Vorwort

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

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weich: Flussschläuche sind leicht beweglich, ungeeignet für Anwendungen,
Enerigedissipation
hart: Flussschläuche sind gepinnt, H c 2 kann sehr gross sein. Mit Nb3Sn kann man
bis zu 20 Tesla (200 000 G) erreichen!
H
Pinning kann durch Erzeugen von Gitterdefekten erreicht werden: Walzen, legieren. So
kann zum Beispiel aus Pb (Typ 1) durch Zulegieren von Indium ein Typ 2 Supraleiter mit
einem ca. 6 mal grösseren H c 2 erzeugt werden.
Phasendiagramm des Supraleiters 2. Art:
H
c2
H
c1
norm
alleitend
SchubnikovPhase
M
eissner-Phase
Tc
T
Die Temperaturabhängigkeit von H c ist approximativ gegeben durch
H c (T )  H 0 (1  ( TTc ) 2 ) .
7.2. Thermodynamische Eigenschaften
Freie Elektronen: Im Normalleiter liegen Zustände an der Fermikante sehr dicht.
Elektronen können mit beliebig kleinen Energien angeregt werden. Wie sieht es in einem
Supraleiter aus, was können wir aus thermodynamischen Eigenschaften lernen?
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Für die freie Enthalpie (Gedankenstützen: G  U  TS  pV ,
dG   SdT  Vdp  MdH    j dN j ) gilt im normalleitenden (NL) und supraleitenden
j
(SL) Zustand:
G NL  U NL  TS NL  pV
GSL  U SL  TS SL  12  0 H 2  pV .
Ein System ist für minimales G theromodynamisch stabil.
G
GSL
supraleitend
normalleitend
GNL
Tc
T

Der pV Term ist in beiden Ausdrücken gleich, wenn elastische Kopplungen
vernachlässigbar sind. Wir ignorieren pV .

Der Term 12  0 H 2 beschreibt die Tatsache, dass bei einem kritischen Feld H c die
Supraleitung zerstört wird:
H
H
0
0
  M dH    0 HdH  12  0 H 2 ,
dann ist GSL ( H c , T )  G NL ( H c , T ) . Wenn der normale Zustand unmagnetisch ist
(meistens), gilt GNL ( H c , T )  GNL (0, T ) und man kann zeigen, dass
G SL ( H c , T )  G SL (0, T )  12  0 H c2 .
Damit folgt mit GSL ( H c , T )  G NL (0, T ) das fundamentale Resultat
G NL (0, T )  G SL (0, T )  12  0 H c2 .
Die Differenz G  G NL (0, T )  GSL (0, T ) nennt man die Kondensationsenergie
(per Einheitsvolumen) des Systems, wenn es vom normal- in den supraleitenden
Zustand übergeht.
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
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Für T  0 und H  0 muss U SL  U NL sein: Die innere Energie ist im
supraleitenden Zustand kleiner als im normalleitenden Zustand.
U
USL
supraleitend
UNL
normalleitend
Tc
T
Hinweis darauf, dass die Energie der Elektronen kleiner geworden ist.

Bei Tc ( H  0 ) muss gelten: S SL  S NL der supraleitender Zustand ist mehr
geordnet.
S
SNL
SSL
Tc
T
Für den normalleitenden Zustand ist die spezifische Wärme gegeben durch einen Anteil
der Elektronen und einen Anteil der Phononen
CVNL  T  AT 3 .
Im Supraleiter findet man
CVSL  e   / k BT  AT 3 .
Der exponentielle Anstieg ersetzt den linearen Beitrag von freien Elektronen und deutet
auf Anregungen mit einem Energiegap hin (siehe N. E. Phillips, Phys. Rev. 134, 385
(1964)): Vergleiche mit dem Einstein-Modell für Gitterschwingungen, wo CV bei tiefen
Temperaturen einen exponentiellen Anstieg zeigt.
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CV
Spezifische Wärme
von Aluminium
norm
alleitend
Tc
3
T
Da CV / T bei Tc unstetig ist, ist der
Phasenübergang 2. Ordnung.
Die Figur auf der rechten Seite zeigt
Messergebnisse von N. E. Phillips, Phys.
Rev. 114, 676 (1959).
C (mJ/(Mol K))
supraleitend
2
1
0
H=0
H=0
H = 30 mT
0.5
1.0
1.5
2.0
T (K)
Aus der Temperaturabhängigkeit von CV folgt, dass die Wärmeleitfähigkeit für einen
Supraleiter bei tiefen Temperaturen sehr viel kleiner ist als für einen Normalleiter. Für
den Supraleiter gilt   CV  e   / k BT . Anwendung: Wärmeschalter.
Wichtige Anwendung: Adiabatische
Entmagnetisierung zum Erreichen von
extrem tiefen Temperaturen (Siemensmeyer
et al., Physica B 234, 768 (1997)).
1.) Paramagnetisches Material in
Magnetfeld auf 10 mK abkühlen,
Wärmeschalter in normalem
Zustand.
2.) Wärmeschalter in supraleitenden
Zustand bringen: Thermische
Isolierung der paramagnetischen
Materials
3.) Magnetfeld ausschalten: Spins
werden ungeordnet, Entropie nimmt
zu, Temperatur sinkt.
Aus den thermodynamischen Betrachtungen
kann man den Schluss ziehen, dass sich bei
der Fermi-Energie eine Energielücke 2
Misch- 10 - 50 mK
kryostat
WärmeSchalter
supraleitende
Spule
paramagnetisches
Material
abzukühlende
Probe
560 pK
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auftut und damit die Energie des Elektronensystems erniedrigt wird. Gleichzeitig wird die
Entropie erniedrigt, weil die Elektronen im supraleitenden Zustand stärker korreliert
(“geordnet“) sind.
E(k)
EF


normalleitend

supraleitend
kf
k
Der Energiegap bei k f soll nicht verwechselt werden mit der Energielücke, die an der
Zonengrenze k ZB wegen des periodischen Potentials bei freien Elektronen entstehen
kann.


Isolator: Energielücke tritt auf wegen den Eigenschaften des Gitters
Supraleiter ( 2  10 4 E f ): Gap tritt auf wegen den Elektronen an der
Fermifläche. Für viele Supraleiter gilt: 2(T  0) /( k BTc )  3.5 .
Der Energiegap in Supraleitern kann mit Hilfe des Tunneleffekts mit Elektronen
gemessen werden. Er nimmt mit zunehmender Temperatur ab.
1
(T)/(0)
BCS Theorie
0
1
T/Tc
In der folgenden Figur ist das Bandschema für ein Metall und einen Supraleiter
aufgezeichnet. Anregungen mit E  2 , die im metallischen Zustand stattfinden sind
stärker gedämpft als im supraleitenden Zustand. Beispiel: Linienbreiten von Phononen,
Magnonen, Kristallfeldern, Infrarotabsorption, Tunneling, usw.
EF
Wellenvektor k
supraleitender Zustand
Energie
Energie
metallischer Zustand
2
EF
Wellenvektor k
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Durch Messen von Linienbreiten kann man Informationen über den Energiegap 2
erhalten. Dämpfung tritt auf, wenn die zugeführte Energie ausreicht, um Cooperpaare
aufzubrechen.
7.3. London’sches Modell
Der Meissner Effekt und das Eindringen des magnetischen Flusses in Supraleiter können
nicht mit den Maxwell-Gleichungen alleine beschrieben werden. 1935 haben Fritz und
Heinz London zwei zusätzliche Gleichungen vorgeschlagen, die experimentelle
Beobachtungen phänomenologisch erklären können.
Der Strom im Supraleiter werde durch Quasiteilchen mit der Masse mC und der Ladung
q C getragen. Die Dichte der Teilchen beträgt nC . Wegen   0 folgt für den Strom
j  q C nC v

2r
j  q C nC 2
t
t

Andererseits werden die Ladungen in einem elektrischen Feld beschleunigt
 2r
mC 2  qC E .
t
Daraus folgt:
q
q2 n

1
j  q C nC C E  C C E 
E
t
mC
mC
 0 2L
Und damit für die 1. London’sche Gleichung:

1
j
E.
t
 0 2L
Die Grösse 2L 
mC
wird als London’sche Eindringtiefe bezeichnet.
 0 nC qC2
Anschaulich klar: Je grösser die Dichte der Cooperpaare, desto besser die Abschirmung:
B( x)  B(0)e  x / L .
Diese Beziehung ist eine Lösung der Differentialgleichung
 2B 
1
2L
B  0.
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Die 2. London’sche Gleichung erhalten wir auf folgende Weise mit Hilfe der
Maxwell’schen Gleichung   B   0 j :
 2 B      B     0 j .
Daraus folgt für die 2. London’sche Gleichung:
 j  
1
 0 2L
B.
Diese Gleichung ist für den Meissner-Effekt verantwortlich, da sie kein homogenes Feld
im Supraleiter zulässt (siehe auch Übungen). Messungen zeigen, dass die einfache
Londontheorie die Eindringtiefe unterschätzt.
7.4. Kohärenzlänge
Die London’sche Theorie ist eine lokale Theorie, da sie einen direkten Zusammenhang
zwischen der Stromdichte j am Ort r und dem Magnetfeld B liefert. Generell erfordert
eine räumliche Änderung der Wellenfunktion eines elektronischen Systems zusätzliche
kinetische Energie. Vergleiche mit Spinwellen: Man verteilt das Flippen eines Spins über
eine grosse Distanz und erniedrigt damit die Energie der Anregungen. Eine ähnliche
Beobachtung macht man in Supraleitern: Die Kohärenzlänge  gibt an, über welchen
räumlichen Bereich die Wellenfunktion der Quasiteilchen kohärent ist:

Ausdehnung der Region, über die B wirksam ist zur Erzeugung von j, und
umgekehrt

Minimale Distanz zwischen normalem und supraleitendem Gebiet
Folgende, einfache Betrachtung liefert eine Abschätzung für  :
Die Impulse der Elektronen, die zur Supraleitung beitragen haben einen Impuls
EF   
p2
 EF   .
2m
EF
Die Dicke der Schale ist gegeben durch
2
2

(k F  2k ) 2  k F2 
k F k .
2m
2m

Daraus folgt k 

2m
2

.
2
 k F v F
2
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Das Wellenpaket, das die Cooperpaare bildet rührt von den Elektronen im Energiegap
mit der Wellenvektorverteilung k her. Aufgrund der Heisenberg’schen
Unschärferelation hat das Cooperpaar eine minimale Ausdehnung
x 
v
1
 F .
k

Diese heuristische Betrachtung liefert eine erstaunlich gute Übereinstimmung mit dem
Resultat der BCS-Theorie:
 BCS 
v F
.

Typische Zahlenwerte: v F  10 6 ms-1,   k BTc . Im Volumen eines Cooperpaars
befinden sich ca. 1010 andere Elektronen.
Berechnete Kohärenzlänge und London’sche Eindringtiefe bei T  0 K:
Material
Al
Pb
Nb
k BTc (meV) 2 / k BTc
0.34
3.3
2.73
4.38
3.05
3.80
 BCS (nm)
 L (nm)
 BCS / L
Typ Supraleiter
1600
83
38
16
37
39
100
2.2
0.98
1. Art
1. Art
2. Art
Aluminium ist ein ausgeprägter Typ I Supraleiter. Gegenbeispiel Nb: Der kohärente
Zustand bricht schneller zusammen als die Eindringtiefe, d.h. die Wellenfunktion kann
sich sehr rasch ändern: Das Entstehen von Flussschläuchen ist möglich  Typ II
Supraleiter.
Es ist unmittelbar klar, dass Verunreinigungen zu einer Reduzierung sowohl der
Kohärenz als auch der Eindringtiefe führen.
7.5. Grundzüge der BCS-Theorie
Die Grundidee der BCS-Theorie von Bardeen, Cooper, and Schriefer (1957, Nobelpreis
1972) ist die Annahme einer anziehenden Wechselwirkung zwischen den Elektronen.
Dies führt zu einer Erniedrigung der Energie des elektronischen Systems. Das ist in einer
Art analog wie wir argumentiert haben bei i) den Halbleitern, wo die Energie der
Donatorniveaus einige meV kleiner ist als die Energie der Kante des unteren
Leitungsbandes, oder ii) der Reduzierung der Energie der Exzitonen (Übungsaufgabe).
In der BCS-Theorie wurde als anziehende Wechselwirkung die Elektron-Phonon
Wechselwirkung angenommen. Ein anschauliches Bild: Ein Elektron bewegt sich durch
einen See von positiven Atomrümpfen, die dadurch angezogen werden. Weil die Ionen
schwer sind, gehen sie nicht sofort in Ihre Ruhelage zurück und erniedrigen damit die