TIfAI¨Ubung – Blatt 1 - TU Dortmund, Informatik 2

Beate Bollig, André Gronemeier
Lehrstuhl 2, Fakultät für Informatik
Sommersemester 2009
TIfAI Übung – Blatt 1
Ausgabedatum: 14.4.2009 — Abgabedatum: Abgabe ist nicht erforderlich
Aufgabe 1.1: O-Notation
Kurzaufgabe (unbewertet):
Die O-Notation sollte euch bereits aus der DAP-2-Vorlesung bekannt sein. Es sei g : N → R+
eine Funktion. Gib formale Definitionen der Mengen O(g(n)), Θ(g(n)) und Ω(g(n)) an. Was
bedeutet die Aussage f (n) = O(g(n)) formal?
Hauptaufgabe (unbewertet):
1. Sortiere die unten angegebenen acht Funktionen so, dass f (n) = O(g(n)) gilt, falls f (n)
in der sortierten Folge vor g(n) steht. Markiere zusätzlich Gruppen von in der sortierten
Folge benachbarten Funktionen f (n) und g(n), für die f (n) = Θ(g(n)) gilt.
n · (n log(n) + log(n)) , 3n/2 , n log2 (n) , 2n ,
7 · n2 log(n) , 2n/2 , n log(n) · (n/ log(n) + log(n)) , 5 · 4n/2
2. Beweise die folgende Aussage:
Falls g(n) = O(f (n)) ist, dann gilt O(f (n) + g(n)) = O(f (n)).
Aufgabe 1.2: Die Churchsche These, Turingmaschinen
Kurzaufgabe (unbewertet):
Beschreibe in eigenen Worten, was die erweiterte Churchsche These besagt.
Hauptaufgabe (unbewertet):
Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Erweiterung von Turingmaschinen, die wir schwarzweiß-Turingmaschinen oder kurz sw-TMs nennen. Der Unterschied zu den in der Vorlesung
definierten Turingmaschinen besteht darin, dass hier das Arbeitsband aus schwarzen und weißen Feldern besteht, die sich abwechseln, d.h. die beiden benachbarten Felder eines weißen Feldes sind schwarz und umgekehrt. Statt einer Übergangsfunktion δ(q, a) haben sw-TMs zwei
Übergangsfunktionen δs (q, a) und δw (q, a). Die Übergangsfunktion δs (q, a) wird verwendet,
wenn sich der Lesekopf über einem schwarzen Feld befindet, δw (q, a) wird entsprechend für
weiße Bandfelder verwendet. Am Anfang der Rechnung befindet sich der Lesekopf über einem
schwarzen Feld. Ansonsten arbeiten sw-TMs so wie übliche TMs.
Offensichtlich kann eine sw-TM eine herkömmliche TM effizient simulieren, denn falls für alle
Zustände q und alle Eingabezeichen a gilt, dass δs (q, a) = δw (q, a) ist, dann entspricht eine
sw-TM einer herkömmlichen TM.
Zeige, dass auch die Umkehrung dieser Aussage gilt, also dass eine sw-TM von einer herkömmlichen
TM effizient simuliert werden kann.
Aufgabe 1.3: Algorithmische Komplexität
Kurzaufgabe (unbewertet):
Was versteht man unter der algorithmischen Komplexität eines Problems?
Hauptaufgabe (unbewertet):
Angenommen A und B sind zwei Entscheidungsprobleme für die Folgendes gilt: Aus einer
Eingabe a der Länge n für A kann in Zeit O(n) eine Eingabe b der Länge m = O(n) für B
berechnet werden, so dass die Lösung des Problems A für die Eingabe a genau dann “Ja” lautet,
wenn die Lösung des Problems B für Eingabe b “Ja” lautet.
1. Was können wir daraus über die algorithmische Komplexität von A schließen, wenn wir
einen Algorithmus für B kennen, dessen Laufzeit durch O(m3 ) beschränkt ist?
2. Was können wir daraus über die Komplexität von A schließen, wenn wir wissen, dass die
Komplexität von B mindestens Ω(2m ) ist?
3. Was können wir über die Komplexität von B schließen, wenn wir einen Algorithmus für
A mit der Laufzeit O(n3 ) kennen?
4. Was können wir über die Komplexität von B schließen, wenn die Komplexität von A
mindestens Ω(2n ) ist?
Aufgabe 1.4: Ein asymmetrisches Partitionsproblem
Kurzaufgabe (unbewertet):
Beschreibe anhand des Problems Partition kurz in eigenen Worten, was der Unterschied zwischen Entscheidungs- und Optimierungsproblemen ist. Was ist der Zusammenhang zwischen
Entscheidungsproblemen und Sprachen?
Hauptaufgabe (unbewertet):
Bei der Optimierungsvariante vonPPartitionPsucht man für die Zahlen a1 , . . . , an ∈ N eine
diesesP
Problem leicht ab
Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n}, so dass i∈I ai = i∈I
/ ai ist. Wir wandeln
P
und suchen stattdessen eine Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n}, so dass i∈I ai = 3 · i∈I
/ ai gilt. Dieses
Problem nennen wir hier 3:1-Partition.
Zeige, dass sich Partition effizient mit Hilfe eines Algorithmus für 3:1-Partition lösen lässt.
Tipp: Die Eingabe für 3:1-Partition darf mehr Zahlen als die Eingabe für Partition enthalten.