¨Ubungen zur Theoretischen Physik 4B: Thermodynamik und Statistik

Übungen zur Theoretischen Physik 4B: Thermodynamik und Statistik
Prof. N. Kaiser
23.5.2013
27. Zeigen Sie: Durch Einführen der dimensionslosen Variablen: p∗ = p/pc , T ∗ = T /Tc , V ∗ = V /Vc
geht die Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung in folgende universelle Form über:
p∗ =
8T ∗
3
−
.
3V ∗ − 1 V ∗2
Bestimmen Sie den kritischen Punkt (pc , Tc , Vc ) aus der Bedingung eines Wendepunkts mit
horizontaler Tangente, ∂p/∂V = ∂ 2 p/∂V 2 = 0, wobei p = NkT /(V − b) − a/V 2 ist.
28. Welche Entropiezunahme ∆Smix ergibt sich, wenn Sie x Mole einer Sorte eines idealen Gases
mit y Molen einer anderen Sorte eines idealen Gases bei konstantem Druck p und konstanter Temperatur T mischen? Drücken Sie ∆Smix durch die Gesamtmolzahl ν = x + y und die
Konzentration c = x/(x + y) aus. Zeigen Sie, daß die Ableitung der Mischungsentropie nach der
Konzentration ∂∆Smix /∂c bei c = 0 und c = 1 logarithmisch divergiert.
29. Betrachten Sie den sogenannten Stirling’schen Kreisprozess, wobei eine Wärmekraftmaschine
(mit einem idealen Gas als Arbeitsmittel) mechanische Arbeit gemäß dem folgenden quasistatischen Zyklus leistet:
a) Isotherme Expansion bei der Temperatur T1 vom Volumen V1 auf das Volumen V2 .
b) Abkühlung bei konstantem Volumen V2 von T1 nach T2 .
c) Isotherme Kompression bei Temperatur T2 von V2 nach V1 .
d) Erwärmung bei konstantem Volumen V1 von T2 auf T1 .
Bestimmen Sie den Wirkungsgrad η (geleistete Arbeit geteilt durch die gesamte zugeführte
Wärme) für diesen Prozess. Was erhalten Sie für η, wenn die im Prozessschritt b) abgegebene
Wärme zwischengespeichert und im Prozessschritt d) vollständig eingespeist werden kann.
P
30. Leiten Sie aus der Gibbs-Duhem-Relation für homogene Gemische, G = nj=1 µj Nj , die Beziehung
V dp = S dT +
n
X
Nj dµj
(1)
j=1
her. Daher sind von den n + 2 intensiven Variablen T, p, µ1 , .., µn nur n + 1 unabhängig.
31. Betrachten Sie die Siede- und Kondensationskurven eines 2-komponentigen Flüssigkeitsgemisches
(siehe untenstehende Figur). Die Konzentrationen in der Gas- und Flüssigkeitsphase seien cg und
cf l . Zeigen Sie, dass in Punkten mit cg = cf l (sog. azeotropes Gemisch), an denen sich die Siedeund die Kondensationskurve berühren, für fest gehaltenen Druck dT /dc = 0, und für fest gehaltene Temperatur dp/dc = 0 gilt; d.h. die Steigungen sind horizontal.
Hinweis: Gehen Sie aus von den differentiellen Gibbs-Duhem-Beziehungen Gl.(1) der Gas- und
Flüssigkeitsphase auf den Grenzkurven und bilden Sie deren Differenz. Folgern Sie dµj,g = dµj,f l ,
(j = 1, 2) und stellen Sie die Teilchenzahlen Nj,g , Nj,f l durch die Konzentrationen cg und cf l dar.
Sie erhalten so: (Vf l − Vg )dp + (Sg − Sf l )dT + Ntot (cg − cf l )(dµ1 − dµ2) = 0.