MEUS_UE4_3

Mehrkrieterienoptimierung
N.4_3 /1
Lehrveranstaltung: Managemententscheidungsunterstützungssysteme
Fachbereich: Internationales Finanzmanagement
Aufgabestellung N.: 4_3
Thema: Mehrkriterienoptimierung:
„Die Methode der die Aggregation der partiellen Zielfunktionen“
Übung N.3
Lösen Sie das folgende Mehrkriterienoptimierungsproblem
f1(x) = 3x1 - x2  min
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen (NBD)
x1 + 2x2
-x1 + 2x2
x1
6
4
 3
x1, x2  0
mit der Anwendung der Methode der Aggregation der partiellen Zielfunktionen.
Gewichtsfaktore, bzw. die Koeffizienten der Priorität für die einzelnen Zielfunktionen sind
folgende:
Aufgabe:
I.
II.
III.
ψ1 = 80%, ψ2 = 20%.
ψ1 = 30%, ψ2 = 70%.
ψ1 = 10%, ψ2 = 90%.
a) mit der graphischen Methode,
b) mit dem Simplexverfahren.
Prof. Dr. Michal Fendek, Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
N.4_3 /2
Lösung:
Aufgabe LP1
f1(x) = 3x1 - x2  min
bei den Nebenbedingungen
xD
Aufgabe LP2
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen
xD
Graphische Lösung beider Aufgaben ist in der nächsten Abbildung dargestellt
Prof. Dr. Michal Fendek, Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
N.4_3 /3
LP1_ Optimale Lösung
0
x1*    ,
 2
 
 
f 1 x1*  2 , f 2 x1*  6
LP2_ Optimale Lösung
3
x 2*    ,
1,5 
 
 
f 1 x 2*  7,5 , f 2 x 2*  10,5
Untersuchen wir noch die basische zulässige Lösung x3. Wir bekommen für die Lösung x3
folgende Charakteristiken.
 1 
x 3    ,
 2,5 
 
 
f 1 x 3  0,5 , f 2 x 3  9,5
Wir können uns leicht überzeugen, dass alle diese drei basischen zulässigen Lösungen sind
effektiv, bzw. Paretto-optimal.
Die Menge der effektiven Lösungen MEL ist mit den zwei Strecken [ x1*, x3] und [x3 , x2*,]
gebildet. Für die Menge MEL dann gilt
MEL  MEL1  MEL2
wobei
MEL1  x x  x3  1   x2* ,   0,1

 1 
 3   3  2 

,   0,1 
MEL1  x x      1      
 2,5 
1,5   1   

MEL2  x x  x1*  1   x3 ,   0,1

 0
 1   1  

,   0,1 
MEL2  x x      1      
 2
 2,5   2,5  0,5 

Prof. Dr. Michal Fendek, Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
I.
N.4_3 /4
ψ1 = 80%, ψ2 = 20%.
Mehrkriterienoptimierungsaufgabe mit der aggregierten Zielfunktion
Die ausführliche Aufgabe:
f1(x) = 3x1 - x2  min
/.(-1)
f1(x) = -3x1 + x2  max
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen
x1 + 2x2
-x1 + 2x2
6
4
 3
x1
x1, x2  0
wir werden auf die Aufgabe mit der folgenden aggregierten Zielfunktion transformieren
F ( x1 , x2 )  0,8 f 1 ( x1 , x2 )  0,2 f 2 ( x1 , x2 ) 
 0,8(3 x1  x2 )  0,2(2 x1  3 x2 ) 
  2 x1  1,4 x2
Also
F(x1, x2)  max
bei den Nebenbedingungen
xD
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Mehrkrieterienoptimierung
N.4_3 /5
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Mehrkrieterienoptimierung
II.
N.4_3 /6
ψ1 = 30%, ψ2 = 70%.
Mehrkriterienoptimierungsaufgabe mit der aggregierten Zielfunktion
Die ausführliche Aufgabe:
f1(x) = 3x1 - x2  min
/.(-1)
f (x) = -3x1 + x2  max
1
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen
x1 + 2x2
-x1 + 2x2
6
4
 3
x1
x1, x2  0
wir werden auf die Aufgabe mit der folgenden aggregierten Zielfunktion transformieren
F ( x1 , x2 )  0,3 f 1 ( x1 , x2 )  0,7 f 2 ( x1 , x2 ) 
 0,3(3 x1  x2 )  0,7(2 x1  3 x2 ) 
 0,5 x1  2,4 x2
Also
F(x1, x2)  max
bei den Nebenbedingungen
xD
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Mehrkrieterienoptimierung
N.4_3 /7
Prof. Dr. Michal Fendek, Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
III.
N.4_3 /8
ψ1 = 10%, ψ2 = 90%.
Mehrkriterienoptimierungsaufgabe mit der aggregierten Zielfunktion
Die ausführliche Aufgabe:
f1(x) = 3x1 - x2  min
/.(-1)
f (x) = -3x1 + x2  max
1
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen
x1 + 2x2
-x1 + 2x2
6
4
 3
x1
x1, x2  0
wir werden auf die Aufgabe mit der folgenden aggregierten Zielfunktion transformieren
F ( x1 , x2 )  0,1 f 1 ( x1 , x2 )  0,9 f 2 ( x1 , x2 ) 
 0,1(3 x1  x2 )  0,9(2 x1  3 x2 ) 
 1,5 x1  2,8 x2
Also
F(x1, x2)  max
bei den Nebenbedingungen
xD
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Mehrkrieterienoptimierung
N.4_3 /9
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