Franz W. Peren

Reihenbezeichnung
Franz W. Peren
Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik
Formelsammlung Wirtschaftsmathematik
Franz W. Peren
Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik
Franz W. Peren
Hochschule Bonn-Rhein-Sieg
Sankt Augustin, Deutschland
ISBN 978-3-642-41916-4
DOI 10.1007/978-3-642-41917-1
ISBN 978-3-642-41917-1 (eBook)
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Gabler
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benutzt werden dürften.
Lektorat: Michael Bursik, Assistenz: Janina Sobolewski
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
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Gewidmet Reinger Classen †.
Ein unvergessener Freund.
Vorwort
Diese Formelsammlung dient vornehmlich allen Studierenden und wirtschaftswissenschaftlich Wertschöpfenden, gleichwohl denen der Betriebswirtschaftslehre oder der Volkswirtschaftslehre, den Wirtschaftsingenieuren oder den Wirtschaftspädagogen.
Es gestaltet sich nach den Erfahrungen des Verfassers, der seine wirtschaftswissenschaftlichen Studien in 1981 an der Westfälischen Wilhelms-Universität zu
Münster in Deutschland begann und als Professor der Betriebswirtschaftslehre
die quantitativen Methoden bis dato lehrt und diese forschend in vielfältiger Art
und Weise weiterentwickeln durfte vorwiegend in Deutschland an der Fachhochschule Bielefeld und der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, aber auch an der
University of Victoria in Victoria, BC, Kanada, der Universitas Udayana in
Denpasar, Bali, Indonesien, der Technická Univerzita v Košiciach in Košice,
Slowakische Republik und der Columbia University in New York City, New York,
USA. Es soll nach bestem Wissen und Gewissen des Verfassers die mathematischen Inhalte formelhaft wiedergeben, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften global sowohl an den Universitäten und Hochschulen als auch in der
wirtschaftswissenschaftlichen Praxis sinnvoll und notwendig sind.
Dank schuldet der Verfasser vielen seiner wissenschaftlichen Mitarbeiter(innen),
die an dieser Arbeit und an vielen anderen Projekten mit Kreativität, Wissen und
Fleiß für ihn in den vergangenen mehr als 20 Jahren tätig waren. Allen voran
danke ich Herrn Christian Stollfuß, der federführend diese Formelsammlung mit
gestaltet hat. Besonderer Dank gebührt auch Shanti Alena Dewi, Verena Leisen,
Markus Shakoor und Christina Pakusch.
Für die vielen wertvollen Anregungen im Bereich der Wirtschaftsmathematik und
Wirtschaftsstatistik danke ich besonders meinen geschätzten Kolleg(inn)en
Friedrich Aumann und Dr. Andreas Grisar † von der Westfälischen WilhelmsUniversität Münster, Prof. Dr. Rüdiger Bücker † von der Fachhochschule Bielefeld, Prof. Dr. Félix Sekula † von der Technická Univerzita v Košiciach sowie
Prof. Dr. Reiner Clement, Prof. Dr. Johannes Natrop, Prof. Dr. Oded Löwenbein †
und Prof. Dr. Wiltrud Terlau von der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg.
Bonn, Oktober 2013
Franz W. Peren
VII
Inhaltsverzeichnis
1
Mathematische Zeichen und Symbole ..................................
1
2
Logik ........................................................................................
9
3
Arithmetik ................................................................................
3.1 Mengen ...........................................................................
3.1.1 Allgemeines ........................................................
3.1.2 Mengenrelationen ...............................................
3.1.3 Mengenoperationen ............................................
3.1.4 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln bei
Mengen ...............................................................
3.1.5 Intervalle .............................................................
3.1.6 Zahlensysteme....................................................
3.2 Elementare Rechenarten .................................................
3.2.1 Elementare Grundlagen ......................................
3.2.2 Termumformungen .............................................
3.2.3 Summen- und Produktzeichen ............................
3.2.4 Potenzen, Wurzeln..............................................
3.2.5 Logarithmen ........................................................
3.2.6 Fakultät ...............................................................
3.2.7 Binomialkoeffizient (gelesen „n über k“) ..............
3.3 Folgen .............................................................................
3.3.1 Definition .............................................................
3.3.2 Grenzwert einer Folge ........................................
3.3.3 Arithmetische und geometrische Folgen .............
3.4 Reihen .............................................................................
3.4.1 Definition .............................................................
3.4.2 Arithmetische und geometrische Reihen ............
11
11
11
12
12
14
15
16
18
18
21
23
25
27
30
30
32
32
34
36
37
37
37
Algebra ....................................................................................
4.1 Grundbegriffe...................................................................
4.2 Lineare Gleichungen .......................................................
4.2.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen ............
4.2.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen ........
4.2.3 Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen .....
4.2.4 Lineare Ungleichungen mit mehreren Variablen .
4.3 Nichtlineare Gleichungen ................................................
4.3.1 Quadratische Gleichungen mit einer Variablen ...
41
41
43
43
43
44
47
48
48
4
IX
X
Inhaltsverzeichnis
4.3.2 Kubische Gleichungen mit einer Variablen .........
4.3.3 Biquadratische Gleichungen ...............................
4.3.4 Gleichungen n-ten Grades ..................................
4.3.5 Wurzelgleichungen..............................................
Transzendente Gleichungen ............................................
4.4.1 Exponentialgleichungen ......................................
4.4.2 Logarithmische Gleichungen ...............................
Näherungsverfahren ........................................................
4.5.1 Regula falsi (Sekantenverfahren) ........................
4.5.2 Newtonsches Verfahren (Tangentenverfahren) ..
4.5.3 Allgemeines Näherungsverfahren
(Fixpunktiteration) ...............................................
51
53
54
54
55
55
57
58
59
61
Lineare Algebra .......................................................................
5.1 Grundbegriffe ...................................................................
5.1.1 Matrix ..................................................................
5.1.2 Gleichheit / Ungleichheit von Matrizen ................
5.1.3 Transponierte Matrix ...........................................
5.1.4 Vektor..................................................................
5.1.5 Spezielle Matrizen und Vektoren ........................
5.2 Operationen mit Matrizen ................................................
5.2.1 Addition von Matrizen..........................................
5.2.2 Multiplikation von Matrizen ..................................
5.3 Die Inverse einer Matrix ...................................................
5.3.1 Einführung ...........................................................
5.3.2 Bestimmung der Inversen unter Verwendung
des Gauß’schen Eliminationsverfahren...............
5.4 Der Rang einer Matrix......................................................
5.4.1 Begriffsbestimmung ............................................
5.4.2 Bestimmung des Ranges einer Matrix ................
5.5 Die Determinante einer Matrix .........................................
5.5.1 Begriffsbestimmung ............................................
5.5.2 Berechnung von Determinanten .........................
5.5.3 Einige Eigenschaften von Determinanten ...........
5.6 Die Adjunkte einer Matrix .................................................
5.6.1 Begriffsbestimmung ............................................
5.6.2 Bestimmung der Inverse mit Hilfe der
Adjunktenmatrix ..................................................
69
69
69
70
71
71
73
76
76
77
86
86
4.4
4.5
5
63
88
90
90
91
93
93
95
100
101
101
102
Inhaltsverzeichnis
XI
6
Kombinatorik ...........................................................................
6.1 Permutationen .................................................................
6.2 Variationen ......................................................................
6.3 Kombinationen.................................................................
105
107
108
109
7
Finanzmathematik...................................................................
7.1 Zinsrechnung ...................................................................
7.1.1 Grundbegriffe ......................................................
7.1.2 Jährliche Verzinsung ...........................................
7.1.3 Unterjährliche Verzinsung ...................................
7.2 Abschreibungen...............................................................
7.2.1 Grundbegriffe ......................................................
7.2.2 Lineare Abschreibung .........................................
7.2.3 Degressive Abschreibung ...................................
7.2.4 Leistungsabschreibung (auch: variable
Abschreibung) .....................................................
7.3 Rentenrechnung ..............................................................
7.3.1 Grundbegriffe ......................................................
7.3.2 Endliche, gleichbleibende Renten .......................
7.3.3 Endliche, veränderliche Renten ..........................
7.3.4 Ewige Rente........................................................
7.4 Tilgungsrechnung ............................................................
7.4.1 Grundbegriffe ......................................................
7.4.2 Grundgleichungen der Tilgungsrechnung ...........
7.4.3 Annuitätentilgung ................................................
7.4.4 Ratentilgung ........................................................
7.4.5 Tilgung mit Aufgeld .............................................
7.4.6 Tilgungsfreie Zeiten ............................................
7.4.7 Gerundete Annuitäten .........................................
7.4.8 Unterjährliche Tilgung .........................................
7.5 Kurs- und Effektivzinsrechnung .......................................
7.5.1 Zinsschuld ...........................................................
7.5.2 Annuitätenschuld ................................................
7.5.3 Ratenschuld ........................................................
7.5.4 Beispielaufgabe Kursrechnung ...........................
7.5.5 Beispielaufgabe Effektivzinsrechnung ................
7.6 Investitionsrechnung ........................................................
7.6.1 Grundbegriffe ......................................................
7.6.2 Finanzmathematische Grundlagen .....................
111
111
111
112
119
124
124
125
125
129
129
129
132
141
145
145
146
147
149
150
151
154
155
161
167
168
168
169
170
171
173
173
175
XII
Inhaltsverzeichnis
7.6.3
Methoden der dynamischen
Investitionsrechnung ...........................................
Statische Verfahren der Investitionsrechnung .....
178
186
8
Optimierung linearer Modelle ................................................
8.1 Lagrange-Methode ..........................................................
8.1.1 Einführung ...........................................................
8.1.2 Bildung der Lagrange-Funktion ...........................
8.1.3 Bestimmung der Lösung .....................................
8.2 Lineare Optimierung (LP-Ansatz) ....................................
8.2.1 Einführung ...........................................................
8.2.2 Aufstellen des LP-Ansatzes ................................
8.2.3 Graphische Bestimmung der Lösung ..................
8.2.4 Simplexverfahren ................................................
189
189
189
189
190
192
192
193
193
196
9
Funktionen...............................................................................
9.1 Einführung .......................................................................
9.2 Klassifizierung von Funktionen ........................................
9.2.1 Rationale Funktionen ..........................................
9.2.2 Nichtrationale Funktionen ...................................
9.3 Eigenschaften reeller Funktionen ....................................
201
201
206
206
209
232
10
Differentialrechnung ...............................................................
10.1 Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen
Variablen .........................................................................
10.1.1 Allgemeines ........................................................
10.1.2 Erste Ableitung elementarer Funktionen .............
10.1.3 Ableitungsregeln .................................................
10.1.4 Höhere Ableitungen ............................................
10.1.5 Differentiation von Funktionen mit Parametern ...
10.1.6 Kurvendiskussion ................................................
10.2 Differentiation von Funktionen mit mehreren
unabhängigen Variablen ..................................................
10.2.1 Partielle Ableitungen (1. Ordnung) ......................
10.2.2 Partielle Ableitung (2. Ordnung) ..........................
10.2.3 Lokale Extrema der Funktion ..............................
10.2.4 Extrema mit Nebenbedingungen .........................
10.2.5 Differentiale für die Funktion ...............................
10.3 Sätze über differenzierbare Funktionen ...........................
10.3.1 Mittelwertsatz der Differentialrechnung ...............
245
7.6.4
245
245
247
249
251
252
252
259
259
262
264
267
271
273
273
Inhaltsverzeichnis
10.3.2 Verallgemeinerter Mittelwertsatz
der Differentialrechnung ......................................
10.3.3 Satz von Rolle .....................................................
10.3.4 L’Hospitalsche Regel ..........................................
10.3.5 Schrankensatz der Differentialrechnung .............
11
XIII
273
274
274
275
Integralrechnung.....................................................................
11.1 Einführung .......................................................................
11.2 Das unbestimmte Integral ................................................
11.2.1 Definition / Bestimmung der Stammfunktion .......
11.2.2 Elementare Rechenregeln für das unbestimmte
Integral ................................................................
11.3 Das bestimmte Integral ....................................................
11.3.1 Einführung ..........................................................
11.3.2 Beziehung zwischen bestimmtem und
unbestimmtem Integral .......................................
11.3.3 Spezielle Integrationstechniken ..........................
11.4 Mehrfach-Integrale ..........................................................
11.5 Integralrechnung bei ökonomischen Problemstellungen .
11.5.1 Kostenfunktionen ................................................
11.5.2 Umsatzfunktionen (= Erlösfunktion) ....................
11.5.3 Gewinnfunktionen ...............................................
287
293
296
297
297
299
300
Elastizitäten .............................................................................
12.1 Problemstellung und Begriff der Elastizität ......................
12.2 Bogenelastizität ...............................................................
12.3 Punktelastizität ................................................................
12.4 Wirtschaftstheoretische Elastizitätsbegriffe .....................
12.4.1 Preiselastizität der Nachfrage .............................
12.4.2 Die Kreuzpreiselastizität .....................................
12.4.3 Die Einkommenselastizität der Nachfrage ..........
303
303
304
308
310
311
316
317
Anhang ..............................................................................................
Aufzinsungsfaktoren .................................................................
Abzinsungsfaktoren ..................................................................
Tilgungsfaktoren .......................................................................
Rentenbarwertfaktoren .............................................................
Rentenendwertfaktoren.............................................................
Annuitätenfaktoren ....................................................................
319
320
324
328
332
340
348
Literaturverzeichnis .........................................................................
357
12
277
277
278
278
282
283
283
1 Mathematische Zeichen und Symbole
Bemerkung: Die Zeichen und Symbole sind z.T. in Anwendungen dargestellt, zu den Definitionen siehe speziellen Abschnitt.
Wenn nicht anders angegeben, liegt DIN 1302 zugrunde.
Pragmatische Zeichen
a≈b
a << b
a >> b
a=b
...
a ungefähr gleich b
a klein gegen b, a kann gegenüber b vernachlässigt werden
a groß gegen b
a entspricht b, z.B. 1 cm = 10mm
und so weiter (bis), Auslassung
Allgemeine arithmetische Relationen und Verknüpfungen
(a, b sind Zahlen, Elemente, Objekte)
a=b
a≠b
a := b
a<b
a>b
a≤b
a≥b
a+b
a−b
a⋅b
a
b
a gleich b, arithmetischer Grundbegriff, Identität
a ungleich b, keine Identität
a ist definitionsgemäß gleich b, auch =, :=
a kleiner als b, Grundbegriff, z.B. −6 < −2
a größer als b, z.B. 3 > −8
a kleiner oder (höchstens) gleich b, a ≤ 8 entspr. (−∞,8]
a größer oder (mindestens) gleich b, entspricht b ≤ a
a plus b, Summe von a und b, arithmetischer Grundbegriff
a minus b, Differenz von a und b, einstelliges Verknüpfungszeichen
a mal b, Produkt von a und b, arithmetischer Grundbegriff
16
a durch b, Quotient von a und b, z.B.
= 16 ÷ 4 = 4
4
n

n
ai
Summe über ai von i gleich 1 bis n,
i =1
i= 1
ai = a1 + a2 + ... + an
i =1
n
∏ ai

n
Produkt über ai von i gleich 1 bis n,
∏
F.W. Peren, Formelsammlung Wirtschaftsmathematik,
DOI 10.1007/978-3-642-41917-1_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
ai = a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
i= 1
1
2
1 Mathematische Zeichen und Symbole
Besondere Zahlen und Verknüpfungen (a, b ∈ R; n, m ∈ Z; s ∈ N)
an
a = a1/2 = b
n
a = a1/n = b
a hoch n, n-te Potenz von a für n ≥ 0
Wurzel (Quadratwurzel) aus a, entspr. b² = a für b ≥ 0,
a ≥0
n-te Wurzel aus a, entspricht bn = a für b ≥ 0, a ≥0
n
∏ ai = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n
n!
n Fakultät, n! =
sgn a
|a|
a [i]
∞
Signum von a (Vorzeichen), z.B. sgn (−3) = −1
Betrag von a, z.B. |−8| = 8
a an der i-ten Stelle; z.B. 5;6;7; a[2] = 6
unendlich, Merke: ∞ ist keine Zahl.
i =1
Zahlenmengen
N
N*
Z
4, Q
4*
4+
4 +0
R
R*
R+
R+ 0
C
]a,b[
]a,∞]
[a,b]
[a,b[
Menge der natürlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, ...}
Menge der positiven natürlichen Zahlen,
N* = N \ {0} = {1, 2, 3, ...}
Menge der ganzrationalen Zahlen,
Z = {... −2, −1, 0, 1, 2, ...}
a

a, b ∈ Z, b ≠ 0
Menge der rationalen Zahlen, 4 = 
b


Menge der von Null verschiedenen rationalen Zahlen;
4* = 4 \ {0}
Menge der positiven rationalen Zahlen
Menge der positiven rationalen Zahlen plus Null
Menge der reellen Zahlen
Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen plus Null
Menge der komplexen Zahlen
offenes Intervall von a bis b {x | a < x < b}
offenes unbeschränktes Intervall ab a, {x | a < x }
geschlossenes Intervall von a bis b, {x | a ≤ x ≤ b}
linksseitig geschlossenes, rechtsseitig offenes Intervall
von a bis b, {x | a ≤ x < b}
1 Mathematische Zeichen und Symbole
Grenzwert (Limes)
lim f ( x ) = a
a ist Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen 0, d.h. x
nähert sich immer mehr den Wert 0 an. So konvergiert
(limitiert) der Funktionswert f(x) gegen a.
lim f ( x ) = b
b ist der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen ∞.
lim f ( x ) = c
c ist der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen 0.
lim f ( x ) = d
d ist der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen 5.
x →0
x →∞
x →0
x →5
Exponentialfunktion, Logarithmus (x,y ∈ R+)
ex
ln x
loga x
log x
lb x
Exponentialfunktion von x, e hoch x
natürlicher Logarithmus von x; loge x = ln x
Logarithmus von x zur Basis a; loga x = y ⇔ ay = x
mit x; a > o und a ≠ 1
dekadischer Logarithmus von x, log x = lg x = log10 x
binärer (dyadischer) Logarithmus von x, lb x = log2 x
Trigonometrische Funktionen, Hyperbelfunktionen
sin x, cos x
tan x, cot x
sinh x, cosh x
tanh x, coth x
Arcsin y
Arccos y
Arctan y
Arccot y
Arsinh y
Arcosh y
Artanh y
Arcoth y
Sinus von x, Cosinus von x
Tangens von x, Cotangens von x
Hyperbelsinus von x, Hyperbelcosinus von x
Hyperbeltangens von x, Hyperbelcotangens von x
Arcussinus von y
Arcuscosinus von y
Arcustangens von y
Arcuscotangens von y
Areahyperbelsinus von y
Areahyperbelcosinus von y
Areahyperbeltangens von y
Areahyperbelcotangens von y
3
4
1 Mathematische Zeichen und Symbole
Vektoren, Matrizen
a, b, x, y, ...
a, b, x, y, ...
o, o
|a| = a
< (a, b)
a⊥b
a×b
A, B, ...
Zeichen für Vektoren, auch a, b, x, y,...
Zeichen für Skalare
Nullvektor, neutrales Element bzgl. Vektoraddition
Betrag von a, |a| = a ⋅ a
Winkel zwischen a und b
a orthogonal zu b
a Kreuz b
Zeichen für Matrizen
 a11 … a1n 




 am1 … amn 


= (aik)m,n, Matrix aik, Element aik (i-te Zeile, k-te Spalte),
auch (aik), (aik)
A′ = AT
0, 0m,n
E, En
transponierte, gestürzte Matrix A
Nullmatrix, alle Elemente gleich Null
a11
a1n
an1
ann
A n−1×n
r(A)
Einheitsmatrix; Diagonalmatrix, die in der Hauptdiagonalen nur das Element 1 hat und deren übrigen Elemente
sämtlich gleich Null sind.
= det A Determinante der quadratischen n,n-Matrix A
inverse Matrix von A, A ⋅ A−1 = E
Rang von A, auch Rg (A)
Mengen (Auszug aus DIN 5473)
{a1, ..., an}
a∈A
a∉A
A⊆B
A⊂ B
≠
A∩B
Menge mit den Elementen a1, ..., an
a ist Element von A
a ist nicht Element von A z.B. 3 ∉ {4, 5, 6}
A ist unechte Teilmenge von B, auch A ⊂ B
A ist echte Teilmenge von B, A enthalten in B, echte Inklusionsrelation „enthalten und ungleich“
A geschnitten B, A „oder“ B, enthält die gemeinsamen
Elemente
1 Mathematische Zeichen und Symbole
A∪B
5
∅={}
A vereinigt B, A „und“ B, enthält alle vorkommenden
Elemente
Differenzmenge von A und B, A „ohne“ B, z.B. {2, 3, 4} \
{2, 4} = {3}
Komplement von B, enthält alle der Elemente, die nicht in
B enthalten sind
leere Menge, enthält kein Element
Relationen
(Auszug aus DIN 5473)
a, b, (a, b)
A×B
(geordnetes) Paar von a und b, auch a; b,a | b
A Kreuz B, kartesisches Produkt von A und B, Menge
aller (geordneten) Paare aus A und B, auch A² = A × A
A\B
B
Funktionen (Auszug aus DIN 5473)
f = f(x)
Df; D(f)
Wf; W(f)
f: A → B
f von x, f ist eine Funktion in Abhängigkeit von x
Definitionsbereich von f
Wertebereich von f
f ist eine Abbildung von A in B
Ordnungsstrukturen (Auszug aus DIN 13302)
min X
max X
sup X
inf X
Minimum von X, kleinstes Element von X
Maximum von X, größtes Element von X
Supremum von X, kleinste obere Schranke von X
Infimum von X, größte untere Schranke von X
6
1 Mathematische Zeichen und Symbole
SI-Vergrößerungs- und SI-Verkleinerungsvorsätze
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zepto
Yocto
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
Griechisches Alphabet
Name
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Kleinbuchstabe
Großbuchstabe
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
1 Mathematische Zeichen und Symbole
7
Name
Kleinbuchstabe
Großbuchstabe
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
σ
Σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
2 Logik
Mathematische Logik (Auszug aus DIN 5473)
¬ ϕ, ϕ
nicht ϕ, Negation (ϕ und ψ stehen für Aussagen oder Aussageformen)
ϕ und ψ, Konjunktion
ϕ oder ψ, Disjunktion
ϕ impliziert ψ, aus ϕ folgt ψ, Implikation von ϕ und ψ, auch
ϕ→ψ
ϕ äquivalent zu ψ, ϕ ist gleichwertig mit ψ, Äquivalenz von
ϕ und ψ, auch ϕ ↔ ψ
Antivalenz, negierte Äquivalenz, ausschließendes Entweder-Oder
falls, Replikation
für alle x (gilt), Allquantor
es gibt (wenigstens) ein x für das gilt, Existenzquantor
ϕ∧ψ
ϕ∨ψ
ϕψ
ϕ⇔ψ
ϕ⇔ψ
ϕ←ψ
∀x
∃x
Aussagenlogik
Aussagenvariable
a, b, ...
sind Buchstaben oder andere Zeichen, an der Stelle
Aussagen oder Wahrheitswerte gesetzt werden können.
Wahrheitstafeln
a
b
¬a
a∧b
a∨b
W
W
F
W
W
W
F
F
F
W
F
W
W
F
W
F
F
W
F
F
F.W. Peren, Formelsammlung Wirtschaftsmathematik,
DOI 10.1007/978-3-642-41917-1_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
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2 Logik
Symbol
Bedeutung
A
A Ist eine Aussage, die wahr (w) oder falsch (f) sein kann.
Wahrheitswerte W (wahr); F (falsch)
Beispiel:
Die Aussage „7 ist eine Primzahl“ ist wahr, die
Aussage „8 − 3 = 4“ ist falsch, „7x + 4 = 25“ ist erst mit der
Belegung x = 3 eine wahre Aussage. „3“ heißt Lösung.
v(A)
v (A) wird als der Wahrheitswert der Aussage A bezeichnet; v
(A) =1 heißt, dass A wahr und v (A) =0, dass A falsch ist.
¬A
Die Negation ¬ A (bzw. A ) der Aussage A ist wahr, wenn A
falsch ist, und falsch, wenn A wahr ist.
A ∧B
Die Konjunktion A ∧ B ist wahr, wenn beide Aussagen wahr
sind, und falsch, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen
falsch ist.
A∨B
Die Disjunktion A ∨ B ist wahr, wenn wenigstens eine der
beiden Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide Aussagen
falsch sind.
Die Implikation A  B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist
auch B wahr. A wird als Voraussetzung (Prämisse), B als
Folgerung (Konklusion) bezeichnet. A  B ist nur dann
falsch, wenn aus einer wahren Voraussetzung eine falsche
Folgerung gezogen wird.
A B
A ⇔B
Die Äquivalenz A ⇔ B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist
auch B wahr und umgekehrt. A ⇔ B ist nur dann falsch,
wenn eine der beiden Aussagen wahr und die andere falsch
ist.
∃
„Es gibt“ (z.B.: ∃x ∈ 4 : x 2 = 4 heißt: Es gibt eine rationale
Zahl x mit x 2 = 4 )
∀
„Für alle“ (z.B.: ∀x ∈4 : x 2 ≥ 0 heißt: Für alle rationalen
Zahlen x mit x 2 ≥ 0 )