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Kapitel 20
MehrgleichungsModelle: Konzepte
Mehrgleichungs-Modelle
Modellierung von ökonomischen Prozessen, die simultan mehrere
endogene Variable betreffen
Beispiele:

Darstellung des Marktes für ein Produkt: Modell muss
Entwicklung von Menge und Preis repräsentieren

Wirtschaftsraum umfasst Gütermarkt, Finanzmarkt, Arbeitsmarkt,
etc., die in Wechselwirkung stehen
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CAP-Modell
CAP-Modell (capital asset pricing model)
Ri: Erlös des i-ten Vermögenswertes
Ri - Rf = bi(E{Rm} – Rf) + ui
mit
Rf: Erlös eines risikolosen Vermögenswertes
E{Rm}: erwarteter Erlös des optimalen Portfolios
Analyse von mehreren Werten:
ui repräsentieren gemeinsame Faktoren, haben gemeinsame
Abhängigkeitsstruktur
Effiziente Nutzung der Information: gemeinsame Analyse
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Investitionsmodell
Grunfeld & Griliches (1958)
I = b1 + b2F + b3C + u
mit
I: Investitionen (gross investment)
F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954
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Marktmodell
für ein Produkt, z.B. Schweinefleisch
Qd = a1 + a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Qs = b1 + b2P + b3Z + u2 (Angebotsfunktion)
Qd = Q s
mit
Qd: Nachfragemenge, Qs: Angebotsmenge, P: Preis des Produktes, Y:
Einkommen, Z: Kosten der Produktion
oder
Q = a1 + a2P + a3Y + u1
Q = b 1 + b 2 P + b 3 Z + u2
Modell bestimmt Q und P für gegebene Werte von Y und Z
Endogene Variable: Q, P; exogene Variable: Y, Z
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Klein‘s Modell 1
Ct = a1 + a2Pt + a3Pt-1 + a4(Wtp+ Wtg) + ut1 (Konsum)
It = b1 + b2Pt + b3Pt-1 + b4Kt-1 + ut2 (Investitionen)
Wtp = g1 + g2Xt + g3Xt-1 + g4t + ut3 (Private Löhne und Gehälter)
Xt = Ct + It + Gt
Kt = It + Kt-1
Pt = Xt – Wtp – Tt
C (Konsumausgaben), P (Gewinne), Wp (Private Löhne und Gehälter),
Wg (Öffentliche Löhne und Gehälter), I (Investitionen), K-1
(Kapitalbestand des Vorjahres), X (Produktion), G (Ausgaben der
Öffentlichen Hand ohne Löhne und Gehälter), T (Steuern) und t
[Zeit (Trend)]
Endogen: C, I, Wp, X, P, K; exogene: 1, Wg, G, T, t, P-1, K-1, X-1
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Typen von MehrgleichungsModellen
1.
Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren
(multivariates Regressionsmodell)

Nachfrage nach Gütern durch Haushalte

capital asset pricing model

Modell für Investitionen von Unternehmen von GrunfeldGriliches
2. Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen)
Regressoren (simultaneous equation model, interdependente
Modelle)

Marktmodell

Klein’s Modell
Kontemporär korrelierte Störgrößen
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Typen von Gleichungen
Reaktions- oder Verhaltensgleichungen: beschreiben das Verhalten
einer abhängigen Variablen als Funktion von erklärenden
Variablen
Definitorische Identitäten: definieren eine Variable als Summe
anderer Variabler
Gleichgewichts-Bedingungen: postulieren Beziehungen, die als
Gleichgewicht interpretiert werden können
Definitorische Identitäten und Gleichgewichts-Bedingungen
enthalten keine Störgrößen!
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Schätzprobleme
Bei Mehrgleichungs-Modellen muss gerechnet werden mit
 Stochastischen Regressoren: abhängige Variable werden als
Regressoren verwendet
 Kontemporär korrelierten Störgrößen: die einzelnen Gleichungen
sind nicht voneinander unabhängig
Konsequenzen:
 OLS-Schätzer der Koeffizienten sind nicht konsistent, nicht
erwartungstreu!
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Zweigleichungs-Modell
Zwei abhängige Variable Y1 und Y2
Y1 = a1 + a2Y2 + a3X1 + u1 (Gleichung A)
Y2 = b1 + b2Y1 + b3X2 + u2 (Gleichung B)
1. Verletzung der Annahme 4 (Exogenität der Regressoren): Effekt
eines positiven Wertes u1:

Wert von Y1 wird vergrößert (siehe Gleichung A)

Aus Gleichung B folgt, dass dann der Wert von Y2 größer wird

Daraus folgt: u1 und Y2 sind korrelierte Variablen
2. Verzerrte OLS-Schätzer:

Überdurchschnittlich große Werte von Y1 werden oft (als Folge
positiver u1) gemeinsam mit großen Werten von Y2 beobachtet

a2 wird überschätzt!
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Marktmodell: Eine Simulation
Mit a2 = – 1, b2 = 1, a3 = 1, b3 = 1 ergeben sich (siehe oben):
Q = – P + Y + u1 (Nachfrage)
Q = P + Z + u2 (Angebot)
Generieren der Daten in EViews:
Y = 20 + 10*nrnd
Z = 10 + 10*rnd
u1 ~ N(0,4), u2 ~ N(0,9)
Q = (Y + Z + u1 + u2 )/2, P = (Y – Z + u1 – u2)/2
OLS-Schätzung der beiden Gleichungen:
Q = 2.98 – 0.58*P + 0.80*Y; p(tP) = 0.037, p(tY) = 0.000, R2 = 0.84
Q = 3.52 + 0.77*P + 0.86*Z; p(tP) = 0.000, p(tY) = 0.000, R2 = 0.83
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Marktmodell,
Forts.
Nachfragefunktion
Q = a1 + a2P + a3Y + u1 = x‘a + u1
mit x = (1, P, Y)‘, a = (a1, a2, a3)‘
Achtung! Endogene Variable P ist erklärende Variable:
plim (X'X)-1 X'u ≠ 0
Reduzierte Form:
Q = p11 + p12Y + p13Z + v1
P = p21 + p22Y + p23Z + v2
mit p11 = (a1 b2 – a2 b1)/(b2 – a2), v1 = (b2 u1 – a2 u2)/(b2 – a2), etc.
Die pij können konsistent geschätzt werden! Kann man aus Schätzern
für pij auf Schätzer der ai und bi schließen?
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Schätzprobleme,
Forts.
Zwei Fragestellungen:
 Identifizierbarkeit: Können – bei gegebener Struktur des Modells
und gegebenen Daten – die Parameter (konsistent) geschätzt
werden?
 Schätzverfahren: Welche – (neue?) – Schätzmethoden können
bei Mehrgleichungs-Modellen angewendet werden, sodass
gewünschte Eigenschaften der Schätzer sichergestellt sind?
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Typen von Variablen
Endogene Variable:
 Werden durch das Modell bestimmt
 Vollständiges Modell: Anzahl der Gleichungen ist so groß, wie die
Anzahl der endogenen Variablen
Exogene Variable:
 Sind von außerhalb des Modells bestimmt
 Können auch verzögerte endogene („vorherbestimmte“,
predetermined) Variable sein
 Wir unterscheiden:
 Strikt exogene Variable: unkorreliert mit historischen, aktuellen
und künftigen Störgrößen
 vorherbestimmte Variable: unkorreliert mit aktuellen und
künftigen Störgrößen
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Marktmodell,
Forts.
Zwei Gleichungen:
Q = a1 + a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Q = b1 + b2P + b3Z + u2 (Angebotsfunktion)
bestimmen Q und P (endogene Variable)
außerhalb des Systems bestimmt: Y, Z
Offene Fragen:

Rückkoppelung zwischen Q und Y?

Z unabhängig von Q?
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SUR-Modell
seemingly unrelated regression
allgemeiner Fall des multivariaten Regressionsmodells
m Gleichungen
Yt1 = x‘t1b1 + ut1
…
Ytm = x‘tmbm + utm
mit Var{uti} = si2 für i = 1,…,m; Cov{uti,utj} = sij ≠ 0 für i ≠ j , i,j =
1,…,m (kontemporär korrelierte Störgrößen)
Regressoren können für die Gleichungen unterschiedlich sein
Mehrgleichungs-Modell mit gemeinsamen Regressoren:
xti = xt für i = 1,…,m
Vereinfachung des SUR-Modells (vergl. das CAP-Modell)
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Investitionsmodell,
Forts.
I = b1 + b2 F + b3 C + u
I: Investitionen
F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
General Motors:
I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78
Chrysler:
I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28
General Electric:
I = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88
Investitionen sind auch bestimmt von allgemeiner Konjunktur!
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SUR-Modell, Notation
m=2
 mit n-Vektoren yi, ui, (nxki)-Matrix Xi:
yi = Xi bi + ui, i = 1, 2
Var{uti} = si2, Cov{ut1,ut2} = s12, t = 1,…,n
 mit 2n-Vektoren
 y1   X1
y  
 y2   0
oder
0  b1   u1 
    
X 2  b2   u2 
 s12
y  X b  u mit V  Var{u }    I n  
 s12
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s12 
 In
2 
s2 
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Kronecker-Produkt
 a11

A
a
 n1
Definition:
 a11 B

A B  
a B
 n1
 b11
a1m 


, B  
 bp1
anm 

b1q 


bpq 
a1m B   a11b11
 

anm B   an1bp1
a1mb1q 


anmb pq 
Ordnung: npxmq
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Interdependente
Mehrgleichungs-Modelle
Strukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen
Variablen einerseits und exogenen und vorherbestimmten
Variablen andererseits entsprechend der ökonomischen Theorie.
Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von
den vorherbestimmten Variablen
Koeffizienten der

Strukturform: Interpretation als Strukturparameter im Sinn der
ökonomischen Theorie

Reduzierten Form: Interpretation als impact multiplicator; geben
Effekt der Änderung der vorherbestimmten Variablen auf
abhängige Variable an
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Marktmodell,
Forts.
Strukturform
Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = b1 + b2Pt + b3Zt + ut2 (Angebotsfunktion)
ut = (ut1,ut2)‘: bivariates Weißes Rauschen
 s12
Var{ut }    
 s12
s12 
2 
s2 
Matrixnotation: A yt = G zt + ut
mit yt = (Qt, Pt)‘, zt = (1, Yt, Zt)‘
 a1 a3 0 
1 a2 
A

, G  
1 b2 
 b1 0 b3 
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Marktmodell,
Forts.
Reduzierte Form
yt = A-1G zt + A-1ut = P zt + vt
mit
a3b2
 a1b2  a 2b1
 b a
b2  a 2
2
2

P
 a1  b1
a3

b2  a 2
 b2  a 2
a 2b3 
b2  a 2 

b3 

b2  a 2 
In Langform:
Qt = p11 + p12Yt + p13Zt + vt1
Pt = p21 + p21Yt + p23Zt + vt2
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Strukturform
m abhängige Variable (und Gleichungen), K Regressoren:
Ayt = Gzt + ut
mit m-Vektoren yt und ut, K-Vektor zt, (mxm)-Matrix A, und (mxK)Matrix G
Struktur des Mehrgleichungs-Modells: (A, G, )
Strukturparameter: Elemente von A und G
Normalisierte Matrix A: aii = 1 für alle i
Vollständiges Mehrgleichungs-Modell: A ist quadratisch und
invertierbar
Rekursives Mehrgleichungs-Modell: A hat Dreiecksform; die
endogenen Variablen beeinflussen sich nur in einer Richtung
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Identifizierbarkeit
Fragestellung:

Können aus den Schätzern der Parameter der reduzierten
Form konsistente Schätzer der Strukturparameter abgeleitet
werden?

Können mit den exogenen und vorherbestimmten Variablen als
Instrumente Instrumentvariable für die erklärenden endogenen
Variablen bestimmt werden?
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Marktmodell,
Forts.
Aus p13 = – a2b3/(b2 – a2) und p23 = – b3/(b2 – a2) ergibt sich
a2 = p13/p23
als Schätzer für a2 aus den OLS-Schätzern p13 und p23 für p13 und p23
b2 = p12/p22
für b2 aus p12 und p22 für p12 und p22
Weiters ergeben sich
a3 = p22(b2 – a2), a1 = p11 – p21a2;
die Koeffizienten der Nachfragefunktion lassen sich in eindeutiger Weise
aus den konsistenten Schätzern der pij bestimmen; die
Nachfragefunktion ist identifizierbar
Analog ergibt sich für die Koeffizienten der Angebotsfunktion
b3 = – p23(b2 – a2), b1 = p11 – p21b2;
auch die Angebotsfunktion ist identifizierbar
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Modifiziertes Marktmodell
Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = b1 + b2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)
Koeffizienten der reduzierten Form:
p11 = (a1b2 – a2b1)/(b2 – a2), p12 = a3b2/(b2 – a2)
p21 = (a1 – b1)/(b2 – a2), p22 = a3/(b2 – a2)
1.
2.
Angebotsfunktion:
b2 = p12/p22, b1 = p11 – p21b2
die Angebotsfunktion ist identifizierbar
Nachfragefunktion: für drei Koeffizienten gibt es nur zwei
Gleichungen
a1 = p11 – p21a2, a3 = p22(b2 – a2)
es existiert keine eindeutige Lösung. Die Funktion ist nicht
identifizierbar; sie ist unteridentifiziert
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Noch ein Marktmodell
Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + a3Zt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = b1 + b2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)
1.
2.
Angebotsfunktion:
b2 = p12/p22, b2 = p13/p23
für beide Lösungen ergibt sich
b1 = p11 – p21b2
die Angebotsfunktion ist identifizierbar; man sagt, die
Angebotsfunktion ist überidentifiziert
Die Nachfragefunktion ist unteridentifiziert
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Identifizierbarkeit: Kriterien
Identifizierbarkeit einer Gleichung bedeutet, dass

eine Anzahl von Modell-Variablen aus der Gleichung
ausgeschlossen sind („ Nullrestriktionen“)

oder eine andere Restriktion zutrifft

Punktrestriktion: ein Koeffizient hat einen bestimmten Wert,
z.B. den Wert Null

Gleichungen in den Koeffizienten, linear oder nicht-linear

Restriktion für Elemente von 
Überprüfen der Nullrestriktionen

Abzähl- oder Ordnungs-Bedingung

Rang-Bedingung
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Ordnungs-Bedingung
Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren :
Ayt = Gzt + ut
mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix G
i-te Gleichung:

mi: Anzahl der erklärenden endogenen Variablen

mi*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen
endogenen Variablen (mi* = m – mi – 1)

Ki*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen
vorherbestimmte Variablen (Ki* = K – Ki)
Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn
Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi
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Ordnungs-Bedingung:
Interpretation
Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn
Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi
d.h., wenn

die Anzahl der ausgeschlossenen Variablen (Ki* + mi*)
mindestens so groß ist wie die um Eins verminderte Anzahl der
endogenen Variablen (m – 1)

die Anzahl der ausgeschlossenen vorherbestimmten Variablen
(Ki*) mindestens so groß ist wie die Anzahl der erklärenden
endogenen Variablen (mi)
Achtung! Die Ordnungs-Bedingung ist eine notwendige, aber keine
hinreichende Bedingung für die Identifizierbarkeit einer
Gleichung
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Modifiziertes Marktmodell,
Forts.
Qt = a1 + a2Pt + a3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = b1 + b2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)
m = 2 (Q, P), K = 2 (1, Y);
1.
2.
Nachfragefunktion (i = 1):
m1* = 0, m1 = 1, K1* = 0, K1 = 2
die Ordnungs-Bedingung ist nicht erfüllt: K1* = 0 < m1 = 1 (oder K1*
+ m1* = 0 < m – 1 = 1); die Nachfragefunktion ist nicht identifiziert
Angebotsfunktion (i = 2):
m2* = 0, m2 = 1, K2* = 1, K2 = 1
die Ordnungs-Bedingung ist erfüllt: K2* = 1 = m2 = 1 (oder K2* + m2*
= 1 = m – 1 = 1); die Angebotsfunktion ist identifizierbar
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Rang-Bedingung
Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren :
Ayt = Gzt + ut
mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix G
i-te Gleichung: Streichen der i-ten Zeile ergibt

A*: durch Streichen aller Spalten in A, die in i-ter Zeile einen
von Null verschiedenen Koeffizienten haben

G*: durch Streichen aller Spalten in G, die in i-ter Zeile einen
von Null verschiedenen Koeffizienten haben
Rang-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn
r(A*|G*) ≥ m – 1
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IS-LM-Modell
Ct = g11 – a14Yt + ut1
It = g21 – a23Rt + ut2
Rt = – a34Yt + g32Mt + ut3
Yt = Ct + It + Zt
C: Konsum; I: Investitionen, R: Zinssatz, Y: Einkommen, M: Geldmenge,
Z: autonome Ausgaben
endogen: C, I, R, Y; exogen: 1, M, Z
Erste Gleichung:
 Ordnungs-Bedingung: K1 = 2 = m1 = 2;
 Rang-Bedingung: die folgende Matrix hat den Rang 3 = m -1
 1 a 23 0 0 
 A* G*    0 1 g32 0 
 1 0 0 1 


Beide Bedingungen sind erfüllt; die 1. Gleichung ist identifizierbar
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Praxis der Idenfizierbarkeitsprüfung
1.
2.
3.
4.
5.
Ein Mehrgleichungs-Modell ist identifizierbar, wenn jede seiner
Gleichungen identifizierbar ist
Gleichungen, die die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen
meist auch die Rang-Bedingung
Kleine Modelle sind meist leicht nach beiden Kriterien prüfbar;
bei umfangreichen Modellen ist die Identifizierbarkeit der
Gleichungen meist kein Problem (Modell enthält viele
vorherbestimmten Variable)
Soll ein Regressor eliminiert werden?
 Bei Eliminieren ist Gleichung eher identifizierbar
 Nicht Eliminieren kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer
Gleichungen zur Folge haben
Weitere Gleichung in identifizierbarem Modell: das neue
Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine neue Variable
verwendet wird
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