Inhaltsverzeichnis

Inhalt
Inhaltsverzeichnis
Einleitung.....................................................................................................9
1
Vektoralgebra
1.1
Geometrische Darstellung von Vektoren....................................... 14
1.1.1
Begriff des Vektors........................................................................ 14
1.1.2
Inverser Vektor und Nullvektor...................................................... 17
1.1.3
Addition von Vektoren.................................................................... 18
1.1.3.1 Parallelogrammregel..................................................................... 18
1.1.3.2 Gesetze der Vektoraddition........................................................... 19
1.1.3.3 Zerlegung von Vektoren in Komponenten..................................... 21
1.1.3.4 Anwendungsbeispiele.................................................................... 22
1.1.4
Subtraktion von Vektoren.............................................................. 25
1.1.5
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar............................... 26
1.1.6 Einheitsvektoren............................................................................ 28
1.2
Darstellung von Vektoren im kartesischen Koordinatensystem..... 30
1.2.1
Das räumliche kartesische Koordinatensystem............................. 30
1.2.2
Komponenten eines Vektors.......................................................... 31
1.2.3
Addition und Subtraktion von Vektoren......................................... 34
1.2.4
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar............................... 36
1.2.5
Betrag eines Vektors..................................................................... 38
1.2.6
Richtungskosinus eines Vektors.................................................... 41
1.3
Skalarprodukt................................................................................ 44
1.3.1
Definition........................................................................................ 45
1.3.2
Rechengesetze.............................................................................. 47
1.3.3
Winkel zwischen zwei Vektoren..................................................... 50
1.3.4
Projektion....................................................................................... 51
1.4
Vektorprodukt................................................................................ 53
1.4.1
Definition........................................................................................ 53
1.4.2
Rechengesetze.............................................................................. 58
1.4.3
Normalenvektor............................................................................. 63
1.5
Spatprodukt................................................................................... 66
3
4
Ingenieurmathematik 1
1.6 Gerade in vektorieller Darstellung................................................. 70
1.6.1 Punkt-Richtungsform einer Geraden............................................. 70
1.6.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden................................... 74
1.6.3
Abstand zwischen parallelen Geraden.......................................... 76
1.7
Ebene in vektorieller Darstellung................................................... 79
1.7.1
Punkt-Richtungsform einer Ebene................................................. 79
1.7.2
Skalarform der Ebenengleichung.................................................. 81
1.7.3
Abstand eines Punktes von einer Ebene....................................... 84
1.7.4
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene................................. 86
1.7.5
Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene....................... 89
1.8
Übungsaufgaben........................................................................... 92
1.8.1
Aufgaben zur geometrischen Darstellung von Vektoren............... 92
1.8.2
Aufgaben zur Darstellung von Vektoren im
kartesischen Koordinatensystem................................................... 93
1.8.3
Aufgaben zum Skalarprodukt........................................................ 94
1.8.4
Aufgaben zum Vektor- und Spatprodukt........................................ 96
1.8.5
Aufgaben zu Geraden und Ebenen............................................... 97
1.9
Zeichenindex............................................................................... 100
2
Komplexe Zahlen und Ortskurven
2.1
Definition der imaginären Einheit................................................. 104
2.2
Normalform.................................................................................. 105
2.2.1
Definition der komplexen Zahl..................................................... 105
2.2.2
Geometrische Darstellung komplexer Zahlen
in der Gaußschen Zahlenebene.................................................. 107
2.2.3
Grundrechenoperationen............................................................. 109
2.2.3.1 Addition........................................................................................ 109
2.2.3.2 Subtraktion.................................................................................. 110
2.2.3.3 Multiplikation.................................................................................111
2.2.3.4 Division........................................................................................ 112
2.2.4
Betrag.......................................................................................... 114
2.3
Polarform..................................................................................... 118
2.3.1
Definition...................................................................................... 118
2.3.2
Umrechnung von der Normalform in die Polarform..................... 121
2.3.3
Umrechnung von der Polarform in die Normalform..................... 126
Inhalt
2.3.4
Grundrechenoperationen............................................................. 127
2.3.4.1 Addition........................................................................................ 127
2.3.4.2 Subtraktion.................................................................................. 127
2.3.4.3 Multiplikation................................................................................ 128
2.3.4.4 Division........................................................................................ 131
2.3.5
Satz von Moivre........................................................................... 135
2.3.6
Potenzen mit reellen Exponenten................................................ 136
2.3.7
Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl........................................ 138
2.4
Exponentialform........................................................................... 146
2.4.1
Eulersche Formel........................................................................ 146
2.4.2
Rechenoperationen..................................................................... 147
2.4.2.1 Multiplikation und Division........................................................... 147
2.4.2.2 Potenzen und Wurzeln mit reellen Exponenten.......................... 148
2.4.2.3 Natürlicher Logarithmus.............................................................. 149
2.4.2.4 Potenzen und Wurzeln mit komplexen Exponenten.................... 152
2.5
Ortskurven................................................................................... 155
2.5.1
Definition...................................................................................... 155
2.5.2
Komplexe Ursprungsgerade........................................................ 158
2.5.3
Komplexe Gerade........................................................................ 161
2.5.4
Komplexer Kreis um den Ursprung............................................. 164
2.5.5
Komplexer Kreis in allgemeiner Lage.......................................... 166
2.5.6
Inversion der komplexen Geraden.............................................. 167
2.5.7
Inversion des komplexen Kreises in allgemeiner Lage............... 169
2.5.8
Anwendungsbeispiel: Netzwerk mit Wechselstrom..................... 172
2.6
Übungsaufgaben......................................................................... 176
2.6.1
Rechnen mit der Normalform...................................................... 176
2.6.2
Rechnen mit der Polar- und Exponentialform.............................. 177
2.7
Zeichenindex............................................................................... 181
3
Lineare Algebra
3.1
Matrizen....................................................................................... 184
3.1.1
Definition der Matrix..................................................................... 184
3.1.2
Spezielle Matrizen....................................................................... 186
3.1.3
Gleichheit von Matrizen............................................................... 189
3.1.4
Addition und Subtraktion von Matrizen........................................ 189
5
6
Ingenieurmathematik 1
3.1.5
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar................................ 191
3.1.6
Multiplikation von Matrizen.......................................................... 193
3.1.7
Anwendungsbeispiele.................................................................. 198
3.1.8
Aufbau weiterer Matrizen............................................................. 202
3.2
Determinanten............................................................................. 203
3.2.1
Definition, Regel von Sarrus........................................................ 203
3.2.2
Anwendungsbeispiele aus der Vektoralgebra............................. 207
3.2.3
Determinantengesetze................................................................ 208
3.2.4
Entwicklungssatz nach Laplace................................................... 214
3.2.5
Berechnung der inversen Matrix.................................................. 218
3.2.6
Matrizengleichungen................................................................... 221
3.3
Lineare Gleichungssysteme........................................................ 223
3.3.1
Definitionen.................................................................................. 224
3.3.2
Gaußscher Algorithmus............................................................... 225
3.3.2.1 Inhomogenes System.................................................................. 225
3.3.3
Berechnung der inversen Matrix nach dem
Gauß-Jordan-Verfahren............................................................... 234
3.3.4
Cramersche Regel....................................................................... 239
3.3.5
Lösbarkeit quadratischer linearer Gleichungssysteme................ 243
3.3.6
Eigenwertprobleme...................................................................... 246
3.3.6.1 Einführungsbeispiel: Linearschwinger......................................... 246
3.3.6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.................................................... 246
3.3.6.3 Eigenschaften der Eigenwerte..................................................... 255
3.4.1
Aufgaben zur Matrizenrechnung................................................. 257
3.4.2
Aufgaben zur Determinantenrechnung........................................ 262
3.4.3
Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen................................ 266
3.5
Zeichenindex............................................................................... 271
4
Folgen, Reihen und Funktionen
4.1
Zahlenfolgen................................................................................ 273
4.1.1
Definition der Folge..................................................................... 273
4.1.2
Grenzwert.................................................................................... 277
4.2
Endliche und unendliche Reihen................................................. 283
4.2.1
Definition...................................................................................... 283
4.2.2
Konvergenz und Divergenz von unendlichen Reihen.................. 284
Inhalt
4.2.3
Arithmetische Reihen.................................................................. 286
4.2.4
Geometrische Reihen.................................................................. 288
4.2.5
Finanzmathematische Anwendungen.......................................... 291
4.3
Funktionen einer Veränderlichen................................................. 294
4.3.1
Begriff der Funktion..................................................................... 294
4.3.2
Darstellungsarten........................................................................ 296
4.3.3
Funktionseigenschaften............................................................... 300
4.3.3.1 Nullstellen.................................................................................... 300
4.3.3.2 Symmetrieverhalten..................................................................... 301
4.3.3.3 Monotonie.................................................................................... 304
4.3.4
Grenzwert einer Funktion............................................................ 311
4.3.5
Stetigkeit...................................................................................... 316
4.3.6
Ganzrationale Funktionen........................................................... 322
4.3.7
Gebrochenrationale Funktionen.................................................. 327
4.3.7.1 Definition der gebrochenrationalen Funktion............................... 327
4.3.7.2 Definitionsbereich, Nullstellen, Pole............................................ 328
4.3.7.3 Asymptoten.................................................................................. 330
4.3.8
Potenz- und Wurzelfunktionen.................................................... 333
4.3.8.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten......................... 333
4.3.8.2 Wurzelfunktionen......................................................................... 334
4.3.8.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.............................. 336
4.3.9
Exponential- und Logarithmusfunktionen.................................... 338
4.3.9.1 Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion................ 338
4.3.10 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen.................... 345
4.3.10.1 Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion........................................ 345
4.3.10.2 Harmonische Schwingungen....................................................... 349
4.3.10.3 Arkusfunktionen........................................................................... 353
4.3.11 Hyperbel- und Areafunktionen..................................................... 356
4.4
Übungsaufgaben......................................................................... 362
4.4.1
Aufgaben zu Folgen.................................................................... 362
4.4.2
Aufgaben zu Reihen.................................................................... 364
4.4.3
Aufgaben zu Funktionen.............................................................. 367
4.5 Zeichenindex............................................................................... 375
7
8
Ingenieurmathematik 1
Anhang: Beweise
1. Eulersche Formel (zu 2.4.1).................................................................. 377
2. Inversion eines komplexen Kreises durch den Ursprung (zu 2.5.6)...... 378
3. Komplexer Kreis in allgemeiner Lage (zu 2.5.7)................................... 379
4. Multiplikationstheorem für Determinanten (zu 3.2.3)............................. 381
5. Cramersche Regel (zu 3.3.4)................................................................ 382
Übungsaufgaben
1. Vektoralgebra........................................................................................ 384
2. Komplexe Zahlen und Ortskurven......................................................... 402
3. Lineare Algebra..................................................................................... 424
4. Folgen, Reihen und Funktionen............................................................ 459
Ergebnisse der Übungsaufgaben
1. Vektoralgebra........................................................................................ 478
2. Komplexe Zahlen und Ortskurven......................................................... 482
3. Lineare Algebra..................................................................................... 487
4. Folgen, Reihen und Funktionen............................................................ 496
Literaturverzeichnis................................................................................505