Eine Firma stellt elektronische Bauelemente her, deren Menge in

Eine Firma stellt elektronische Bauelemente her, deren Menge in Produktionseinheiten
gemessen wird [ 1 Produktionseinheit = 1000 Bauteile ] . Bei der Herstellung von x
Produktionseinheiten entstehen Gesamtkosten in Höhe von H(x) Geldeinheiten [ 1 Geldeinheit = 1000 EURO ] mit H ( x) 241 x 3  14 x 2  2x  43 .
Jede Produktionseinheit wird zum Preis von p Geldeinheiten verkauft.
(1) Wie viele Bauteile muß die Firma mindestens herstellen bzw wieviele darf sie höchstens
produzieren, damit sie für p  56 mit Gewinn arbeitet ?
(2) Wie viele Bauteile müssen hergestellt werden, damit für p  56 der Gewinn maximal
wird? Wie groß ist der maximale Gewinn ungefähr ?
(3) Wie groß muss der Mindestpreis p 0 für eine Produktionseinheit sein, damit die Firma
ohne Verlust arbeiten kann?
LÖSUNG:
V(x) =
5
6
Kosten : H ( x)
1
24
x 3  14 x 2  2x  43
(1)
Verkaufserlös :
.
Es wäre hier sinnvoll ein Schaubild von H und V zu zeichnen.
Bedingung :
V(x)  H(x) führt auf die Gleichung  241 x 3  14 x 2  13 x  43  0
x
bzw auf : x 3  6 x 2  8 x  32  0 mit der Lösung x 1 = 2 durch zielgerichtetes
Probieren zu finden. Weitere Lösungen : x 2  2  2 5 und
d.h. Bedingung für Produktionseinheiten : 2  x  6,47
(2)
[ x3  2  2 5 <0 ]
d(x) = V(x) – H(x) soll maximal werden für 2 < x < 6,47
d(x) =  241 x 3  14 x 2  13 x  43 ; d‘(x) =  18 x 2  12 x  13 ; d‘(x) = 0 für
x4  2  23 15  4,58 , [ x5 < 0 ] und d‘‘( x 4 ) < 0 ; für x = 4,58 erhält man einen
maximalen Gewinn d(4,58) = 1,43 , ungefähr 1430 EURO.
(3)
Setze: V(x) = px Für welche Werte von p gilt : V ( x)  H ( x) . D.h. es ist die
Ursprungsgerade zu bestimmen, die das Schaubild von H noch berührt.
Berührpunkt B(u | H(u)) . Die Tangente t an das Schaubild in B
t : y  ( 18 u 2  12 u  12 )( x  u )  241 u 3  14 u 2  12 u  43 muss eine Ursprungsgerade sein.
Das führt auf die Gleichung u 3  3u 2  16  0 mit der einzigen Lösung u = 4.
Wegen B(4 | 2) gilt: t: y = 12 x = V(x) , d.h. bei p 0  12 und x = 4
Produktionseinheiten arbeitet die Firma gerade noch ohne Verlust.
Mindestpreis / Produktionseinheit : 500 Euro .