Potenzen und Wurzeln - Mathematik macht Freu(n)de

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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit natürlichen Exponenten
Wir verwenden die Potenzschreibweise, um uns Schreibarbeit zu ersparen:
Die Schreibweise a9 ist praktischer als a · a · a · a · a · a · a · a · a.
an = |a · a · a{z· . . . · a}
Sprechweise: „a hoch n“ oder manchmal die „n.te Potenz von a“
n Faktoren
Die Zahl a heißt Basis, die Zahl n heißt Exponent.
Berechne die folgenden Potenzen:
23 =
32 =
51 =
15 =
02 =
(−1)3 =
Rechenregeln für Potenzen
Kannst du erklären, weshalb diese Rechenregeln gelten?
Denke zum Beispiel an n = 3 und m = 2.
1) an · am = an+m
2) (a · b)n = an · bn
n
3)
a
b
=
an
bn
4) (an )m = an·m
Wir wollen an für alle ganzen Zahlen n definieren.
Damit die Rechenregeln für Potenzen weiter gelten, haben wir dafür nur eine Möglichkeit:
Was ist 2−3 ?
Versuche das Muster bis zur Potenz 2−3 nach links zu vervollständigen:
:2
:2
22
21
·2
=⇒ 20 =
=⇒ 2−2 =
:2
·2
=⇒ 2−1 =
=⇒ 2−3 =
:2
23
·2
24 · · ·
·2
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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Wenn der Exponent 0 oder eine negative ganze Zahl ist, dann gilt:
a−1 =
a0 = 1,
1
a1
a−2 =
,
1
a2
,
···
a−n =
1
an
Rechenregel für Potenzen
Die folgende Regel gilt für alle ganzzahligen Exponenten n und m:
an
am
= an−m .
Überprüfe die Rechenregel, wenn. . .
1) n = 5, m = 2
2) n = 3, m = 3
3) n = 2, m = 5
4) n = −2, m = −3.
Rechnen mit Potenzen
Schreibe die Terme in der Form ax · by · cz mit x, y, z ∈ Z.
4
a)
b)
a3 · b2 · c−2
=
a · b3 · c7
a2 · c
b3
c) a3 ·
!3
·
b5
a · c42
b0
=
c−2
!0
·
b2
3 4 1
·
c
=
Der nächstgrößere Zahlenbereich nach den ganzen Zahlen Z sind die rationalen Zahlen Q („Bruchzahlen“).
n.te Wurzel
Zu jedem a ≥ 0 und jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 gibt es genau eine Zahl x ≥ 0, die eine Lösung der
Gleichung
xn = a
ist. Wir kürzen diese Zahl mit
√
n
n
a = a.
√
n
a ab und nennen sie die n.te Wurzel aus a. Es gilt also
„n.te Wurzel“ und „hoch n“ heben einander auf. Wir schreiben auch
√
a statt
p
√
2
a.
(−2)2 = 2
Die Gleichung x2 = 4 √
hat genau zwei Lösungen, nämlich x1 = 2 und x2 = −2.
√
Die Wurzel aus 4, also 4, ist – wegen der Definition – die positive Lösung 2. Kurz: 4 = 2
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln von Hand berechnen
Bestimme die folgenden Wurzeln ohne Taschenrechner.
√
√
1) 3 8 =
4) 2306872 =
2)
3)
√
5)
9=
q
3
1
27
6)
=
√
3
7)
4242 =
√
42
1=
√
42
0=
8)
q
9
25
9)
p
(−3)2 =
=
Potenzfunktion und Wurzelfunktion
Rechts siehst du den Graphen der Potenzfunktion f (x) = x3 .
Lies die folgenden Zahlen rechts so genau du kannst ab.
Vergleiche dein Ergebnis mit dem TR:
a) 0,63 ≈
b) 0,83 ≈
c)
√
3
d)
√
3
0,2 ≈
0,4 ≈
Die Wurzelfunktion g(x) =
√
3
x ist die Umkehrfunktion von f (x) = x3 .
Zeichne ihren Graphen oben ein.
Rechenregeln für Wurzeln
Vereinfache so weit wie möglich:
n
√
√
n
n
a· b =
√ k
√
n·k
n
n
n
=
a
=
a
q
m·n
m √
n
a
=
Erkläre damit die Rechenregeln für das Wurzelziehen:
√
√
√
n
n
1)
a·b= na· b
√
√ m
2) n am = n a
√
√
n·k
3)
ak = n a
4)
q√
m
n
a=
√
m·n
a
3
Was soll eine Potenz wie 9 2 mit gebrochenem Exponenten sein? Wollen wir, dass die Rechenregeln für
Potenzen weiter gelten, wobei wir im Exponenten einfach Bruchrechnen, gibt es nur eine Antwort:
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Potenzen und Wurzeln
Quadratisch, praktisch, gleich
Erkläre, welche Eigenschaften in den beiden folgenden Rechnungen verwendet werden:
3
92
√
2
2
93
3
= 9 2 ·2 = 93
2
=
√
2
93 ·
√
2
93 = 93
√
3
2
Die beiden positiven Zahlen 9 2 und 93 ergeben beide mit sich selbst multipliziert 93 .
√
√ 3
3
2
Kontrolliere mit dem Taschenrechner.
Also muss 9 2 = 93 = 2 9 = 33 = 27 sein.
Potenzen mit rationalen Exponenten
Für Potenzen mit Basis a ≥ 0 und rationalem Exponenten
m
an =
m
n
mit m ∈ Z und n ∈ N definieren wir
√
n
am .
√
Es gilt ja, dass
k·n
ak·m =
√
n
2
am für k ∈ N. Warum spielt das hier eine Rolle?
1
Wir hoffen, dass a 4 = a 2 .
Alle Rechenregeln gelten weiterhin, und du kannst mit dem Bruch im Exponenten wie gewohnt rechnen.
Zusammenfassung
• Die Potenz ax ist für jede Basis a ≥ 0 und jede rationale Zahl x eine bestimmte, nichtnegative Zahl.
2
, 3−2 =
Zum Beispiel ist 24 =
• Es gelten die Rechenregeln für Potenzen:
ax
1) ax · ay = ax+y 2) y = ax−y 3) (a · b)x = ax · bx
a
und 8 3 =
x
4)
a
b
=
ax
bx
.
5) (ax )y = ax·y
• Beim Bilden des Kehrwerts verdreht sich das Vorzeichen im Exponenten:
a−x =
1
ax
bzw.
1
a−x
= ax .
• Eine Potenz mit rationalem Exponenten können wir als Wurzel schreiben und umgekehrt:
√
m
a n = n am
Rechnen mit Wurzeln
Beim Rechnen mit Wurzeln kannst du also alle Wurzeln in Potenzen umschreiben und dann die Rechenregeln für Potenzen verwenden. Schreibe den folgenden Term in der Form ax · by · cz mit x, y, z ∈ Q.
√
3
√
a2 · b · c4
√
=
6
a5 · b2 · c−2
Bekanntlich können wir nicht jede Zahl als Bruch darstellen. Die Kreiszahl π ist eine solche irrationale Zahl.
Aber was soll dann 2π = 23,1415926... bedeuten? Tatsächlich können wir ax auch für jede irrationale Zahl x
so definieren, dass alle Rechenregeln für Potenzen erhalten bleiben.
Rechne 2π mit dem Taschenrechner aus.
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