Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Beata Strycharz-Szemberg
Skript zur Vorlesung
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
UNIVERSITÄT
D U I S B U R G
E S S E N
Essen 2007
Voraussichtliche Inhalte der Vorlesung
Grundlagen
1 Logik
2 Mengenlehre
3 Zahlenmengen
3.1 Natürliche Zahlen
3.2 Ganze Zahlen
3.3 Rationale Zahlen
3.4 Reelle Zahlen
3.5 Die Menge Rn
3.6 Summen- und Produktzeichen
4 Abbildungen
Lineare Algebra
5 Der Rn als Vektorraum.
5.1 Unterräume
5.2 Linear unabhängige Vektoren
5.3 Basis und Dimension endlich-dimensionaler Vektorräume
5.4 Lineare Abbildungen
6 Matrizen und Operationen zwischen Matrizen
6.1 Matrizenaddition und Skalarmultiplikation
6.2 Multiplikation von Matrizen
6.3 Zusammenhang von linearen Abbildungen und Matrizen
7 Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme
7.1 Graphische Lösung eines linearen Gleichungssystems
7.2 Zusammenhang von linearen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen
7.3 Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem
7.4 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme – Gaußscher Algorithmus
7.5 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
7.6 Berechnung von inversen Matrizen
2
7.7 Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
8 Determinanten und Cramersche Regel
8.1 Berechnung von Determinanten größerer Ordnung
8.1.1 Laplace–Entwicklung
8.1.2 Eliminationsverfahren
8.2 Determinanten und Vektoren
8.3 Determinanten und inverse Matrizen
8.4 Lineare Gleichungssysteme und Cramersche Regel
Analysis
9 Intervalle und Umgebungen
9.1 Betrag und Signum
9.2 Intervalle
10 Folgen und Reihen
10.1 Folgenbegriff und Beispiele
10.2 Konvergenz von reellen Zahlenfolgen
10.2.1 Cauchy–Konvergenzkriterium
10.2.2 Konvergenz beschränkter und monotoner Folgen
10.3 Berechnung von Grenzwerten
10.4 Reihenbegriff, Beispiele und Eigenschaften
10.5 Konvergenzkriterien für Zahlenreihen
11 Funktionen einer reellen Variablen
11.1 Der Funktionsbegriff und Beispiele
11.2 Rechnen mit Funktionen
11.3 Erste Eigenschaften reeller Funktionen
11.3.1
11.3.2
11.3.3
11.3.4
Nullstellen
Symmetrie
Periodizität
Monotonie
11.4 Grenzwerte von Funktionen
11.5 Stetigkeit von Funktionen
11.6 Eigenschaften stetiger Funktionen
3
11.7 Monotone Funktionen
11.7.1 Die Exponentialfunktion
11.7.2 Die Logarithmus Funktion
12 Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen
12.1 Der Ableitungbegriff
12.2 Ableitungsregeln
12.3 Höhere Ableitungen
12.4 Ableitungen und Grenzwerte
12.5 Extremwerte und Monotonie
12.5.1 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
12.5.2 Ableitungen und Monotonieverhalten
12.6 Krümmung und zweite Ableitung
12.7 Kurvendisskusion
13 Funktionen in mehreren Variablen
13.1 Norm, Umgebung, offene und abgeschlossene Teilmengen des Rn
13.2 Folgen in Rn
13.3 Stetige Funktionen in Rn
14 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen
14.1 Richtungsableitung
14.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung
14.3 Extremwerte von Funktionen in mehreren Variablen
14.3.1 Positiv (Negativ) Definite Matrizen
14.3.2 Hinreichende Bedingungen für Extrema
14.4 Extremwerte unter Nebenbedingungen
14.4.1 Variablensubstitution
14.4.2 Lagrange–Multiplikatorenregel
15 Integralrechnung
15.1 Das Riemann–Integral
15.2 Stammfunktionen
15.3 Integrationsregeln
15.4 Uneigentliche Integrale
15.4.1 Der unbeschränkte Integrationsbereich
15.4.2 Der unbeschränkte Integrand
LITERATUR
4
Literatur
[1] Tietze, J.: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik (Übungsbuch)
[2] Dörsam, P.: Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften
(Übungsbuch)
[3] Rommelfanger, H.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (Übungsbuch)
[4] Gal, Th. et all: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
5
Teil I
Grundlagen
1
Logik
Seien A, B, . . . Aussagen, wie z. B. die Sonne scheint” oder 3 ist größer als 5”, die entweder wahr
”
”
oder falsch sind (zweiwertige Logik), und seien A(x), B(x), . . . Aussagenformen, d. h. Aussagen, in
denen eine oder mehrere Variablen auftreten und die erst dann wahr oder falsch werden, wenn für die
Variablen Elemente aus einer sinnvollen Menge eingesetzt werden.
Beispiele 1.1.
• Essen ist eine Stadt in NRW (w)
√
• 2 ist eine rationale Zahl (f )
• 32 − 2 · 3 + 1 > 0 (w)
• Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Gerade (f )
• Winkelsumme im Dreieck ist 180◦ (w)
• x ist eine Primzahl
• x | 27 (x ist ein Teiler von 27)
• x2 + y 2 = 4
Wir werden als Abkürzungen einige Symbole benutzen:
• Negation, Verneinung:
¬ A, ∼ A — nicht A”.
”
• Konjunktion, Verbindung:
A ∧ B — sowohl A als auch B”, A und B”.
”
”
• Disjunktion:
A∨B —
”
A oder B ist wahr, oder beide sind wahr”.
• Implikation, Folgerung:
A ⇒ B — aus A folgt B”, wenn A, dann auch B”,
”
”
B ist notwendig für A”,
”
A ist hinreichend für B”;
”
A – Voraussetzung oder Prämisse,
B – Behauptung oder Konklusion.
6
2 MENGENLEHRE
• Äquivalenz, Gleichwertigkeit:
A ⇔ B — A gilt genau dann, wenn B gilt”,
”
A und B sind gleichwertig”,
”
A ist äquivalent mit B”,
”
aus A folgt B und umgekehrt”,
”
A ist notwendig und hinreichend für B und umgekehrt”.
”
• Quantoren:
Sei G eine gegebene Grundmenge derart, dass A(x) zu einer Aussage wird, wenn man für x ein
Element von G einsetzt.
∀x∈G A(x) — A(x) für alle x aus der Menge G ”
”
für alle x aus der Menge G ist A(x) wahr”.
”
∃x∈G A(x) — A(x) für mindestens ein x aus der Menge G ”,
”
es existiert mindestens ein x aus G, so dass A(x) wahr ist”.
”
Wir werden auch die folgende Symbole benutzen:
∀ ! — für fast alle . . . ”
”
∃ ! — es existiert genau ein . . . ”
”
2
Mengenlehre
Mengen werden charakterisiert entweder durch Aufzählen ihrer Elemente in geschweiften Klammern (die
Reihenfolge der Aufzählung ist ohne Bedeutung), z. B.:
M := {He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn} ,
oder durch Angabe einer charakteristischen Eigenschaft, z. B.:
M := {a : a ist ein Edelgas} ,
oder durch graphische Darstellung, z. B.:
M
Kr
Xe
He
Ne
Ar
Rn
Der Definitionsdoppelpunkt :=” ist folgendermassen zu verstehen: definitionsgemäß gleich”, bedeutet”,
”
”
”
soll sein”.
”
7
2 MENGENLEHRE
Wir werden die folgenden Bezeichnungen benutzen:
• A, B, M, X, Y , . . . — Mengen, große lateinische Buchstaben;
• a, b, m, x, y, . . . — Elemente, kleine lateinische Buchstaben;
• a ∈ A — a ist ein Element der Menge A;
• a 6∈ A — a ist kein Element der Menge A;
• Ø — die leere Menge; die Menge, die kein Element besitzt.
Für Mengen verwenden wir die folgenden Beziehungen und Verknüpfungen:
Definition 2.1. Seien A und B Mengen.
a) A ist Teilmenge von B genau dann, wenn aus a ∈ A stets a ∈ B folgt:
A⊆B
⇐⇒
(a ∈ A ⇒ a ∈ B) .
Die Menge B heißt in diesem Fall auch Obermenge von A.
b) A und B sind gleich genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A:
A=B
⇐⇒
(a ∈ A ⇔ a ∈ B) .
c) A heißt echte Teilmenge von B genau dann, wenn A ⊆ B und A 6= B:
A⊂B
⇐⇒
(a ∈ A ⇒ a ∈ B) ∧ (∃ a ∈ B : a 6∈ A) .
Die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist: ∀A−Menge Ø ⊆ A.
Beispiel 2.2.
❶ {2, 4, 6, 8} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
{2, 4, 6, 8} ⊆ {8, 6, 4, 2}
❷ {2, 4, 6, 8} = {8, 6, 4, 2, 2, 4, 6, 8}
❸ {2, 4, 6, 8} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
¬ {2, 4, 6, 8} ⊂ {8, 6, 4, 2}
8
2 MENGENLEHRE
Definition 2.3. Seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G.
a) Die Menge
A
B
A ∪ B := {a : a ∈ A ∨ a ∈ B}
A∪B
heißt die Vereinigung von A und B.
b) Die Menge
A
B
A ∩ B := {a : a ∈ A ∧ a ∈ B}
A∩B
heißt der Durchschnitt von A und B.
c) Die Menge
A
B
A \ B := {a : a ∈ A ∧ a 6∈ B}
A\B
heißt die Differenz zwischen A und B.
Beispiel 2.4.
❶ {2, 4, 6, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
{2, 4, 6, 8} ∪ {8, 6, 4, 2} = {2, 4, 6, 8}
❷ {2, 4, 6, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} = Ø
{2, 4, 6, 8} ∩ {1, 2, 3, 4} = {2, 4}
❸ {2, 4, 6, 8} \ {1, 3, 5, 7, 9} = {2, 4, 6, 8}
{2, 4, 6, 8} \ {1, 2, 3, 4} = {6, 8}
9
2 MENGENLEHRE
Die Verknüpfung verschiedener Mengenoperationen kann nicht willkürlich geschehen; sie ist vielmehr
durch strenge Gesetzmäßigkeiten geregelt. Wir listen die wichtigsten dieser Gesetze hier auf.
Eigenschaften 2.5. Seien A, B und C Teilmengen einer Grundmenge G. Dann gelten:
• Kommutativgesetze:
A∪B = B∪A
und
A ∩ B = B ∩ A;
• Assoziativgesetze:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) =: A ∪ B ∪ C,
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) =: A ∩ B ∩ C;
• Distributivgesetze:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
• Idempotenzgesetze:
A∪A = A
und
A ∩ A = A;
A∩G = A
und
A ∪ Ø = A;
A∩Ø = Ø
und
A ∪ G = G.
• Neutrale Elemente:
• Dominante Elemente:
Von Bedeutung wird im Folgenden noch der Begriff des Produktes von Mengen sein:
Definition 2.6. Für zwei Mengen A und B heißt die Menge
A × B := {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
kartesisches Produkt von A und B. Das Paar (a, b) heißt geordnetes Paar.
10
3 ZAHLENMENGEN
Beispiel 2.7.
❶ Das Produkt der Mengen A = {1, 3, 5} und B = {0, 2} ist die Menge
A × B = {(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) , (5, 0) , (5, 2)} .
❷ Für jede Menge A gilt
A×Ø = Ø
3
3.1
und
Ø × A = Ø.
Zahlenmengen
Natürliche Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen werden wir mit
N := {1, 2, 3, . . .}
bezeichnen. Praktisch, und häufig verwendet, ist die Bezeichnung
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Die Grundoperationen: Addition +” und Multiplikation ·” sind in der Menge der natürlichen Zah”
”
len N uneingeschränkt durchführbar. Summe und Produkt zweier natürlicher Zahlen sind wieder eine
natürliche Zahl. Das heißt, die Menge N ist unter den beiden algebraischen Operationen +” und ·”
”
”
abgeschlossen.
Bemerkung 3.1.
Die Gleichungen
x+5 = 3
und
5·x = 3
sind in der Menge der natürlichen Zahlen nicht lösbar (d. h. es existiert keine natürliche Zahl x, die
diese Gleichungen erfüllt). Andersgesagt: die Umkehrungen der Addition und der Multiplikation, d. h.
die Subtraktion und die Division, sind nur manchmal in N durchfürbar:
3 − 5 6∈ N
und
3
6∈ N.
5
11
3 ZAHLENMENGEN
3.2
Ganze Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen bezeichnen wir mit
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Die Elemente von {. . . , −3, −2, −1} heißen negative ganze Zahlen und die Elemente von {1, 2, 3, . . .}
positive ganze Zahlen. Es gilt N ⊂ Z.
Bemerkung 3.2.
Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert genau eine ganze Zahl x, so dass a + x = b; kurz geschrieben:
∀ a, b ∈ Z ∃ ! x ∈ Z :
x + a = b,
(x := b − a)
d. h. die Subtraktion ist in der Menge der ganzen Zahlen uneingeschränkt durchführbar.
3.3
Rationale Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen wird mit
Q :=
p
: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0
q
= Menge der periodischen Dezimalbrüche.
bezeichnet. Es gilt Z ⊂ Q, da die Zahl p ∈ Z mit dem Bruch
p
1
∈ Q identifiziert werden kann.
Bemerkung 3.3.
Zu je zwei rationalen Zahlen a 6= 0 und b existiert genau eine rationale Zahl x, so dass a · x = b; kurz
geschrieben:
∀ a ∈ Z \ {0}, b ∈ Z ∃ ! x ∈ Q :
a · x = b,
b
x :=
.
a
In Q sind jetzt die vier Grundoperationen Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer
durch 0!) unbeschränkt ausführbar, d. h. die Menge der rationalen Zahlen ist bzgl. dieser Operationen
abgeschlossen.
12
3 ZAHLENMENGEN
3.4
Reelle Zahlen
Rationale Zahlen kann man mit Punkten einer geraden Linie, der Zahlengerade, identifizieren. Aber
dann wird man feststellen, dass diese Gerade kein Kontinuum ist. Es gibt Lücken in der rationalen”
”
Zahlengerade:
0
Es gibt nichtrationale Zahlen, z. B.
√
1
√
2
2 oder 0,1 01 001 0001 00001 . . . – nichtperiodischer Dezimalbruch.
Bekannte irrationale Zahlen:
√
2 = 1,41421356 . . . – die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge 1,
π = 3,141592654 . . . – die Kreiszahl,
e = 2,71828182 . . . – die Eulersche Zahl.
Die Menge der reellen Zahlen R erhält man aus Q durch die Forderung der Vollständigkeit: Wir
wollen, dass die Zahlengerade lückenlos (ein Kontinuum) ist, wie uns die Anschauung lehrt. Diese anschauliche Erklärung der Menge R stellt natürlich keine exakte Definition dar.
Wir werden uns R als Menge der Dezimalbrüche vorstellen
R := Menge der Dezimalbrüche
Es gilt Q ⊂ R, und auch in R sind die vier Grundoperationen natürlich unbeschränkt ausführbar.
Zwei reelle Zahlen x, y ∈ R kann man
addieren:
x+y ∈R
multiplizieren: x · y ∈ R,
dabei gelten die aus der Schule bekannten Regeln:
13
3 ZAHLENMENGEN
Eigenschaften und Regeln 3.4. Es seien x, y, z ∈ R.
• Assoziativität der Addition:
(x + y) + z = x + (y + z)
• Existenz der Null – des neutralen Elementes bzgl. der Addition:
∀x ∈ R :
x+0 = x = 0+x
• Existenz des Negativen (−x):
∀ x ∈ R ∃! (−x) ∈ R :
x + (−x) = 0 = (−x) + x
• Kommutativität der Addition:
x+y = y +x
• Assoziativität der Multiplikation:
(x · y) · z = x · (y · z)
• Existenz der Eins – des neutralen Elementes bzgl. der Multiplikation:
∀x ∈ R :
x·1 = x = 1·x
• Existenz des Inversen x1 :
∀ x ∈ R \ {0} ∃!
1
x
∈R:
1
1
x·
= 1 =
·x
x
x
• Kommutativität der Multiplikation:
x·y = y·x
14
3 ZAHLENMENGEN
• Distributivität:
x · (y + z) = x · y + x · z
Aus den obigen Rechenregeln können jetzt die zahlreichen Rechengesetze der Arithmetik abgeleitet
werden, die zum Großteil zum Schulstoff gehören. Besonders erwähnt werden soll, dass R nullteilerfrei
ist.
• x·y =x·z
∧
x 6= 0
• x·y = 0
⇐⇒
=⇒
x=0
y=z
∨
(Kürzungsregel);
y = 0.
Beispiel 3.5. In der Vorlesung.
Die Menge der reellen Zahlen R ist geordnet, d. h. es gilt
Trichotomiegesetz: Für je zwei Zahlen x, y ∈ R gilt genau eine der folgenden drei Beziehungen:
oder
x<y
x=y
oder
y < x.
Manchmal ist es sinnvoll, den Gleichheitsfall anzuschließen und anstelle von <” die schwächere Ord”
nungsrelation
x≤y
: ⇐⇒
x < y oder x = y
zu betrachten.
Wir listen jetzt wichtige Rechenregeln für Ungleichungen auf.
Rechenregeln 3.6. Es seien x, x′ , y, y ′, z ∈ R.
• Transitivität:
x < y
und
=⇒
y < z
x < z
• Monotonie der Addition:
=⇒
x < y
x < y
und
x+a < y+a
=⇒
x′ < y ′
für alle a ∈ R
x + x′ < y + y ′
• Monotonie der Multiplikation:
x < y
=⇒
x < y
=⇒
0 ≤ x < y
und
a·x < a·y
a·x > a·y
0 ≤ x < y
′
für alle a > 0
für alle a < 0
′
=⇒
0 ≤ x · x′ < y · y ′
15
3 ZAHLENMENGEN
•
0 < x < y
=⇒
1
1
<
y
x
•
=⇒
x < y
3.5
x < λx + (1 − λ)y < y
für alle λ ∈ R mit 0 < λ < 1
Die Menge Rn
Definition 3.7. Für n ∈ N ist Rn die Menge der geordneten n-Tupel mit Komponenten aus R:
Rn := {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) :
xi ∈ R,
i ∈ {1, . . . , n}} .
In der linearen Algebra bezeichnet man x ∈ Rn auch als Vektor. Dabei schreibt man x als Spaltenvektor”
”


x1
 x2 


x =  ..  = (x1 , x2 , . . . , xn )t .
 . 
xn
In der Analysis werden die Elemente vom Rn als Punkte bezeichnet und, damit die Formeln nicht zu
lang werden, als Zeilenvektoren” geschrieben, also x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Für n = 2 bzw. n = 3 kann
”
man sich die Elemente vom Rn auch als Punkte in der Ebene R×R (s. Def. 2.6) bzw. im Raum R×R×R
vorstellen. Außerdem ist natürlich R1 = R.
3.6
Summen- und Produktzeichen
Für die Summe bzw. für das Produkt von mehreren Zahlen am , am+1 , am+2 , . . . , an , m, n ∈ N, m ≤ n
werden folgende Bezeichnungen benutzt:
n
X
i=m
n
Y
i=m
ai := am + am+1 + am+2 + · · · + an ,
ai := am · am+1 · am+2 · . . . · an .
16
3 ZAHLENMENGEN
Rechenregeln 3.8.
• Zerlegen einer Summe: Ist l eine ganze Zahl zwischen m und n, so ist
n
X
ai =
i=m
l
X
n
X
ai +
i=m
ai .
i=l+1
• Assoziativität:
n
X
(ai + bi ) =
i=m
n
X
ai +
i=m
n
X
bi .
i=m
• Distributivität:
n
X
i=m
(c · ai ) = c ·
n
X
ai .
i=m
• Indexverschiebung: Man kann ein beliebiges Symbol (ausgenommen n) als Summationsindex verwenden
n
X
ai
n−m
X
j:=i−m
=
i=m
aj+m .
j=0
Die untere Summationsgrenze ist oft die Zahl 0 oder 1.
• Doppelsummen: Summanden können manchmal zwei Indizes haben, etwa ai,j =
n,m
X
1
.
i+j
Eine Summe
ai,j
i,j=1
heißt Doppelsumme. Man rechnet sie aus, indem man zuerst über einen Index addiert und dann
über den anderen:
n,m
X
i,j=1
ai,j :=
n
m
X
X
i=1
Beispiele 3.9. In der Vorlesung.
Für Produkte gelten ganz ähnliche Regeln.
j=1
ai,j
!
=
m
n
X
X
j=1
i=1
ai,j
!
.
17
4 ABBILDUNGEN
Beispiel 3.10. Als ein wichtiges Beispiel nennen wir hier n–Fakultät:
n! :=
n
Y
i=1
i = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n,
für alle n ∈ N. Vereinbarungsgemäss setzt man
0! := 1.
Ein weiteres Beispiel wird in der Vorlesung angegeben.
4
Abbildungen
Das wichtigste Hilfsmittel zur Untersuchung von Mengenstrukturen sind Abbildungen von einer Menge
X in eine zweite Menge Y . Wir werden später ausführlicher auf diesen Begriff eingehen und beschränken
uns hier nur auf die Erläuterung der Grundtatsachen.
Definition 4.1. Seien X und Y Mengen. Eine Zuordnungsvorschrift f , die jedem Element x ∈ X genau
ein Element y ∈ Y zuordnet, heißt eine Abbildung von X nach Y .
Schreibweise:
f : X → Y,
bzw. f :
X −→ Y
x 7−→ y.
a) Das Element x heißt Urbild von y bezüglich f .
b) Die Menge X heißt Vormenge, Definitionsmenge (Definitionsbereich) oder Urbildmenge der Abbildung f .
c) Die Menge Y nennt man (potentielle) Nachmenge von f .
d) Das Element y heißt das Bild von x unter f und wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet.
e) Die Menge f (X) = {f (x) :
Wertebereich.
x ∈ X} ⊆ Y bezeichnet man als Bild von f , Bildmenge oder
f) Die Menge Γf = {(x, y) ∈ X × Y : y = f (x)} heißt Graph von f .
18
4 ABBILDUNGEN
Beispiel 4.2.
Eine Abbildung f : {1, 2, 3} → {a, b, c}:
X
Y
1
c
3
b
a
2
Keine Abbildung:
X
Y
1
c
3
b
a
2
Definition 4.3. Gegeben seien Mengen X und Y und eine Abbildung f : X → Y .
a) Das Bild von M ⊆ X unter f ist
f (M) := {y ∈ Y : ∃x∈M mit f (x) = y} ⊆ Y.
b) Das Urbild von N ⊆ Y bezüglich f ist
f −1 (N) := {x ∈ X : f (x) ∈ N} ⊆ X.
Ist N = {y} für y ∈ Y , so ist
f −1 (y) := f −1 ({y}) = {x ∈ X : f (x) = y}.
Beispiel 4.4. Wir betrachten die Abbildung aus dem Beispiel 4.2. Dann
❶ f ({3}) = {a},
❷ f −1 ({a}) = {2, 3},
f ({1, 2}) = {a, b},
f −1 ({b}) = {1},
f ({1, 2, 3}) = {a, b}
f −1 ({c}) = Ø
Weitere Beispiele werden in der Vorlesung angegeben.
19
4 ABBILDUNGEN
Definition 4.5. Gegeben seien Mengen X und Y . Eine Abbildung f : X → Y heißt
a) surjektiv (oder Abbildung auf), falls
• f −1 (y) für jedes y ∈ Y aus mindestens einem Element besteht,
• ∀y∈Y ∃x∈X
f (x) = y,
d. h.:
d. h.:
• f (X) = Y .
b) injektiv (oder eineindeutige Abbildung), falls
• f −1 (y) für jedes y ∈ Y aus höchstens einem Element besteht,
• ∀x1 ,x2 ∈X
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 ,
• ∀x1 ,x2 ∈X
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
d. h.:
d. h.:
c) bijektiv (oder eineindeutige Abbildung auf), falls f injektiv und surjektiv ist,
• f −1 (y) für jedes y ∈ Y aus genau einem Element besteht,
• ∀y∈Y ∃!x∈X
d. h.:
d. h.:
f (x) = y.
d) Ist f bijektiv, so definiert man die Umkehrabbildung f −1 : Y → X durch:
f −1 (y) = x
⇐⇒
f (x) = y.
Beispiel 4.6. Die Abbildung aus dem Beispiel 4.2 ist weder surjektiv (f −1 ({c}) = Ø) noch injektiv
(f −1 ({a}) = {2, 3}).
Weitere Beispiele werden in der Vorlesung angegeben.
Definition 4.7. Seien X, Y , Z Mengen, und seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Dann
heißt die Abbildung
X → Z
g◦f :
x 7−→ g (f (x))
die Verknüpfung von f mit g.
X
f
Y
x
y
g◦f
Beispiel 4.8. In der Vorlesung.
g
Z
z