oe04

Ökonometrie I
Annahmen des lineare
Regressionsmodells
Liste der Annahmen
A1
lineare funktionale Form des Modells
A2
r(X) = k
A3
lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen Rang
A4
Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität)
A5
E{u} = 0
A6
Var{u} = s2I
A61 Var{ut} = s2 für alle t
A62 Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ s
A7
4.11.2004
ut normalverteilt für alle t
Ökonometrie I
2
Linearität (A1)

Die Beobachtung Yt ist eine lineare Funktion
Yt = xt' b + ut
der Beobachtungen der erklärenden Variablen Xti, i=1, …, k und der
Störgröße ut

Ist Linearität eine Einschränkung?



Linearität bringt Vorteile für die statistische Analyse
in vielen Situationen sind lineare Modelle adäquat oder zumindest
näherungsweise adäquat
Beispiele für lineare Modelle:




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Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
a
a
a
a
+
+
+
+
bX + u
b X2 + u
b log X + u
b/X + u
Ökonometrie I
3
Linearisieren



Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Y = g Ka Lb eu
Logarithmieren ergibt lineares Modell
log Y = g* + a log K + b log L + u
Log-lineare Form
log Y = b1 + b2 log X2 + … + bk log Xk + u
liefert konstante Elastizitäten (relative Änderung von Y bei
einer relativen Änderung von X um eine Einheit):
Y X i
 log Y

 bi
X i Y
 log X i
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Ökonometrie I
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Regressoren (A2, A3, A4)

Voller Rang von X



Reguläre Matrix Q = lim Xn‘Xn/n




Spalten sind linear unabhängig
Spalten sind nicht hoch korreliert
Das durchschnittliche Quadrat der beobachteten Werte der Xi
bleibt endlich
Meist problemlos
Bei Trends zu streng
Exogenität: jede Beobachtung ist unabhängig von aktuellen,
vergangenen und künftigen Störgrößen
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Ökonometrie I
5
Störgrößen (A6, A7)


Die Annahme
E{u} = 0
bedeutet: Y wird modelliert als Summe aus

systematischer Komponente x'b plus

Störgröße u
Die Annahme
Var{u} = s2I
bedeutet:



Homoskedastizität
Serielle Unkorreliertheit
Mit der Annahme normalverteilter Störgrößen schreiben wir
u ~ N(0, s2I)
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Ökonometrie I
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Einkommen und Konsum
1200
1000
800
PCR: Privater Konsum,
real, in Mrd.EUR
PYR: Verfügbares Einkommen der Haushalte, real
1970:1-2002:4
600
400
200
70
75
80
85
PYR
4.11.2004
90
95
00
PCR
Ökonometrie I
Basis: 1995
Quelle: AWM-Datenbasis
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Einkommen und Konsum:
Zuwachsraten
.06
.05
PCR_DL
.04
.03
.02
.01
.00
-.01
-.02
-.04
.00
.04
.08
PYR_DL
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Ökonometrie I
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Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4
Method: Least Squares
Date: 08/20/04 Time: 11:06
Sample(adjusted): 1971:1 2002:4
Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable
C
PYR_D4
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
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Coefficient
0.010855
0.747032
0.716716
0.714468
0.007918
0.007899
438.7327
0.632776
Std. Error
0.001053
0.041840
t-Statistic
10.31071
17.85451
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Ökonometrie I
Prob.
0.0000
0.0000
0.024898
0.014817
-6.823949
-6.779386
318.7837
0.000000
9
Konsumfunktion,
Forts.
.06
.04
.03
.02
.02
.00
.01
-.02
.00
-.01
-.02
1975
1980
Residual
4.11.2004
1985
1990
Actual
1995
2000
Fitted
Ökonometrie I
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Residuen
y = x‘b + u
= x‘b + e = ŷ + e
Residuen:
e = y - x‘b = y – ŷ = y – X(X‘X)-1X‘y = y - Py
= [I – X(X’X)-1X’]y = My
P: Projektionsmatrix
M: residuenerzeugende Matrix
Eigenschaften:



iei = 0
Y  Yˆ , Y  b1  b2 X 2  ...  bk X k
y ' y  yˆ ' yˆ  e ' e
Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression
voraus!
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Ökonometrie I
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Schätzer der Varianz s2
1
1
2
s 
e 
e 'e

t t
nk
nk
2
ist ein erwartungstreuer Schätzer
Der ML-Schätzer
s2 
1
2
e

t
n t
unterschätzt; der Bias beträgt
k 2
 s
n
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Ökonometrie I
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