lineare gleichungen und ungleichungen in einer variablen

HTBLA VÖCKLABRUCK
STET
Lineare Gleichungen
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INHALTSVERZEICHNIS
1.
LINEARE GLEICHUNGEN IN EINER VARIABLEN ........................................... 3
2.
LINARE UNGLEICHUNGEN IN EINER VARIABLEN ........................................ 5
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1. LINEARE GLEICHUNGEN IN EINER VARIABLEN
Def.: Werden zwei Terme T1 und T2 durch ein Gleichheitszeichen ( = ) miteinander
verbunden, so entsteht eine Gleichung.
Bsp1.: 5x+3-(4x+3) = -1
G=Q
Bsp2.: 4x - 3 - 2(x+1) = 2x - 5
G=Q
Bsp3.: 12 + 5x - 4(x+3) = 3(x+2) - 2x - 7
G=Q
d.h. Die Lösungsmenge kann endlich, unendlich oder leer sein.
Def.: Die Grundmenge G einer Gleichung ist die Menge aller Zahlen, die als
mögliche Lösungen der Gleichung vorgesehen sind.
Def.: Die Lösungsmenge L einer Gleichung ist die Menge aller Zahlen der Grundmenge, für
die die Gleichung in eine wahre Aussage übergeführt wird.
Bsp.: - x + 99 = 98 - 2x
G=Z
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Es gilt:
Eine Gleichung bleibt " richtig ", wenn man:
a) auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert
b) auf beiden Seiten die gleiche Zahl subtrahiert
c) beide Seiten mit der gleichen Zahl ( ≠ 0) multipliziert
d) beide Seiten durch die gleiche Zahl ( ≠0) dividiert.
Bsp.:
5 x − 13
=1
4x + 5
G=Q
Def.: Die Definitionsmenge D einer Gleichung ist die Menge jener Elemente aus der
Grundmenge, für die die Terme der Gleichung in einen sinnvollen Zahlenwert
übergehen.
Bsp.:
x −1 x − 2
2x − 3
−
=
x − 2 x − 1 ( x − 1)( x − 2)
G=N
Bemerkung: Formeln kann man wie Gleichungen behandeln !
Die Variable, nach der die Gleichung aufzulösen ist, heißt Gleichungsvariable. Alle
Variablen, die nicht Gleichungsvariable sind, werden wie bestimmte, feste
Zahlenwerte behandelt.
Bsp.: U = a + b + c
b=?
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Bsp.: A = a*b
a=?
Bsp.: F*l - N*a = 0
N=?
Bsp.: Q = - (P-B)*l1 + B*l2
B=?
2. LINARE UNGLEICHUNGEN IN EINER VARIABLEN
Bsp.: 5x -2 < 2x + 4
G = N0
Es gilt: Eine Ungleichung bleibt "richtig", wenn man:
a) auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert
b) auf beiden Seiten die gleiche Zahl multipliziert
c) beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multipliziert
d) beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl dividiert.
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Beachte: Bei Multiplikation (Division) mit einer negativen Zahl ist die Ordnungsrelation
umzukehren!!
d. h.
> => <
< => >
Bsp.: 3 < 5 /*(-1)
Bsp.:
7 x + 14
5 x − 13
−5<
6
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G=N
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