Kettenbrüche

Kettenbrüche
December 8, 2004
Contents
1 Euklidische Kettendivision
1
2 Kettenbruchentwicklung
6
1.1 Ganzzahlige Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kettendivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
Kodierung der Kettendivision durch Kettenbruchentwicklung . . 6
Gebrauch des Taschenrechners (TR) für Kettenbruchentwicklung 7
Kurzschreibweise für die Kettenbruchentwicklung . . . . . . . . . 7
Vom Kettenbruch zum Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Approximation und Kettenbrüche
1
2
3
5
11
Euklidische Kettendivision
Es seien x und y (auf Seite 145 ist y = 1) positive reelle Zahlen (Längen von
Strecken). In diesem Sinne werden in diesem Artikel die Ausdrücke `Strecke'
und Element in IR+ synonym gebraucht.
Denition 1 Zwei Strecken, repräsentiert durch positive reelle Zahlen x und y
heiÿen kommensurabel, wenn es eine positive reelle Zahl c gibt, sodaÿ x und
y ganzzahlige Vielfache von c sind, m.a.W., es p, q ∈ IN mit x = pc, y = qc
gibt.
Jedes solche c nennen wir eine gemeinsame Maÿeinheit von x und y . Z.B.
ist c = 0.01 eine gemeinsame Maÿeinheit für x = 3.31 und y = 2.3, (für p = 331
und q = 230). Die Existenz von c ist äquivalent dazu, daÿ der `Bruch reeller
Zahlen' xy eine rationale Zahl ist, nämlich pq . Umgekehrt, wenn für vorgegebene
positive Zahlen x und y der `Bruch' xy für natürliche Zahlen p, q sich als xy = pq ,
schreiben läÿt, so ist c := xp = yq eine gemeinsame Maÿeinheit, und die Strecken
x und y kommensurabel. Hat man ein gemeinsames Maÿ c, so ist auch c0 := nc
eines, für alle n ∈ IN , weil ja pn.c0 = pn. nc = x und qnc0 = qn. nc = y gilt. So
z.B. ist für x = 3.31 und y = 2.3 auch c = 0.001 eine gemeinsame Maÿeinheit
1
(für p = 3310 und q = 2300). Man beobachtet, daÿ c0 =
folgende Aussage:
c
10
. Allgemein gilt die
Hilfsatz 1 Für kommensurable Strecken x und y existiert c0 ∈ IR+ , sodaÿ für
jede gemeinsame Maÿeinheit c ein n ∈ IN mit c =
c0
n
existiert.
BW: Sei c eine beliebige Maÿeinheit für x und y . Dann ist (siehe oben) xy
eine rationale Zahl, besitzt also eine Darstellung xy = pq für passende p, q ∈ IN .
Da pq ∈ Q darf die Teilerfremdheit von p und q angenommen werden (gekürzter
Bruch). Da c eine gemeinsame Maÿeinheit von x und y ist, gibt es p0 , q 0 ∈ IN
mit x = p0 c und y = q 0 c. Daraus resultiert die Gleichung
pq 0 = p0 q.
In IN hat jede Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung, somit existieren k ∈ IN
und l ∈ IN , sowie Primzahlen pi , qj (i = 1, . . . , k und j = 1, . . . , l mit der
Ausnahme, daÿ im Falle p = 1 man p1 := 1 und k = 1, bzw. für q = 1 man
q1 := 1 und l = 1 setzt) mit
p = p1 · · · pk , q = q 1 · · · q l .
Da kein Primfaktor von p ein Teiler von q ist, schlieÿt man, daÿ p ein Teiler
von p0 , und q ein Teiler von q 0 ist (die Ausnahmesituationen bitte selbst durchdenken). Somit gibt es natürliche Zahlen m, n mit p0 = mp und q 0 = nq . Da
0
jedoch auch xy = pq = pq0 gilt, schlieÿt man auf m = n. Setzt man c0 := xp , so
gilt x = c0 p und y = c0 q . Weiters gilt
c=
c0
,
n
wie behauptet worden ist.
Die zu beschreibende euklidische Kettendivision stellt ein Verfahren dar, bei
vorgegebenen Strecken x und y ein c0 wie in HS 1 zu nden, wobei noch zu
klären sein wird, wann der Algorithmus abbricht, bzw. wie er verwendbar ist,
falls er es nicht tut.
1.1
Ganzzahlige Division
Zunächst werde, geometrisch motiviert durch `Streckenabschlagen', die ganzzahlige Division zweier Strecken x und y wie folgt deniert:
Man legt die Strecke y derart n mal hintereinander, daÿ die Strecke ny ≤ x,
jedoch (n + 1)y > x gilt (bitte sich eine Skizze selbst anzulegen). Die verbleibende Reststrecke r = x − ny erfüllt die Gleichung
x = ny + r
und sichtlich ist 0 ≤ r < y gleichbedeutend mit der Bedingung an n. Wenn
x = 3.31 und y = 2.3 ist, ndet man n = 1 und r = 1.01. Dies beobachtend
formuliert man:
2
Algorithmus 1
Eingabe: (x, y) ∈ IR+ × IR+ ;
Ausgabe: (n, r) ∈ (IN ∪ {0}) × (IR+ ∪ {0}) mit x = ny + r und 0 ≤ r < y .
Algorithmus: Man deniert eine Funktion
divrest(·, ·) : IR+ × IR+ → (IN ∪ {0}) × (IR+ ∪ {0})
durch
divrest(x, y) :=
x
x
,
.
y
y
wobei in Abweichung vom sonstigen Gebrauch geschweifter Klammern, für eine
reelle Zahl x der gebrochene Anteil {x} := x − [x] die 'Nachkommastellen'
beschreibt. (z.B. [3.14159] = 3 und {3.14159} = 0.14159.
Die folgende Beobachtung wurde in der Antike bereits gemacht und ist der
Schlüssel zur Konstruktion eines Algorithmus, der, so es existiert, das c0 bei
gegebenen Strecken x und y ermittelt.
Hilfsatz 2 Sind x und y kommensurabel und ist r durch (n, r) := divrest(x, y)
deniert und ungleich Null, so sind y und r kommensurabel. Insbesondere ist
das in HS 1 beschriebene c0 für x und y gleich jenem für y und r.
BW: Es existieren c ∈ IR+ und n ∈ IN ∪ {0} und p, q ∈ IN mit x = ny + r,
x = pc und y = qc. Dann ist 0 < r = x − ny = (p − nq)c. Somit ist y = qc
und r = (p − q)c, und c ist eine gemeinsame Maÿeinheit auch für y und r, weil
p − q ∈ IN .
Sei umgekehrt y = pc und r = qc für p, q ∈ IN . Dann ist x = ny + r =
npc + qc = (np + q)c. Da x > 0, ist np + q ∈ IN und es ist c gemeinsame
Maÿeinheit auch von x und y .
Somit haben die Paare (x, y) und (y, r) die gleichen gemeinsamen Maÿeinheiten. Deshalb haben sie auch das c0 gemeinsam.
1.2
Kettendivision
Seien Strecken x und y gegeben. Das in der antiken griechischen Mathematik
verwendete Exhaustionsprinzip zur Aundung der gemeinsamen kleinsten `Maÿeinheit c' für x und y besteht darin, von HS 2 ausgehend, den Schritt der ganzzahligen Division (Streckenabschlagens) zu wiederholen, wobei eine Folge
(0, x, y), (n, y, r), (n1 , r, r2 ), (n2 , r2 , r3 ), . . .
von nichtnegativen ganzen Zahlen und Streckenpaaren konstruiert wird, wobei
die Streckenpaare allesamt das gleiche c0 besitzen. Wenn dieses Verfahren abbricht, so existiert ein k ∈ IN ∪{0} mit rk = 0. Dann hat (rk−2 , rk−1 ) das gleiche
c0 wie x und y (wegen HS 2 und leichter Induktion). Es ist lt. Konstruktion
(nk , 0) = divrest(rk−2 , rk−1 ),
3
also rk−2 = nk rk−1 , sodaÿ c := rk−1 eine gemeinsame Maÿeinheit für x und y
ist.
Vorerst im Beispiel, sei x = 3.31 und y = 2.3. Eine erste Anwendung der
ganzzahligen Division liefert (n, r) = (1, 1.01). Nun läÿt sich mit den Strecken
x = 2.3 und r = 1.01 der Algorithmus wiederholen, weil die Division möglich
ist (r 6= 0), m.a.W.
(n1 , r2 ) := divrest(x, r) = divrest(2.3, 1.01) = · · · = (2, 0.28).
Die Eingabe (x, y) wurde demnach in dieser ersten Wiederholung durch die
Eingabe (y, r1 ) ersetzt. Es ist r1 6= 0, somit wird, die Idee fortsetzend, die
Eingabe (y, r1 ) durch die Eingabe (r1 , r2 ) ersetzt (bitte sich die entsprechenden
Strecken in einem geeigneten Maÿstab selbst zu skizzieren). Man ndet
(n2 , r3 ) := divrest(r1 , r2 ) = divrest(1.01, 0.28) = · · · = (3, 0.17).
Auch r3 = 0.27 6= 0, somit läÿt sich ein weiterer Schritt ausführen:
(n3 , r4 ) := divrest(r2 , r3 ) = divrest(0.28, 0.17) = · · · = (1, 0.11).
Auch r4 = 0.11 6= 0, Wiederholung führt auf:
(n4 , r5 ) := divrest(r3 , r4 ) = divrest(0.17, 0.11) = · · · = (1, 0.06).
Auch r5 = 0.06 6= 0, somit
(n5 , r6 ) := divrest(r4 , r5 ) = divrest(0.11, 0.06) = · · · = (1, 0.05).
Auch r6 = 0.06 6= 0, somit
(n6 , r7 ) := divrest(r5 , r6 ) = divrest(0.06, 0.05) = · · · = (1, 0.01).
Auch r7 = 0.01 6= 0, somit
(n7 , r8 ) := divrest(r6 , r7 ) = divrest(0.05, 0.01) = · · · = (5, 0).
Nun ist r8 = 0 (d.h. k = 8) und Fortsetzen nicht möglich. Man beobachtet
aber, daÿ im Einklang mit Obigem, c = 0.01 sich als gemeinsame Maÿeinheit
der Strecken x und y ergibt.
Die Vorbetrachtungen führen zu einer algorithmischen Formulierung der
Kettendivision:
Algorithmus 2 (Euklidische ganzzahlige Kettendivision)
Eingabe: (x, y) ∈ IR+ × IR+ . Ausgabe: c0 , sofern der Algorithmus abbricht;
Möglicherweise endliche Folgen {nj }j≥0 nichtnegativer ganzer Zahlen sowie {rj }j≥1
nichtnegativer reeller Zahlen, wobei:
rj−1 = nj rj + rj+1
und 0 < rj < rj−1 gilt.
Algorithmus:
4
Initialisierung:
r−1 := x, r0 := y
Induktionsschritt:
nj
:=
h
i
,
rj−1
n rj o
rj−1
rj
rj+1 :=
rj−1 = nj rj + rj+1
Die seltsame Numerierung
schat für y = 1 Kohärenz
mit der Darstellung auf
Seite 145
dabei ist j ≥ 0 und der
Schritt wird lediglich dann
ausgeführt, falls rj 6= 0.
Falls rj = 0, setze c0 :=
rj−1
Dieser Algorithmus ist für y = 1 (also wenn lediglich geprüft werden soll, ob x
mit 1 kommensurabel, d.h. x rational ist) identisch mit jenem auf Seite 145.
Hilfsatz 3 Der Algorithmus bricht genau dann ab, wenn
rabel sind.
x und y kommensu-
BW: Wenn der Algorithmus abbricht, so ist, wie oben gezeigt, c = rj−1
eine gemeinsame Maÿeinheit für x und y . Wir wollen die Umkehrung zeigen:
Angenommen es sind x und y kommensurabel mit einer gemeinsamen Maÿeinheit c ohne daÿ der Algorithmus abbricht. Dann ist x = pc und y = qc. Unter
allen Gegenbeispielen gibt es eines mit p+q minimal (Die Menge der natürlichen
Zahlen der Form p + q , wobei p und q von einem Gegenbeispiel (x, y) stammen
ist lt. Annahme nicht leer, hat somit ein kleinstes Element!). Ausführen des
ersten Schrittes im Algorithmus liefert x = ny + r mit 0 ≤ r < y . Da der Algorithmus nicht abbricht, muÿ r > 0 gelten. Dann hat man wegen HS 2 ein Paar
(y, r) von kommensurablen Strecken mit c gemeinsamer Maÿeinheit, nämlich
y = qc, r = (p − nq)c
mit p − nq ∈ IN und es ist q + (p − nq) = p + q − nq < p + q , sodaÿ die
Minimalitätsannahme an p + q zeigt, daÿ (y, r) kein Gegenbeispiel sind. Damit
bricht der Algorithmus ab, ein Widerspruch.
Zuletzt überlegt man sich, daÿ für Zahlen x, y ∈ IR+ mit x = ny sich c0 = y
ergibt. Dies berücksichtigend für die Situation rj = 0, ergibt sich daÿ c0 = rj−1
sein muÿ.
1.2.1 Euklidischer Algorithmus
In diesem Zusammenhang sei gesagt, daÿ für x, y ∈ IN die in HS 2 beschriebene
gemeinsame Maÿeinheit c0 identisch mit dem gröÿten gemeinsamen Teiler von
x und y ist. In dieser Situation wird der erwähnte Induktionsbeweis z.B. in
Algebra oder Zahlentheorie vorgeführt und das Verfahren wird als Euklidischer Algorithmus bezeichnet. Die Euklidische Kettendivision ist insofern etwas
allgemeiner, als sie auch für x, y beliebige positive reelle Zahlen formulierbar
(allgemeiner für etwas, das man als angeordnete ZZ -Moduln bezeichnet).
5
2
2.1
Kettenbruchentwicklung
Kodierung der Kettendivision durch Kettenbruchentwicklung
Genau dann, wenn der Algorithmus abbricht, läÿt sich der `Bruch reeller Zahlen'
x
y als Bruch von ganzen Zahlen mit positivem Nenner anschreiben (man mache
sich klar, wie die einzelnen Divisionsschritte der Euklidischen Kettendivision
als hier nicht explizit angeschriebene `Nebenrechnungen' bei der nachstehenden
Kettenbruchentwicklung eine Rolle spielen):
3.31
2.3
= 1+
= 1+
1.01
2.3
1
2.3
1.01
1
2 + 0.28
1.01
1
1+
1
2 + 1.01
= 1+
=
0.28
= 1+
= 1+
=
=
1+
1+
= 1+
= 1+
1
2+
1
3+ 0.27
0.28
1
2+
1
1
0.28
0.17
3+
1
2+
1
3+
1
1+ 0.11
0.17
1
2+
1
3+
1+
1
1
0.06
0.11
1
2+
1
3+
1+
1
1
1+ 0.05
0.06
1
2+
1
3+
1
1+
1+
=
1+
1
1
1+ 0.01
0.05
1
2+
1
3+
1
1
1+
1+
1+
6
1
1
5+ 0.0
0.01
=
1+
1
2+
1
3+
1
1+
1+
1
1
1+ 1
5
Der letzte nicht verschwindende Rest ist 0.01 (im drittletzten Kettenbruch),
somit ist c = 0.01 das gröÿte gemeinsame Maÿ der Strecken mit Längen 3.31
und 2.3. Man erkennt, daÿ die Zeilen dieser Bruchentwicklung auch als Notation
für die Schritte der Euklidischen Kettendivision interpretierbar sind.
2.2
Gebrauch des Taschenrechners (TR) für Kettenbruchentwicklung
3.31 : 2.3 = 1.4391304348. n0 = 1 ist oenbar korrekt ablesbar. Der Rest ist
0.4391304348. Nun sollte man
1
0.4391304348
nicht mittels TR bestimmen. Es ist auf meinem TR 1 : 4391304348 = 2.2772277228.
Es geht zwar alles soweit gut, weil man ja n1 = 2 korrekt ablesen kann. Jedoch
sind die Nachkommastellen bereits `rundungsfehlerverseucht'. Allerdings sind
im vorliegenden Beispiel die Zahlen so `gutmütig', daÿ dies `keine Rolle spielt'.
Der nächste Schritt (in ähnlicher Weise ausgeführt) liefert 1 : 2.2772277228 =
3.60714285714. Immer noch alles in Butter, n2 = 3! 1 : 0.60714285714 =
1.6470588235, also n3 = 1. 1 : 0.6470588235 = 1.5454545455, also n4 = 1.
1 : 5454545455 = 1.8333333333, somit n5 = 1. 1 : 0.8333333333 = 1.2, somit
n6 = 1. 1 : 0.2 = 5, somit n7 = 5.
Will man `auf Nummer sicher gehen', bildet man 3.31 − 2.3 = 1.01 am TR,
liest n0 = 1 daraus ab, bildet im nächsten Schritt 2.3 : 1.01 = 2.2772277228 am
TR, liest n1 = 2 ab, bildet am TR 2.3 − 2 × 1.01 = 0.28, etc. (So wurde der
obige Kettenbruch entwickelt).
Natürlich, das in der Antike nicht im Gebrauch gewesene Dezimalsystem
331
liefert 3.31
2.3 = 230 (irgendwo muÿ es Fortschritt geben), aber um das c zu nden
muÿ der gröÿte gemeinsame Teiler von 331 und 230 ermittelt werden, z.B. durch
Kettenaldivision oder, im vorliegenden Fall in einfacherer Weise (weil die Zahlen
klein sind) durch Primfaktorzerlegung. Wie erwartet, ndet man, daÿ 331 und
230 relativ prim sind, d.h. ihr ggT gleich 1 ist, und da wir x und y mit 100
multipliziert hatten, ist c0 = 0.01!
2.3
Kurzschreibweise für die Kettenbruchentwicklung
Es haben sich für die Kettenbrüche verschiedene Schreibweisen eingebürgert.
Eine davon ist die Folgende: Eine positive reelle Zahl r der Gestalt r = x + y1
für positives y wird wie folgt bezeichnet:
r =x+
1
= [x, y].
y
7
Ist nun y von der Gestalt y = u + v1 = [u, v] für positive reeller Zahlen u und v ,
so schreibt man
[x, u, v] := [x, [u, v]].
Somit, wenn {rn } ein Folge reeller positiver Zahlen ist (von der r0 = x, r1 = u
und r2 = v wären), kann induktiv eine Folge von Kettenbrüchen
[r0 , r1 , . . . , rk+1 ] :=
[r0 , r1 , . . . , [rk−1 , rk ]] , k ∈ IN
deniert werden. In dieser Schreibweise liest sich die Kettenbruchentwicklung
aus dem vorigen Abschnitt wie folgt:
3.31
2.3
=
=
=
=
=
=
=
1.01
2.3
1+
= 1,
2.3
1.01
1
1.01
1.01
= 1, 2,
= 1, 2,
1,
0.28
0.28
2 + 0.28
1.01
0.28
0.28
0.27
1, 2, 3 +
= 1, 2, 3,
= 1, 2, 3,
0.28
0.17
0.17
0.06
0.06
0.11
= 1, 2, 3, 1,
= 1, 2, 3, 1,
1, 2, 3, 1 +
0.17
0.11
0.11
0.01
0.01
0.05
1, 2, 3, 1, 1 +
= 1, 2, 3, 1, 1, 1,
= 1, 2, 3, 1, 1, 1,
0.06
0.05
0.05
0.0
1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 5 +
0.01
[1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 5]
Das Beispiel vor Augen sieht man nun leicht ein, daÿ
x
y
y
n0 ,
r1
r1
=
n0 , n 1 ,
r2
r2
=
n0 , n 1 , n 2 ,
r3
=
.
= ..
rk−1
=
n0 , . . . , nk−1 ,
rk
eine sehr bequeme Schreibweise für die Kettenbruchentwicklung bzw. die Euklidische Kettendivision (Algorithmus 2) ist. Hat man sich an die Schreibweise
8
gewöhnt, erkennt man auch das Abbrechen des Algorithmus sofort und auch,
daÿ
x
y
= [n0 , . . . , nk−1 ] .
Folgende Eigenschaften der Funktionen qk : (x0 , x1 , . . . , xk ) 7→ [x0 , x1 , . . . , xk ]
(k ∈ IN , xi ∈ IR+ ) seien noch vermerkt:
• Es ist
[x0 , . . . , [xj , . . . , xk ]] = [x0 , . . . , xj , . . . , xk ].
Das ist nützlich für alle Arten von Induktion.
• Jedes qk ist in jedem seiner Argumente mit geradem Index streng monoton
steigend, in jedem mit ungeradem Index streng monoton fallend.
(BW: Sei nämlich k minimal, sodaÿ die Aussage falsch ist. Dann muÿ
k > 0 sein, sonst ist die Aussage in evidenter Weise richtig. Dann hat
man wegen des vorigen Punktes und aufgrund der Denition
[x0 , x1 , . . . , xk ] = [x0 , [x1 , . . . , xk ]] = x0 +
1
[x1 , . . . , xk ]
Sei nun j der Index des Arguments. Ist j = 0 so ist die Funktion sichtlich
streng monoton steigend, also muÿ j > 0 sein. In [x1 , . . . , xk ] hat das
entsprechende Argument einen um 1 erniedrigten Index, somit ist die
Funktion [x1 , . . . , xk ] steigend (fallend) bezüglich xj genau dann wenn
j ungerade (gerade) ist. Dann ist aber der Kehrwert entsprechend fallend
(steigend), sodaÿ die geforderte Eigenschaft auf qk zutrit, ein Widerspruch.)
• Es ist für jedes j ∈ IN
[x0 , . . . , x2j ] < [x0 , . . . , x2j+1 ].
(Beweis ähnlich wie vorhin.)
Für alle j ∈ IN und k ≥ 2j + 1 ist
[x0 , . . . , x2j ] < [x0 , . . . , x2j , x2j+1 , . . . , xk ]
(BW: Man erkennt aus den Denitionen
[x0 , x1 ] > x0 .
Dies und die Monotonie in x2j (steigend) benützend, ergibt sich
[x0 , . . . , x2j , x2j+1 , . . . , xk ] = [x0 , . . . , x2j , x2j+1 , . . . , xk ]
= [x0 , . . . , [x2j , [x2j+1 , . . . xk ]]]
> [x0 , . . . , x2j ].
)
9
Für alle j ∈ IN und k ≥ 2j + 2 ist
[x0 , . . . , x2j+1 ] > [x0 , . . . , . . . , xk ]
(BW: ähnlich wie eben.)
Zusammenfassend kann gesagt werden
Hilfsatz 4 Es werde eine Folge {qk } von Funktionen in k + 1 positiven Argumenten durch
qk (x0 , . . . , xk ) := [x0 , . . . , xk ]
deniert. Dann ist {q2k } monoton steigend und {q2k+1 } monoton fallend bezüglich
k bei fester Folge {xn }. Weiters gilt bei fester Folge {xn } die Ungleichung
q2k > q2l+1 für alle k, l ∈ IN . (Die Argumente der Funktionen wurden bequemlichkeitshalber weggelassen.)
2.4
Vom Kettenbruch zum Bruch
Wir wollen die Kettenbrüche des vorigen Abschnitts in einfacher Weise als
Brüche positiver reeller Zahlen darstellen und wenden uns Seite 145 unten zu.
Sei nunmehr
qk (x0 , . . . , xk ) := [x0 , x1 , . . . , xk ]
vorgegeben, die wir als Brüche der Form qk = abkk anschreiben wollen. Es ist
bequem (wenn auch nicht korrekt), die Funktionsargumente (x0 , . . . , xk ) der
Funktionen ak und bk wegzulassen. Um Systematik zu erkennen, schreiben wir
Terme bis k = 3 an:
q0
= x0 =
q1
=
q2
q3
a0
,
b0
a0 := x0 , b0 := 1
x0 x1 + 1
a1
= , a1 := a0 x1 + 1, b1 := b0 x1 ,
x1
b1
x0 x1 x2 + x2 + 1
a2
= [x0 , x1 , x2 ] =
= , a2 := a1 x2 + 1, b2 := b1 x2 + 1,
x1 x2 + 1
b2
x0 x1 x2 x3 + x0 x1 + x0 x3
a3
= , a3 := a2 x3 + a1 , b3 := b2 x3 + b1 .
= [x0 , x1 , x2 , x3 ] =
x1 x2 x3 + x1 + x3
b3
[x0 , x1 ] =
k−1
Es fällt auf, daÿ abkk aus abk−1
durch Ersetzen von xk durch [xk , xk+1 ] entsteht.
Somit ist die Anleitung zu Bspl 170 verstehbar.
Hilfsatz 5 Für jedes n ∈ IN werden rekursiv Funktionen an (x0 , . . . , xn ) und
bn (x0 , . . . , xn ) auf jeweils (IR+ )n+1 wie folgt deniert:
a−1 := 1 und b0 := 1. Danach deniere man für alle j ≥ 1
aj := aj−1 xj + aj−2 ,
bj := bj−1 xj + bj−2 .
Es gilt dann für alle k ∈ IN ∪ {0} stets
[x0 , . . . , xk ] =
ak (x0 , . . . , xk )
.
bk (x0 , . . . , xk )
10
BW: Es werden für jedes k ∈ IN ∪ {0} Funktionen gk (x0 , . . . , xk ) für positive
Zahlen x0 , . . . , xk wie folgt deniert:
g0 (x0 ) := x0
und
gk (x0 , . . . , xk ) =
ak
.
bk
Durch vollständige Induktion nach k ∈ IN soll gezeigt werden, daÿ
gk (x0 , . . . , xk ) = [x0 , . . . , xk ]
gilt. Für k = 1, 2 ist dies nach nach Obigem richtig. Es sei für alle j ≤ k richtig.
Dann ist
gk (x0 , . . . , xk ) =
ak−1 xk + ak−2
,
bk−1 xk + bk−2
Nun rechnet man ohne Mühe
gk (x0 , . . . , g1 (xk , xk+1 )) = gk+1 (x0 , . . . , xk , xk+1 )
nach. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt deshalb
ak+1
= gk (x0 , . . . , xk , xk+1 ) = [x0 , . . . , xk , xk+1 ],
bk+1
was zu zeigen war.
Als Anwendung zeigen wir
Hilfsatz 6 Sind x > 0 und y > 0 und liegt eine mittels Kettendivision konstruierte Folge von Kettenbrüchen
ak
bk
= [n0 , . . . , nk ] vor, so gilt
a2k+1 b2k − a2k b2k+1 = 1.
insbesondere sind die Zähler ak und Nenner bk zueinander teilerfremd.
BW: Die erste Behauptung folgt aus der Rekursion und vollständiger Induktion. Nun sei p ein Primteiler von a2k+1 und b2k+1 . Dann läÿt sich p auf der
linken Seite `herausheben' und sollte somit, wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ZZ auch ein Teiler von 1 sein, ein Widerspruch. Analog für a2k und
b2k .
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Approximation und Kettenbrüche
Seien, wie im ersten Abschnitt, x und y positive reelle Zahlen. Dann ergibt Kettendivision eine möglicherweise abbrechende Folge {[n0 , . . . , nk ]} von rationalen
Kettenbrüchen. Hilfssatz 1 zeigt, daÿ diese Brüche für gerades k stets unterhalb
jenen mit ungeradem k liegen und bezüglich k monoton wachsen. Ebenso ist
die Folge der Kettenbrüche mit ungeradem k monoton fallend. Auch erkennt
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man, daÿ für alle k, l für welche die Kettenbrüche deniert sind und nicht mit
x übereinstimmen
a2l+1
a2k
= [n0 , . . . , n2k ] < x < [n0 , . . . , n2l+1 ] =
b2k
b2l+1
gilt. Ausserdem ist wegen des letzten Hilfssatzes
a2k
1
a2k+1
−
=
.
b2k+1
b2k
b2k+1 b2k
Es ist b1 ≥ 1, b0 = 1 und
b2k+1 b2k ≥ (b2k +b2k−1 )(b2k−1 +b2k−2 ) ≥ (2b2k−1 +b2k−2 )(b2k−1 +b2k−2 ) > (b2k−1 +b2k−2 )2
sodaÿ durch vollständige Induktion
b2k+1 b2k > 2k
folgt. Deshalb ist
0<
a2k
a2k+1
−
< 2−k .
b2k+1
b2k
Falls also die Kettendivision nicht abbricht für positive Zahlen x und y (sie also
inkommensurabel sind), konvergiert die Folge {[n0 , . . . , nk ]} gegen xy .
Jeder einzelne Kettenbruch ist somit ein approximatives ganzzahliges Verhältnis der beiden Strecken.
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