Definiton einer komplexen Zahl

Mathematik III
Komplexe Rechnung
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Wiederholung - Grundlagen
1. Warum komplexe Zahlen?
2. Definition einer komplexen Zahl
3. Darstellungsformen der komplexen Zahl
4. Rechnung mit komplexen Zahlen
5. Eigenschaften der komplexen Zahlen
6. Potenzieren von komplexen Zahlen
7. Radizieren von komplexen Zahlen
Prof. E.Bühler
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Prof. E. Bühler
Warum komplexe Zahlen?
Unter Verwendung der reellen Zahlen lassen sich einige Gleichungssysteme nicht lösen. Geht
man z.B. von der einfachen quadratischen Gleichung x 2 + 1 = 0 aus, so hat sie keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets größer oder gleich Null ist. Wird auf beiden Seiten
die Wurzel gezogen, so erhält man zu der Gleichung x 2 + 1 = 0 formal die beiden Ausdrücke:
x1, 2 =
+
−
−1 ,
die in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert sind. Dieses Problem existiert nicht, wenn
die reellen Zahlen um die „imaginären“ Zahlen erweitert werden.
Der Vorschlag, imaginäre Zahlen einzuführen, geht auf Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855)
zurück. Imaginär deshalb, weil diese Zahlen auf der Zahlengeraden keinen Platz haben und nur
in der Vorstellung existieren. Man hat die grundlegende imaginäre Zahl i genannt. Um eine
Verwechslung mit der Stromstärke i zu vermeiden, kennzeichnet man in der Elektrotechnik die
imaginäre Einheit mit dem Symbol j und nicht wie in der Mathematik mit i. Ein besonderes
Anwendungsgebiet der komplexen Zahlen ist die Darstellung von Wechselströmen in der Elektrotechnik.
2. Definition einer komplexen Zahl
Der Wurzelausdruck
− 1 heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol j gekennzeich-
net: j = − 1 .
Das Quadrat der imaginären Einheit j ist die reelle Zahl -1: j2 = -1.
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Unter der komplexen Zahl z versteht man die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl jy:
z = x + jy .
x = Re {z}
Realteil von z
y = Im {z}
Imaginärteil von z
Unter Verwendung der imaginären Einheit j lauten nun die Lösungen der Gleichung
x2+1 = 0:
x1/2 = +/- j .
Sie können als „Produkte“ aus der reellen Zahl +1 bzw. –1 und der imaginären Einheit j aufgefaßt werden: x1 = 1j = j
und x2 = -1j = -i
Gleichheit zweier komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 sind gleich wenn x1 = x2 und
y1 = y2 ist.
Betrag einer komplexen Zahl
Unter dem Betrag |z| einer komplexen Zahl z = x + jy versteht man die Länge des zugehörigen Zeigers (siehe geometrische Darstellung). Er berechnet sich wie folgt: | z | = x 2 + y 2
Konjugiert komplexe Zahlen
Die zu z = x + jy konjugiert komplexe Zahl hat den gleichen Realteil wie z, jedoch den negativen Imaginärteil von z. Die konjugiert komplexe Zahl wird mit z* = x - jy bezeichnet.
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Darstellungsformen von komplexen Zahlen
Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene.
Eine komplexe Zahl z = x + jy läßt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch den Bildpunkt
P(z) = (x;y) oder durch den Zeiger z = x+jy geometrisch darstellen. Die Bildpunkte der reellen
Zahlen liegen auf der reellen waagerechten Achse, die Bildpunkte der imaginären Zahlen liegen auf der imaginären senkrechten Achse.
Im(z)
Darstellung einer komplexen
P(z)
Zahl durch einen Punkt in der
Gaußschen Zahlenebene.
Re(z)
Darstellung einer komplexen
Im(z)
Zahl durch einen Zeiger in der
z = x + iy
Gaußschen Zahlenebene. Die
|z|
Zeigerlänge entspricht dem Betrag von z.
Re(z)
Im(z)
z = x + iy
Zum Begriff der konjugiert
komplexen Zahl
Re(z)
z* = x - iy
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Es gibt drei wesentliche Darstellungsformen von komplexen Zahlen:
a) Algebraische oder kartesische Form
x = Re {z}:
Realteil von z
y = Im {z}:
Imaginärteil von z
b) Trigonometrische Form
z = x + jy
z = r (cos ϕ +j sin ϕ)
Den Bildpunkt P(z) einer komplexen Zahl können wir auch durch Polarkoordinaten r und ϕ
festlegen.
Im(z)
z = x + iy
r : Betrag von z
r
ϕ : Argument (Winkel) von z
y
ϕ
x
c)
Exponentialform
Re(z)
z = r e jϕ
Unter Verwendung der bekannten Euler’schen Formel
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
erhält man aus der trigonometrischen Form z = r (cos ϕ +j sin ϕ) die als Exponentialform bezeichnete Darstellung
z = r e jϕ
r : Betrag von z
ϕ : Argument (Winkel) von z
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Die Exponentialform ist gewissermaßen die Kurzschreibweise der trigonomertrischen Form.
Beiden Darstellungsformen liegen Polarkoordinaten zugrunde. Daher werden sie unter der Bezeichnung „Polarform“ zusammengefasst. Eine in der Polarform
z = r (cos ϕ +j sin ϕ) oder
z = r e jϕ
vorliegende komplexe Zahl läßt sich mit Hilfe der Transformationsgleichungen
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ
in die kartesische Form z = x + iy überführen. Die Transformationsgleichungen beschreiben
den Übergang von den Polarkoordinaten (r,ϕ) zu den kartesischen Koordinaten (x,y). Zuerst
wird die komplexe Zahl von der Exponentialform in die trigonometrische Form gebracht, dann
wird „ausmultipliziert“.
z = re i ϕ = r (cosϕ + i sin ϕ ) = (
rcos
r sin
ϕ
ϕ
) + i (
) = x + iy
X
Y
Eine in der kartesischen Form z = x + iy vorliegende komplexe Zahl lässt sich mit Hilfe der
Transformationsgleichungen
r = z = x2 + y2 ,
tan ϕ =
y
x
und unter Berücksichtigung des Quadranten, in dem der zugehörige Bildpunkt liegt, in die trigonometrische Form z = r (cos ϕ +j sin ϕ) bzw. in die Exponentialfunktion z = r e iϕ überführen.
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Rechnung mit komplexen Zahlen
Die vier Grundrechenarten (Additon, Subtraktion, Multiplikation, Division)
Summe z1 + z 2 und Differenz z1 − z 2 zweier komplexer Zahlen z = x +jy werden gebildet
indem man Realteil und Imaginärteil jeweils für sich addiert bzw. subtrahiert:
z1 + z 2 = (x1 + x 2 ) + j ( y1 + y 2 )
z1 − z 2 = ( x1 − x 2 ) + j ( y1 − y 2 )
Die Summen- bzw. Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen nach den gleichen Regeln
wie bei zweidimensionalen Vektoren. Den beiden Vektorkomponenten entsprechen dabei Realund Imaginärteil der komplexen Zahl. Geometrisch läßt sich die Rechnung nach der aus der
Vektorrechnung bekannten Parallelogrammregel darstellen.
Addition in der geometrischen
z = z1 + z 2
Im(z)
z1
Darstellung entsprechend der
Parallelogrammregel.
z2
Re(z)
Das Produkt z1 * z 2 zweier komplexer Zahlen z = x + jy ist die komplexe Zahl:
z1 * z2 =
( x1
x2
−
y1 y2 ) +
j
( x1
y2
+
y1 x2 )
Bei der Multiplikation und der Division erweist sich die trigonometrische bzw. exponentielle
Darstellung als besonders vorteilhaft: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert indem man
ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert:
z1 * z 2 = (r1r2 ) [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + j sin (ϕ1 + ϕ 2 )] =
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(r1r2 ) * e j (ϕ1 + ϕ 2 )
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Geometrisch bedeutet die Multiplikation zweier komplexer Zahlen die Drehstreckung des
Zeigers. Zunächst wird der Zeiger z1 um das r2 - fache gestreckt (Streckung) und anschließend
um den Winkel ϕ 2 gedreht (Drehung).
Im(z)
z = z 1 z 2 = r1 r2 e i (
Geometrische Darstellung zur Multipli-
ϕ1 + ϕ2 )
r
ϕ
r2
z2
kation zweier komplexer Zahlen:
ϕ2
r1
z1
ϕ1
Re(z)
Der Quotient z1/z2 zweier komplexer Zahlen ist die komplexe Zahl
x y −x y
z1 x1 x2 + y1 y 2
=
+ j 2 21 1 2 2
2
2
z2
x2 + y 2
x2 + y 2
Auch hier ist die Betrachtung in Polarkoordinaten vorteilhafter: Zwei komplexe Zahlen werden
dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert:
z1
r
= 1 [cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + j sin (ϕ1 − ϕ 2 )] =
z2
r2
Geometrisch ist das die Umkehrung der Drehstreckung.
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r1 j (ϕ1 − ϕ 2 )
e
r2
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Eigenschaften der komplexen Zahlen
Die vier Grundrechenarten der komplexen Zahlen unterstehen folgenden Grundgesetzen:
1. Summe z1 + z 2 , Differenz z1 − z 2 , Produkt z1 * z 2 und Quotient
z1
zweier komz2
plexer Zahlen ergeben wiederum eine komplexe Zahl. (Ausnahme: die Division durch 0 ist
nicht erlaubt)
2. Bei Addition und Multiplikation gilt stets für beliebige Zahlen das Kommutativgesetz:
z1 + z 2 = z 2 + z1 ,
z1 z 2 = z 2 z1
3. Bei Addition und Multiplikation gilt stets für beliebige Zahlen das Assoziativgesetz:
z1 + ( z 2 + z 3 ) = ( z1 + z 2 ) + z 3
z1 ( z 2 z 3 ) = ( z1 z 2 ) z 3
4. Bei Addition und Multiplikation gilt stets für beliebige Zahlen das Distributivgesetz:
z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z1 z 3
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Potenzieren von komplexen Zahlen
Eine komplexe Zahl z = r (cos ϕ + j sin ϕ) = r ejϕ wird in die n-te Potenz erhoben, indem man
ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (Winkel) ϕ mit n multipliziert. Das
„Potenzieren“ bedeutet wiederholte Multiplikation. In der geometrischen Betrachtung heißt das
wiederholte Drehstreckung des Zeigers.
Somit wird eine komplexe Zahl in der Polarform wie folgt potenziert:
1. in exponentieller Schreibweise:
z n = [r ejϕ ]n =
r n ejnϕ
2. in trigonometrischer Schreibweise:
z n = [r (cos ϕ + j sin ϕ)]n =
r n [cos (nϕ) + j sin (nϕ)]
Beispiel für n < 5 und z = 1 + j:
z = 1+ j =
2 e j 45°
z 2 = (1+ j ) = 2 e j 90°
2
z 3 = (1+ j ) = 2 e j135° = 2.83 e j 135°
3
3
z 4 = (1 + j ) = 2 e j 180° = 4 e j 180
4
4
o
z 5 = (1+ j ) = 2 e j 225° = 5.66 e j 225°
5
5
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7. Radizieren von komplexen Zahlen
Es ist bekannt, daß eine algebraische Gleichung n-ten Grades vom Typ
an x n + an −1 x n −1 + ..... + a1 x + a0 = 0
(a i reell)
höchstens n reelle Lösungen (Wurzeln) besitzt. Werden jedoch auch komplexe Zahlen zugelassen:
an z n + an −1 z n −1 + ..... + a1 z + a0 = 0
(a i , z reell)
so gibt es nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n Lösungen.
Eine besonders einfache Struktur hat die algebraische Gleichung
zn = a
bzw.
zn − a = o
Ihre Lösungen werden als n-te Wurzel aus a bezeichnet. Demnach besitzt die Gleichung
z n − a = z n − a0 eiα = 0
unter Berücksichtigung der komplexen Zahlen genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln). Eine
dieser Lösungen ist
z k = r (cos ϕ k + j sin ϕ k ) = r e j ϕ k
mit r = n a 0
und
ϕk =
α + k 2π
n
mit k = 0, 1 , ... , n – 1 .
Bei allen n Lösungen ist die Zeigerlänge r gleich. Die Lösungen unterscheiden sich jedoch
durch ihren Winkel. In der Gaußschen Zahlenebene liegen die Bildpunkte somit auf dem Mittelpunktskreis mit dem Radius R = n a0
10
und bilden die Ecken eines regelmäßiges n –Ecks.
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Beispiele:
90
1.5
120
60
Geometrische Lösung
1
150
von
3
30
j
0.5
180
0
210
330
240
300
270
90
1.5
60
120
1
Geometrische Lösung
von
4
30
150
0.5
−1
180
0
210
330
240
300
270
90
1.5
120
60
1
30
150
0.5
Geometrische Lösung
von
10
−1
180
0
210
330
300
240
270
11