Nein Sei f :]0, 1[→ R stetig. Dann lässt f sich zu einer stetigen Funktion auf ganz R ergänzen. Sei D ein kompaktes Intervall und sei f : [0, 1] → R stetig. Dann lässt f sich zu einer stetigen Funktion auf ganz R ergänzen. Ja / Nein Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Jede stetige Funktion ist gleichmäßig stetig. Ja / Nein Ja / Nein Ja / Nein Die folgenden Aufgaben sind schriftlich zu bearbeiten. 2 [3 Punkte] Zeigen Sie, dass die Funktion sinh(x) = 12 (ex − e−x ) umkehrbar ist und dücken Sie die Umkehrfunktion durch bekannte Funktionen aus. Die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus heißt “Area sinus hyperbolici”, kurz Ar sinh. 3 [3 Punkte] Bestimmen Sie alle sechsten Einheitswurzeln, also alle komplexen Zahlen a + bi für die (a + bi)6 = 1 gilt. Hinweis: Bestimmen Sie zuerst alle dritten Einheitswurzeln. [3 Punkte] Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen f : R → R mit der Eigenschaft f (x + y) = f (x) · f (y). 4 5 [3 Punkte] Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. 1. ∞ ∑ k=0 2. ∞ 1−i 1+i 1 ∑ ln(k) k=2 3. ∞ ∑k k=2 2 k 1−i 1+i 1−i 2+i k k Abgabe bis spätestens Dienstag, den 5. Januar 2010, um 13.15 Uhr. Nach diesem Zeitpunkt sehen Sie bei erneutem Aufrufen des Blattes die Auswertung der Online-Fragen. Bitte werfen Sie die schriftlichen getackerten Lösungen in den Kasten mit Ihrer Gruppennummer. Bitte schreiben Sie Ihre Matrikelnummer, Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf jedes abgegebene Blatt. Ex Ex Ex Ex Ex Ex 1, 1, 1, 1, 1, 1, Qu Qu Qu Qu Qu Qu 1, 1, 2, 2, 3, 3, Var Var Var Var Var Var 1: 2: 1: 2: 1: 2: [’Nein’] [’Ja’] [’Nein’] [’Ja’] [’Ja’] [’Nein’]
