Script_Physik_e

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Seite 1
1.DYNAMIK
3
1.1
GLEICHFÖRMIGE, GERADLINIGE BEWEGUNG
1.2
KREISFÖRMIGE BEWEGUNG
1.3.1 BESCHLEUNIGUNG OHNE ANFANGSGESCHWINDIGKEIT
1.3.2 BESCHLEUNIGUNG MIT ANFANGSGESCHWINDIGKEIT
3
5
7
7
2.MECHANIK
9
2.1 DARSTELLUNG VON KRÄFTEN
2.2 MOMENTENSATZ
2.2.1 LAGERKRÄFTE
2.3.1 FESTE ROLLE
2.3.2 LOSE ROLLE
2.3.3 FLASCHENZUG
9
12
13
16
18
3. SPEZIELLE KRÄFTE
20
3.1BESCHLEUNIGUNGSKRAFT (TRÄGHEITSKRAFT)
3.2 REIBKRAFT, NORMALKRAFT
3.3 ZENTRIFUGALKRAFT (FLIEHKRAFT)
4.1 HUBARBEIT
4.2 REIBARBEIT
4.3 BESCHLEUNIGUNGSARBEIT
20
21
22
24
25
26
5. MECHANISCHE LEISTUNG
27
6. WIRKUNGSGRAD
29
7. MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN
30
7.1 DRUCK UND DRUCKEINHEITEN
7.2 DRUCKFORTPFLANZUNG
7.3 HYDROSTATISCHER DRUCK
30
30
32
8. DURCHFLUSSGLEICHUNG
34
9. SCHIEFE EBENE
35
10 WÄRMELEHRE
36
10.1 LÄNGENAUSDEHNUNG, VOLUMENAUSDEHNUNG
10.2 GASGESETZE
10.2.1 IDEALE GASGLEICHUNG
10.2.2 ISOTHERME ZUSTANDSÄNDERUNG
10.2.3 ISOKORE ZUSTANDSÄNDERUNG
10.2.4 ISOBARE ZUSTANDSÄNDERUNG
37
39
39
40
41
42
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10.3 WÄRMEMENGE
10.4 WÄRMEMISCHUNG
10.5 SCHMELZWÄRME, VERDAMPFUNGSWÄRME
10.6 VERBRENNUNGSWÄRME
10.6 VERBRENNUNGSWÄRME
43
44
46
48
48
11. ELEKTROTECHNIK
49
11.1 ELEKTRISCHE LEISTUNG
11.2 ELEKTRISCHE ARBEIT
11.3 LEITERWIDERSTAND
11.4 OHMSCHES GESETZ
11.5 REIHENSCHALTUNG VON WIEDERSTÄNDEN
11.6 PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN
49
50
51
52
53
54
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1. Dynamik
1.1 Gleichförmige, geradlinige Bewegung
t
v
s
v=
s
t=
t
s
s=v*t
v
v = Geschwindigkeit in m/s, (m/min, km/h)
s = Weg in m, (mm, cm, km)
t = Zeit in s, (min, h)
Umrechnung:
m/s
m/s
m/min
m/min
km/h
km/h
*
*
*
/
/
/
60
3,6
0.06
60
0,06
3,6
=
=
=
=
=
=
m/min
km/h
km/h
m/s
m/min
m/s
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Beispiel:
Ein Auto fährt um 10.32.03 Uhr am Kilometerstein 105.5 und um 10.34.17 Uhr am
Kilometerstein 110.0 vorbei. Ermitteln sie die Durchschnittsgeschwindigkeit
Geg : t = 134 s, s = 4500 m
Ges : V
Lös : V = 120.9 km/h
s
4500m
V =
V =
t
134s
V = 33,58 ms
V = 120.9 km
h
Ein Förderband läuft mit einer Geschwindigkeit von 0.5m/s. Auf jedem Meter transportiert es
durchschnittlich 100kg Schüttgut. Wie viel Schüttgut wird in einer zeit von 8 Stunden bewegt,
wenn das band 5% dieser zeit stillsteht.
Geg : t = 28800 s, V = 0,5 m/s, m = 100 kg, Stillstand = 5%
Ges : mges =
Lös: mges = 1368 t
mg e s = V * t * m _ 5 %
mg e s = 1368000kg
mges = 0.5 ms * 28800s * 100kg _ 5%
mg e s = 1368t
Ein Hallenkran hebt Lasten mit einer Geschwindigkeit von 0.3m/s.
Welche Zeit benötigt der Kran für eine Hubhöhe von 12.40m
Geg : V = 0.3m/s, s = 12.4m
Ges : t
Lös : t = 41.3 s
t =
s
V
t=
12.4m
0.3 ms
t = 41.3s
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1.2 Kreisförmige Bewegung
v
n
n
v = Umfangsgeschwindigkeit in m/min
n = Drehzahl in min-1
d = Durchmesser in mm
r = Radius in mm
r
r
d
Größengleichung in
m/min
v=
d**n
1000
d=
v * 1000
n*
Umrechnung:
m/s
m/min
*
/
60
60
=
=
m/min
m/s
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n=
v * 1000
d*
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Beispiel:
Ein Fräser Arbeitet mit einer Schnittgeschwindigkeit von 30 m/min.
Mit welcher Drehzahl arbeitet das Werkzeug, wenn es einen Durchmesser von 45 mm hat?
Geg : Vc = 30 m/min, d = 45 mm
Ges : n
Lösung: n = 212 1/min
v * 1000 mm
m
n=
d*π
m
30 min
* 1000 mm
m
n=
45mm * π
1
n = 212 min
Sie Bohren mit einem Spiralbohrer aus HSS eine 12 mm Bohrung.
Mit welcher Schnittgeschwindigkeit arbeitet der Bohrer wenn eine Drehzahl von 600 1/min
eingestellt ist?
Geg : n =600 1/min, d = 12 mm
Ges : V
Lös : V = 22.6 m/min
d* π*n
V=
1000 mm
m
1
12mm * π * 600 min
V=
1000 mm
m
m
V = 22.6 min
Die Drehzahl eines Reifens eines PKW beträgt 880 1/min. Der dynamisch wirksame
Reifendurchmesser beträgt 710 mm.
Ermitteln sie die Fahrzeuggeschwindigkeit in km/h.
Geg : n = 880 1/min, d = 710mm
Ges : v in km/h
Lös : V = 118 km/h
d * π * n * 60 min
h
V=
m
1000 km
1
0.71m * π * 880 min
* 60 min
h
V=
m
1000 km
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V = 118 km
h
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1.3 Gleichmäßige Beschleunigung
1.3.1 Beschleunigung ohne Anfangsgeschwindigkeit
a
v
t
1.3.2 Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit
a
v
t
v = Geschwindigkeit in m/s
a = Beschleunigung in m/s²
t = Zeit in s
s = Weg in m
Formeln siehe Formellblatt
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Seite 8
Beispiel:
Bei einer mittleren Bremsverzögerung von a = 6 m/s² kann ein Fahrzeug in 8 s angehalten
werden. Ermitteln sie
a) den Bremsweg
b) die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens
Geg : a = 6 m/s², t = 8 s
Ges : v, s
Lös : a) 172.8 km/h, b) 192 m
a)
v = a *t
v = 6m
s ² * 8s
v = 48 ms
v = 172.8 km
h
b)
a * t²
s=
2
6m
* 8s²
s = s²
2
s = 192m
Sie Fahren mit 50 km/h durch die Stadt. Plötzlich läuft in einer Entfernung von 20 m ein Kind
über die Straße. Können sie rechtzeitig anhalten, wenn ihre Karre bei einer Vollbremsung aus
Höchstgeschwindigkeit ( 100 km/h ) bis zum Stillstand 42.5 m zurücklegt ? Die Reaktionszeit
wird mit einer Sekunde angenommen.
Geg : v = 100 km/h, v = 50 km/h, s = 42,5 m, s = 20 m, treaktion = 1 s
Ges : a, s,
Lösung: ups das hat nicht mehr gereicht!
2
v²
a=
2*s
27.78 ms
a=
2 * 42.5m
v²
s=
2*a
13.89 ms
s=
2 * 9.08 m
s²
a = 9.08 m
s²
2
s B = 10.62m
sAnhalteweg = sBremmsweg + sReaktionsweg = 10.62 m + 13.89 m = 24.51 m
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2. Mechanik
2.1 Darstellung von Kräften
 Kraftangriffspunkt
 Kraftrichtung
 Größe ( Kräftemaßstab KM )
Man unterscheidet zwischen:
 Zentrales Kräftesystem
 Allgemeines Kräftesystem
Zentrales Kräftesystem
F1
F2
Kraftangriffspunkt
F3
Allgemeines Kräftesystem
F
Drehpunkt
FG
F = Kraft in N
FG = Gewichtskraft in N
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Beispiel:
Vier Idioten ziehen einen Wagen an Seilen die nach Skizze in die Zugöse eingehängt sind.
Die Weicheier ziehen mit folgenden Kräften: F1 = 400 N, F2 = 350 N, F3 = 300 N, F4 = 500 N
Gesucht sind die resultierende Kraft und deren Richtung.
F1 unter 40°
F2 gerade
F3 unter 30°
F4 unter 40°
Geg : F1 = 400 N, F2 = 350 N, F3 = 300 N, F4 = 500 N
Ges : FRes, Res
Lös :
Zeichnerisch :
Alle Kräfte werden parallelverschiebungsmäßig aneinander gelegt. Jetzt braucht der findige
Zeichner nur noch Anfangs- und Endpunkt miteinander verbinden schon hat er seine
resultierende Kraft ( Kräftemaßstab beachten ).
FRes
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Seite 11
Rechnerisch :
F1
F1Y
F1X
a = c * sin α
F1Y = 400N * sin 40°
F1Y = 257.11N
b = c * cosα
F1X = 306.4N
F1X = 400N * cos40°
F2 X = 350N
F2 X = F2
F2
F3X
F3Y
F3
F4X
F4Y
F4
FG X = F1X + F2X + F3X + F4X
FG X = 1299.4N
a = c * sin α
F3Y = 300N * sin 30°
F3Y = 150N
b = c * cosα
F3 X = 260N
F3 X = 300N * cos 30°
a = c * sin α
F4Y = 500N * sin 40°
F4Y = 321.4N
b = c * cosα
F4X = 383N
F4X = 500N * cos40°
FG X = 306.4N + 350N + 260N + 383N
FG Y = F3Y + F4Y _ F1Y
FG Y = 150N + 321.4N _ 257.11N
FG Y = 214.29N
FRe s = FG X ² + FG Y ²
FRe s = 1299 .4N ² + 214 .29N ²
FRe s = 1316 .95 N
FG
a
FRichtung = tan α = Y
FG X
b
= 9.364°
FRichtung = tan α =
FRichtung
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FRichtung = tan α =
214.29N
1299.4N
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2.2 Momentensatz
l1
l2
F1
F2
F3
l4
l3
 M
=  M
F2*l2 + F3*l3 = F1*l1 + F4*l4
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F4
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2.2.1 Lagerkräfte
l4
l1
F1
l2
F2
A
B
F3
FA=
l1
l3
F1*l1 + F2*l2 – F3*l3
l4
l2
F1
F2
A
l3
B
F3
l4
FB =
F2*l2 – F1*l1 – F3*l3
l4
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Beispiel:
Für den skizzierten Kranträger betragen die Einzellasten F1 = 10 kN, F2 = 15 kN, F3 =15 kN,
F4 = 10 kN und die Abstände l1 = 1 m, l2 = 1.5 m, l3 = 1m, l4 = 2 m, l5 = 5m.
Gesucht sind die Stützkräfte FA und FB
Geg : F1 = 10 kN, F2 = 15 kN, F3 =15 kN, F4 = 10 kN, l1 = 1 m, l2 = 1.5 m, l3 = 1m, l4 = 2 m,
l5 = 5m
Ges : FB, FA
l5
l4
l1
l2
F1
l3
F2
F4
F3
B
A
 Mlinksdrehend =  Mrechtsdrehend
(F1 * [l 1 + l 5 ]) + (F2 * [l 5 _ l 2 ]) + (F3 * l 3 ) = (F4 * l 4 ) + (FA * l 5 )
FA =
(F1 * [l 1 + l 5 ]) + (F2 * [l 5 _ l 2 ]) + (F3 * l 3 ) _(F4 * l 4 )
l5
FA =
(10kN * [1m + 5m]) + (15kN * [5m _ 1.5m]) + (15kN * 1m) _(10kN * 2m)
5m
FA =
60kNm + 52.5kNm + 15kNm _ 20kNm
5m
FA = 21.5kN
(F4 * [l 4 + l 5 ]) + (F3 * [l 5 _ l 3 ]) + (F2 * l 2 ) = (F1 * l 1 ) + (FB * l 5 )
FB =
(F4 * [l 4 + l 5 ]) + (F3 * [l 5 _ l 3 ]) + (F2 * l 2 ) _(F1 * l 1 )
l5
FB =
(10kN * [2m + 5m]) + (15kN * [5m _ 1m]) + (15kN * 1.5m) _(10kN * 1m)
5m
FB =
70kNm + 60kNm + 22.5kNm _ 10kNm
5m
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FB = 28.5kN
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Seite 15
Die Säule ist im Punkt B drehbar gelagert. An der Konsole greift die Kraft F = 8.9 kN an.
Die Längen betragen l1 = 0.63 m, l2 = 2.54 m, l3 = 2 m.
Berechnen sie die Lagerkräfte in Lager A und B.
Geg : F = 8.9 kN, l1 = 0.63 m, l2 = 2.54 m, l3 = 2 m
Ges : FA; FB
Lös : FA = 2.2 kN, FB = 9.2 kN
FA
l1
1. Freimachen
2. evtl. Zerlegen von schrägen Kräften
3. Kräfte- und Momentensätze anwenden
l2
l3
FBx
M links = M rechts
FB X =
F * l1
l2
FB X * l 2 = F * l 1
FB X =
FB
FBy
8.9kN * 0.62m
2.54m
FB X = 2.2kN
 
F=F
F =F
FA = FB X
FB Y = F
FB = FB X ² + FB Y ²
FA = 2.2kN
FB Y = 8.9kN
FB = 2.2kN2 + 8.9kN2
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FB = 9.17kN
F
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2.3 Feste Rolle, Lose Rolle
2.3.1 Feste Rolle
2.3.2 Lose Rolle
F1
F3
F1
F2
F2
s
h
h
FG
FG
FG = F1 = F2
FG = F2
F1 = F3 =
s=h
s = Kraftweg in m
FG = Gewichtskraft in N
FG
2
s=h*2
h = Hubhöhe in m
F1 = Zugkraft in N
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s
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Seite 17
Beispiel :
Die Rollen an der Decke haben jeweils eine Gewichtskraft von 10 N, die Last ein Gewicht
von 100 N. Welche Kraft muss das Seil an der Decke aufbringen?
Geg : F1 = 100 N, FR = 10 N
Ges : FDS
Lös :
FDS = F1 + F2 + FR
FDS = 100 N + 100 N + 10 N
FDS = 210 N
FDS
FR
F1
F2
Geg : F1 = 100 N, FR = 10 N
Ges : FDS
Lös :
F + FR
FDS = 1
2
FDS
F2
FR
F1
FDS =
FDS
100N + 10N
2
FDS = 55N
Geg : F1 = 100 N, FR = 10 N
Ges : FDS
Lös :
FDS = 2 * (F1 + FR + FB ) + FR
FR
FDS = 2 * (100 N + 10N + 100 N ) + 10N
F2
FR
FDS = 430 N
F1
FB
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Seite 18
2.3.3 Flaschenzug
F = Zugkraft in N
FG = Gewichtskraft in N
S = Kraftweg in m
H = Hubhöhe in m
N = Anzahl der Rollen
N = Anzahl der tragenden Seilstränge
F * s = FG * h
s=h*n
s
F
h
FG
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Seite 19
Beispiel :
Ein 2400 kg schwerer Stahlträger soll mit einem Rollenflaschenzug
( 3 Lose und 3 Feste Rollen ) gehoben werden.
Die Gewichtskraft der Unterflasche beträgt 120 N.
a) Wie groß ist die notwendige Kraft am Zugseil bei 20% Reibungsverlust ?
b) Wie groß ist der Hub bei einem Kraftweg von s = 6.4 m ?
Geg : m = 2400 kg, Funterflasche = 120 N, n = 6,  = 80%, s = 6.4 m
Ges : F, h
Lös : F = 3155.2 N, h =1.07 m
h=
F *
F= G
n
s
n
6.4m
6
m * g + FUn
F=
*η
n
h=
h = 1.07m
2400kg * 9.81 m
s ² + 120N
F=
* 80%
6
F = 3155.2N
Ein Flaschenzug mit 5 Rollen soll eine Last von 120 kg heben.
Wie groß sind die Kräfte in den einzelnen Seilsträngen ?
Geg : n = 5, m = 120 kg
Ges : FSS
Lös : FSS = 235.5 N
F
FSS = G
n
m*g
FSS =
n
120kg * 9.81 m
s²
FSS =
5
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FS S = 235 .5N
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Seite 20
3. Spezielle Kräfte
3.1 Beschleunigungskraft (Trägheitskraft)
m*a
m = Masse in kg
a = Beschleunigung in m/s²
F = Kraft in N
F
F=m*a
Beispiel :
Ein Körper von 500 kg wird aus der Ruhe in 5 s auf 50 km/h beschleunigt.
Welche Kraft wird hierfür benötigt?
Geg : m = 500 kg, t = 5 s, v = 50 km/h
Ges : F
Lös : F = 1389 N
F = m*a
F = m*
v
t
F = 500kg *
13.89m / s
5s
F = 1389N
Ein 900 t schwerer Güterzug wird mit 0.15 m/s² beschleunigt;
wie groß ist die dafür benötigte Kraft ?
Geg : m = 900 t, a = 0.15m/s²
Ges : F
Lös : F = 135 kN
F = m*a
F = 900000kg * 0.15 m
s²
F = 135000N
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F = 135kN
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Seite 21
3.2 Reibkraft, Normalkraft
F = Zugkraft in N
FR = Haftreibungskraft in N
FN = Normalkraft in N
 = Haftreibungszahl ohne Einheit
F
FR
FN
FR =  * FN
F = FR
Beispiel :
Ein Bus mit der Masse 12 t ist mit 40 Personen zu je 70 kg besetzt. Auf ihn wirkt eine
Motorvorschubkraft von 26.4 kN. Die Reibzahl beträgt  = 0.05.
Wie groß ist die Beschleunigung ?
Geg : mGesamt = 14800 kg, FMo = 26400 N,  = 0.05
Ges : a
Lös : a = 129 m/s²
a=
F
m
a=
FM 0 _ FR
m
a=
FM 0 _ FG * μ
m
26400N _ 14800kg * 9.81 m
s ² * 0.05
a=
14800kg
a=
FM 0 _ m * g * μ
m
a = 129 m
s²
Ein Paket m = 10 kg wird auf einer waagrechten Gleitbahn  = 0.1 zum Stillstand abgebremst
Gesucht sind die Bremskraft und die Bremsverzögerung.
Geg : m = 10 kg,  = 0.1
Ges : FR, a
Lös : FR = 4.9 N, a = 0.49 m/s²
FR = μ * FN
F
a= R
m
FR = μ * m * g
μ*m*g
a=
m
FR = 0.05 * 10kg * 9.81 m
s²
0.05 * 10Kg * 9.81 m
s²
a=
10kg
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FR = 4.9N
a = 0.49 m
s²
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Seite 22
3.3 Zentrifugalkraft (Fliehkraft)
v
m
FZ
r
v = Umfangsgeschwindigkeit in m/s
m = Masse in kg
r = Radius in m
g = Erdbeschleunigung = 9.81 m/s²
FZ = Fliehkraft in N
m* v²
FZ =
r
- Looping v=
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r*g
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Seite 23
Beispiel :
Ein Radfahrer mit der Gewichtskraft FG = 750 N fährt mit 18 km/h durch eine Kurve mit dem
Radius r = 25 m. Welche Zentrifugalkraft wirkt auf ihn?
Geg : FG = 750 N, r = 25 m, v = 18 km/h
Ges : FZ
Lös : FZ = 76.45N
m * v²
FZ =
r
2
750N * 5 ms
FZ =
9.81 m
s ² * 25m
F * v²
FZ = G
g*r
FZ = 76.45N
Bei einem Astronautentraining soll ein Astronaut in der Zentrifuge ( r = 15 m ) mit dem
vierfachem seines Körpergewichtes ( 74 kg ) belastet werden.
Gesucht ist die benötigte Drehzahl der Zentrifuge.
Geg : m = 74 kg, r = 15 m, a = 39.24 m/s² FZ = m*a
Ges : n
Lös : n = 15.44 1/min
v=
FZ * r
m
v=
m*g*4*r
m
v = 9.81 m
s ² * 4 * 15m
s
v * 60 min
n=
d* π
v = g * 4*r
v = 24.26 ms
s
24.26 ms * 60 min
n=
30m * π
1
n = 15.44 min
Ein zum Teil mit Wasser gefüllter Eimer wird auf senkrechter Bahn kreisförmig
herumgeschleudert. Der Abstand der Flüssigkeitsoberfläche von der Drehachse ist 85 cm.
Welche Drehzahl muss eingehalten werden, damit kein Wasser ausfließt?
Geg : r = 0.85 m
Ges : n
Lös : n = 32.4 1/min
s
r * g * 60 min
v=
2r * π
s
0.85m * 9.81 m
s ² * 60 min
v=
2 * 0.85m * π
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1
v = 32.4 min
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Seite 24
4. Arbeit und Energie
( Hub- Reib- und Beschleunigungsarbeit )
4.1 Hubarbeit
W=F*s
F
W=m*g*s
W = Arbeit in Nm, J, Ws
F = Gewichtskraft in N
m = Masse in kg
g = Erdbeschleunigung = 9.81 m/s²
s = Kraftweg in m
s
Beispiel :
Ein PKW mit der Masse 1100 kg wird mit einer Hebebühne um 2.1 m angehoben.
Ermitteln sie die dafür benötigte Hubarbeit.
Geg : m = 1100 kg, s = 2.1 m
Ges : W
Lös : W = 22661.1 Nm
W = m*g*s
W = 1100kg * 9.81 m
s ² * 2.1m
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W = 22661.1Nm
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Seite 25
4.2 Reibarbeit
s
FG
WR = FR * s
v
FR
WR =  * FN * s
FN
WR = Reibarbeit in Nm, J, Ws
FR = Reibkraft in N
FG = Gewichtskraft in N
FN = Normalkraft in N
 = Reibungszahl ohne Einheit
s = Weg in m
Beispiel :
Eine Kiste von m = 120 kg wird über eine waagrechte Ebene (  = 0.15 ) 5 m weit geschoben.
Wie viel Arbeit ist dabei verrichtet worden?
Geg : m = 120 kg, s = 5 m,  = 0.15
Ges : W
Lös : W = 882.9 Nm
W = μ * FN * s
W = μ*m*g*s
W = 0.15 * 120kg * 9.81 m
s ² * 5m
W = 882.9Nm
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4.3 Beschleunigungsarbeit
FG
m* a
v
WB = Beschleunigungsarbeit in Nm, J, Ws
FG = Gewichtskraft in N
m = Masse in kg
a = Beschleunigung in m/s²
v = Geschwindigkeit in m/s
Beschleunigung ohne Anfangsgeschwindigkeit
WB =
m * v²
2
Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit
WB =
m
* ( v2²- v1² )
2
Beispiel :
Ein PKW m = 1.2 t wird von 50 km/h auf 100 km/h beschleunigt.
Welche Beschleunigungsarbeit wird benötigt?
Geg : m = 1.2 t, v1 = 50 km/h, v2 = 100 km/h,
Ges : W
Lös : W = 347 kJ
WB =
m
* ( v 2 ² _ v1 ²)
2
WB =
1200kg
2
2
* (27.78 ms _ 13.89 ms )
2
WB = 347kJ
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5. Mechanische Leistung
t
s
m
P=
W
t
P=
F*s
t
P=
m*g*s
t
F
P=F*v
P=m*g*v
P
W
t
F
s
m
g
v
= Leistung in W
= Arbeit in Nm, J, Ws
= Zeit in s
= Kraft in N
= Weg in m
= Masse in kg
= Erdbeschleunigung 9.81 m/s²
= Geschwindigkeit in m/s
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Seite 28
Beispiel :
Ein Kran hebt eine Last von 75 kg mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s.
Welche Leistung in kW ist dafür notwendig?
Geg : m = 75 kg, v = 2 m/s
Ges : P
Lös : P = 1.47 kW
P = m*g* v
m
P = 75kg * 9.81 m
s² * 2 s
P = 1471.5W
Eine Hebebühne hebt einen PKW mit m = 1150 kg in 5.5 s auf 1.8 m.
Wie groß ist die dafür benötigte Leistung in kW ?
Geg : m = 1150 kg, t = 5.5 s, s = 1.8 m
Ges : P
Lös : P = 3.7 kW
m*g*s
P=
t
1150kg * 9.81 m
s ² * 1.8m
P=
5.5s
P = 3692W
Welche Leistung hat ein Hydraulikmotor, der bei einer Drehzahl n = 720 1/min ein
Drehmoment von M = 67.5 Nm abgibt?
Geg : n = 720 1/min, M = 67.5 Nm
Ges : P
Lös : P = 5.1 kW
P = 2* π*n* M
P = 2 * π * 12 1s * 67.5Nm
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P = 5089.4W
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6. Wirkungsgrad
Verluste
=
Pab
Pzu
=
Wab
Wzu
Pzu
Pab
 = Wirkungsgrad ohne Einheit
Pab = Abgegebene Leistung in W, kW
Pzu = Zugeführte Leistung in W, kW
Wab = Abgegebene Arbeit in Nm, J, Ws
Wzu = Zugeführte Arbeit in Nm, J, Ws
Gesamtwirkungsgrad
 = 1 * 2 * 3 * 4
Beispiel :
Ein Kran wird von einem Motor mit 3.68 kW angetrieben und vermag über ein Getriebe eine
Last von 1.5 t in 0.5 min 6 m hoch zu heben. Wie groß ist der Wirkungsgrad ?
Geg : PZU = 3680 W, m = 1500kg, t = 30 s, s = 6 m
Ges : 
Lös :  = 0.8
P
η = AB
PZU
m*g*s
η=
PZU * t
1500kg * 9.81 m
s ² * 6m
η=
3680W * 30s
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η = 0.8
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Seite 30
7. Mechanik der Flüssigkeiten
( Druck, Druckfortpflanzung, Hydrostatischer Druck,
Auftrieb in Flüssigkeiten )
7.1 Druck und Druckeinheiten
P = Druck in Pa [ Pascal ]
in bar
1 bar = 10 N/cm²
1 bar = 100000 Pa
Pabs
Pe Überdruck
Pamb
Pabs = Absoluter Druck
Pamb = Umgebungsdruck
Pe = Unter - Überdruck
1 bar
Pe Unterdruck
7.2 Druckfortpflanzung
F2
F1
A2
s2
A1
s1
i=
F1
F2
=
A1
A2
=
F = Kraft in N
A = Kolbenfläche in
mm², cm², m²
s = Kolbenweg in
mm, cm, m
i = Übersetzungsverhältnis
A1 * s1 = A2 * s2
s2
s1
F1 * s1 = F2 * s2
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Seite 31
Beispiel :
Bei einer hydraulischen Presse hat der Druckkolben den Durchmesser 40 mm und der
Arbeitskolben 80 mm. Der Druckkolben wird mit 1200 N belastet.
Berechnen Sie:
a) die Kraft am Arbeitskolben
b) das hydraulische Übersetzungsverhältnis
c) den Flüssigkeitsdruck
Geg : d1 = 40 mm, F1 = 1200 N, d2 = 80 mm
Ges : F2, i, p
Lös : a) F2 = 4800N
b) i = 0.25
c) p = 9.55 bar
i=
p=
F1
A1
2
F *r ²* π
F2 = 1 2 2
r1 * π
F * A2
F2 = 1
A1
F1
F2
p=
i=
1200N
4800N
F1
r² * π
p=
F2 =
1200N * 4cm * π
2
2cm * π
F2 = 4800 N
i = 0.25
1200N
2
p = 95.5N / cm²
2cm * π
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p = 9.55bar
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Seite 32
7.3 Hydrostatischer Druck
Pe
p = Hydrostatischer Druck in N/m², Pa
h = Wassersäule in m
g = Erdbeschleunigung in m/s²
 = Dichte des Mediums in kg/m³
h
p=*g*h
P = Druck in Pa [ Pascal ]
in bar
1 bar = 10 N/cm²
1 bar = 100000 Pa
Bei zwei Flüssigkeiten gilt
1 =
2 * h2
h1
Beispiel :
Im skizzierten Behälter befinden sich zwei Flüssigkeiten eine davon ist Glyzerin
(  = 1.26 kg/dm³ ) Berechnen sie die Dichte der anderen Flüssigkeit.
Glyzerin
340 mm
535.5 mm
Geg :1 = 1.26 kg/dm³, h1 = 340 mm, h2 = 535.5mm
Ges : 2
Lös : 2 = 0.8kg/dm³
ρ *h
ρ2 = 1 1
h2
kg
1.26 dm ³ * 0.34m
ρ2 =
0.5355m
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ρ 2 = 0.8kg / dm ³
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Seite 33
7.4 Auftrieb in Flüssigkeiten
FA
FA = Auftrieb in N
V = Volumen der verdrängten
Flüssigkeit in m³
g = Erdbeschleunigung 9.81 m/s²
FL = Dichte der Flüssigkeit in kg/m³
V
FA = V * FL * g
Beispiel :
Ein Kupferkörper mit einer Gewichtskraft FG = 0.44 N und der Dichte  = 8.8 g/cm³ wird in
eine unbekannte Flüssigkeit eingetaucht und dadurch 0.04 N leichter.
Welche Dichte hat die Flüssigkeit?
Geg : FG = 0.44 N,  = 8.8 g/cm³, FA = 0.04 N
Ges : FL
Lös : FL = 0.8 kg/dm³
ρ FL =
FA
V*g
ρ FL =
FA * g * ρ
FG * g
ρ FL =
kg
ρ FL
0.04N * 8.8 dm ³
=
0.44N
kg
ρ FL = 0.8 dm ³
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FA * ρ
FG
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Seite 34
8. Durchflussgleichung
(Kontinuitätsgleichung )
Q1
A1
A2
Q2
v2
v1
Q = Volumenstrom in cm³/s, dm³/s, m³/s
A = Rohrquerschnitt in cm², dm², m²
v = Strömungsgeschwindigkeit in cm, dm, m
A1 * v1 = A2 * v2
Beispiel :
Eine waagrecht liegende Rohrleitung mit lichter Weite 100 mm wird von Wasser mit 1.5 m/s
durchflossen.
Wie groß wird die Strömungsgeschwindigkeit, wenn sich der Rohrdurchmesser auf 80 mm
verjüngt ?
Geg : d1 = 100 mm, v1 = 1.5 m/s, d2 = 80 mm
Ges : v2
Lös : v2 = 2.34 m/s
2
A *v
v2 = 1 1
A2
v2 =
r1 * π * v 1
2
r2 * π
2
2
v2 =
r1 * v 1
2
r2
v 2 = 2.34 ms
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v2 =
0.05m * 1.5 ms
2
0.04m
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Seite 35
9. Schiefe Ebene
FH
.
FGy
FG
FS
FR
FN

FN = Normalkraft in N
FG = Gewichtskraft in N
FH = Hangabtriebskraft in N
FR = Reibkraft in N
FS = Seilkraft in N
 = Winkel in °
 = Reibungszahl ohne Einheit
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.
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Seite 36
STATISCH
Ges:
Geg:
FR, FH
FS
FG, µ, 
m, µ, 
m, µ, 
FH
FG, µ, 
F N, µ
FS, FH
FS, FR
FS, FG, 
F G, 
F N, 
m,
F G, 
m, 
FN
FS, FR, 
FR, µ
m
FG
FR, µ
µ

FS, m, g, µ
FS, FG, µ

µ
FS, FG, 
FS, m, 
FS = F R + F H
FS = FG * sin  + FG *cos  * µ
/ FS = FG * ( sin  + cos  * µ )
FS = m * g * sin  + m * g *cos * µ
/ FS = m * g * ( sin  - cos  * µ )
FR = m * g * cos  * µ
FR = FG * cos  * µ
FR = F N * µ
FR = F S - F H
FH = F S - F R
FH = FS - ( FG * cos  * µ )
FH = FG * sin 
FH = FN * tan 
FH = m * g * sin 
FN = FG * cos 
FN = m * g * cos 
FN = ( FS - FR ) * cot 
FG =
FR
µ
FG = m * g
FR
FG =
cos α * µ
tan  = µ
Selbsthemmung
FS
tan α =
m * g + m * g *µ
FS
tan α =
FG + FG * µ
µ = tan Selbsthemmung
F _ F * sin α
µ= S G
FG * cos α
FS _ m * g * sin α
µ=
m * g * cos α
STATISCH
© Baba Cinati
STATISCH
STATISCH
FR
Formel
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Seite 37
10 Wärmelehre
10.1 Längenausdehnung, Volumenausdehnung
l1
l
l1 = Anfangslänge in mm
l = Längenänderung in mm
t = Temperaturdifferenz in K [ Kelvin ]
 = Ausdehnungskoeffizient in 1/K
t1 = Temperatur vor Erwärmung in K
t2 = Temperatur nach Erwärmung in K
l = l1 *  * ( t2 – t1 )
t = t2 – t1
 l = l1 *  t * 
0 °C = 273 K
0 K = -273°C
Bei Volumenausdehnung gilt  = 3 * 
 = Volumenausdehnungskoeffizient in 1/K
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Seite 38
Beispiel :
Wie groß ist die Verlängerung eines Messingstabes (  = 0.000019 1/K ) von 100 cm bei
einer Temperaturerhöhung um 50 K ?
Geg : T = 50 K, l1 = 100 mm,  = 0.000019 1/K
Ges : l
Lös : l = 0.095 mm
Δl = l1 * ΔT * α
Δl = 100mm * 50K * 0.000019K1
Δ l = 0.095mm
Ein Stahlreifen von 400 mm Durchmesser wird von 16 °C auf 180 °C erwärmt.
Welchen Durchmesser hat er nun ? (  = 0.000012 1/K )
Geg : l1 = 400 mm, T1 = 289 K, T2 = 453 K,  = 0.000012 1/K
Ges : l2
Lös : l2 = 400.79 mm
l 2 = l1 * ΔT * α + l1
l 2 = 400.79mm
l 2 = 400mm * (453K _ 289K ) * 0.000012K1 + 400mm
Ein Bimetallstreifen von 1.2 m Länge, bestehend aus Stahlblech (  = 0.000012 1/K ) und
Zinkblech ( = 0.00003 1/K ) ist an einem Ende zusammengeführt.
Gesucht bei welcher Temperaturerhöhung ist das Zinkblech um 1.5 mm länger als das
Stahlblech ?
Geg : l1St = 1200 mm, St = 0.000012 1/K
l1Zn = 1200 mm, Zn = 0.00003 1/K, l =1.5 mm
Ges : T
Lös : T = 69.4 K
ΔT =
ΔT =
l 1Zn
Δl
* α Zn _ l 1St * α St
ΔT =
1.5mm
1200mm * (0.00003K1 _ 0.000012K1 )
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Δl
l 1 * (α Zn _ α S t )
Δ T = 69.4K
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Seite 39
10.2 Gasgesetze
10.2.1 Ideale Gasgleichung
Nach der Verdichtung
Vor der Verdichtung
p1
p1 * V1
V1
T1
=
p2 * V2
p2 V2
T2
T1
Temperatur immer in K
p1 = Druck vor der Verdichtung in bar
p2 = Druck nach der Verdichtung in bar
V1 = Volumen vor der Verdichtung in cm³, dm³, m³
V2 = Volumen nach der Verdichtung in cm³, dm³, m³
T1 = Temperatur vor der Verdichtung in K
T2 = Temperatur nach der Verdichtung in K
Beispiel :
Eine Gasmenge von 9 m³ übt bei 30 °C einen Druck von 0.924 bar aus.
Wie groß ist der Druck wenn bei 180 °C das Volumen auf 12.6 m³ zunimmt ?
Geg : V1 = 9 m³, T1 = 303 K, p1 = 0.924 bar
V2 = 12.6 m³,T2 = 453 K
Ges : p2
Lös : p2 = 0.99 bar
p1 * V1 p 2 * V2
=
T1
T2
p2 =
p2 =
p1 * V1 * T2
T1 * V2
0.924bar * 9m³ * 453K
303K * 12.6m³
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p 2 = 0.99bar
T2
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Seite 40
10.2.2 Isotherme Zustandsänderung
Vor der Verdichtung
Nach der Verdichtung
p2
p1
V
V2
Temperatur bleibt
Konstant
1
p1 * V1 = p2 * V2
p1 = Druck vor der Verdichtung in bar
p2 = Druck nach der Verdichtung in bar
V1 = Volumen vor der Verdichtung in cm³, dm³, m³
V2 = Volumen nach der Verdichtung in cm³, dm³, m³
Beispiel :
Aus einem Druckgasbehälter ( V = 2 m³, p = 8 bar ) soll eine Restmenge Stickstoff in eine 80
l Gasflasche umgefüllt werden.
Wie groß ist der Fülldruck der Gasflasche ?
Geg : p1 = 8 bar, V1 = 2m³, V2 = 80 dm³
Ges : p2
Lös : p2 = 200 bar
p2 =
V1 * p1
V2
p2 =
2000dm ³ * 8bar
80dm ³
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p 2 = 200bar
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10.2.3 Isochore Zustandsänderung
Vor der Verdichtung
Nach der Verdichtung
p2
T1
p1
T2
Volumen bleibt
Konstant
Temperatur immer in K
p1 p2
=
T1 T2
p1 = Druck vor der Verdichtung in bar
p2 = Druck nach der Verdichtung in bar
T1 = Temperatur vor der Verdichtung in K
T2 = Temperatur nach der Verdichtung in K
Beispiel :
Die Luft in einem 200 Liter Gefrierschrank wird von 20 °C auf –20 °C abgekühlt.
Welcher Druck herrscht dann theoretisch im Kühlschrank, wenn der Außendruck 1031 mbar
beträgt ?
Geg : p1 = 1013 mbar, T2 = 253 K, T1 = 293 K
Ges : p2
Lös : p2 = 874.7 mbar
p2 =
p 1 * T2
T1
p2 =
1013mbar * 253K
293K
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p 2 = 874 .7mbar
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10.2.4 Isobare Zustandsänderung
Vor der Verdichtung
Nach der Verdichtung
V2
V1
T1
T2
Druck bleibt
Konstant
Temperatur immer in K
V1 p2
=
T1 T2
V1 = Volumen vor der Verdichtung in cm³, dm³, m³
V2 = Volumen nach der Verdichtung in cm³, dm³, m³
T1 = Temperatur vor der Verdichtung in K
T2 = Temperatur nach der Verdichtung in K
Beispiel :
Eine Gasmenge hat bei 20 °C ein Volumen von 40 l.
Wie groß ist das Volumen bei –20°C wenn der Druck konstant bleibt?
Geg : V1 = 40 l, T1 = 293 K, T2 = 253 K
Ges : V2
Lös : V2 = 34.54 l
V2 =
V1 * T2
T1
V2 =
40l * 253K
293K
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V2 = 34.54l
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Seite 43
10.3 Wärmemenge
Q = m * c * t
Q = m * c * ( t2 – t1)
Q = Wärmemenge in kJ
m = Masse in kg
c = Spezifische Wärmekapazität in kJ/kg*K
t = Temperaturdifferenz in K
t1 = Temperatur vor Erwärmung in K
t2 = Temperatur nach Erwärmung in K
0 °C = 273 K
0 K = -273 °C
Beispiel :
55 kg Blei von 20 °C werden 2090 kJ zugeführt ( c = 0.13 kJ/kgK ).
Welche Temperatur nimmt das Blei an?
Geg : m = 55 kg, Q = 2090 kJ, c = 0.13 kJ/kg*K, T1 = 293 K
Ges : T2
Lös : T2 = 585 K
ΔT =
Q
m*c
T2 = T1 + Δ T
ΔT =
2090kJ
kJ
55kg * 0.13 kgK
T2 = 293 K + 292 .3K
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Δ T = 292 .3K
T2 = 585 K
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10.4 Wärmemischung
m1
m2
t2
t1
tm
tm =
tm = Mischungstemperatur in K
t = Temperatur in K
m = Masse in kg
c = Spezifische Wärmekapazität in kJ/kg*K
i = Mischungsverhältnis
m1 * t1 + m2 * t2
m1 + m2
QAb = QZu
Beispiel :
In einem Härtebad mit m1 = 12 kg Wasser von 20 °C soll ein Werkstück aus Stahl von 850 °C
abgeschreckt werden. Die Temperatur des Wassers soll dabei 40°C nicht überschreiten.
Welche Masse darf das Werkstück höchstens haben ?
Geg : TM = 313 K, TW = 293 K, mW = 12 kg, TSt = 1123 K, cW = 4.19 kJ/kgK,
cSt = 0.67kJ/kgK
Ges : mSt
Lös : mSt = 1.853kg
Q Ab = Q Zu
m St =
mS t =
m W * c W * Δ TW = m St * cSt * Δ TW
Q Wasser = Q S tahl
m W * c W * Δ TW
c St * Δ TSt
mS t =
m W * c W * (TM _ TW )
c S t * (TS t _ TM )
kJ
12kg * 4.19 kgK
* ( 313K _ 293K )
kJ
0.67 kgK
* (1123K _ 313K )
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m S t = 1.853kg
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Seite 45
Es sollen 120 Liter Badewasser von 36 °C bereitet werden. Zur Verfügung stehen heißes
Wasser von 80 °C und kaltes Wasser von 16 °C.
Wie viel heißes bzw. kaltes Wasser wird benötigt?
Geg :TM = 309 K, mM = 120 l, TH = 353 K, TK = 289 K
Ges : mH, mK
Lös : mH = 37.5 l, mK = 82.5 l
mH =
m * (TM _ TK )
(TH _ TM ) + (TM _ TK )
m H = 37.5kg
mK = mM _ mH
mH =
120kg * ( 309K _ 289K )
( 353K _ 309K ) + ( 309K _ 289K )
37.5l
m K = 120 l _ 37.5l
m K = 82.5l
5 kg Wasser von 60 °C und 10 kg Wasser von 20 °C werden gemischt.
Wie hoch ist die Mischungstemperatur?
Geg : T1 = 333 K, m1 = 5 kg, T2 = 293 K, m2 = 10 kg
Ges : TM
Lös : TM = 33.33°C
TM =
T1 * m1 + T2 * m 2
m1 + m 2
TM =
333K * 5kg + 293K * 10kg
5kg + 10kg
TM = 306 .33K
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Seite 46
10.5 Schmelzwärme, Verdampfungswärme
t in °C
qr
100 °C
Q3
Q2
qs
0 °C
t in s
Q1
- 40 °C
Schmelzen
Q1 = m * qs
Verdampfen
Q3 = m * qr
Qges wasser = Q1 + qs + Q2 + qr + Q3
Qges wasser = m * ( c1 * T1 + qs + c2 * T2 + qr + c3 *T3 )
Q = Wärmemenge in kJ
qs = Spezifische Schmelzwärme in kJ/kg
qr = Spezifische Verdampfungswärme in kJ/kg
c = Spezifische Wärmekapazität in kJ/kg*K
m = Masse in kg
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Beispiel :
Es soll 1 kg Eis von –10°C auf Wasser von 80 °C erwärmt werden.
Welche Wärmemenge wird hierfür benötigt ?
Geg :q = 335 kJ/kg, cEis = 2.1 kJ/kgK, cWasser = 4.19 kJ/kgK, TEis = 10K, TWasser = 80 K
m = 1 kg
Ges : Q
Lös : Q = 691.2 kJ
Q = m * Q1 + q S + Q 2
Q = m * (ceis * Δ TEis + q S + c Wasser * Δ TWasser )
kJ
kJ
Q = 1kg * ( 2.1 kgK
* 10K + 335 kJ
kg + 4.19 kgK * 80K )
Q = 691.2kJ
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Seite 48
10.6 Verbrennungswärme
Gasförmige Brennstoffe
Q=V*H
Q
Feste und Flüssige
Brennstoffe
Q=m*H
m
Q = Verbrennungswärme in kJ, kWh
H = Spezifischer Heizwert in kJ/kg, kWh/kg, kWh/l
V = Brenngasvolumen in m³
m = Masse der Brennstoffe fest oder flüssig in kg, l
Beispiel :
Wie viel kg Steinkohle sind notwendig, um einen Dampfwasserkessel mit 20 m³ Inhalt
von 15 °C auf 80 °C zu erwärmen, wenn die Anlage einen Wirkungsgrad von 65% hat ?
Geg : mWasser = 20000 kg, T 65 K;  = 65%, cWasser = 4.19 kJ/kgK, HSteinkohle = 29.4MJ/kg
Ges : mSteinkohle
Lös : mSteinkohle = 285 kg
QS k * η = Q W
mS k* =
mS k* =
mS k * HS k * η = m W * c W * ΔT
m W * c W * ΔT
HSk * η
kJ
20000kg * 4.19 kgK
* 65K
29400kJ
kg * 0.65
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m S k * = 285kg
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11. Elektrotechnik
11.1 Elektrische Leistung
R
P = Elektrische Leistung in W
U = Spannung in V
I = Strom in A
R = Wiederstand in 
I
U


P=U*I
P = I² * R
P=
U²
R
Beispiel :
Ein Gleichstrommotor 230 V ist in Betrieb. Seine Nennstromstärke beträgt 50 A
a) Wie groß ist die aufgenommene Leistung?
Geg : U = 230 V, I = 50 A,
Ges : P,
Lös : P = 11.5 kW
P = U*I
P = 230V * 50A
P = 11500W
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P = 11.5kW
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11.2 Elektrische Arbeit
R
I
W = Elektrische Arbeit in Ws
P = Elektrische Leistung in W
U = Spannung in V
I = Strom in A
R = Widerstand in 
t = Zeit in s
t
U


W=P*t
W=U*I*t
U2 * t
W=
R
W = I² * R* t
Beispiel :
Ein Elektrogerät für 230 V ist 10 min in Betrieb. Die Scheibe des Elektrizitätszählers dreht
sich während dieser Zeit 72 mal. 360 Umdrehungen entsprechen 1 kWh
Wie groß ist die Stromstärke?
Geg : W = 0.2 kWh, t = 10 min, U = 230 V
Ges : I
Lös : I = 5.22 A
I=
W
u*t
I=
720000Ws
230V * 600s
I = 5.22A
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Seite 51
11.3 Leiterwiderstand
R = Widerstand in 
A = Leiterquerschnitt in mm²
l = Leiterlänge in m
 = Spezifischer elektrischer
Widerstand in mm²/m
 = Leitfähigkeit in m/mm²
l
A
*l
R=
A
R=
l
*A
1
= 
Beispiel :
Welchen Widerstand hat eine Hochspannungsleitung aus Kupfer
d = 32 mm, Länge = 81.2 km ?
Geg : d = 32 mm, l = 81200 m;  = 0.0179 mm²/m
Ges : R
Lös : R =
ρ*l
R=
A
ρ*l
R=
r² * π
²
0.0179 Ωmm
m * 81200m
R=
16mm ² * π
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R = 1.8Ω
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11.4 Ohmsches Gesetz
R
R = Widerstand in 
U = Spannung in V
I = Strom in A
I
U


I=
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U
R
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11.5 Reihenschaltung von Widerständen
I1
I2
R1
R2
U1
U2
R = Widerstand in 
U = Spannung in V
I = Strom in A
I
U


R = R1 + R2 + ...
U = U1 + U2 + ...
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I = I1 = I2 = ...
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11.6 Parallelschaltung von Widerständen
I2
R = Widerstand in 
U = Spannung in V
I = Strom in A
R2
U2
I1
U = U1 = U2 = ...
R1
U1
R=
U
I
R1 =
I = I1 + I2 + ...
U
I1
1
1
1
=
+
+ ...
R
R1
R2
I
U


Gilt nur bei zwei
Widerständen
R=
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R1 * R2
R1 + R2
R2 =
U
I2