CWS17

Kapitel 17
Dynamische Modelle:
Konzepte
Argumente für dynamische
Modelle
(a) Ökonomische Aktivitäten sind oft durch die Vergangenheit
bestimmt; z.B.: Konsum von Energie hängt von Investitionen der
Vergangenheit in energieverbrauchende Anlagen und Geräte ab
(b) Akteure der ökonomischen Prozesse reagieren oft verzögert; z.B.
wegen der Dauer von Entscheidungs- und Beschaffungsprozessen
(c) Erwartungen: z.B.: Konsum hängt nicht nur von aktuellen
Einkommen, auch von der Einkommenserwartung ab;
Modellierung der Erwartung basiert auf Entwicklung in der
Vergangenheit
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
2
Elemente dynamischer Modelle
1.
2.
3.
Lagstrukturen, d.s. Linearkombinationen aktueller und
vergangener Werte der Variablen
Modelle für Erwartungen: basieren auf Lagstrukturen; z.B.
adaptive Erwartung, partielle Anpassung
Das ADL-Modell: ein einfaches, aber allgemein anwendbares
Modell, das aus einem autoregressiven Teil und aus einer
endlichen Lagstruktur der unabhängigen Variablen besteht
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
3
Beispiel: Nachfragefunktionen


Nachfrage nach dauerhaften Konsumgütern: Die Nachfrage Q
hängt vom Preis P und vom Einkommen Y der aktuellen und
zweier vergangener Perioden ab:
Qt = a + b0Yt + b1Yt-1 + b2Yt-2 + g Pt + ut
Nachfrage nach Energie: Sie wird beschrieben durch
Qt = a + bPt + g Kt + ut
mit P: Preis für Energie, K: energie-relevanter Kapitalbestand
Kt = q0 + q1Pt-1 + q2Pt-2 + … + dYt + vt
mit Y: Einkommen; Einsetzen gibt
Qt = a + a1Yt + b0Pt + b1Pt-1 + b2Pt-1 + … + et
mit et = ut + g vt, b0 = b, bi = gqi, i = 1, 2, …
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
4
Das DL(s)-Modell
Die allgemeine Form eines dynamischen Modells mit verzögerter
Wirkung einer exogenen Variablen kann geschrieben werden als
Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut
s: maximales Lag oder Ordnung der Lagstruktur; kann
unbeschränkt sein
Endliche Lagstruktur: Ordnung s hat endlichen Wert
Themen zu Lagstrukturen

das Schätzen der Modellparameter

die Interpretation der Koeffizienten
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
5
Beispiel: Konsumfunktionen
Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1
bis 1995:2)
In logarithmierten Differenzen:
(a)
Ĉ = 0.009 + 0.621Y
mit t(Y) = 2.288, R2 = 0.335
(b)
Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2
mit t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -0.18, t(Y-2) = 2.11, R2 = 0.370
Effekt des Einkommens auf Konsum?
 Kurzfristiger Effekt: Wirkung in der aktuellen Periode (DC =
0.504 je DY = 1)
 Gesamteffekt: Summe der Koeffizienten (DC = 0.752 je DY = 1)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
6
Multiplikatoren
Beschreiben den Effekt von Änderungen in der/den erklärenden
Variablen auf die abhängige Variable
Modell
Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut

Kurzfristiger Multiplikator (short run oder impact multiplier): Effekt
einer Änderung von X um DX = 1 auf Y in der gleichen Periode
(DY = b0)

Langfristige Multiplikator (long run multiplier): der über alle
Zukunft kumulierte Effekt von DX = 1 (DY = b0 + … + bs)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
7
Gleichgewichts-Effekt
Wenn nach einer Änderung DX innerhalb einer endlichen Zeit ein
Gleichgewichts-Zustand eintritt: langfristiger Multiplikator wird als
Gleichgewichts-Effekt (equilibrium multiplier) bezeichnet

Im Modell
Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut
wird in s Perioden der Gleichgewichts-Zustand erreicht

Bei einer unendlichen Lagstruktur wird die Anpassung nie
vollendet
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
8
Durchschnittliche Lag-Zeit
Anteil der Anpassung: zur Charakterisierung des
Anpassungsprozesses

am Ende der aktuellen Periode:
b0/(b0 + … + bs) = w1

am Ende der Periode t +1:
(b0 + b1)/(b0 + … + bs) = w1 + w2

usw.
mit Gewichten wi = bi/(b0 + … + bs) , i = 1, …, s


Mediane Lag-Zeit: Dauer bis zur Anpassung von 50%;
minimales s* mit w1 + … ws* ≥ 0.5
Durchschnittliche Lag-Zeit: Sis i wi
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
9
Konsumfunktion,
Forts.
Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2
Effekt des Einkommens (DY = 1) auf Konsum?
 Kurzfristiger Effekt: 0.504
 Gesamteffekt: 0.504 – 0.026 + 0.274 = 0.752
 Gleichgewichts-Effekt ist gleich dem Gesamteffekt: 0.752
 Mediane Lag-Zeit: die kumulierten Summen der Gewichte
betragen 0.671, 0.636, 1.000; 50% der Anpassung werden
überschritten in s* = 0
 Durchschnittliche Lag-Zeit: 0.694 Quartale, d.s. etwa 2.3 Monate
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Lagstrukturen: Schätz-Probleme
Probleme bei OLS-Anpassung einer Lagstruktur (Ordnung s):

„Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s
Beobachtungen zur Verfügung; unendliche Lagstruktur!

Multikollinearität

Ordnung s (meist) nicht bekannt
Konsequenzen der ersten beiden Probleme:

große Standardfehler der geschätzten Koeffizienten

geringe Mächtigkeit der Tests zu den Koeffizienten
Themen:

Verfahren zur Wahl der Ordnung s

Modellierung von Lagstrukturen, z.B. als polynomiale Struktur
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion,
Forts.
Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2
Kriterien: p(Y-2) = 0.039, adj.R2 = 0.342, AIC = -5.204
Übersicht für Modelle
mit s ≥ 7:
p-Wert
adj.R2
s
AIC
1
-5.179
0.333
0.316
2
-5.204
0.039
0.342
3
-5.190
0.231
0.344
4
-5.303
0.271
0.370
5
-5.264
0.476
0.364
6
-5.241
0.536
0.356
7
-5.205
0.884
0.342
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
12
Verfahren zur Wahl von s
Auswahl unter Modellen mit s = 0, 1, …, S durch Verwendung des
AIC (oder eines anderen Informationskriteriums)
1.
2.
3.
4.
Wahl des maximalen Lags S
Schätzen der Koeffizienten aller möglichen Modelle für s = 1,
…, S
Bestimmen des AIC(s), des adjustierten Bestimmtheitsmaßes
oder eines anderen Kriteriums
Wahl der Ordnung als jenes s, für das das AIC(s) minimal ist,
das adjustierte Bestimmtheitsmaß maximal ist, etc.
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Polynomiale Lagstruktur
auch Almon‘sches Lag genannt
DL(s)-Modell
Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut = a + B(L)Xt + ut
mit B(L) = b0 + b1L + … + bsLs, L: Lagoperator (LXt = Xt-1, LrXt = Xt-r,
L0Xt = Xt)
Polynomiales Lag: bi, i = 1,…, s, ist ein Polynom der Ordnung r :
b i = g 0 + g 1 i + … + g ri r
Mit r < s sind weniger Koeffizienten zu schätzen als im
ursprünglichen Modell
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
14
Beispiel: s=3, r=2
Diese Spezifikation liefert
b0 = g0
b1 = g 0 + g 1 + g 2
b2 = g0 + 2g1 + 4g2
b3 = g0 + 3g1 + 9g2
oder b = Tg mit der 3x4-Matrix T
Einsetzen liefert
Yt = g0 (Xt + … + Xt-3) + g1 (Xt-1 + … + 3Xt-3) + g2 (Xt-1 + … +
9Xt-3) + ut
oder y = XTg + u = Wg + u; die erste Spalte von W enthält die
Summen Xt + … + Xt-3, etc.
Aus den Schätzern ci (für die gi) ergeben sich die bi entsprechend
obigen Gleichungen
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
15
Konsumfunktion,
Forts.
Ĉ = 0.005 + 0.539Y – 0.065Y-1 + 0.168Y-2 + 0.158Y-3
Kriterien: adj.R2 = 0.344, AIC = -5.190
Ĉ = 0.005 + 0.097 pdl1(Y,3,2) – 0.239 pdl2(Y,3,2)
+ 0.149 pdl3(Y,3,2)
Kriterien: adj.R2 = 0.335, AIC = -5.190
Koeffizienten und in Klammer ihre t-Statistiken:
b0 = 0.484 (3.72)
b1 = 0.097 (1.04)
b2 = 0.006 (0.07)
b3 = 0.213 (1.70)
oder
Ĉ = 0.005 + 0.484Y + 0.097Y-1 + 0.006Y-2 + 0.213Y-3
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Koyck‘sche Lagstruktur
Spezifiziert die Koeffizienten des DL(s)-Modells
Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + … + ut
als unendliche, geometrische Folge (geometrische Lagstruktur):
bi = b(1-l)li
Für 0 < l < 1 ergibt die Summe aller bi den Wert b!
Beiträge zu DY bei einer Änderung von DX = 1: b(1-l) in t
(kurzfristiger Multiplikator), b(1-l)l in t+1, etc; Beiträge werden
je Periode um Faktor l kleiner;
Gleichgewichts-Effekt: b
0.1
0.3
0.5
0.7
l
durchschnittliche Lag-Zeit: l/(1-l)
l/(1-l) 0.10 0.43 1.00 2.33
Stabilitätsbedingung: Die Bedingung 0 < l < 1 nennt man
Stabilitätsbedingung: l ≥ 1 bedeutet explosiv wachsende bi bzw.
explosiv wachsende Beiträge zu DY bei einer Änderung von DX
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Koyck‘sche Lagstruktur,
Forts.
DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells
Yt = a + b(1-l) SiliXt-i + ut
AR (autoregressive)-Form
Yt = a(1-l) + lYt-1 + b(1-l) Xt + vt
mit vt = ut – lut-1
Koyck-Transformation: Umformung der DL-Form in die AR-Form
 durch Subtrahieren der l-fachen Gleichung für t-1
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion,
Forts.
Modell mit geringstem AIC:
Ĉ = 0.003 + 0.595Y – 0.016Y-1 + 0.107Y-2 + 0.003Y-3
+ 0.148Y-3
Kriterien: adj.R2 = 0.370, AIC = -5.303, DW = 1.41
Koyck‘s Lag in AR-Form
Ĉ = 0.004 + 0.286 C-1 + 0.556Y
Kriterien: adj.R2 = 0.388, AIC = -5.290, DW = 1.91
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
19
Schätzprobleme
Probleme beim Schätzen von l und b:

DL-Form:
1. Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt!
Näherungsweise äquivalentes Modell ist
Yt = b(1-l)(Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 + b*lt + ut
mit b* = b(1-l)(X0 + lX-1 + … ) als drittem Parameter
2. Nichtlineares Schätzproblem!

AR-Form:
1. Nichtlineares Schätzproblem!
2. Verzögerte, endogene Variable als Regressor
3. Korrelierte Störgrößen
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
20
Modelle in Erwartungen
Erwartungen spielen in ökonomischen Prozesse wichtige Rolle
Beispiele:
 Konsum hängt nicht nur vom aktuellen Einkommen, sondern
auch von der Erwartung künftiger Einkommen ab
 Investitionen hängen von erwarteten Gewinnen ab
 Zinsen hängen von der Einschätzung der Entwicklung des
Kapitalmarktes ab
 etc.
Erwartungen sind
 nicht beobachtbar
 unter Annahmen über den Mechanismus der Erwartungsbildung
modellierbar
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
21
Modelle für Erwartung
In der Theorie sind folgende Modelle gebräuchlich
 Naives Modell der Erwartung: Der (für die nächste Periode)
erwartete Wert ist gleich dem aktuellen Wert
 Modell der adaptiven Erwartung
 Modell der partiellen Anpassung
Letztere beiden Modelle basieren auf der Koyck‘schen Lagstruktur
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
22
Modell der adaptiven Erwartung
Beschreibt den aktuellen Wert Yt als Funktion des in der kommenden
Periode erwarteten Wertes Xet+1
Yt = a + bXet+1 + ut
Beispiel: Investitionen (Y) sind Funktion des Gewinns X
Modelle für Xet+1:

Naives Modell: Xet+1 = Xt

Realistischer ist eine gewichtete Summe der in der Vergangenheit
realisierten Gewinne
Xet+1 = b0Xt + b1Xt-1 + …

Vorschlag von Cagan (1956): geometrisch abnehmende Gewichte
mit 0 < l < 1
bi = (1-l)li
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
23
Adaptive Erwartung,
Forts.
Aus Xet+1 = b0Xt + b1Xt-1 + … ergibt sich mittels Koyck-Transformation
Xet+1 = l Xet + (1 - l) Xt
oder
Xet+1 - Xet = (1 - l)(Xt - Xet)
Interpretation: Änderung der Erwartung zwischen t und t+1 ist
proportional dem „Fehler“ in der Erwartung, d.i. die Abweichung
zwischen der aktuellen Erwartung und dem tatsächlich realisierten
Wert
Ausmaß der Änderung (Anpassung): 100(1 - l)% des „Fehlers“
l: Anpassungs-Parameter
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
24
Adaptive Erwartung,
Forts.
Modell der adaptiven Erwartung (adaptive expectations model)
Yt = a(1 – l) + lYt-1 + b(1 – l)Xt + vt
mit vt = ut – lut-1
Ist die AR-Form zur DL-Form
Yt = a + b(1 – l)Xt + b(1 – l)lXt-1 + … + ut
Beispiel: Investitionen (I) sind Funktion des erwarteten Gewinns Pet+1
und des Zinssatzes (r)
It = a + bPet+1 + grt + ut
Modell für erwarteten Gewinn unterstellt adaptive Erwartung
Pet+1 = Pet + (1 – l)Pt
mit Anpassungs-Parameter l (0 < l < 1); AR-Form
It = a(1 – l) + lIt-1 + b(1 – l)Pt + grt – lgrt-1 + vt
der Investitionsfunktion mit vt = ut – lut-1
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
25
Konsumfunktion,
Forts.
Konsum als Funktion des erwarteten Einkommens:
Ct = a + bYet+1 + ut
mit erwartetem Einkommen aus adaptiver Erwartung
Yet+1 = Yet + (1 – l)Yt
Einsetzen liefert die AR-Form
Ct = a(1 – l) + lCt-1 + b(1 – l)Yt + vt
mit vt = ut – lut-1
Angepasstes Modell:
Ĉ = 0.004 + 0.286C-1 + 0.556Y
Kriterien: adj.R2 = 0.388, AIC = -5.29, DW = 1.91
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
26
Modell der partiellen Anpassung
Beschreibt den Prozess der Anpassung einer Größe an einen
gewünschten Wert
Beispiel: Der gewünschte (geplante) Lagerstand Kp als Funktion des
Erlöses S
Kpt = a + bSt + ut
tatsächlicher Lagerstand der Vorperiode weicht vom gewünschten
Lagerstand um Kpt – Kt-1 ab
Strategie: Anpassung von Kt an Kpt um 100d %:
Kt – Kt-1 = d(Kpt – Kt-1)
d: Anpassungs-Parameter (0 < d < 1)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
27
Partielle Anpassung,
Forts.
Modell der partiellen Anpassung (partial adjustment model): Beschreibt
das Verhalten von Ypt als Funktion eines Regressors X
Ypt = a + bXt + ut
Partielles Anpassen des realisierten Y nach
Yt – Yt-1 = d(Ypt – Yt-1)
d: Anpassungs-Parameter (0 < d < 1)
Realisiertes Y als gewichtetes Mittel zwischen geplantem Yp und
realisiertem Y
Yt = dYpt + (1 – d)Yt-1
AR-Form des Modells der partiellen Anpassung
Yt = ad + (1 – d)Yt-1 + bdXt + dut
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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AR-Formen
Die AR-Formen
 der Koyck‘schen Lagstruktur
 des Modells der adaptiven Erwartung
 des Modells der partiellen Anpassung
haben die gleiche Form
sie unterscheiden sich in den Störgrößen:
 sie sind Weißes Rauschen im Fall des Modells der partiellen
Anpassung
 sie sind korreliert in den beiden anderen Fällen
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Das ADL-Modell
Die allgemeine Form, das ADL(p,s)-Modell, lautet
Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + b0Xt + … + bsXt-s + ut
es besteht aus
 einer Lagstruktur der Ordnung p der abhängigen Variablen
 einer Lagstruktur der Ordnung s der erklärenden Variablen
Darstellung mittels Lag-Operator L:
A(L)Yt = a + b(L)Xt + ut
mit A(L) = 1 – j1L – … – jpLp
und b(L) = b0 + b1L + … + bsLs
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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ADL(1,1)-Modell
ADL(1,1)-Modell:
Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut
Spezialfälle sind:
 Statisches Modell: j = b1 = 0
 DL(1)-Modell: j = 0
 AR(1)-Modell: b0 = b1 = 0
Verallgemeinerungen ergeben sich, wenn korrelierte Störgrößen
zugelassen werden
Die meisten dynamischen Modelle gehören zur Klasse der ADL(1,1)Modelle
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
31
ADL(1,1)-Modelle: Beispiele




AR-Form [Yt = lYt-1 + b(1 – l)Xt + vt] des Modells mit Koyck‘scher
Lagstruktur, d.i. Yt = b(1–l)SiliXt-i + ut, ist ein ADL(1,0)-Modell mit
korrelierten Störgrößen
AR-Form des Modells der adaptiven Erwartung
Yt = a(1 – l) + lYt-1 + b(1 – l)Xt + vt
ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen
AR-Form des Modells der partiellen Anpassung
Yt = ad + (1 – d)Yt-1 + bdXt + dut
ist ein ADL(1,0)-Modell mit unkorrelierten Störgrößen
Das Modell Yt = Xtb + ut mit korrelierten Störgrößen ut = jut-1+et
kann geschrieben werden als Yt = jYt-1 + b + bjXt-1 + et; es ist ein
ADL(1,1)-Modell, wenn b1 = b0j
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
32
ADL(1,0)-Modell: Stabilität
Yt = a + jYt-1 + bXt + ut
Effekt einer Änderung von X um DX = 1
Gleichgewichts-Zustand:
 Voraussetzung für Summierbarkeit
der Beiträge (die Erreichbarkeit des
Gleichgewichts-Zustandes): |j| < 1;
Stationaritäts-Bedingung
 Der Gleichgewichts-Zustand wird nur
asymptotisch erreicht
Periode
DY
t
b
t-1
jb
t-2
j2 b
…
…
Summe
b/(1-j)
Vergleiche das DL(s)-Modell: der
Gleichgewichts-Zustand wird nach s
Perioden erreicht
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
33
Stabilität des ADL(1,1)-Modells
Welchen Wert Y* erreicht Y im Gleichgewichts-Zustand (X wird auf
fixem Niveau X* gehalten)?
Y* = a + jY* + b0X* + b1X*
liefert
Y* = a/(1-j) + (b0+ b1)/(1-j)X*
Effekt einer Änderung von X um DX = 1: (b0+ b1)/(1-j)
Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes:
|j| < 1 (Stationaritäts-Bedingung)
d.h., der dem Modell entsprechende AR(1)-Prozess Yt = a + jYt-1 +
ut muss stationär sein
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
34
Stabilität im ADL(p,s)-Modells
ADL(p,s)-Modell
F(L)Yt = a + b(L)Xt + ut
mit
F(L) = 1 - j1L - … - jpLp
b(L) = 1 + b1L + … + bsLs
Gleichgewichts-Effekt: (b0+ … + bs)/(1 - j1 - … - jp)
Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes:
 Siji < 1 (notwendig, aber nicht hinreichend)
 Für Wurzeln aus F(z) = 1 - j1z - … - jpzp = (1 - l1z)… (1 - lpz) = 0,
also l1, …, lp, muss gelten:
|zi| = | li-1 | > 1, i = 1, …, p
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Gleichgewicht und Fehlerkorrektur
ADL(1,1)-Modell für Gleichgewichts-Zustand:
Y  1-aj  b10-jb1 X  m0  m1 X
m1: Gleichgewichts-Effekt (siehe oben)
Fehlerkorrektur-Form:
DYt = – (1 – j)(Yt-1 – m0 – m1Xt-1) + b0DXt + ut
mit DYt = Yt – Yt-1 und analogem DXt
Interpretation: Änderungen DY sind
1. Effekt von Änderungen DX
2. Ausgleich der Abweichung vom Gleichgewichts-Zustand, d.i. der
Gleichgewichts-Fehler Y – m0 – m1X = e
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
36