Hausaufgaben

Plenum 16 Modellierungsaufgaben: Hausaufgaben
Aufgabe 1
In der nachfolgenden Abbildung ist der von einer U-Bahn zwischen zwei Stationen
zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. t = 0 entspricht dabei
11.00 Uhr.
Weg-Zeit-Funktion Ubahn
3500
3000
2500
Weg in m
2000
1500
1000
500
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
-500
Zeit in sec.
Dabei gilt der folgende funktionale Zusammenhang:
1
1
s = f(t) = (t  60) 2 für 60 ≤ t ≤ 90 und s = f(t) =  (t  240) 2  3000 für 210 ≤ t ≤ 240
3
3
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Beschreiben Sie den Bewegungsablauf der U-Bahn zwischen 11.00 und 11.04 Uhr
möglichst genau.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen 11.01 und 11.04 Uhr.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit auf den ersten 30 sec. nach dem
Start.
Ermitteln Sie die Höchstgeschwindigkeit.
Berechnen Sie einen Funktionsterm, der den Grafen für 90 ≤ t ≤ 210 beschreibt.
Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit (in km/h) zum Zeitpunkt
t = 75.
Berechnen Sie, wann die U-Bahn die Geschwindigkeit 50 km/h erreicht.
Aufgabe 2 Wachstum
Bei einem vom Boden aus wachsenden Tropfstein hat man vor 4 Jahren eine Höhe von 0,73
m gemessen, nun ist er 0,79 m hoch. Man nimmt lineares Wachstum an.
a)
Wie hoch ist der Tropfstein nach 3, 5, 7, ..., x Jahren ?
b)
Stelle die Funktionsgleichung auf und zeichne den Graphen.
c)
Wie verändert sich die Höhe des Tropfsteins, wenn man ausgehend von einer
Beobachtung im Jahre x noch 2, 3, 4, ..., d Jahre wartet ?
d)
In wie vielen Jahren ist der Tropfstein voraussichtlich 1 m hoch ?
e)
Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich die Höhe des Tropfsteins ?
Aufgabe 3
Kosten – Erlös – Gewinn
In den Wirtschaftswissenschaften und auch in der Wirtschaftspraxis bedient man sich in
zunehmenden Maße mathematischer Methoden. Dabei sind zwei Zielrichtungen zu
unterscheiden:
Einerseits ist man bemüht, Entscheidungsmodelle zu entwickeln, die in konkreten
wirtschaftlichen Situationen helfen sollen, optimale Entscheidungen zu treffen. Andererseits
versucht man, Erklärungsmodelle zu entwickeln, die dazu dienen, wirtschaftliche Prozesse
einsichtig zu machen, Zusammenhänge aufzuzeigen und theoretische Folgerungen zu ziehen.
Die folgende Aufgabe entstammt der Kostentheorie. Dieser Aufgabe liegt folgende
Modellierung zu Grunde:
Das betrachtete Unternehmen erzeugt ein einziges Produkt. Bei gleichbleibender
Produktionstechnik können einige Produktionsmittel verändert werden, um mehr oder
weniger zu erzeugen. Die mengenmäßige Größe der Produktion bezeichnet man als
Ausbringung und misst sie durch eine natürliche Zahl x (bezogen auf eine Mengeneinheit
(ME)). Die Ausbringung kann jeden Wert eines Intervalls 0;x annehmen, wobei x die
Kapazitätsgrenze bezeichnet. In Abhängigkeit von der Ausbringung entstehen Kosten k(x).
Es wird unterstellt, dass die gesamte Produktion verkauft werden kann: hierdurch wird ein
Erlös e(x) erzielt. k(x) und e(x) werden in Geldeinheiten (GE) gemessen. Die Kosten- und
Erlösfunktionen werden als differenzierbar vorausgesetzt. Aus ihnen ergibt sie die
Gewinnfunktion g(x) = e(x) – k(x). Das Unternehmen verfolgt das Ziel, den Gewinn zu
maximieren. Bei der Aufgabe wird auf die Mengen- und Geldeinheit nicht näher eingegangen.
Die in der Aufgabe verwendeten Funktionen beziehen sich nicht auf konkrete
Produktionsprozesse, sind aber dennoch wirtschaftlich sinnvoll gewählt.
Produktionsbedingungen:
Kostenfunktion: k ( x)  0,01x 3  9 x 2  3000 x  250000
e( x)  2850 x
Erlösfunktion:
a) Zeichne die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion (GeoGebra) für das Intervall 0;850.
b) Bei welcher Ausbringung ist der Gewinn maximal.
c) Die Funktion d ( x) 
k ( x)
x
beschreibt die durchschnittlichen Kosten. Bei welcher
Ausbringung sind die durchschnittlichen Kosten minimal? Vergleiche dieses Ergebnis
mit dem Ergebnis von Aufgabe b) und interpretiere es wirtschaftlich.
Aufgabe 4 (VK 2003)
Aufgabe 5 (VK 2004)
Aufgabe 6 (VK2002)