2 Theoretische Verteilungen I: Diskrete Verteilungen

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
UND
VERTEILUNGEN
Vorlesung „Mathematik und Statistik für Raumplaner“
Ao. Univ.-Prof. Dr. W. Blaas
Fachbereich Finanzwissenschaft und Infrastrukturpolitik
Technische Universität Wien
Version vom 28. März 2007
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Verteilungen
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundbegriffe, Fragestellungen
1.1. Einführung
1.2. Zufallsexperiment, Ereignis
1.3. Wahrscheinlichkeit
1.4. Zufallsvariable (eindimensional)
1.5. Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeits- u. Verteilungsfunktion
1.6. Fragestellungen bei diskreten Zufallsvariablen
1.7. Stetige Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeitsdichte u. Verteilungsfunktion
1.8. Fragestellungen bei stetigen Zufallsvariablen
1.9. Erwartungswert und Varianz
2. Theoretische Verteilungen I: diskrete Verteilungen
2.1. Einführung
2.2. Binomialverteilung
2.3. Hypergeometrische Verteilung
2.4. Poisson-Verteilung
2.5. Multinomialverteilung
3. Theoretische Verteilungen II: stetige Verteilungen
3.1. Gleichverteilung
3.2. Exponentialverteilung
3.3. Normalverteilung
3.4. Chiquadratverteilung
3.5. t-Verteilung
4. Zusammenfassung der Fragestellungen
5. Übersicht über Verteilungen
-2-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Grundbegriffe
1.1 Einführung
-
-
Grundlage für mathematische Statistik
Ergebnisse von Entscheidungen haben oft
Zufallscharakter (nicht-determiniert; stochastisch)
Bsp.: Erhöhung des Werbeetats um € 100.000.- =>
Umsatzsteigerung
-3-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.2 Zufallsexperiment, Ereignis
Zufallsexperiment
-
-
Ist ein Vorgang, der nach bestimmter Vorschrift
ausgeführt wird
beliebig oft wiederholbar ist
Ergebnis vom Zufall abhängig,
Wird das Experiment nicht einmal, sondern mehrfach
durchgeführt, so sind die Ergebnisse unabhängig
voneinander
Beispiele: Münzwurf, Würfeln, Kartenziehen, Lottoziehung
Elementarereignis
-
Bei jeder einzelnen Durchführung des Experiments kann
nur ein einziges Ergebnis auftreten (z.B. „Kopf“)
Ereignisraum
-
-
die Menge der Elementarereignis ei bilden den
Ereignisraum S = {e1, e2, ..., en}
ist endlich, wenn er endlich viele Elementarereignisse
umfasst
Beispiele:
Zufallsexp. Münzwurf: S = {Kopf, Zahl}
Zufallsexp. Zweimaliger Münzwurf: S = {KK, KZ, ZK, ZZ}
-4-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Ereignis
-
beliebige Teilmenge des Ereignisraums
besteht aus mindestens einem Elementarereignis
Beispiel:
Würfeln: Ereignis „gerade Zahl“ ist die Menge A = {2, 4, 6}
-5-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.3 Wahrscheinlichkeit
Definition:
Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der
Sicherheit bzw. Unsicherheit, mit der ein Ereignis eintritt.
Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, ist der
Quotient der Zahl der günstigen Fälle durch die Zahl der
möglichen Fälle.
W ( A) 
Zahl der günstigen Fälle
Zahl der möglichen Fälle
Beispiel:
Würfeln - Ereignis gerade Zahl: W(gerade Zahl) = 3/6 = 0,5
Nachteil:
Nur auf Zufallsexperimente mit gleichwahrscheinlichen
Elementarereignissen anwendbar
praktische Bedeutung ist daher begrenzt
-6-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Voraussetzung: Zufallsexperiment wird mehrmals in
unabhängigen Versuchen ausgeführt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, ist der
Grenzwert der relativen Häufigkeit des Auftretens von A.
hn ( A)
n 
n
W ( A)  lim f n ( A)  lim
n 
Beispiel: relative Häufigkeit bei Münzwurf
Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeiten lassen sich oft nicht direkt bestimmen.
Beispiel: Wettervoraussage, Wetten bei Rennen,
Notenergebnis
Eine zahlenmäßige Vorstellung lässt sich aus der Wettchance,
die man dem jeweiligen Ereignis gibt, ableiten.
Ist die subjektive Quote für A gleich a : b, dann ist die
subjektive Wahrscheinlichkeit für A
a
ab
und die subjektive Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt, ist
W ( A) 
~
b
ab
Objektivierung dieses Wahrscheinlichkeitsbegriffs durch
Befragung mehrerer Experten (Delphi-Methode)
W ( A) 
-7-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
definiert die mathematischen Eigenschaften von
Wahrscheinlichkeiten
1. Axiom:
0  W ( A)  1
2. Axiom: Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses
W (S )  1
3. Axiom:
wenn A  B  0 , dann
W ( A  B)  W ( A)  W ( B)
-8-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.4 Zufallsvariable
Beispiel: zweimaliges Werfen einer Münze, dann ist z.B. eine
mögliche Zufallsvariable die Anzahl von „Kopf“.
Variable, deren Werte vom Zufall abhängen, heißen
Zufallsvariable.
Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben bezeichnet: X,
Y...
Der Wert, den eine Zufallsvariable annimmt, heißt Realisation
(Ausprägung) der Zufallsvariable. Mögliche Ausprägungen
sind im obigen Beispiel 0, 1 oder 2.
Zufallsvariable ist als Funktion auffassbar, die jedem
Elementarereignis eine reelle Zahl zuordnet.
Der Definitionsbereich ist dabei der Ereignisraum S, der
Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen.
Unterscheide zwischen
diskreten Zufallsvariablen (endlich viele, abzählbar
unendliche Ausprägungen) und
stetigen Zufallsvariablen (überabzählbar unendlich viele
Ausprägungen, z.B. Länge, Zeit)
1.5 Diskrete Zufallsvariable
Die Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete Zufallsvariable
eine Ausprägung xi annimmt, ist die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ej, denen die
Ausprägung xi zugeordnet wird.
-9-
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
W ( X  xi ) 
WB
 W (e )
X ( e j ) xi
j
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Definition:
Die Funktion f(xi), die die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten jeder Ausprägung xi angibt, ist die
Wahrscheinlichkeitsfunktion.
f ( xi )  W ( X  xi )
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f ( xi )  0
 f (x )  1
i
i
Beispiel: dreimaliges Münzwerfen (Wappen W oder Zahl Z)
Zufallsvariable X: Anzahl Wappen beim dreimaligen Werfen
Elementarereignis
e1=ZZZ
E2=ZZW
E3=ZWZ
E4=WZZ
E5=ZWW
E6=WZW
E7=WWZ
e8=WWW
Wahrscheinlichkeit
W(e)
W(e1)=0,125
W(e2)=0,125
W(e3)=0,125
W(e4)=0,125
W(e5)=0,125
W(e6)=0,125
W(e7)=0,125
W(e8)=0,125
- 10 -
Anzahl Wappen
xi
x1 = 0
Wahrscheinlichkeit
W(X=x) f(x)
f(x1) = 0,125
x2 = 1
f(x2) = 0,375
x3 = 2
f(x3) = 0,375
x4 = 3
f(x4) = 0,125
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Abbildungen:
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer
diskreten Zufallsvariablen (obiges Beispiel)
f(x)
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
F(x)
1
2
3
Verteilungsfunktion F(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
1
2
- 11 -
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Es kann mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben
werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die
Zufallsvariable einen Wert in einem Intervall [a, b] annimmt.
Es ist
W (a  X  b) 
 W ( X  x )   f (x )
i
a  xi  b
a  xi  b
i
Beispiel für das 3-malige Werfen einer Münze:
Zufallsvariable X: Anzahl Wappen beim dreimaligen Werfen
der Münze
W (1  X  2) 
 f ( x )  f ( x )  f ( x )  0,375  0,375  0,75
1 xi  2
i
2
- 12 -
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Verteilungsfunktion
Definition:
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist, dass X höchstens den Wert x annimmt.
F ( x)  W ( X  x)   f ( xi )
xi  x
Beispiel: Anzahl Wappen beim dreimaligen Werfen
x
F ( x)  W ( X  x)
0
1
2
3
0,125
0,500
0,875
1,000
Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
1
2
- 13 -
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Das Bild der Verteilungsfunktion einer diskreten
Zufallsvariablen ist also das einer Treppenfunktion, bei der die
Funktion jeweils in den Ausprägungen xi um den Betrag f(xi)
zunimmt und zwischen den einzelnen möglichen
Ausprägungen konstant bleibt (wie bei der
Summenhäufigkeitsfunktion).
- 14 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.6 Fragestellungen bei diskreten
Zufallsvariablen
Welche Fragen können mithilfe einer
Wahrscheinlichkeitsfunktion und mithilfe einer
Verteilungsfunktion beantwortet werden?
(anhand des obigen Beispiels der Zufallsvariablen X: Anzahl
Wappen beim dreimaligen Werfen einer Münze)
1. W(X = a) = ?
Lösung: W(X = a) wird direkt aus (einer Tabelle bzw.) einer
programmierten Wahrscheinlichkeitsfunktion abgelesen
Beispiel: W(X=2) = 0,375
2. W(X < a) = ?
Lösung: W(X < a) = W(X  a-1) = F(a-1)
Beispiel: W(X < 2) = W(X  1) = F(1) = 0,5
3. W(X  a) = ?
Lösung: W(X  a) = F(a)
Beispiel: W(X  2) = F(2) = 0,875
- 15 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
4. W(X > a) = ?
Lösung: W(X>a) = 1 – W(X  a) = 1 - F(a)
Beispiel: W(X>2) = 1 – W(X  2)
= 1 - F(2) = 1 – 0,875 = 0,125
5. W(X  a) = ?
Lösung: W(X  a) = 1 – W(X  a-1) = 1 - F(a-1)
Beispiel: W(X  2) = 1 – W(X  1) = 1 - F(1) = 1- 0,5 = 0,5
- 16 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.7 Stetige Zufallsvariable
Verteilungsfunktion
Kann eine Zufallsvariable jeden beliebigen Wert (innerhalb
eines Intervalls) annehmen, dann ist die Verteilungsfunktion
keine Treppenfunktion, sondern eine stetige Funktion wie z.B.
in der Abbildung unten (Verteilungsfunktion einer
normalverteilten Zufallsvariablen).
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
0  F ( x)  1
x1  x2  F ( x1 )  F ( x2 )
lim F ( x )  0
x 
lim F ( x )  1
x 
F(x) ist überall stetig
Normalverteilung
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
60
80
100
- 17 -
120
140
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion
... ist die Ableitung der Verteilungsfunktion
Es gilt:
F ( x)  f ( x)
x
F ( x) 
 f (v)dv

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsdichte
f ( x)  0

 f ( x)dx  1

b
W (a  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
Beispiel: Dichtefunktion einer Normalverteilung
Dichtefunktion der Normalverteilung (100;10000)
0,1
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
a
0
50
b
100
- 18 -
150
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Beispiel: Verspätung der U-Bahn
Die Verspätung einer U-Bahn (in min) sei eine stetige
Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion:
0,5  0,125x für 0  x  4
f ( x)  
 0 für alle übrigen x
Abbildung:
Dichtefunktion der U-Bahn-Verspätung
f(x)
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
0,5
W (1  X  2)  0,3125
0,4
0,3
0,2
0,1
x
1
2
- 19 -
3
4
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Man ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass man 1 bis 2
Minuten warten muß, wenn man zu einem beliebigen
Zeitpunkt an einer Station eintrifft.
Diese Wahrscheinlichkeit ist
2
2
2
0,125 2 

W (1  X  2)   f ( x )dx   (0,5  0,125 x )dx  0,5 x 
x   0,75  0,4375  0,3125
2

1
1
1
Alternativ kann man diese Wahrscheinlichkeit auch mithilfe
der dazugehörigen Verteilungsfunktion F(x) ermitteln:
F(x) ist das Integral der Dichtefunktion und daher in diesem
Fall
F(x) = 0,5x – 0,0625x² (für x zwischen 0 und 4)
Somit ergibt sich:
W (1  X  2)  F (2)  F (1)  0,75  0,4375  0,3125
- 20 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.8 Fragestellungen bei stetigen
Zufallsvariablen
Welche Fragen sind typisch bei stetigen Zufallsvariablen?
1. W(Xa) = ?
Lösung:
W(Xa) = F(a)
- 21 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
z.B.: W(X) = F(90)
- 22 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2. W(Xa) = ?
Lösung:
W(Xa) = 1 - W(Xa) = 1 – F(a)
z.B.: W(X) = 1 - W(X) = 1 – F(110)
- 23 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3. W(aXb) = ?
Lösung:
W(aXb) = F(b) – F(a)
z.B.: W(90X) = F(120) – F(90)
- 24 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
„Inverse” Fragestellungen
Bei solchen Fragestellungen ist nicht die Wahrscheinlichkeit
gefragt, mit der eine Zufallsvariable X in einem bestimmten
Intervall liegt, sondern: die Wahrscheinlichkeit ist bekannt
und das Intervall ist gefragt.
Beispiel: Der IQ (Zufallsvariable X) der Studierenden an einer
Universität sei normalverteilt (mit gegebenen Parametern).
Wie hoch (a) ist der IQ der am wenigsten intelligenten 25%
höchstens, (b) wie hoch ist der IQ der intelligentesten 10%
mindestens?
4. W(Xα) = w
α unbekannt, w bekannt
Lösung:
W(Xα) = F(α) = w

α = FINV(w)
- 25 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
5. W(Xα) = w
α unbekannt, w bekannt
Lösung:
W(Xα) = 1 - W(Xα)= 1 – F() = w

1 – w = F()

 = FINV(1-w)
- 26 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
1.9 Erwartungswert und Varianz
Wie bei Häufigkeitsverteilungen lassen sich auch theoretische
Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Messzahlen
charkterisieren.
Dem arithmetischen Mittel entspricht der Erwartungswert
E(X).
Dieser ist.
bei diskreten Zufallsvariablen
E ( X )   xiW ( X  xi )
i
E ( X )   xi f ( xi )
i
-
bei stetigen Zufallsvariablen

E( X ) 
 x  f ( x)dx

Als Streuungsparamter wird die Varianz Var(X) verwendet.
Var ( X )  [ xi  E ( x)]2 f ( xi )
i

Var ( X )   [ x  E ( x)]2 f ( x)dx

oder nach Umformung
2
Var ( X )   xi f ( xi )  [ E ( x)]2
i

Var ( X ) 
x
2
f ( x)dx  [ E ( x)]2

- 27 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2 Theoretische Verteilungen I: Diskrete
Verteilungen
2.1 Einführung
Theoretische Verteilungen sind nicht direkt beobachtbar,
sondern werden aufgrund von theoretischen Überlegungen
oder empirisch beobachtbaren Daten mathematisch definiert
In der deskriptiven Statistik können die theoretischen
Verteilungen zur approximativen funktionsmäßigen
Beschreibung empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen
dienen.
In der mathematischen Statistik lassen sich mit Hilfe
theoretischer Verteilungen a priori Wahrscheinlichkeiten für
Ergebnisse bestimmter Zufallsexperimente angeben.
Man unterscheidet zwischen
diskreten und stetigen Verteilungen
eindimensionalen (Verteilung einer Zufallsvariable) und
mehrdimensionalen (Verteilung mehrerer
Zufallsvariablen) Verteilungen
- 28 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2.2 Binomialverteilung
-
-
eine der ältesten Verteilungen
gibt die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse bei
Bernoulli-Experimenten an
ist diskret und eindimensional
Voraussetzungen
Es gibt jeweils nur zwei mögliche Ausgänge, „0 oder 1“
(z.B. bei Münzwurf Kopf oder Zahl, Geschlecht,
Urnenproblem: ziehen von schwarzen und weissen
Kugeln mit Zurücklegen)
Die Erfolgswahrscheinlichkeit  (Wahrscheinlichkeit,
dass das Erfolgsereignis auftritt; z.B. Zahl, weisse Kugel)
ist konstant.
Die Versuche sind voneinander unabhängig
Wahrscheinlichkeitsfunktion
M  0,1,2,..., n

 n

X  Bn, :   f ( x)  W ( X  x)     x  (1   ) n  x  x  M
 x

Verteilungsfunktion
M  0,1,2,..., n

x
 n

B
:

X  n, F ( x)  W ( X  x)      v  (1   ) n v  x  M
v 0  v 

- 29 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Erwartungswert und Varianz
E ( X )  n 
Var ( X )  n    (1   )
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion mithilfe
der EXCEL-Funktion BINOMVERT:
BINOMVERT(AnzahlErfolge;Versuche;ErfolgsWahrscheinlichkeit;Kumuliert)
AnzahlErfolge
ist die Anzahl der Erfolge in einer Versuchsreihe.
Versuche
ist die Anzahl der voneinander unabhängigen Versuche.
ErfolgsWahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs für jeden Versuch.
Kumuliert
ist ein Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt.
Ist Kumuliert WAHR, dann gibt BINOMVERT die Verteilungsfunktion zurück, also die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass es höchstens AnzahlErfolge Erfolge gibt.
Ist Kumuliert FALSCH, gibt BINOMVERT die Wahrscheinlichkeitsfunktion zurück, also
die Wahrscheinlichkeit, dass es genau AnzahlErfolge Erfolge gibt.
- 30 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Man erstelle die Tabelle und die Diagramme der
Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion der
Binomialverteilung mit den
Parametern
n=20 (Versuche)
und =0,5 (Erfolgswahrscheinlichkeit)
Schrittweite 1; Bereich (x) von 1 bis 20
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
1
3
5
7
9
11
Rechenbeispiele siehe Übungs-File
- 31 -
13
15
17
19
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2.3 Hypergeometrische Verteilung
... Urnenproblem ohne Zurücklegen
Aus einer Urne mit M Schwarzen und N-M weißen Kugeln
wird eine Stichprobe im Umfang n ohne Zurücklegen
genommen.
Die Hypergeometrische Verteilung gibt die
Wahrscheinlichkeit an, mit der in der Stichprobe (mit dem
Umfang n) genau x schwarze Kugeln sind.
Wahrscheinlichkeitsfunktion
X  H N ,M ,n :
 A  0,1,...., n

M  N  M 

   

x
n

x

  
  x A
 f ( x)  W ( X  x) 
N

 

n
Verteilungsfunktion durch Summation der EinzelWahrscheinlichkeiten
Erwartungswert und Varianz
M
N
M N M N n
Var ( X )  n  

N
N
N 1
E( X )  n 
- 32 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Für große N und M, und kleine n, kann die
Hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung
approximiert werden (n/N<0,05).
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion
mithilfe
der EXCEL-Funktion HYPGEOMVERT
HYPGEOMVERT(Erfolge_S;Umfang_S;Erfolge_G;Umfang_G)
Erfolge_S
ist die Anzahl der in der Stichprobe erzielten Erfolge (x).
Umfang_S
ist der Umfang (Größe) der Stichprobe (n).
Erfolge_G
ist die Anzahl der in der Grundgesamtheit möglichen Erfolge (M).
Umfang_G
ist der Umfang (Größe) der Grundgesamtheit (N).
Erstellung von Diagrammen der Wahrscheinlichkeitsfunktion sowie
Durchführung von Rechenbeispielen siehe Übungs-File
- 33 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2.4 Poisson-Verteilung
Grenzfall der Binomialverteilung, wenn n sehr großem ist und
die Einzelwahrscheinlichkeit  sehr klein
Parameter der Poissonverteilung ist das Produkt von n und :
n. =
Wahrscheinlichkeitsfunktion
M  0,1,...

 x .e 

 xM
 f ( x)  W ( X  x) 
P
:

x
!
X 

  0
Erwartungswert und Varianz
E ( X )  Var ( X )  
Beispiel: Wartschlangentheorie
Die Binomialverteilung kann durch die Poissonverteilung
approximiert werden mit wenn n>10 und <0,05.
Die Poissonverteilung kann auch als Approximation der
Hypergeometrischen Verteilung verwendet werden.
- 34 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion mithilfe
der EXCEL-Funktion POISSON
POISSON(x; Mittelwert;Kumuliert)
x
ist die Zahl der Fälle.
Mittelwert
ist der erwartete Zahlenwert (µ).
Kumuliert
ist der Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt.
Ist Kumuliert mit WAHR belegt, gibt POISSON den Wert der Verteilungsfunktion der
jeweiligen Poissonverteilung zurück, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl zufällig
eintretender Ereignisse zwischen 0 und einschließlich x liegt.
Ist Kumuliert mit FALSCH belegt, gibt POISSON den Wert der
Wahrscheinlichkeitsfunktion zurück, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der
Ereignisse genau x sein wird.
Erstellung von Diagrammen der Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion sowie Durchführung von Rechenbeispielen
siehe Übungs-File
- 35 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2.5 Multinomialverteilung
-
-
ist die Verallgemeinerung der Binomialverteilung
insoferne, dass bei der Multinomialverteilung k
verschiedene Ereignisse eintreten können
diese haben konstante Wahrscheinlichkeiten θi und sind
unabhängig voneinander
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass bei n ausgeführten
Versuchen, x1 mal das Ereignis 1, x2 mal das Ereignis 2, ..., xk
mal das Ereignis k eintritt.
X  M n ,i
n!

xk
x1 x2
f
(
x
,...
x
)




...

1
k
1
2
k

x1! x2 !...xk !


k
k
: 
mit  xi  n und  i  1

i 1
i 1
Rechenbeispiele siehe Übungs-File
- 36 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2.6 Diskrete Gleichverteilung
Eine diskrete Zufallsvariable ist dann gleichverteilt, wenn jede
ihrer k möglichen Ausprägungen x1, …., xk die gleiche
Wahrscheinlichkeit besitzt, wenn also
W ( X  xi ) 
1
k
für i=1,…,k
Beispiel: die Augenzahl eines idealen Würfels ist
gleichverteilt mit
1
W(X  x ) 
für i= 1,2, …, 6
i
6
- 37 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3 Theoretische Verteilungen II: Stetige
Verteilungen
3.1 Gleichverteilung
Eine stetige Zufallsvariable ist gleichverteilt innerhalb des
Intervalls [, ], wenn ihre Dichtefunktion in diesem Intervall
konstant ist wie folgt:
X  S, :
 1

f ( x)     

 0
<
- 38 -
x
sonst
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Beispiel: Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallsvariable zwischen a
und b liegt (siehe Abbildung), ist daher
1
W ( a  X  b) 
(b  a )
 
- 39 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3.2 Exponentialverteilung
X  Ex
:
 1  x

f ( x)     e
 0
 0
x0
sonst
Grafische Darstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion
mithilfe der EXCEL-Funktion EXPONVERT
Parameter  = 1/EW
EXPONVERT(x;Lambda;Kumuliert)
x
ist der Wert für die Funktion.
Lambda
ist der übergebene Wert ().
Kumuliert
ist ein Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt.
Ist Kumuliert mit WAHR belegt, gibt EXPONVERT den Wert der Verteilungsfunktion
zurück.
Ist Kumuliert mit FALSCH belegt, gibt EXPONVERT den Wert der Dichtefunktion zurück.
Erstellung von Diagrammen der Dichte- und Verteilungsfunktion
sowie Durchführung von Rechenbeispielen
siehe Übungs-File
- 40 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3.3 Normalverteilung
X
 N(, 2 ): f ( x) 
1
  2
( x)2
e
22
x R ;  R ;  2 > 0
Grafische Darstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion
mithilfe der EXCEL-Funktion NORMVERT
NORMVERT(x;Mittelwert;Standabwn;Kumuliert)
x
ist der Wert der Verteilung (Quantil), dessen Wahrscheinlichkeit Sie berechnen
möchten.
Mittelwert
ist das arithmetische Mittel der Verteilung.
Standabwn
ist die Standardabweichung der Verteilung.
Kumuliert
ist der Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt.
Ist Kumuliert mit WAHR belegt, gibt NORMVERT den Wert der Verteilungsfunktion
(kumulierte Dichtefunktion) zurück.
Ist Kumuliert mit FALSCH belegt, gibt NORMVERT den Wert der Dichtefunktion zurück.
- 41 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Man erstelle die Tabelle und die Diagramme der
Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion der
Normalverteilung mit dem Mittelwert 100 und der
Standardabweichung 10 für das Intervall [60, 140],
Schrittweite 2
Normalverteilung
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Bei verschiedenen Anwendungen (z.B. Schätzverfahren oder
Test) ist es wichtig, die Fraktile (Quantile) der sogenannten
Standardnormalverteilung zu kennen.
Definition:
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit
dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1.
- 42 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Ermittlung der Quantile (Fraktile) mithilfe der Inversen der
Verteilungsfunktion (siehe Übungsfile).
Begriff der inversen Funktion:
Funktion f(x): y = f(x)
Inverse Funktion g dazu: x = g(y)
Beispiel einer einfachen linearen Funktion:
Funktion
y =5x
inverse Funktion dazu
x = 0,2y
- 43 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Im Falle der Verteilungsfunktionen:
Beispiel:
IQ sei normalverteilt (100;100); gefragt sei der IQ, den die
intelligentesten 10% der Studierenden mindestens haben.
1,0000
0,9000
0,8000
0,7000
0,6000
0,5000
0,4000
0,3000
0,2000
113
0,1000
0,0000
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Berechnung von Anteilswerten (siehe Beispiele auf
Übungsfile)
- 44 -
IQ
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Inverse Funktionen von stetigen Verteilungsfunktionen sind
für einige stetige Verteilungen in EXCEL programmiert, so
z.B. auch für die Normalverteilung:
NORMINV(Wahrsch;Mittelwert;Standabwn)
Wahrsch
ist die zur Standardnormalverteilung gehörige Wahrscheinlichkeit.
Mittelwert
ist das arithmetische Mittel der Verteilung.
Standabwn
ist die Standardabweichung der Verteilung.
Die Funktion NORMINV gibt die Quantile (Fraktile) einer
normalverteilten Zufallsvariavblen an
Erstellung von Diagrammen der Dichte- und Verteilungsfunktion
sowie Durchführung von Rechenbeispielen siehe Übungs-File
- 45 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3.4 Chiquadratverteilung
X   2n :
 n 1  x
 x2 e 2

n
f ( x)    n 
2
  2  1 !  2

0

x>0
sonst
Grafische Darstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion
mithilfe der EXCEL-Funktion CHIVERT
CHIVERT(x;FreiheitsGrade)
x
ist der Wert (Quantil), dessen Wahrscheinlichkeit (1-Alpha) Sie
berechnen möchten.
FreiheitsGrade
gibt den Grad der Freiheit an.
CHIVERT wird berechnet als CHIVERT = P(X>x), wobei X eine Zufallsvariable mit
der Verteilung 2 ist
In der Praxis werden vor allem die Fraktile (Quantile) der
Chiquadratverteilung verwendet. Ermittlung mithilfe der
Inversen der Verteilungsfunktion (EXCEL-Funktion
CHIINV). Siehe Übungsfile.
Erstellung von Diagrammen der Verteilungsfunktion sowie
Durchführung von Rechenbeispielen
siehe Übungs-File
- 46 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3.5 Student (t-) Verteilung
Die Studentverteilung (auch t-Verteilung) verdankt ihren
Namen einem Statistiker, der unter dem Pseudonym „Student“
einen Aufsatz mit ihrer Ableitung veröffentlichte.
Die Dichtefunktion der t-Verteilung mit  Freiheitsgraden ist
wie folgt definiert:
 1
X  t:= f ( x) 
(
)
1

x²
( )  (1  )( 1) / 2
2

2
.
für -  < t < + 
Zu Festlegung der t-Verteilung ist also nur ein Parameter ()
erforderlich. Die Dichtefunktion besitzt ähnlich wie die Dichte
der standardisierten Normalverteilung eine zum Nullpunkt
symmetrische Form. Mit steigendem  nähert sich die tVerteilung der Standardnormalverteilung an, ab  > 30 kann
die t-Verteilung gut durch die Standardnormalverteilung
approximiert werden (siehe Übungsfile).
Für >1 ist der Erwartungswert 0 und für >2 ist die Varianz
Var (T ) 

 2
Grafische Darstellung der Dichtefunktion durch direkte
Berechnung der mithilfe der EXCEL-Funktion GAMMALN:
GAMMALN = ln((x)).
- 47 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
(natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion)
TVERT
TVERT gibt Werte derVerteilungsfunktion (1- ) einer tverteilten Zufallsvariablen zurück.
TVERT(x;Freiheitsgrade;Seiten)
x
ist der Wert der Verteilung (Quantil), dessen Wahrscheinlichkeit Sie
berechnen möchten.
Freiheitsgrade
ist eine ganze Zahl, durch die die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmt wird
().
Seiten
bestimmt die Anzahl der Endflächen. Ist Seiten = 1, gibt TVERT den Wert
für einen einseitigen Test zurück. Ist Seiten = 2, gibt TVERT den Wert für
einen zweiseitigen Test zurück.
TINV
TINV(Wahrsch;Freiheitsgrade)
Wahrsch
ist die zur t-Verteilung gehörige Wahrscheinlichkeit (zweiseitig).
Freiheitsgrade
ist die Anzahl der Freiheitsgrade, durch die die Verteilung
gekennzeichnet ist.
- 48 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
4 Zusammenfassung der
Fragestellungen
Zusammenfassung der Fragestellungen: diskrete Verteilungen
1. W(X = a) = ?
Lösung: W(X = a) wird direkt aus einer Tabelle bzw. programmierten Wahrscheinlichkeitsfunktion abgelesen
Beispiel: W(X=2) = 0,375
f(x)
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
1
- 49 -
2
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2. W(X < a) = ?
Lösung: W(X < a) = W(X  a-1) = F(a-1)
Beispiel: W(X < 2) = W(X  1) = F(1)
3. W(X  a) = ?
Lösung: W(X  a) = F(a)
Beispiel: W(X  2) = F(2)
4. W(X > a) = ?
Lösung: W(X>a) = 1 – W(X 
a) = 1 - F(a)
Beispiel: W(X>2) = 1 – W(X 
2) = 1 - F(2)
5. W(X  a) = ?
Lösung: W(X  a) = 1 – W(X 
a-1) = 1 - F(a-1)
Beispiel: W(X  2) = 1 – W(X 
1) = 1 - F(1)
f(x)
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
1
- 50 -
2
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
Zusammenfassung der Fragestellungen: stetige Verteilungen
1. W(Xa) = ?
Lösung:
W(Xa) = F(a)
Beispiel:
W(X) = F(90)
- 51 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
2. W(Xa) = ?
Lösung:
W(Xa) = 1 - W(Xa) = 1 – F(a)
Beispiel:
W(X) = 1 - W(X) = 1 – F(110)
- 52 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
3. W(aXb) = ?
Lösung:
W(aXb) = F(b) – F(a)
Beispiel:
W(90X) = F(120) – F(90)
- 53 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
6. W(Xα) = w
α unbekannt, w bekannt
Lösung:
W(Xα) = F(α) = w

α = FINV(w)
7. W(Xα) = w
α unbekannt, w bekannt
Lösung:
W(Xα) = 1 - W(Xα)= 1 – F() = w

1 – w = F()

 = FINV(1-w)
- 54 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
5 Übersicht über Verteilungen
(A) DISKRETE VERTEILUNGEN
1.
Diskrete Gleichverteilung
X D
m :
M  1,2, ..., m


1
 x M
W( X  x) 
m

2. Alternativverteilung
X  A :
A:
M  1,0

x
1 x
W ( X  x)    (1   )  x  M
0    1 ; 0 0 : 1

3. Geometrische Verteilung
X  G :

n, : 
G :

M  1,2, . . .

x 1

   x M
W( X  x)  (1  )
4. Binomialverteilung
X B
Dm :
B n, :
M  1,2,..., n

 n x

n x
 xM
W ( X  x)   x     (1   )
 

- 55 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
5. Hypergeometrische Verteilung
X H
N , A, n
:
M  0,1,...., n

 A  N  A

   



 x  n  x 
 xM
W ( X  x) 
N


 

n
6. Poissonverteilung
X  P :

H N, A , n :
P :
 M  0,1,...

 x . e

W
(
X

x
)

 x M

x
!

  0

- 56 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
WB
(B) STETIGE VERTEILUNGEN
1.
Stetige Gleichverteilung
 1

f ( x)     

 0
X S
 , :
S  , :
x
sonst
<
2.
Exponentialverteilung
1  x


f ( x)     e

0

X  Ex : 

Ex  :
x>0
sonst
>0
3. Normalverteilung
X  N(,  ):
2
N(  ,  2 ):
f ( x) 
1
  2
( x)2
e
22
x R ;  R ;  2 > 0
- 57 -
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
4. Chiquadratverteilung
X   :
2
n
5. F - Verteilung
X F
m, n :
WB
 n2 :
 n 1  x
 x2 e 2

n
f ( x)    n 
2
  2  1 !  2

0

x>0
sonst
Fm , n :
  m  n
m 2
m
n
   2 
2
x

m 2 n2 
m n
f ( x)    m   n 
   2     2 
( m  x  n) 2

0

x>0
sonst
6. t - Verteilung t
 1
X  t:= f ( x ) 
(
)
1

x²
 .( ) (1  )( 1) / 2
2

2
.
- 58 -
für -  < t < + 