f x xx I - Bernd Dreseler

9 Differentialrechnung
9.1 Die Ableitung einer Funktion
Definition: Eine Funktion f : I → auf einem Intervall I heißt
differenzierbar in x0 ∈ I , wenn der Grenzwert
f ( x ) − f ( x0 )
lim
x → x0
x − x0
existiert.
Dieser heißt dann Ableitung oder der Differentialquotient von f in x0
und wird mit
f ′ ( x0 )
oder Df ( x0 )
oder
df
( x0 )
dx
bezeichnet.
Ferner heißt die Funktion f im Intervall I differenzierbar, wenn sie in
jedem Punkt des Intervalls differenzierbar ist.
Ableitung einiger Grundfunktionen
a) Dx n = nx n −1 für n = 1, 2,... .
b) Decx = cecx für c ∈ , insbesondere Da x = a x ⋅ ln a.
1
c) D ln x =
.
x
Ä i l t Formulierungen
Äquivalente
F
li
der
d Differenzierbarkeit
Diff
i b k it
2 Formulierung: f : I →
2.
ist in x0 ∈ I genau dann differenzierbar
differenzierbar, wenn
es eine in x0 stetige Funktion q : I →
f ( x ) = f ( x0 ) + q ( x ) ⋅ ( x − x0 )
Es ist dann
f ′ ( x0 ) = q ( x0 ) .
gibt, so dass
3. Formulierung: f : I →
ist in x0 genau dann differenzierbar, wenn
es eine lineare Funktion F :
F ( x0 ) = f ( x0 )
und
→
gibt mit
f ( x) − F ( x)
lim
= 0.
x → x0
x − x0
Gegebenenfalls ist
F ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
für x ∈
Maxima und Minima
Man sagt, eine Funktion f : D →
(i)
( ii )
habe in x0 ∈ D
ein g
globales Maximum, wenn f ( x ) ≤ f ( x0 ) für alle x ∈ D
ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U um gibt,
so dass f ( x ) ≤ f ( x0 ) für alle x ∈ U ∩ D gilt.
gilt
Entsprechend definiert man globale bzw.
bzw lokale Minima.
ima
Satz:
Sei f in einem offenem Intervall I um x0 definiert. Besitzt f in x0
ein lokales Extremum und ist f in x0 differenzierbar, so gilt
f ′ ( x0 ) = 0
Die Kandidaten für Extremalstellen einer Funktion f : [ a , b] →
sind also
( i ) die Randpunkte a und b;
( ii ) die Punkte x ∈ ( a, b ) , in denen
( iii ) die Punkte x ∈ ( a, b ) , in denen
f nicht differenzierbar ist;
f ′ ( x ) = 0 ist.
9.2 Ableitungsregeln
I. Algebraische Regeln:
f und
d g seien
i in
i x differenzierbar.
diff
i b Dann
D
sind
i d f + g , fg
f und
d im
i
Fall g ( x ) ≠ 0 auch f / g in x differenzierbar, und es gilt:
+ g )′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) .
a)
(f
b)
( fg )′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x )
(Produktregel).
(Produktregel)
′
f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g′ ( x )
⎛ f ⎞
c) ⎜ ⎟ ( x ) =
(Quotientenregel).
2
g ( x)
⎝g⎠
f
g
II. Kettenregel: In der Situation I ⎯⎯
→ J ⎯⎯
→ seien f in x0
und g in y0 = f ( x ) differenzierbar. Dann ist
auch g f in x0 differenzierbar, und es gilt
(g
f )′ ( x0 ) = g ′ ( f ( x0 ) ) ⋅ f ′ ( x0 )
III. Differentiation der Umkehrfunktion:
Sei g die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion f : I → .
Ist f in y0 ∈ I differenzierbar mit f ′ ( y0 ) ≠ 0,
0 so ist g in x0 = f ( y0 )
differenzierbar mit
1
1
=
g ′ ( x0 ) =
.
f ′ ( y0 ) f ′ ( g ( x0 ) )
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz
Mittelwertsatz
Die Funktion f : [ a, b ] →
sei auf dem kompakten
Intervall [ a, b ] stetig und auf dem offenen Intervall ( a, b )
differenzierbar.
Dann gibt es ein ξ ∈ ( a, b ) so, dass gilt:
f (b) − f ( a )
= f ' (ξ ) .
b−a
Ein Spezialfall ist der Satz von Rolle:
Gilt zusätzlich f ( a ) = f ( b ) , so gibt es ein ξ ∈ ( a, b ) mit
f ' ( ξ ) = 0.
Monotoniekriterium
Ist f : ( a, b ) → differenzierbar, so gilt:
f ' > 0 iin ( a, b ) ⇒ f wächst
ä h streng monoton in
i ( a, b ) ;
f ' < 0 in ( a, b ) ⇒ f fällt streng
g monoton in ( a, b ) ;
f ' ≥ 0 in ( a, b ) ⇔ f wächst monoton in ( a, b ) ;
f ' ≤ 0 in ( a, b ) ⇔ f fällt monoton in ( a, b ) .
Ist f außerdem stetig auf dem Intervall [ a, b ) oder ( a, b ] ,
so gelten alle rechts stehenden Aussagen auf [ a, b ) bzw. ( a, b ] .
Kriterium für Extrema:
Es sei f : ( a , b ) →
differenzierbar und im Punkt x0 ∈ ( a , b )
gelte
lt f ' ( x0 ) = 0.
0
Dann hat f in x0 ein
a) Minimum, wenn f ' ≤ 0 in ( a, x0 ) und f ' ≥ 0 in ( x0 , b ) ,
b) Maximum,
Maximum wenn f ' ≥ 0 iin ( a, x0 ) und
d f ' ≤ 0 iin ( x0 , b ) .
x0 ist die einzige Minimal- bzw. Maximalstelle von f in ( a , b ) ,
wenn x0 die einzige Nullstelle von f ' in ( a , b ) ist.
Kriterium für Konstanz
Eine differenzierbare Funktion f : I → auf einem
Intervall I ist genau dann konstant, wenn f ' = 0 gilt.
Zwei differenzierbare Funktionen f , g : I → mit gleichen
Ableitungen f ' = g ' unterscheiden sich nur um eine Konstante:
f − g = c.
Ch kt i i
Charakterisierung
der
d Exponentialfunktion
E
ti lf kti auff
Die Exponentialfunktion auf
Funktion y :
→
ist die einzige differenzierbare
mit
y´= y und y ( 0 ) = 1.
1
Schrankensatz
Eine differenzierbare Funktion f : I → auf einem Intervall I
mit einer beschränkten A
Ableitung
bleitung ist Lipschitz
Lipschitz-stetig
stetig
genauer:
Ist f ´ ≤ L für
f ein
i L ∈ , so gilt
il für
f beliebige
b li bi Punkte
k x1 , x2 ∈ I
f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ L ⋅ x1 − x2 .
Insbesondere ist eine differenzierbare Funktion auf einem
kompakten Intervall dort Lipschitz - stetig, falls ihre Ableitung
stetigg ist.
9.4 Anwendungen
Verallgemeinerter Mittelwertsatz:
f , g : [ a, b ] →
seien stetig und im offenen Intervall ( a; b ) differenzierbar.
Ferner sei g ′ ( x ) ≠ 0 für alle x ∈ ( a; b ) . Dann ist g ( b ) ≠ g ( a ) , und es gibt ein
ξ ∈ ( a; b ) mit
f ( b ) − f ( a ) f ′ (ξ )
=
g ( b ) − g ( a ) g ′ (ξ )
L´Hospitalsche Regel:
f , g : ( a; b ) →
seien
i differenzierbar,
diff
i b undd es seii g ′ ( x ) ≠ 0
für alle x ∈ ( a; b ) . In jeder der beiden folgenden Situationen
a) f ( x ) → 0 und g ( x ) → 0 für x ↓ a,
b) f ( x ) → ∞ und g ( x ) → ∞ für x ↓ a
gilt:
f ′( x )
f ( x)
Existiert lim
, so existiert auch lim
, und es ist
x↓ a g ′ ( x )
x↓ a g ( x )
f ( x)
f ′( x )
lim
= lim
.
x↓ a g ( x )
x↓ a g ′ ( x )
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen
Satz: Es seien f n : I →
differenzierbare Funktionen wie folgt:
∞
1
1.
eisee auf I
∑ f n konvergiert punktweis
n =1
∞
2.
∑ f n′ konvergiert normal auf I
n =1
∞
Dann ist die Funktion f := ∑ f n auf I differenzierbar und ihre Ableitung
n=1
erhält man durch gliedweises differenzieren:
f′ =
∞
∑ f n′.
n =1
Satz(*): Seien f n : I → in x0 differenzierbare Funktionen wie folgt:
∞
1.
∑ f n konvergiert punktweise auf I ,
n =1
∞
2.
∑ f n′ ( x0 ) konvergiert,
n =1
Konstanten Ln so, daß
3 jedes
3.
j d f n is
i t Lip
i schitz-stetig
hi
i mit
i einer
i
d ß
∞
g .
∑ Ln Konvergiert
n=0
∞
Dann ist die Funktion f := ∑ f n im Punkt x0 differenzierbar mit
n =1
∞
f ′ ( x0 ) = ∑ f ′ ( x0 )
n =1
Folgerung (Differentiation einer Potenzreihe):
Die Funktion f besitzt in Intervall ( - R, R ) eine Darstellung
∞
f ( x ) = ∑ an x n durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
n =0
R > 0. Dann ist f differenzierbar, und es gilt
∞
f ′ ( x ) = ∑ nan x n−1 .
n =1
9 6 Ableitungen höherer Ordnung
9.6
Definition: Eine Funktion f : I →
heißt n-mal stetig differenzierbar,
n
wenn sie
i n.mall differenzierbar
diff
i b ist
i t undd die
di n.te
t Ableitung
Abl it
f ( ) noch
h stetig
t ti
ist.
M verwendet
Man
d t ffolgende
l d Bezeichnungen:
B i h
C0 ( I ) := Vektorraum der stetigen Funktionen auf I ,
Cn ( I ) := Vektorrau
V k
m der
d n-mall stetig
i differenzierbaren
diff
i b
F ki
Funktionen
auff I ,
C∞ ( I ) := Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf I .
9.7 Konvexität
Definition: Sei I ein Intervall. f : I → heißt konvex auf I, wenn für
jedes Tripel x1 , x, x2 ∈ I mit x1 < x < x2 mit folgenden Ungleichungen gilt:
f ( x)
x2 − x
x − x1
≤
f ( x1 ) +
f ( x2 )
x2 − x1
x2 − x1
( K)
Für jedes Punktepaar x1, x2 ∈ I mit x1 ≠ x2 und jede Zahl λ ∈ ( 0;1) gilt:
f ( λx1 + (1− λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1− λ ) f ( x2 )
Gilt in (K) bzw. (K´) statt ≤ die Relation
< , so heißt f streng konvex,
≥ , so heißt f konkav,
> , so heißt f streng konkav.
( K′)
Hilfssatz: f ist genau dann konvex, wenn für jedes Tripel x1, x, x2 ∈ I
mit
i x1 < x < x2 folgende
f l d Ungleichung
U l i h
gilt:
il
f ( x ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x )
≤
x − x1
x2 − x
Ist f konvex, so gilt für jedes solcher Tripel genauer
f ( x ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x )
≤
≤
x − x1
x2 − x1
x2 − x
Konvexitätskriterium: Eine in [ a; b ] stetige und in ( a; b ) differenzierbare
Funktion f ist genau dann konvex in [ a; b ], wenn
die Ableitung f ′ in ( a; b ) monoton wächst.
Folgerung: Sei f : [ a; b ] →
stetig und in ( a; b ) 2-mal differenzierbar.
D
Dann
gilt:
il
(i)
( ii )
Wendepunkte: Sei f : [ a; b ] →
f ist genau dann konvex, wenn in ( a; b ) f ′′ ≥ 0 ist.
f ist
i streng konvex, wenn f ′′ > 0 ist.
stetig. Wir sagen, f habe in x0 einen Wendepunkt,
wenn es Intervalle (α ; x0 ) und ( x0 ; β ) gibt, so, daß eine der folgenden
Bedingungen erfüllt ist:
f ist in (α ; x0 ) konvex und in ( x0 ; β ) konkav;
f ist
i t in
i (α ;x0 ) konkav
k k undd iin ( x0 ; β ) konvex.
k
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
Ungleichung von Jensen: Sei f : I →
konvex. Sind λ1 ,…, λn positive Zahlen mit
λ1 + … + λn = 1, so gilt für beliebige x1,…, xn ∈ I :
f ( λ1x1 + … + λn xn ) ≤ λ1 f ( x1 ) + … + λn f ( xn )
(Kn )
Ist f streng konvex, so gilt in ( K n ) Gleichheit nur, wenn x1 = … = xn .
Für konkaves f gilt ( K n ) mit " ≥ ".
Ungleichung zwischen dem gewichteten arithmetischem und dem gewichteten
geometrischen Mittel:
Sind x1 ,…, xn beliebige positive Zahlen und λ1 ,…, λn positive Zahlen mit λ1 + … + λn = 1,
so gilt:
λ1
λn
x1 … xn ≤ λ1 x1 + … + λn xn
insbesondere gilt
n
Die Zahlen x1λ1
x1
x1 + … + xn
xn ≤
n
xn λn und λ1 x1 + … + λn xn heißen mit λ1 ,…, λn gewichtetes
geometrisches
i h Mittel
i l bzw.
b
arithmetisches
i h i h Miittell der
d Zahle
hl n x1,…, xn .
Definition der p-Norm:
Sei z = ( z1,…, zn ) ∈
ein Vektor. Dann ist z
p
die p-Norm des
Vektors z und es g
gilt:
1 p
⎛ n
p⎞
z p := ⎜ ∑ zν ⎟
⎝ ν =1
⎠
,
p ≥1
Höldersche Ungleichung: Es seien p,q >1 Zahlen mit
Dann gilt für beliebige Vektoren z, w∈
n
:
n
1 1
+ = 1.
p q
∑ zk wk
k =1
≤ z
p
⋅ w
q
Im Fall p=q=2 ist das die sogenannte
C h S h
Cauchy-Schwarzsche
h Ungleichun
U l i h g:
z, w ≤ z ⋅ w
Minkowskische Ungleichung: Für p ≥ 1 gilt:
z+w
p
≤ z
+ w
p
p
z, w ∈
n
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen.
Verallgemeinerter Schrankensatz
Definition: Wir sagen eine Funktion f : I → auf Intervall I sei fast
überall differenzierbar, wenn es eine höchstens abzählbare Menge A ⊂ I
gibt derart
derart, daß f in jedem Punkt x ∈ I \ A differenzierba
differenzierbarr ist
Verallgemeinerter Schrankensatz: Es sei f : I →
eine stetige und
fast überall differenzierbare Funktion auf dem Intervall I . Ferner gebe
es eine Konstante L derart
es
derart, daß fast überall
überall f ′ ≤ L gilt.
gilt Dann ist f
mit der Konstanten L Lipschitz-stetig: Für beliebige x1, x2 ∈ I gilt
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ L x2 − x1
Zusatz: Es sei f : I →
stetig und fast überall differenzierbar auf dem Intervall I .
Sind m,M Konstanten so, daß fast überall m ≤ f ′ ≤ M gilt, so gilt für alle x1 , x2 ∈ I
mit x1 < x2
m ⋅ ( x2 − x1 ) ≤ f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ M ⋅ ( x2 − x1 )
Differenzierbarkeitssatz: Es sei f : I →
stetig und fast überall differenzierbar.
Die (fast überall in I existierende) Ableitung f ′ besitze in einem Punkt x0 ∈ I
eine stetige Fortsetzung. Dann ist f in x0 differenzierbar, und es gilt
f ′ ( x0 ) = lim f ′ ( x )
x→ x0
D fi iti
Definition:
Ei Funktion
Eine
F kti
f :I →
heißt
h ißt in
i x0 ∈ I li
linksseitig
k iti bbzw. rechtsseitig
ht iti
differenzierbar, wenn der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert
f ( x ) − f ( x0 )
lim
x↑ x0
x − x0
bzw.
f ( x ) − f ( x0 )
lim
x↓ x0
x − x0
existiert. Gegebenenfalls bezeichnet man diesen mit f −′ ( x0 ) bzw. f +′ ( x0 ) .
9.10 Der Begriff der Stammfunktion
Definition:
D
fi iti
U t einer
Unter
i
Stammfunktion
St
f kti zu einer
i
Funktion
F kti
f : I → auff
einem Intervall I verstehen wir eine Funktion F : I → wie folgt:
(i )
( ii )
F ist
i t stetig;
t ti
F ist außerhalb einer höchstens abzählbaren "Ausnahme"-Menge
A ⊂ I differenzierbar, und für alle x ∈ I A gilt F ′ ( x ) = f ( x ) .
Satz: Sind F1 und F2 Stammfunktionen zu f : I → , I ein Intervall,
rvall
so ist F1 − F2 konstant.