oe08

Ökonometrie I
Lineare Restriktionen
Cobb-Douglas Produktionsfunktion
Q(K,L) = A Ka Lb
Q: Output (value added)
K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock)
L: geleistete Arbeit (labor input)
Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px)=pr f(x)
Produktion mit konstanten Skalenerträgen
Q(pK,pL) = A (pK)a (pL)b = pa+b Q(K,L) = p Q(K,L)
d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1
Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion)
a+ b= 1
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Produktionsfunktion: Daten
9.5
9.0
Nach Hildebrand &
Liu (1957),
Aigner et al. (1977)
LOGQ
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
10
9
LOGK
8
7
6
5
7.5
7.0
6.5
LOGL
LOGQ: log(Q)
LOGK: log(K)
LOGL: log(L)
6.0
5.5
5.0
4.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
5
LOGQ
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Ökonometrie I
6
7
8
LOGK
9
10
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
LOGL
3
Lineare Restriktionen: Fragen
 Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine
Restriktion, beispielsweise a + b = 1, zutrifft, wie können
wir die Koeffizienten, a und b, schätzen, so dass auch die
Schätzer diese Restriktion erfüllen?
 Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete
Restriktion auch tatsächlich zutrifft?
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Produktionsfunktion:
Forts.
OLS-Anpassung von Q*=log Q = g + a log K + b log L + u
(mit g = log A) gibt
Qˆ *  1.17 + 0.376 log K + 0.603 log L
Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich
a + b = 0.376+0.603 = 0.979
95%-iges Konfidenzintervall:
0.850 ≤ a + b ≤ 1.108
Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge!
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Lineare Restriktionen: Notation
Spezifiziertes Modell: y = Xb + u
g lineare Restriktion:
Hb = h
H hat Ordnung gxk, h ist g-Vektor
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Beispiel
Die Koeffizienten sollen erfüllen
1. b1 + b2 = 0
2. b3 = 1
Matrixform: Hß = h mit
 1 1 0
 0
H 
, h 
 0 01 
1
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Beispiel
Vergleich von [X: nx(k-g), Z: nxg]
y = Xb + u
und
y = Xb + Zg + v
Restriktion g = 0 oder
b 
H  0 I g     0
g 
mit
b 
  
g 
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Restringierte Schätzer
Methoden:
1. Substitutionsmethode: Berücksichtigen der
Restriktionen durch Eliminieren von
Regressionskoeffizienten
2. Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der
Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion,
Minimieren der Lagrange-Funktion
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Produktionsfunktion:
Forts.
Berücksichtigen der Restriktion a + b = 1 durch
Eliminieren von b = 1 – a:
a
a 1a
Q  AK L
K
 AL  
L
Anpassen von Q* = log Q – log L = g + a (logK-logL) + u
Qˆ *  1.07 + 0.363(log K  log L)
Restringierte Schätzer aR = 0.363 (a = 0.376) und
bR = 1- 0.363 = 0.637 (b = 0.603)
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Lagrange-Methode
Gesucht sind Schätzer für b aus y = Xb + u mit Hb=h
Minimieren der Lagrange-Funktion
 ( , b )  ( y  X b )( y  X b )   ( H b  h)
liefert die restringierten OLS-Schätzer
1
bR  b  ( X X ) H   H ( X X ) H  ( Hb  h)
1
1
Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die
Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung
zwischen dem nicht-restringierten und dem
restringierten Schätzer (die Korrektur)!
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Konsequenzen von Restriktionen
Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer
 Schätzer verzerrt
 Minimale Varianz des Schätzer
 Überschätzte Varianz der Störgrößen
Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer
 Schätzer unverzerrt
 Varianz des Schätzer zu groß
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Test von Restriktionen
Test von
H0: Hb = h
1. Wald‘sche Teststatistik: auf Basis von
d = Hb-h
mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H0 sollte
1
W  d  Var d  d
einen kleinen Wert haben
2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe „Missspezifikation:
Konsequenzen und Tests“)
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Wald-Test
Test von H0: Hb = h mittels Wald‘scher Teststatistik

1
1


W  2 d H X X  H
s

1
d
 2 (g )
Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise
(großes n)
Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g
und n-k Freiheitsgraden
Verwerfen von H0 bei kleinem p-Wert
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Modellvergleich
Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem
nicht-restringierten Modell
S R  S n  k eR eR  ee n  k
F

S
g
ee
g
F (g, n  k )
Die F-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n)
Ausführen der Tests:
1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und
Ermitteln von S = e'e
2. Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln
von SR = eR'eR
3. Einsetzen in F
Wald‘sche Teststatistik kann man berechnen als W = gF
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Asymptotische Tests
1. Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten
Schätzer die Restriktionen erfüllen
2. Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die
Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion),
an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe
bei Null hat
3. Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das
logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die
sich an der Stelle der restringierten und der nichtrestringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt
Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H0
näherungsweise (großes n) der Chi-QuadratVerteilung mit g Freiheitsgraden
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Asymptotische Tests
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Asymptotische Tests: Berechnung
1. Wald-Test: W = gF siehe oben
2. Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test):
LM  n Re2
Re2:Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten
Residuen eR auf X
3. Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test):
 eR eR 
LR  n log 


e
e


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Produktionsfunktion: Tests
Dependent Variable: Q
Method: Least Squares
Date: 04/26/04 Time: 11:11
Sample: 1 27
Included observations: 27
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
K
L
1.170644
0.375710
0.602999
0.326782
0.085346
0.125954
3.582339
4.402204
4.787457
0.0015
0.0002
0.0001
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
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Wald-Test von H0: a+b=1:
W=0.116, p-Wert: 0.734
0.943463
0.938751
0.188374
0.851634
8.350541
1.885989
Ökonometrie I
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
7.443631
0.761153
-0.396336
-0.252355
200.2489
0.000000
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