Analysis 1. Kapitel

Analysis
1. Kapitel
Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens
Fachhochschule Kaiserslautern Standort Zweibrücken
[email protected]
25. Oktober 2016
2
Kapitel 1
Der Grenzwertbegri
1.1
Die reellen Zahlen
1.1.1 Der Zahlenaufbau revisited
Die reellen Zahlen können bottom-up oder top-down speziziert werden. Der Aufbau
im ersten Semester war bottom-up, also konstruktiv. Ausgehend von den natürlichen
Zahlen konstruierten wir die ganzen Zahlen vermittels einer Äquivalenzrelation. Betrachten wir die Repräsentanten der Äquivalenzklassen, dann besteht der Übergang
der natürlichen Zahlen im Übergang zu einem Paar natürlicher Zahlen. Analog kann
man den Übergang von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen als Übergang
von ganzen Zahlen zu einem Paar ganzer Zahlen betrachten. Insgesamt können wir
also eine rationale Zahl konstruieren aus 4 einzelnen natürlichen Zahlen, aggregiert
in Form zweier Zahlenpaare. Ein 4-Tupel natürlicher Zahlen steht dann für folgende
rationale Zahl:
(a, b, c, d) ∼
= (a − b)/(c − d)
Die Erweiterungen sind somit nit, d.h. mit endlich vielen natürlichen Zahlen kann
jede rationale Zahl konstruiert werden.
Der Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen ist von einer ganz
anderen Qualität, der Übergang kann nur mit inniten Mitteln vollzogen werden.
Die neu hinzukommenden irrationalen Zahlen können nur durch einen Übergang zu
inniten Datenstrukturen erfasst werden (i.d.R. durch unendliche nichtperiodische
Dezimalbrüche).
Für die Informatik als Ingenieurwissenschaft, der nur nite rechnerische Mittel zur
Verfügung stehen, ist dies ein Problem. Man kann es umgehen, indem man die in
mathematischen Problemen auftauchenden irrationalen Zahlen nur approximiert.
Dennoch ist ein konzeptuelles Verständnis auch der irrationalen Zahlen notwendig,
wenn es darum geht mathematische Probleme algorithmisch geeignet aufzubereiten.
Neben dem bottom-up Ansatz lassen sich die reellen Zahlen und alle darin enthaltenen rationalen, ganzen und natürlichen Zahlen wie bereits angedeutet in einem
einzigen Ziug speziziert werden. Das ist der in der Analysis häug gewählte Ansatz.
1.1.2 Die Axiome der reellen Zahlen
Die grundlegenden Eigenschaften der reellen Zahlen
R
lassen sich unterteilen in
gebraische Axiome, Ordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom.
3
al-
4
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
Betrachten wir zunächst die algebraischen Axiome. Sie besagen, dass
ist. Im einzelnen bedeutet dies, dass aus auf der Menge
R
R ein Körper
zwei binäre Operationen
gibt, für die wir die gewohnte inxNotation benutzen:
+
R×R
(x, y)
−→
7−→
R×R
(x, y)
−→
7−→
R
x+y
sowie
·
R
x·y
Die Operation + heiÿt Addition, die Operation · heiÿt Multiplikation. Dass
ein Körper ist, bedeutet nun einerseits, dass
R
R
bzgl. der Addition eine abelsche
(i.e. kommutative) Gruppe ist mit 0 als neutralem Element und dass andererseits
R \ {0}
auch bzgl. der Multipliktion eine abelsche Gruppe ist mit 1 als neutralem
Element, wobei Addition und Multiplikation über ein Distibutivgesetz miteinander
verbunden sind.
Im einzelnen gelten also folgende
AG1)
(
AG2)
AG3)
AG4)
MG2)
MG3)
(
MG4)
(
und für die
DG)
(
x ∈ R gilt x + 0 = 0 + x = x.
der 0)
Für alle
x ∈ R gibt es jeweils ein −x ∈ R,
des inversen Elementes)
Für alle
x, y ∈ R
gilt
(Kommutativgesetz)
sowie für die
(
Für alle
gilt
(x + y) + z = x + (y + z).
(Existenz
(
MG1)
x, y, z ∈ R
(Neutralität
(
(
Für alle
(Assoziativgesetz)
(
algebraische Axiome für die Addition:
so dass
x + (−x) = (−x) + x = 0.
x + y = y + x.
Multiplikation:
Für alle
x, y, z ∈ R
Für alle
x ∈ R gilt x · 1 = 1 · x = x.
der 1)
(Assoziativgesetz)
gilt
(x · y) · z = x · (y · z).
(Neutralität
x ∈ R \ {0} gibt es jeweils
(Existenz des inversen Elementes)
Für alle
Für alle
x, y ∈ R
gilt
(Kommutativgesetz)
ein
x−1 ∈ R,
so dass
x · x−1 = x−1 · x = 1.
x · y = y · x.
Veträglichkeit zwischen der Addition und der Multiplikation:
Für alle
x, y, z ∈ R
(Distributivgesetz)
gilt
(x + y) · z = x · z + y · z .
1.1.
5
DIE REELLEN ZAHLEN
Zusätzlich zu den algebraischen Axiomen hat
R die Eigenschaft, ein total oder line-
ar angeordneter Körper zu sein, wobei die Ordnungsrelation mit den algebraischen
Operationen verträglich ist.
Im einzelnen gelten also folgende
ORD1)
(
ORD2)
(
ORD3)
(
ORD4)
(
ORD5)
(
ORD6)
(
Für alle
Axiome der Anordnung:
x, y ∈ R gilt x 5 x.
der Ordnung)
(Reexivität
Falls für zwei
x, y ∈ R
Falls für drei
x, y, z ∈ R
(Identitätsgesetz)
(Transitivitätsgesetz)
Für je zwei
(Linearität
sowohl
x5y
sowohl
als auch
x5y
y 5 x,
als auch
x, y ∈ R gilt entweder x 5 y
od. Totalität der Ordnung)
oder
dann ist
y 5 z,
y5x
x = y.
dann ist auch
x 5 z.
(oder beides)
Falls für
x, y ∈ (R) : x 5 y , dann ist für alle z ∈ R : x + z 5 y + z .
der Ordnung mit der Addition)
Falls für
x, y ∈ (R) : x 5 y , dann ist für diejenigen z ∈ R
der Ordnung mit der Multiplikation)
(Verträglichkeit
(Verträglichkeit
Konvention: Wir schreiben
Schlieÿlich gilt für
R
das
x < y,
falls
x5y
und
mit
0 5 z : x · z 5 y · z.
x ̸= y .
Vollständigkeitsaxiom:
VOLLST) Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge M ⊂ R hat ein Inmum in R.
(
Der Körper der reellen Zahlen ist durch diese Eigenschaften (bis auf Isomorphie)
eindeutig bestimmt.
1.1.3 Einfache Folgerungen aus den algebraischen Axiomen
Satz 1.1. Die Gleichung a + x = b ist stets eindeutig lösbar. Insbesondere folgt
aus a + x = a + y stets x = y .
Beweis.
Wir zeigen zunächst die Existenz einer Lösung von
x = b + (−a).
x+a
Damit
x + a = b:
Wähle
Dann gilt:
= (b + (−a)) + a (Wahl von x)
= b + ((−a) + a) (AG1)
= b+0
(AG3)
= b
(AG2)
ergibt sich also x = b + (−a) als eine
x + a = b. Wir
a + x = a + y . Dann gilt:
mögliche Lösung von
zeigen nun noch die Eindeutigkeit der Lösung. Sei also
6
x
KAPITEL 1.
=
=
=
=
=
=
=
0+x
((−a) + a) + a
(−a) + (a + x)
(−a) + (a + y)
((−a) + a) + y
0+y
y.
AG2)
AG3)
(AG1)
(
(
(nach Voraussetzung)
AG1)
AG3)
(AG2)
(
(
Insgesamt erhalten wir damit also
gewiesen.
DER GRENZWERTBEGRIFF
x=y
und die Eindeutigkeit der Lösung ist nach-
2
Folgerung 1.2. Sowohl das neutrale Element als auch die jeweils inversen
Elemente sind eindeutig bestimmt.
Beweis.
a + x = a als auch a + x = 0 eindeutig
x geben, das neutral ist bzw. invers ist zu a. 2
Nach Satz 1.1 sind sowohl
lösbar. Es kann damit also nur ein
Folgerung 1.3. Es ist −(−x) = x für alle x ∈ R
Beweis. Es ist nach (AG3) sowohl −x + −(−x) = 0 als auch −x + x = 0. Wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes nach Folgerung 1.2 ergibt sich hieraus
sofort die Behauptung.
2
Satz 1.4. Aus x + x = x folgt x = 0.
Beweis. Es gilt:
0
=
=
=
=
=
x + (−x)
(x + x) + (−x)
x + (x + (−x))
x+0
x.
Damit ergibt sich
AG3)
(
(nach Voraussetzung)
AG1)
AG3)
(AG2)
(
(
2
0 = x.
Satz 1.5. Es ist 0 · a = 0 für alle a ∈ R.
Beweis. Es gilt:
0·a
Damit
= (0 + 0) · a (AG3)
= 0 · a + 0 · a (DG)
ist 0 · a = 0 · a + 0 · a und
nach Satz 1.4 folgt sofort die Behauptung.
Satz 1.6. Es ist (−1) · a = −a für alle a ∈ R.
Beweis. Es gilt:
0
=
=
=
=
0·a
(1 + (−1)) · a
1 · a + (−1) · a
a + (−1) · a
(Satz 1.5)
AG3)
DG)
(MG2)
(
(
2
1.1.
7
DIE REELLEN ZAHLEN
Damit ist
−a.
(−1)·a invers zu a und wegen Folgerung 1.2 ist damit notwendig (−1)·a =
2
Folgerung 1.7.
Beweis.
Es ist nach Satz 1.6
−(−1) = 1.
Notation:
Es ist (−1) · (−1) = 1.
2
Wenn wir mit
b−1
(−1) · (−1) = −(−1).
das zu
bezeichnen, dann sei denitionsgemäÿ
Satz 1.8.
bzgl. der Multiplikation
Es gelten die Rechenregeln der Bruchrechnung.
a
a·c
·c=
,
b
b
Beweis.
b inverse Element
a
= a · b−1 .
b
Wegen Folgerung 1.3 ist
Übung
a c
a·c
· =
,
b d
b·d
a
b
c
d
=
a·d
,
b·c
a
c
a·d+b·d
+ =
b
d
b·d
2
1.1.4 Einfache Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen
Sprachregelung: Eine Zahl a mit a > 0 nennen wir positiv. Eine Zahl a mit a < 0
nennen wir negativ.
Satz 1.9.
Beweis.
a>0
Ist a positiv, dann ist −a negativ und umgekehrt.
Sei
a
positiv, d.h.
⇒ a + (−a)
⇒
0
Damit ist
−a
a<b
Es gilt:
> 0 + (−a) (ORD5)
>
−a
(denn a + (−a) = 0)
denitionsgemäÿ negativ. Die Umkehrung zeigt sich analog.
Folgerung 1.10.
Beweis.
a > 0.
Ist a < b dann ist −a > −b.
Es gilt:
⇒ a + (−a)
⇒
0
⇒
0
⇒
0
⇒
−a
⇒
−a
< b + (−a) (ORD5)
<
b−a
> −(b − a) (Satz 1.9)
>
−b + a
> −b + a − a (ORD5)
>
−b
(denn − b + a − a = −b)
2
Satz 1.11.
Es ist 0 < 1.
2
8
KAPITEL 1.
Beweis.
DER GRENZWERTBEGRIFF
1 < 0. Dann ist 1 negativ ist somit nach dem letzten Satz
−1 > 0. Wegen der Verträglichkeit der Multiplikation mit der
Ordnungsrelation für positive Zahlen ist damit (−1) · (−1) > 0 · (−1) = 0. Nach
Folgerung 1.7 ist (−1) · (−1) = 1 und damit wäre 1 > 0. Beides ist aber nach den
Ordnungsaxiomen nicht möglich. 2
−1
Annahme
positiv, also
Übungsaufgabe: a > b und c < 0 impliziert a · c < b · c.
Übungsaufgabe: a > 0 ⇒ a−1 > 0.
Übungsaufgabe: a > b > 0 impliziert a−1 < b−1 .
1.1.5 Weitere Folgerungen
Satz 1.12. Jede nach oben beschränkte Menge hat ein Supremum.
Beweis. Sei M eine nach oben beschränkte Menge, d.h. es gebe
o∈R
mit
o=x
für alle
x ∈ M.
eine obere
−M = {−x|x ∈ M}. Dann ist wegen
Folgerung 1.10 −o eine untere Schranke für −M und wegen (VOLLST) hat −M
damit ein Inmum. Sei I dieses Inmum. Man zeigt nun leicht, dass −I Supremum
für M ist. 2
Schranke
Sei
Wir haben die reellen Zahlen axiomatisch gewissermaÿen auf einen Schlag eingeführt. Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen müssen sich in der so
denierten Menge der reellen Zahlen geeignet wiedernden lassen.
Wir beginnen mit der Identikation der natürlichen Zahlen innerhalb von
Form einer Menge
N,
R
in
die auf natürliche Weise alle Eigenschaften der natürlichen
Zahlen erfüllt. Wir benutzen hierzu einerseits das neutrale Element der Addition
die Null und andererseits das neutrale Element bzgl. der Multiplikation die Eins beides Elemente, die uns vorab vornherein bei der Denition von
R
axiomatisch gegeben sind.
Wir denieren
(i)
N
induktiv wie folgt:
0 ∈ N.
(ii) Wenn
x ∈ N,
dann ist auch
(iii) Keine weiteren Elemente
Die Nachfolgerfunktion
N
x + 1 ∈ N.
x∈R
gehören zu
N.
erhalten wir jetzt einfach vermöge:
N (x) := x + 1.
N (x) = N (y) bedeutet x + 1 = y + 1 und hieraus
−1) sofort x = y . Die 0 besitzt kein
Urbild bzgl. der Abbildung N , denn man zeigt induktiv sofort, dass für alle x ∈ N
gilt: N (x) > 0. Auf Grund der induktiven Denition von N folgt oensichtlich auch
die letzte Eigenschaft der natürlichen Zahlen: jede Teilmenge M ⊂ N mit 0 ∈ M
und der Eigenschaft, dass mit x ∈ M auch N (x) ∈ M, ist gleich N.
Oensichtlich ist
N
injektiv, denn
ergibt sich (Addition auf beiden Seiten mit
Ausgehend von
N ⊂ R
kann man nun durch Inversenbildung innerhalb
eine natürliche Identikation von
Z
und
Q
in
R
nden.
R
auch
1.1.
9
DIE REELLEN ZAHLEN
Satz 1.13 (Archimedes). Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine natürliche Zahl n
mit a < n. Es gibt also keine reelle Zahl, die gröÿer ist als alle natürlichen Zahlen.
Beweis.
Annahme es gebe ein
a,
das gröÿer ist als alle natürlichen Zahlen.
Dann ist die Menge aller natürlichen Zahlen nach oben beschränkt, also hat sie ein
C bezeichnen. Da 0 < 1 (Satz 1.11) folgt C < C + 1, und
C − 1 < C . Nach Denition des Supremums gibt es also eine positive Zahl
n mit C − 1 < n. Daraus folgt aber sofort, dass C < n + 1. n + 1 ist aber ebenfalls
eine natürliche Zahl. Widerspruch zur Annahme.
2
Supremum, das wir mit
deshalb
Folgerung 1.14.
0 < 1/n < ϵ.
Beweis.
Übung
Zu jeder positiven reellen Zahl ϵ gibt es ganze Zahl n mit
2
Satz 1.15. Es gibt eine reelle Zahl b > 0 mit b2 = 2. Die Zahl b heiÿt Wurzel
von 2 und wir schreiben:
√
b = 2.
Beweis. Sei S die Menge aller positiven reellen Zahlen x mit x2 5 2. Dann ist S
nicht leer und nach oben beschränkt (warum?). Sei b das Supremum dieser Menge.
2
Angenommen b < 2. Wir betrachten dann den Ausdruck:
(
)
1
b+
n
=
b2 +
2b
1
+ 2
n
n
5
b2 +
2b
1
+
n
n
=
b2 +
2b + 1
.
n
2
Wählen wir nach dem Satz von Archimedes ein n so, dass n > (2b+1)/(2−b ), dann
2
2
ergibt sich (b+1/n) < 2 und b wäre kein Supremum für S . Damit muss b = 2 sein.
Auf ähnliche Weise zeigt man, dass
2
wendig b = 2.
2
b2
nicht gröÿer als 2 sein kann. Damit ist not-
2
Die Wurzel von 2 ist eindeutig bestimmt. Sei nämlich für positive b und c b =
2
2
2
c = 2, dann folgt 0 = b − c = (b + c)(b − c). Also ist entweder b = c oder b = −c.
Da aber die Wurzeln als positiv vorausgesetzt werden, muss
a=b
sein, da anson-
sten eine der Wurzel negativ wäre.
Mit analogen Mitteln kann man zeigen:
Satz 1.16. Für jede reelle Zahl a > 0 gibt es ein (eindeutig bestimmtes) b > 0
mit b2 = a. Wir schreiben:
√
b = a.
Beweis.
Übung
Satz 1.17.
Beweis.
2
Aus 0 < x 5 y folgt
Übung
2
√
√
x 5 y.
10
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
1.1.6 Absolutbetrag und Dreiecksungleichung
Der Absolutbetrag einer Zahl
x
wird deniert durch:
|x| =
Oensichtlich ist
|x|2 = x2
Insbesondere ist also auch
√
x2 .
|x| = | − x| und es gilt:
{
x, falls x = 0
|x| =
−x, falls x < 0
und
x 5 |x|
für alle
x ∈ R.
Darüberhinaus hat der Absolut-
betrag folgende Eigenschaften:
Satz 1.18. i) Für alle x ∈ R ist |x| = 0 und |x| > 0 falls x ̸= 0.
ii) Für alle x, y ∈ R ist |xy| = |x||y|.
iii) Für alle x, y ∈ R ist |x + y| 5 |x| + |y|.
√
√ √
√
Beweis. zu ii): Es ist |xy| = (xy)2 = x2 y2 = x2 y2 = |x||y|.
2
zu iii): Es ist |x + y|
= (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 5 |x|2 + 2|xy| + |y|2 =
2
2
|x| + 2|x||y| + |y| = (|x| + |y|)2 . 2
Satz 1.19. Sei ϵ eine positive reelle Zahl. Dann ist (für x ∈ R) |x| 5 ϵ äquivalent zu −ϵ 5 x 5 ϵ.
Beweis.
to be done
2
Begri eines geschlossenen und oenen Intervalles.
1.2
Konvergente Folgen
Formal kann eine Zahlenfolge aufgefasst werden als eine Abbildung von
N
in die
Menge der reellen Zahlen. Folgen können beliebig gebildet werden, im allgemeinen
haben wir aber einfache und überschaubare Bildungsgesetze.
Interessant ist nun das endgültige Verhalten solcher Folgen, d.h. ob sie gegen einen
Grenzwert konvergieren oder nicht.
Wie kann man solche Konvergenz mathematisch präzise fassen:
Inituitiv erwarten wir, dass bei einer Folge, die gegen einen Grenzwert strebt,
die Folgenelemente letztlich sich immer stärker dem Grenzwert annähern. Dieses letztlich können wir nun mathematisch so fassen, dass wir sagen ab einem
gewissen Folgenelement müssen die weiteren Folgenelemente sich ausnahmslos alle
innerhalb eines vorgegebenen `Nahbereich um den Grenzwert herum' benden. Für
eine gegen einen Grenzwert konvergente Folge erwarten wir also folgendes Verhalten:
Egal, welchen Nahbereich um den Grenzwert wir auch vorgegeben, es muss für
diesen speziellen Nahbereich dann einen Index geben, ab dem sich alle weiteren
Folgenelemente innerhalb dieses Bereiches benden müssen. Dabei werden wir im
allgemenen annehmen müssen, dass je enger der Nahbereich gefasst ist, desto länger
wir bei der Folge warten müssen, bis alle weiteren Folgenelemente endgültig innerhalb dieses Bereiches verbleiben.
1.2.
11
KONVERGENTE FOLGEN
Im ersten Ansatz können wir also formulieren: bei einer gegen einen Grenzwert
konvergenten Folge
Index
N ∈N
(xn )
c
muss es für jeden beliebig vorgebenen Nahbereich einen
geben, so dass alle Folgenelemente
xn
mit
n5N
sich innerhalb des
Nahbereiches benden müssen.
Damit bleibt als Aufgabe noch den Begri des Nahbereiches zu präzisieren. Hierzu
benutzt man in der Mathematik den Begri der
Umgebung. Wir benötigen diesen
Begri im folgenden nur in der speziellen Form der sog.
εUmgebung:
Denition 1.20. Für ein x ∈ R und ein ε ∈ R mit ε > 0 heiÿt die Menge
Uε (x0 ) = {x||x − x0 | < ε} εUmgebung von x0 .
Folgerung 1.21. Es gilt x ∈ Uε (x0 ) g.d.w. x0 − ε < x < x0 + ε.
Beweis. Folgt sofort aus Eigenschaften des Absolutbetrages. 2
Damit kommen wir zur zentralen Denition dieses Kapitels:
Denition 1.22. Sei (xn ) eine Zahlenfolge (reeller Zahlen). Dann heiÿt (xn )
konvergent gegen einen Grenzwert c ∈ R, wenn es für alle εUmgebungen Uε (c) von
c ein N ∈ N gibt mit xn ∈ Uε (c) für alle n = N.
Hieraus erhalten wir sofort:
Folgerung 1.23. Eine Zahlenfolge (xn ) konvergiert gegen einen Grenzwert
c ∈ R genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass für alle n = N
gilt: |c − xn | < ε bzw. (wegen 1.21) c − ε < xn < c + ε.
Übungsaufgabe: Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt.
Wir weisen nun an Hand eines besonders einfachen Beispiels die Konvergenz einer
Zahlenfolge formal nach, um ein erstes Gefühl für die Denition des Konvergenzbegries zun bekommen.
Satz 1.24. Die Folge (xn ) = (1/n) konvergiert gegen den Grenzwert 0.
Beweis. Zu zeigen ist, dass bei vorgegebem ε > 0 es ein (von ε i.A. abhängiges)
N ∈N
gibt, so dass für alle
n=N
gilt
xn = 1/n ∈ Uε (0).
Wegen der Folgerung
ε ein geeignetes
0 − ε < 1/n < 0 + ε für alle n = N .
Sei also ε > 0 beliebig vorgegeben. Dann gibt es nach dem Satz von Archimedes ein
N ∈ N mit N > 1/ε. Für alle n = N ist damit (Transitivität der Ordnungsrelation!) auch n > 1/ε. Durch Multiplikation mit den Kehrwerten 1/n und 1/(1/ε) = ε
1.23 genügt es also alternativ zu zeigen, dass es bei vorgegebenem
N
gibt mit
erhalten wir (Verträglichkeit der Ordnungsrealtion mit der Multiplikation: die Kehrwerte bleiben positiv) aus dieser Ungleichung die Ungleichung
gilt aber auch
−ε < 1/n,
dass unser Grenzwert 0 die Rolle des obigen
0 − ε < 1/n < 0 + ε
hatten.
2
1/n < ε.
für alle
n = N.
c
einnehmen soll) die Ungleichung
Das ist aber genau das, was wir zu beweisen
Bemerkung: Man kann den Begri der Konvergenz äquivalent mit
ε
Zusätzlich
und damit erhalten wir formal (unter Berücksichtigung,
1/m
anstatt mit
denieren. Damit kann man zumindest theoretisch Konvergenz auch operationell
in einem Java-Programm fassen:
12
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
boolean checkConvergence(){
L1: for(int m = 1; ; m++){
L2: for(int N ; ; N++){
for(int n = N + 1; ; n++){
if(!(Math.abs(x(n) - c) < 1/m){
continue L2;
}
}
continue L1; // Sprung aus Schleife L2, wenn N geeignet war.
// N braucht nicht mehr hochgezählt zu werden
} // reguläres Verlassen der Schleife L2,
// wenn also N bis zum "bitteren Ende" hochgezählt werden muss,
// wenn damit kein geeignetes N ex.
return false; // false wird ausgegeben, wenn vorausgegangene
// Schleife L2 nicht via continue L1 verlassen wird,
// wenn also in der Schleife L2 erfolglos
// nach einem N gesucht wird
}
return true
}
Konvergente Zahlenfolgen haben die generelle Eigenschaft beschränkt zu sein:
Satz 1.25. Jede (gegen eine Zahl c) konvergente Folge (xn ) ist beschränkt.D.H.
es gibt zwei Zahlen i und s mit i < xn < s für alle n ∈ N. (Dabei kann ohne
Beschränkung der Allgemeinheit die untere Schranke i als −s also als das Negative
der oberen Schranke gewählt werden. Beweis!)
Beweis.
Nach Voraussetzung existiert auf Grund der Konvergenz z.B. für die
spezielle Wahl
ε = 1 ein N
mit
dest sämtliche Folgenglieder ab
x0 , · · · xN −1
c−1 < xn < c+1 für alle n = N . Damit sind zuminxN beschränkt. Die restlichen Folgenglieder nämlich
sind aber oensichtlich auch beschränkt, da es sich hier nur um endlich
min(x0 , · · · , xN −1 ) < xn < max(x0 , · · · , xN −1 ) für
n = 0, · · · , N −1. Insgesamt gilt damit damit unter Einbeziehung der Schranken
für die Folgenglieder ab N : min(x0 , · · · , xN −1 , c − 1) < xn < max(x0 , · · · , xN −1 , c +
1) für ausnahmslos alle n ∈ N. Damit ist die Behauptung beweisen. 2
viele Zahlen handelt. Formal ist
alle
Umgekehrt können wir aber nicht sagen, dass jede beschränkte Zahlenfolge auch
n
konvergent ist, wie wir am Beispiel der Zahlenfolge (xn ) = ((−1) unschwer erkennen können.
Wir haben nun zwar eine Denition für die Konvergenz einer Zahlenfolge, die wir
in Spezialfällen auch zum direkten Nachweis der Konvergenz einer Zahlenfolge benutzen können, wenn wir eine Vorstellung vom tatsächlichen Grenzwert (im obigen
Fall die 0) haben. Wie können wir aber vorgehen die Konvergenz einer konkreten
Folge zu beweisen, wenn wir den Grenzwert (dessen Existenz wir annehmen) selbst
nicht kennen? Wir benötigen mit anderen Worten, Konvergenzkriterien, an Hand
derer wir die Konvergenz von Folgen feststellen können, ohne eine Vorstellung vom
Grenzwert selbst zu haben. Am einfachsten gelingt uns dies mit sog.
Folgen,
monotonen
das sind Folgen, deren Folgenglieder ausnahmslos nur in einer Richtung
wachsen. Formal denieren wir hierzu:
Denition 1.26.
Wir denieren:
i) Eine Folge (xn ) heiÿt monton wachsend bzw. streng monoton wachsend wenn
für alle n ∈ N: xn 5 xn−1 bzw. xn < xn−1 .
1.2.
13
KONVERGENTE FOLGEN
ii) Eine Folge (xn ) heiÿt monton fallend bzw. streng monoton fallend wenn für
alle n ∈ N: xn = xn−1 bzw. xn > xn−1 .
iii) Eine Folge (xn ) heiÿt monton bzw. streng monton, wenn sie monton wachsend
oder fallend bzw. streng monoton wachsend oder fallend ist.
Für monotone Folgen gilt nun auch die Umkehrung von Satz 1.25:
Satz 1.27. Ist eine beschränkte Folge (xn ) zusätzlich monoton, dann ist sie
notwendig auch konvergent.
Beweis. Wir beweisen die Behauptung stellvertretend für den Fall einer monoton wachsenden Folge
Sei also
(xn )
(xn ):
eine beschränkte Folge, die zusätzlich monoton wachsende ist. Auf
Grund des Vollständigkeitsaxioms der reellen Zahlen gibt es auf Grund der Be-
(xn ) für die (natürlich ebenfalls beschränkte) Menge {xn |n ∈
R. Sei b dieses Supremum. Dann gibt es auf Grund der Eigenschaften eines Supremums für ein beliebig vorgegebenes ε > 0 ein Element aus
{xn |n ∈ N} also ein xN aus der Folge (xn ) mit b − ε < xN < b. Da (xn ) monoton
wachsend ist und b auf Grund der Supremumsegenschaft gleichzeitig auch eine obere
Schranke für ausnahmslos alle xn ist, können wir die letzte Ungleichung erweitern
zu b − ε < xN 5 xn < b für alle n = N . Formal erhalten wir damit: Für ein beliebig
vorgegebenes ε > 0 (s.o.) gibt es ein N ∈ N mit b − ε < xn < b + ε für alle n = N .
Damit haben wir aber die Konvergenz von (xn ) nachgewiesen mit dem Supremum
b als Grenzwert. 2
schränktheit der Folge
N}
ein Supremum in
Beispiel:
Die Folgen
(xn ) = ((1 + 1/n)n
bzw.
(xn ) = ((1 + 1/n)n+1
sind mo-
noton wachsend bzw. monoton fallend und beschränkt.
Beweis: Übung
Wir haben bemerkt, dass eine beschränkte Zahlenfolge
vergent ist. Dennoch erwarten wir, dass wenn
(xn )
(xn )
nicht notwendig kon-
nicht schon konvergent ist, es
zumindest Punkte gibt, um die herum es beliebig viele Folgenglieder geben muss.
Solche Punkte heiÿen
Häufungspunkte. Formal denieren wir:
Denition 1.28. Sei (xn ) eine beliebige (nicht notwendig beschränkte) Folge.
Dann heiÿt c ∈ R ein Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder εUmgebung von
c Uε (c) unendlich viele Folgenglieder von (xn ) enthalten sind. M.a.W. eine reelle
Zahl c ist Häufungspunkt von (xn ) g.d.w. es für jedes ε > 0 unendlich viele n ∈ N
gibt, mit |c − xn | < ε.
Man beachte den Unterschied in den Denitionen eines Grenzwertes und eines
(nur) Häufungspunktes. Jeder Grenzwert ist notwendig auch ein Häufungspunkt
aber nicht umgekehrt.
Satz 1.29. Eine reelle Zahl c ist ein Häufungspunkt einer Folge (xn ) g.d.w. es
für jedes ε > 0 und für jedes N ∈ N ein n > N gibt mit |c − xn | < ε.
Beweis.
Übung.
Wir kommen nun zum wichtigen
Satz 1.30 (BolzanoWeierstrass). Sei (xn ) eine beschränkte Folge mit a 5
xn 5 b für alle n ∈ N. Dann hat diese Folge einen Häufungspunkt c mit a 5 c 5 b.
14
KAPITEL 1.
Beweis.
DER GRENZWERTBEGRIFF
Wir beschreiben zunächst die
Beweisidee: Ausgehend von (xn ) konstruieren wir eine zweite monoton wachsende
und beschränkte Folge
(cn )
mit
cn = inf{xn , xn+1 , · · · }
c dieser Folge ist dann gleichzeitig Häufungspunkt der ursprüngxn , da sich einerseits in einer ε-Umgebung um c unendlich viele cn
benden, andererseits in jeder ε-Umgebung jedes cn wieder Elemente der ursprünglichen Folge (xn ) benden müssen, so dass letztendlich in jeder ε-Umgebung von c
unendlich viele Elemente der ursprünglichen Folge (xn ) liegen müssen.
Der Grenzwert
lichen Folge
Ausführung des Beweises: Oensichtlich ist die aus (xn ) gewonnene Folge (cn )
cn = inf{xn , xn+1 , · · · }
mit
cn+1
monoton wachsend, denn der Vergleich von
cn+1
zeigt, dass bei der Bildung des Inmums für
das Element
xn
cn
mit
gegen-
cn weggelassen wurde. Sollte xn das kleinste
{xn , xn+1 , · · · } gewesen sein, dann ist das Inmum vom Rest also von
{xn+1 , xn+2 · · · } gewachsen. War xn nicht das kleinste Element, dann hat sich das
Inmum von {xn+1 , xn+2 · · · } gegenüber {xn , xn+1 , · · · } nicht verändert. Damit gilt
für alle n:
cn 5 cn+1
über der Bildung des Inmums für
Element in
Da zusätzlich (nach Denition der
von
xn ) xn 5 o
cn )
gilt
für eine obere Schranke
o,
cn 5 xn
und (wegen der Beschränktheit
gilt damit insgesamt für alle
n:
cn 5 o
M.a.W.
(cn )
c.
ist monton wachsend und beschränkt also konvergent gegen einen
Grenzwert
Es ist jetzt zu zeigen, dass
c
nicht nur Grenzwert der Folge
zeitig auch Häufungspunkt der ursprünglichen Folge
(xn )
(cn )
sondern gleich-
ist.
ε > 0 und beliebig vorgen0 = N , so dass |c − xn0 | < ε.
Wir haben also zu zeigen: Für beliebig vorgegebenes
gebenes
N ∈N
Seien also ein
ε
lässt sich ein
und ein
N
xn
nden mit Index
vorgegeben. Wir benutzen jetzt die Inmumseigenschaft
der
cn
Die
Grenzwerteigenschaft von c liefert uns die Aussage, dass es für (das speziell
einerseits und die Grenzwerteigenschaft von
c
andererseits.
ε′ = ε/2 ein Nε′ gibt, so dass für alle n = Nε′ gilt |cn −c| < varepsilon′ =
ε/2. Da dies für alle n = Nε gilt, können wir ein n sicher so wählen, dass es gröÿer
oder gleich dem vorgegebenen N ist. Wir bezeichnen das auf diese Weise gefundene
n mit n′ . Für n′ gilt
n′ = N.
gewählte)
Weiterhin ist dieses
n′ = Nε′
und damit gilt auch für
|c − cn′ | < ε′
n′
n′
(∗)
soll uns nun helfen, das (in Abhängigkeit von
ε
und
N)
Inmumseigenschaft von
Hierzu benutzen wir nun die
n = n′ geben mit |cn′ − xn | <
gilt also
ε′ = ε/2.
Das so gefundene
n0 = n′
gesuchte
n0
zu nden.
cn′ . Danach muss es ein
n nennen wir n0 . Hierfür
1.2.
15
KONVERGENTE FOLGEN
und es gilt
|cn′ − xn0 | < ε′ . (∗∗)
Zusammengefasst gilt damit (erste Anforderung)
n0 = n′ = N
also
n0 = N.
Gleichzeitig berechnet sich nun der Abstand von
xn0
von
c
mittels:
|c−xn0 | = |c−xn0 | = |c−cn′ +cn′ −xn0 | 5 |c−cn′ |+|cn′ −xn0 | < ε′ +ε′ = ε/2+ε/2 = ε.
Damit haben wir für vorgegebenes
N 5 n0
und
ε
und vorgegebenes
N
ein
|c − xn0 | < ε.
n0
gefunden mit
cn → c lieÿ uns ein genügend groÿes
c ist und die Supremumseigenschaft von cn′ lieÿ
uns danach ein genügend groÿes n0 nden, so dass xn0 nahe bei cn′ ist, so dass insgesamt xn0 nahe bei c liegt für ein n0 gröÿer oder gleich einem vorgegebenen N .
2
Fassen wir zusammen: Die Konvergenz von
n' nden, so dass
cn′
nahe bei
Mit Hilfe des Satzes von BolzanoWeierstrass können wir nun ein allgemeineres
Konvergenzkriterium beweisen, dass sich nicht nur auf monotone Folgen bezieht.
Hierzu führen wir den Begri einer sog. CauchyFolge ein:
Denition 1.31. Eine Folge (xn ) nennen wir CauchyFolge g.d.w. es für alle
ε > 0 ein N ∈ N gibt mit |xm − xn | < ε für alle n, m = N .
Es gelten nun folgende Sätze:
Satz 1.32.
Jede konvergente Folge ist eine CauchyFolge.
Beweis. Die Folge (xn ) sei konvergent gegen den Grenzwert c. Nach Denition
ε>0
N ∈ N, so dass für alle n = N gilt: |c − xn | < ε/2 und damit natürlich auch
|c − xm | < ε/2 für alle m = N . Damit ist aber auch |xn − xm | 5 |xn − c| + |c − xm | <
ε/2 + ε/2 = ε für alle n, m > N . Damit haben wir für das vorgebene ε ein N
gefunden mit |xn − xm | < ε für alle n, m = N und (xn ) ist als CauchyFolge nachgewiesen.
2
der Konvergenz und Folgerung 1.23 existiert damit für ein beliebg vorgebenes
ein
Es gilt auch die Umkehrung:
Satz 1.33.
Beweis.
Jede CauchyFolge ist konvergent.
Beweisidee: im ersten Schritt zeigen wir, dass jede CauchyFolge be-
schränkt ist und erhalten daraus mit Hilfe des Satzes von BolzanoWeierstrass, dass
die Folge einen Häufungspunkt besitzt. Im zweiten Schritt zeigen wir, dass die Folge
gegen diesen Häufungspunkt konvergieren muss.
(xn ) beschränkt ist. Nach
ε = 1 ein N , so dass für alle
n = N und speziell für m = N gilt: |xn − xN | < 1. Wegen |xn | − |xN | 5 |xn − xN |
gilt damit |xn | − |xN | < 1 und damit |xn | 5 |xN | + 1. Analog zum Beweis von Satz
1.25 ergibt sich damit, dass (xn ) beschränkt ist.
Wegen dem Satz von BolzanoWeierstrass hat damit (xn ) einen Häufungspunkt c.
Sei
(xn )
eine CauchyFolge. Wir zeigen zunächst, dass
Denition einer CauchyFolge gibt es insbesondere für
(xn ) gegen c konvergiert. Sei dazu ein beliebiges ε > 0
(xn ) gibt es dann für ε/2 ein N mit
|xn −xm | < ε/2 für alle n, m > N . Wegen der Eigenschaft von c, Häufungspunkt von
Wir zeigen nun, dass die Folge
vorgegeben. Wegen der CauchyEigenschaft von
16
KAPITEL 1.
(xn )
DER GRENZWERTBEGRIFF
m mit N = m, so dass |xm − c| < ε/2. Damit erhalten wir
n mit n = N die Ungleichung: |xn −c| 5 |xn −xm |+|xm −c| < ε/2+ε/2 = ε
|xn − c| < ε. Damit ist (xn ) als konvergent nachgewiesen mit c als Grenzwert.
zu sein, gibt es ein
für alle
also
2
1.2.1 Rechenregeln für konvergente Folgen
Im Rechnen mit konvergenten Folgen gelten folgende Rechenregeln:
Satz 1.34.
Seien (an ) und (bn ) konvergente Folgen, dann gilt:
(i) lim an + lim bn = lim an + bn
(ii) lim c · an = c · lim an für c ∈ R beliebig
(iii) lim 1/an = 1/ lim an falls lim an ̸= 0
(iv) lim an · lim bn = lim an · bn .
Beweis.
1.3
Übung
2
Unendliche Reihen
1.3.1 Grundlegende Denitionen
Die Summe über eine endliche Menge von einzelnen Summanden lässt sich leicht
induktiv denieren. Eine Summe gebildet aus unendlich vielen Einzeltermen hat
hingegen zunächst keinen Sinn. Indem wir den Begri einer unendlichen Summe auf
den Begri einer Folge zurückführen, können wir die unendliche Summe vermöge
des Konzeptes der konvergenten Folge denieren. Hierzu denieren wir zunächst
Partialsumme :
Denition
1.35. Sei (cn ) eine
∑
den Begri der
sn =
n
i=0 ci
Folge reeller Zahlen. Dann heiÿt die Folge
die Folge der Partialsummen der (ci ).
Kommen wir damit zum Konzept der
unendlichen Reihe und deren Konver-
genz:
Denition
1.36. Sei (cn ) eine Folge reeller Zahlen. Unter der unendlichen
∑
∑
Reihe ∞
der Partialsummen (sn ) mit sn = ni=0 ci .
i=0 ci verstehen wir die Folge ∑
∞
Wir sagen, dass die unendliche Reihe i=0 ci gegen s ∈ R konvergiert, wenn die
Folge der Partialsummen gegen s konvergiert. Wir schreiben dann
∞
∑
ci = s.
i=0
Das Cauchysche Konvergenzkriterium (siehe Satz 1.33 überträgt sich nun auf
die unendlichen Reihen wie folgt:
∑
Sei ∞
i=0 ci eine unendliche Reihe. Dann konvergiert diese Reihe
genau dann, wenn
gilt:
für alle ε > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass für alle n, m =
∑m
N die Summe | i=n+1 ci | < ε (wobei wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
annehmen können, dass n 5 m).
Satz 1.37.
1.3.
UNENDLICHE REIHEN
Beweis.
Übung
17
2
∑
Wenn die unendliche Reihe ∞
i=0 ci konvergiert, dann konvergiert die Folge der ci gegen 0.
∑
Beweis. Sei ∞
i=0 ci konvergent. Aus Satz 1.37 folgt dann, dass beim vorgegebenem ε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass insbesondere für alle n, n + 1 = N (n + 1 ist
∑n+1
hier also in der Rolle des m) gilt |
i=n+1 ci | = |cn+1 | < ε. Damit ist also für vor′
gegebenes ε > 0 die Existenz eines N (hier gleich N + 1) gesichert, so dass für alle
′
n = N gilt |cn | = |cn −0| < ε. Damit konvergiert (cn ) denitionsgemäÿ gegen 0. 2
Folgerung 1.38.
Die Umkehrung gilt nicht, d.h. nicht jede unendliche Reihe, bei denen die Folge
der einzelnen Summanden eine Nullfolge bildet, konvergiert.
∑∞ 1
Beispiel: die harmonische Reihe
i=1 i divergiert.
1.3.2 Einfache konvergente unendliche Reihen
∑∞ i
∑∞ i=0 q 2 konvergiert für |q| < 1.
i=1 1/n konvergiert.
Die geometrische Reihe
Die unendliche Reihe
1.3.3 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
Wir betrachten im Folgenden Reihen mit positiven Gliedern.
Hierfür gibt es sehr einfache Konvergenzkriterien, die auf einem Vergleich mit bereits
als konvergent oder divergent nachgewiesenen Reihen beruht.
∑
i) Sei ∞
k=1 ck eine kona
eine
Reihe
mit
a
5
c
für
alle
k
ab
einem gewissen
vergente Reihe. Sei ∞
k
k
k=1
∑k
a
konvergent.
Index N , dann ist auch ∞
k=1 k
Satz 1.39 (Majoranten
und Minorantenkriterium).
∑
∑∞
∑
ak eine Reihe mit ak = dk für
ii) Sei ∞
k=1∑
k=1 dk eine divergente Reihe. Sei
alle k ab einem gewissen Index N , dann ist auch ∞
k=1 ak divergent.
Beweis.
Übung
2
∑∞
∑∞Satz 1.40 (Qotientenkriterium). i) Sei k=1 ck eine konvergente Reihe. Sei
Reihe, für die ab einem gewissen Index N gilt an+1 /an 5
k=1 ak eine unendliche∑
∞
cn+1 /cn . Dann ist auch k=1 ak konvergent.
∑
∑∞
ii) Sei ∞
Reihe, für die
k=1 dk eine divergente Reihe. Sei
k=1 ak eine unendliche∑
ab einem gewissen Index N gilt an+1 /an = dn+1 /dn , dann ist auch ∞
k=1 ak divergent.
Beweis. Beweisidee zu i): Aus an+1 /an 5 cn+1 /cn ergibt sich an /a1 = an /an−1 ·
an−1 /an − 2 · · · a2 /a1 5 cn /cn − 1 · · · c2 /c1 = cn /c1 . Damit ist an 5 cn /c1 · a1 . Die
Behauptung folgt dann aus dem Majorantenkriterium.
Analog zeigt sich ii)
2
18
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
∑
Ist für eine unendliche Reihe ∞
k=1 ak ab einem
∑ gewissen
Index N an + 1/an < q für ein 0 < q < 1, dann konvergiert die Reihe ∞
k=1 ak .
Folgerung 1.41.
Beweis.
folgt aus Quotientenkriterium mit
Beispiel: Die Reihe
∑
xn /n!
ck = q k .
2
ist konvergent.
1.3.4 Alternierende Reihen
Auch für die sog. alternierenden Reihen gibt es einfache Konvergenzkriterien. Sie
werden deniert wie folgt:
Denition 1.42.
Eine alternierende Reihe ist eine unendliche Reihe der Form
∞
∑
(−1)k+1 ak
k=1
bei der die ak eine monoton fallende Folge positiver Zahlen bilden.
Es gilt:
∑
k+1
Eine alternierende Reihe ∞
ak konvergiert genau dann,
k=1 (−1)
wenn die Reihenglieder ak eine Nullfolge bilden.
Satz 1.43.
Beweis.
Beweisidee: Die Teilfolgen der Partialsummen
s2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + · · · (a2n−1 − a2n
bzw.
s2n+1 = a1 + (−a2 + a3 ) + (−a4 + a5 ) + · · · (−a2n + +a2n+1
sind auf Grund der Voraussetzungen monoton wachsend bzw. fallend und sie beschränken sich gegenseitig nach oben bzw. nach unten. Also konvergieren Sie beide
und es gilt:
lim s2n+1 − lim s2n = lim a2n+1 .
n→∞
2
n→∞
n→∞
1.3.5 Absolute Konvergenz
∑∞
k+1 1
Wie das Beispiel der alternierenden Reihe
k=1 (−1)
k gibt es konvergente Rei∑∞
∑∞
hen
c
für
die
|c
|
nicht
konvergent
ist.
Dies
gibt Anlass für folgende
k
k
k=1
k=1
Denition:
Denition
1.44.
∑
wenn
Eine unendliche Reihe
∞
|a
|
konvergent
ist.
k=1 k
Es gilt:
Satz 1.45.
Eine unendliche Reihe
auch im gewöhnlichen Sinn.
Beweis.
halten wir
∑∞
k=1
∑∞
k=1
ak heiÿt absolut konvergent,
ak , die absolut konvergiert, konvergiert
Beweisidee: Mit Hilfe der (verallgemeinerten) Dreiecksungleichung er-
m
m
∑
∑
ak 5
|ak |.
k=n+1
k=n+1
Damit ergibt sich die Behauptung mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium.
Beispiel: Die unendliche Reihe
∑∞
xi
i=0 i! konvergiert absolut.
2
1.4.
19
EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS
1.4
Exponentialfunktion und Logarithmus
Haben festgestellt, dass sowohl
(1 + x/n)n
als auch
∑∞
xi
i=0 i! für alle
x∈R
konver-
giert. Es gilt:
Satz 1.46.
Beweis.
(
∑∞
i=0
xi /i!
Beweisidee: Es ist
x )n
n
1+
limn→∞ (1 + x/n)n =
=
=
=
=
n ( )k
∑
x
k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n
n · (n − 1) · · · (n − k + 1) xk
k!
nk
xk n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
n · n···n
xk
1
k+1
· 1 · (1 − ) · · · (1 −
).
k!
n
n
Wenn nun das n sehr groÿ ist, wird für viele k ab der 0 der Term 1 · (1 −
1
k+1
n ) · · · (1 − n ) nahe der 1 sein. Und wenn dieser Term sich dann von der 1 zu
xk
entfernen beginnt, dann ist der andere Faktor
k! schon so klein, dass der Sumxk
1
k+1
mand
2
k! · 1 · (1 − n ) · · · (1 − n ) vernachlässigbar geworden ist.
limn→∞ (1 + x/n)n
Für
Satz 1.47.
bzw.
∑∞
xi
i=0 i! schreiben wir
exp(x)
oder auch
Es gilt für alle x, y ∈ R
e(x + y) = e(x) · (y).
(∑
) (∑
∞ xi
∞
Beweisidee: Es ist e(x) · e(y) =
i=0 i! ·
(∑k=0
∞
Beweis.
man, wenn die zunächt die Diagonalen zusammenfasst:
∑∞
1
n=0 n!
Für
(∑
x>0
n
n!
k
m=0 k!·(n−k)! x
ist
e(x).
e(x) > 1.
)
· y n−k =
∑∞
1
n=0 n!
i=0
yk
k!
)
. Hieraus erhält
) (∑
∞
x
·
k=0
i!
i
· (x + y)n = e(x + y).
yk
k!
)
=
2
(Beweis mit Hilfe der Summenformel.)
Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend. (Beweis mit dem Additionstheorem)
Es ist stets
e(x) > 1 + x.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus.
ln(x).
Der Lo-
garithmus hat folgende Eigenschaften: Multiplikationstheorem.
Mit Hilfe des Logarithmus und der Exponentialfunktion können reelle Exponenr
ten deniert werden: a = exp(r · ln(a)). Diese Denition stimmt für ganzzahlige
Exponenten
r
mit der üblichen Denition überein (Übung).