CWS19

Kapitel 19
Kointegration
Integrierte Zeitreihen
Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen

t -Werte zu groß

R2 zu groß
Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte (spurious
regression)
Stochastischer Trend!
Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen
Integration von stochastischen Prozessen (Zeitreihen):
Ein stochastischer Prozess Yt heißt integriert von der Ordnung d,
wenn seine d-fachen Differenzen DdYt ein stationärer Prozess
sind; Yt ~ I(d)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
2
Beispiel: Random-walk-Prozess
X sei ein random-walk:
Xt = Xt-1 + ut
mit u: Weißes Rauschen, u ~ I(0)
Dann gilt:
X ~ I(1) (“X ist integriert von der Ordnung 1“):
DXt = Xt – Xt-1 = ut ~ I(1)
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Integrierte stochastische Prozesse
Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der
AWM-Datendasis:
Variable
d
YER
Brutto-Inlandsprodukt, real
1
PCR
Privater Konsum, real
1-2
PYR
Verf. Einkommen der HH, real
1-2
PCD
Konsumdeflator
2
d: Ordnung der Integration
Beispiel: PCR = b1 + b2PYR + u ist vermutlich spurious regression;
besser Modell in Änderungen (oder Zuwachsraten)
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Differenzen vs. Niveauwerten
Analysieren von Differenzen

Vermeidet Konsequenzen von spurious regression

Information über Entwicklung der Niveauwerte (langfristiges
Verhalten, Trends, Verhalten im Gleichgewicht) geht verloren
Ökonomische Theorien sind meist Aussagen über Zusammenhänge im
Gleichgewichts-Zustand!
Vermeiden von spurious regression

durch Modell auf Basis von Differenzen

durch Ausnützen von Kointegration
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Beispiel: Kointegrierte Variable
Nicht-stationäre Variable X:
 X ~ I(1)
 Y = b1 + b2X + u
mit u: Weißes Rauschen
Dann gilt
 Y ~ I(1)
 X, Y zeigen den gleichen stochastischen Trend
 Y – b2X = b1 + u ~ I(0)
Y – b2X ist eine stationäre Linearkombination der nicht-stationären
Variablen!
X, Y sind kointegrierte Variable!
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Kointegration
X, Y sind integrierte Variable:
X ~ I(1), Y ~ I(1)
X, Y heißen kointegriert, wenn sich ein b2 finden lässt, so dass
Y – b2X ~ I(0)
Für kointegrierte I(1)-Variable X, Y gilt also Y – b2X ~ I(0); es existiert
eine Beziehung
Y = b1 + b2X + u
mit u ~ I(0) oder Weißem Rauschen u
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Kointegration: Interpretation
Interpretation des Begriffs Kointegration
Wegen
Y – b2X ~ I(0)
befinden sich X und Y in einer Gleichgewichts-Beziehung; es gibt
nur stationäre Abweichungen
Beispiel:
 Saldo-Bestände der ein- und verkauften Warenmengen bilden
einen stationären Prozess: sie sind kointegriert
 Einkünfte und Ausgaben der Haushalte sind kointegriert
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Kointegration: Definition
Komponenten des k-Vektors x seien integriert vom Grad d :
x ~ I(d)
existiert ein Vektor l und eine Zahl b > 0 mit
z = l‘x ~ I(d – b)
so heißen die Komponenten von x kointegriert vom Grad (d, b); kVektor l heißt kointegrierender Vektor
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Fehlerkorrektur-Modell
Adäquate Darstellung ökonomischer Prozesse berücksichtigt
1. Gleichgewichts-Beziehung
2. Short-run Dynamik (Kompensation von Abweichungen vom
Gleichgewicht)
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ADL(1,1)-Modell:
Fehlerkorrektur-Form
Ausgangspunkt:

ADL(1,1)-Modell
Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut
mit X ~ I(1), |j| < 1; dann gilt: Y ~ I(1)

Gleichgewichts-Beziehung zwischen X und Y:
Yt = m0 + m1Xt + et
Wie hängen ADL-Modell und Gleichgewichts-Beziehung
zusammen?
Subtrahieren und Addieren von Yt-1 und b0Xt und Umformen gibt
DYt = – (1 – j)[Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut
mit m0 = a/(1 – j) und m1 = (b0+ b1)/(1 – j)
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Fehlerkorrektur-Form und
Gleichgewicht
Aus
Yt-1 – m0 – m1Xt-1 = et = – [1/(1 – j)] (DYt – b0DXt – ut)
ergibt sich:

der Gleichgewichts-Fehler et ist eine Linearkombination der I(0)Variablen DY, DX und u

und
et ~ I(0)
Es folgt:

Yt-1 – m0 – m1Xt-1 ist eine Gleichgewichts-Beziehung

Y und X sind kointegriert
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Fehlerkorrektur-Modell:
Interpretation
Das Modell Yt-1 = m0 + m1Xt-1 + et-1 beschreibt die langfristige
Beziehung zwischen X und Y
Das Modell

DYt = – (1 – j)[Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut

= – j0 [Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut
beschreibt die kurzfristige Dynamik,
1. das Anpassen von Y an Änderungen von X und
2. die Korrektur von Gleichgewichts-Fehlern der Vorperiode
Achtung! Das Vorzeichen von j0 = (1 – j) muss positiv sein, wenn
das Modell die Kompensation von Gleichgewichts-Fehlern
beschreiben soll
Achtung! Gleiche Ordnung der Integration der Variablen ist
Voraussetzung für kointegrierende Beziehung
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Modell für Importe
Importgleichung des AW-Modells:
log(MTR/FDD) = m1log(MTD/YED) + m2TIME + e
MTR: reale Ausgaben für Importe von Gütern und
Dienstleistungen, FDD: gesamte Nachfrage, MTD: Deflator zu
MTR, YED: Deflator des BIP, TIME: Trendvariable
MTR/FDD: Anteil der Importe an gesamter Nachfrage (Mp),
MTD/YED: Verhältnis der Deflatoren (RD); beide sind I(1)
Angepasstes Modell:
log(Mp) = – 1.956 – 0.255 log(RD) + 0.0044TIME
mit t-Statistiken 8.383 (für m1) und 30.518 (m2), R2 = 0.966, DurbinWatson d = 0.120
Mp, RD und TIME sind kointegriert, wenn Residuen I(0)
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Modell für Importe,
Forts.
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
.12
-2.0
.08
-2.2
.04
.00
-.04
-.08
1970
1975
1980
Residual
1985
1990
Actual
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1995
2000
Fitted
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Test auf Kointegration
I(1)-Variable Y und X seien nicht kointegriert
Dann sind die e = Y – m0 – m1X eine I(1)-Variable; der unit-root-Test
sollte nicht-stationäres Verhalten anzeigen
Engle-Granger-Test auf Kointegration:
OLS-Anpassung der potentiellen GleichgewichtsBeziehung Y = m0 + m1X + e
2. Anwenden eines unit-root-Tests zum Überprüfen der
Nullhypothese, dass die Residuen eine I(1)-Variable sind
3. wird die Nullhypothese verworfen:

e sind I(0)-Variable

Y und X sind kointegriert
1.
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Engle-Granger-Verfahren
zum Anpassen des Fehlerkorrektur-Modells
Ausgangspunkt: ADL(1,1)-Modell
DYt = –j0 [Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut
Verfahren von Engle-Granger:
1. Prüfen der Integrations-Ordnung; X und Y müssen gleiche
Ordnung haben; es gelte: X und Y sind I(1)-Variable
2. Schätzung der Gleichgewichts-Beziehung Y =ê m0 + m1X + e
liefert Schätzer für m0 und m1 sowie Residuen
3. Test auf Kointegration: unit-root-Test zum überprüfen, ob die
Residuen ein stationärer Prozess sind; wenn ja,
4. Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells
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Engle-Granger-Verfahren:
Schätzen der Parameter
4.
Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells: Es gibt zwei
Möglichkeiten:
a) OLS-Schätzer für j0 und b0 aus

DYt = – j0 eˆ t 1 + b0DXt + ut
b) OLS-Schätzer für a, j0 und b0 aus
DYt = a – j0 [Yt-1 – m1Xt-1] + b0DXt + ut
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