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Kapitel 21
MehrgleichungsModelle:
Schätzverfahren
Multivariate Regression
Allgemeinste Form: SUR-Modell
yi = Xibi + ui, i = 1, …, m
mit n-Vektoren yi und ui, (nxki)-Matrix Xi; der m-Vektor ut = (ut1,…,
utm) hat die Kovarianzmatrix
 12

12

Var{ut }   


 1m
12
22
2 m
1m 




2 
m 
Gleichungsweises Schätzen: bi = (Xi‘Xi)-1Xi‘yi
berücksichtigt nicht die kontemporäre Korrelation der Störgrößen
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© Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie
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Multivariate Regression,
Forts.
In Matrixnotation mit mn-Vektoren ỹ und ũ etc. lautet das SUR-Modell
 X1
 y1  
   0
y  
 y  
 m
 0
oder
mit
0
X2
0
0 
  b1   u1 
0    
 


   
  b m   um 
Xm 
y  Xb u
V  Var{u}    I n
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GLS-Schätzer
für b aus SUR-Modell
b  ( X 'V 1 X )1 X 'V 1 y
Standardfehler erhält man aus
Var{b}  ( X 'V 1 X )1
Effizienzgewinn der GLS-Schätzung umso größer,

je stärker die Störgrößen korrelieren

je weniger die Regressoren korrelieren
GLS-Schätzer bi stimmt mit bi überein, wenn

Xi = X für alle i

uti mit übrigen utj, j ≠ i, unkorreliert ist
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FGLS-Schätzer
Zwei-stufiges Verfahren:
1. Schätzung der Einzelgleichungen, dann Schätzen von  aus den
Residuen der Einzelgleichungen
2. GLS-Schätzung unter Verwendung der geschätzten Matrix 
In EViews: Modellierung als System
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Investitionsmodell
Grunfeld & Griliches (1958)
I = b1 + b2F + b3C + u
mit
I: Investitionen (gross investment)
F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954
General Motors:
I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78
Chrysler:
I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28
General Electric:
I = -9.96 + 0.027*F + 0.512*C, R2 = 0.71, se = 27.88
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Investitionsmodell,
Forts.
General Motors:
IFGLS = -133.57 + 0.115*F + 0.376*C, R2 = 0.92, se = 91.86
IOLS = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78
Chrysler:
IFGLS = -3.27 + 0.073*F + 0.320*C, R2 = 0.91, se = 13.31
IOLS = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28
General Electric:
IFGLS = -11.96 + 0.028*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.89
IOLS = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88
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Bestimmtheitsmaß
Definition
1
ˆ
Sp
(

)
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RI  1 
 1
S g (0)
Sp(ˆ 1S yy )
mit Sg (b)
S g (b )
= (y-Xb)(ˆ -1  I )(y-Xb)=nSp(ˆ 1), =(e'e)/n
ẽ: Residuen aus FGLS-Schätzung
Syy: Matrix der Stichproben-Kovarianzen
Alternatives Bestimmtheitsmaß:
m
R  1
Sp(ˆ 1S yy )
2
*
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Investitionsmodell,
Forts.
Berechnen des Bestimmtheitsmaßes
1. Generieren der Gruppe Gr1 der Residuen aus Sys_3:
Sys_3.makeresids liste_residuen
2. Berechnen der Kovarianzmatrix der Residuen aus Sys_3:
matrix sig_tilde = @cov(@convert(Gr1))
3. Analog Berechnen der Kovarianzmatrix Sig_hat der Residuen der
Einzelgleichungen und der abhängigen Variablen (Syy)
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Simultane MehrgleichungsModelle: Schätzverfahren
1.
Einzelgleichungs-Schätzverfahren oder Methoden bei beschränkter
Information (limited information methods)

Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung (ILS)

Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS)

ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML)
2.
Simultane Schätzverfahren (System-Schätzmethoden)

Dreistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (3SLS)

ML-Schätzung bei voller Information (FIML)
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Marktmodell
Gesucht ist ein Schätzer für b2 aus
Q = a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Q = b2P + u2 (Angebotsfunktion)
wobei die Störgrößen kontemporär korreliert sind
1. OLS-Schätzung von b2 aus Angebotsfunktion: b2 = (p‘p)-1p‘q mit
n-Vektoren p und q; b2 ist verzerrt!
b 2 = (y‘p)-1y‘q; konsistent
2.
IV-Schätzer mit Hilfsvariabler Y:
3.
ILS-Schätzer: b̂ 2 = p2/p1 = (y‘p)-1y‘q mit OLS-Schätzern p1 und
p2 von p1 und p2 aus der reduzierten Form
P = p1Y + v 1
Q = p2 Y + v 2
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Marktmodell, Forts.
4.
2SLS-Schätzung:
1. Stufe: OLS-Anpassung der Hilfsvariablen
P̂ = [(y‘y)-1y‘p] y
2. Stufe: OLS-Schätzung von b2 aus Q = b2 P̂ + e2:
bˆ 2  ( pˆ ' pˆ )1 pˆ ' q
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OLS-Schätzung
OLS-Schätzer der Strukturparameter eines Mehrgleichungs-Modells:
im Allgemeinen weder erwartungstreu noch konsistent
OLS-Schätzer sind oft eine brauchbare Alternative:

Sie sind effizient, d.h. haben minimale Varianz; sie können
daher – trotz der fehlenden Erwartungstreue – günstig sein

Sie sind tendenziell robuster gegen nicht erfüllte
Voraussetzungen als andere Verfahren
OLS-Schätzer spielen eine wichtige Rolle in allen Verfahren zum
Schätzen der Parameter von simultanen MehrgleichungsModellen
Rekursive Mehrgleichungs-Modelle: OLS-Schätzer sind
asymptotisch unverzerrt, sie können auch bei endlichem n
weitgehend unverzerrt sein
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Indirekte Kleinste-QuadrateSchätzung
Erfolgt In zwei Schritten:
 OLS-Schätzung der Koeffizienten der reduzierten Form
 Berechnung der Koeffizienten der Strukturform aus den
Schätzern der Koeffizienten der reduzierten Form
Voraussetzung: Die Gleichung, deren Koeffizienten geschätzt
werden, muss identifizierbar sein
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2SLS-Schätzung
Die Koeffizienten der i-ten Gleichung yi = Xibi + ui = Yiai + Zigi + ui
sollen geschätzt werden; Yi: (nx(mi-1))-Matrix der endogenen
Variablen, Zi: (nxKi)-Matrix der vorherbestimmten Variablen
2SLS-Schätzung erfolgt in zwei Schritten:
1. Berechnen der Hilfsvariabeln Ŷi mit Hilfe der OLS-Schätzung
der Regressionskoeffizienten der reduzierten Form
Yi = Z (P')i + Vi
2. Berechnen der Schätzer bi durch OLS-Anpassung von
yi = Xˆ i bi + ui
mit Xˆ i = (Ŷi Zi)
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Markt für Schweinefleisch
Q = a1 + a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Q = b1 + b2P + b3Z + u2 (Angebotsfunktion)
Endogen: Q, P ; exogen: Y, Z
2SLS-Schätzung:
1. Stufe:
Q̂ = 11.2 + 0.008Y + 0.728Z [t(Y)=1.41, t(Z)=11.19; R2=0.89]
P̂ = 16.1 + 0.046Y – 0.236Z [t(Y)=6.50, t(Z)=2.96; R2=0.73]
2. Stufe:
Q = 60.9 – 3.088P + 0.149Y [t(P)=11.2, t(Y)=11.7; R2=0.89]
Q = 8.32 + 0.177P + 0.770Z [t(P)=1.41, t(Z)=11.8; R2=0.89]
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Markt für Schweinefleisch, Forts.
Vergleich von OLS-, ILS-, und 2SLS-Schätzung
Nachfrage
Angebot
P
Y
P
Z
OLS
-1.41
0.08
-0.03
0.77
ILS
-3.09
0.15
0.18
0.77
2SLS
-3.09
0.15
0.18
0.74
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2SLS-Schätzer: Eigenschaften
Voraussetzung dafür, dass i-te Gleichung schätzbar ist:
Identifizierbarkeit der i-ten Gleichung
Abzählbedingung: Anzahl der aus der Gleichung ausgeschlossenen,
vorherbestimmten Variablen (K-Ki) ist mindestens so groß wie die
um Eins verminderte Zahl der endogenen Variablen (mi-1)
Also: die Anzahl der als Instrumente in Frage kommenden,
vorherbestimmten Variablen muss mindestens so groß sein wie die
Anzahl der endogenen Variablen, die durch Hilfsvariable zu
ersetzen sind
Eigenschaften: 2SLS-Schätzer sind
1. konsistent
2. asymptotisch normalverteilt
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LIML-Schätzung
ML-Schätzung bei beschränkter Information (limited information ML oder
LIML-Schätzung)
Die ältere, aufwendigere LIML-Schätzung ist durch die 2SLS-Schätzung
weitgehend verdrängt
Ähnliche Eigenschaften:

Beide Schätzer sind konsistent und asymptotisch effizient

Die Schätzer der Koeffizienten einer Gleichung stimmen überein,
wenn die Gleichung exakt identifiziert ist
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Schätzer bei voller Information
Die 2SLS-Schätzung ignoriert die kontemporäre Korrelation der
Störgrößen
Schätzmethoden bei voller Information (full information methods): Das
Berücksichtigen der kontemporären Korrelation macht die
Schätzung der Koeffizienten einer Gleichung effizienter, da sie
Information verwendet, die in allen anderen Gleichungen zu den
Parametern dieser Gleichung enthalten ist
3SLS-Schätzung: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der FGLSSchätzung; vergleiche die SUR-Schätzer
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3SLS-Schätzung
Die m Gleichungen des Modells werden geschrieben als
 y1   X1
  
 
y   0
 m 
oder y  X b  u
mit
0  b1   u1 
   
    
 u 
X m 
b
 m   m 
Var{u }    I n
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3SLS-Schätzung
3SLS-Schätzung erfolgt in drei Schritten:
 Berechnen für jede Gleichung
1
1. Hilfsvariable Xˆ i  Z (Z ' Z ) Z ' X i
2. 2SLS-Schätzer bi und
3. 2SLS-Residuen ei  yi  X i bi

ij  (ei ' e j ) / n

Berechnen von

Ermitteln der 3SLS-Schätzer
mit
 Pz X i
bG  [ X '(1  Pz ) X ]1 X '(1  Pz ) y
als FGLS-Schätzer für b
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3SLS-Schätzer: Eigenschaften
Voraussetzung: Identifizierbarkeit aller Gleichungen
Eigenschaften: 3SLS-Schätzer sind
1. konsistent
2. asymptotisch normalverteilt
3SLS-Schätzer stimmen mit 2SLS-Schätzer überein, wenn
 Alle Gleichungen exakt identifizierbar sind
  diagonal ist, die Störgrößen als kontemporär unkorreliert sind
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Markt für Schweinefleisch, Forts.
Vergleich von 2SLS- und 3SLS-Schätzung
Nachfrage
Angebot
P
Y
P
Z
2SLS
-3.09
0.15
0.18
0.74
t-Stat
3.49
3.67
1.22
10.16
3SLS
-3.09
0.15
0.18
0.74
t-Stat
3.79
3.98
1.32
11.02
3SLS-Schätzer stimmen gut mit 2SLS-Schätzern überein: beide sind
konsistente Schätzer
Die größeren t-Statistiken weisen auf höhere Effizienz der 3SLSSchätzer hin
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Weitere Schätzer bei voller
Information




Iterative 3SLS-Schätzung
Iteratives Berechnen der Hilfsvariablen und Residuen (1.Stufe)
FIML-Schätzung (full information ML): unterstellt normalverteilte
Störgrößen, ermittelt Schätzer der Strukturparameter durch
Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf Elemente von A
und G
FIML-Schätzer sind
 konsistent
 asymptotisch normalverteilt
 asymptotisch äquivalent den 3SLS-Schätzern
In EViews: 3SLS- und FIML-Schätzer
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