PROBEPR ¨UFUNG MAT184 HERBSTSEMESTER 2015 PROF

PROBEPRÜFUNG
MAT184
HERBSTSEMESTER 2015
PROF. CAMILLO DE LELLIS
DEZEMBER 2015
Der Herleitungsweg der Resultate muss übersichtlich und vollständig sein. Die Antworten müssen
begründet sein. Die Aufgaben sind auf separate Blätter gedruckt. Bitte jede Aufgabe auf ihrem
Blatt beantworten. Sollte der Platz nicht ausreichen, bitte die Lösungen auf separaten Blättern
fortsetzen. Bitte alle Blätter mit Namen versehen, numerieren und geordnet abgeben.
Taschenrechner und Mobiltelephon sind als Hilfsmittel nicht zugelassen.
Als Hilfsmittel ist ausschliesslich ein (eventuell beidseitig beschriebenes) A4-Blatt zugelassen.
Die Prüfung dauert 2 Stunden.
Zum Erlangen der Note 4 genügen 18 Punkte.
1. Aufgabe (6 Punkte). Entscheide bei den folgenden 6 Aussagen, welche der 4 Möglichkeiten
die Richtige ist (N.B.: Nur eine Antwort pro Aussage ist richtig).
(1) Der Fundamentalsatz der Integralrechnung behauptet:
(a) Jedes Polynom vom Grad n mit komplexen Koeffizienten besitzt n komplexe Nullstellen (wobei die Vielfachheit berücksichtigt ist).
(b) Falls f : [a, b] → R differenzierbar mit stetiger Ableitung ist, dann gilt
Z b
f 0 (x) dx = f (b) − f (a) .
a
(c) Falls f : [a, b] → R stetig ist, dann gilt
Z b
f (x) dx = f (b) − f (a) .
a
(d) Keine der obigen Aussagen ist richtig.
(2) Eine Folge reeller Zahlen {an }n∈N konvergiert gegen a ∈ R genau dann, wenn
(a) ∀ε > 0 ∃N ∈ N so dass |an − a| < ε für jedes n ≥ N ;
(b) ∀ε > 0 ∃N ∈ N so dass an − a < ε für jedes n ≥ N ;
(c) ∀N ∈ N ∃ε > 0 so dass |an − a| < ε für jedes n ≥ N ;
(d) ∀N ∈ N ∃ε > 0 so dass an − a < ε für jedes n ≥ N .
(3) Sei f : [a, b] → R eine zwei Mal differenzierbare Funktion und sei x0 ein interner Punkt
von [a, b]. Dann gilt:
(a) Falls f 0 (x0 ) = 0, dann ist x0 eine lokale Maximumstelle.
(b) Falls f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) < 0, dann ist x0 eine lokale Minimumstelle.
(c) Falls f 0 (x0 ) = 0, dann ist f konstant.
(d) Falls x0 eine Maximumstelle ist, dann f 0 (x0 ) = 0.
(4) Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion die differenzierbar auf dem offenen Intervall ]a, b[
ist. Dann gilt:
(a) f besitzt eine interne Maximumstelle.
(b) f ist konvex.
(c) Es gibt eine Stelle x ∈]a, b[ so dass
f (b) − f (a)
f 0 (x) =
.
b−a
2
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
(d) Es gibt eine Stelle x ∈]a, b[ so dass f 0 (x) = 0.
(5) Sei P ein Polynom vom Grad n ≥ 1 mit reellen koeffizienten.
(a) (x − x0 ) teilt P genau dann, wenn P (x0 ) = 0.
(b) Falls (x − x0 ) das Polynom P teilt, dann P (x0 ) = 0, aber die Umkehrung der Aussage
gilt nicht.
(c) Falls P (x0 ) = 0, dann teilt (x − x0 ) das Polynom P , aber die Umkehrung der Aussage
gilt nicht.
(d) Falls (x − x0 ) das Polynom P teilt, dann teilt auch (x − x0 )2 das Polynom P .
(6) Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
P
(a) P
Falls 0 ≤ an ≤ bn und die Reihe n bn konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe
n an .
P
(b) Falls an ≥ 0 eine monoton fallende Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe n (−1)n an .
P
|
(c) Falls limn→∞ |a|an+1
< 1, dann konvergiert die Reihe n an absolut.
|
n
p
P
(d) Falls limn→∞ n |an | > 1, dann konvergiert die Reihe n an absolut.
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
3
2. Aufgabe (8 Punkte). Betrachten Sie die Funktion f (x) = log x − arctan(x − 1) auf dem
Definitionsbereich ]0, +∞[.
(a) Finden Sie die lokalen Maxima und Minima.
(b) Diskutieren Sie die Monotonie der Funktion.
(c) Berechnen Sie die Grenzwerte
lim f (x)
x→+∞
und
lim f (x) .
x→0
Besitzt die Funktion f eine globale Maximumstelle? Besitzt sie eine globale Minimumstelle?
(d) Zeigen Sie dass f genau zwei Nullstellen hat (Sie müssen die Nullstellen nicht explizit
berechnen).
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
5
3. Aufgabe (4 Punkte).
(a) Berechnen Sie
1
.
(1−i)(2−i)(3−i)
(1 Punkt)
√
√
(b) Finden Sie die Polardarstellungen der komplexen Zahlen 2 + 3i und 2 − 3i. (1 Punkt)
(c) Berechnen Sie die Polynomdivision von P (x) = x5 + x4 + 5x3 + 5x2 + 4x + 4 durch x2 + 4.
Finden Sie die komplexen Nullstellen von P . (2 Punkte)
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
4. Aufgabe (4 Punkte). Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte
3n
1
(1)
lim 1 +
n→∞
n
log(sin x)
(2)
lim
.
x→0
sin x
Entscheiden Sie ob die folgenden Reihen konvergieren oder nicht:
∞
X
n
(3)
3
n +1
n=0
(4)
∞
X
n5
n=0
n!
.
7
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
5. Aufgabe (2 Punkte). Berechnen Sie das folgende Integral:
Z 1
1
1
2
sin x cos x + √
+
dx .
x + 2 x2 + 1
0
9
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
6. Aufgabe (4 Punkte). Finden Sie:
(a) das Taylorpolynom vierter Ordnung
der Funktion log(1 − sin2 x) an der Stelle 0;
√
(b) die Taylorreihe der Funktion 3 x + 1 an der Stelle 0.
11
PROBEPRÜFUNG (MAT184 MATHEMATIK FÜR DIE CHEMIE I)
7. Aufgabe (2 Punkte). Finden Sie die Lösung f : R → R der Differentialgleichung
(t2 + 1)f 0 (t) + (f (t))2 = 0
mit Anfangswert f (0) = π1 .
13