Lückentexte 01

STICH – Analysiskurs 2011/2012 (LG, LH, LR)
WS 2011/2012
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Lückentexte 01
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(1.1) Bernoullische Ungleichung
Vor.:
n ∈ N,
Beh.:
(1 + a)...
a ∈ R mit a . . . . . . . . . .
...
1 + na für alle n ∈ N.
(1.2) Definition
k
Y
n−j+1
n
:=
.
k
j=1 ..................
(1.3) Bemerkung
Es seien k, n ∈ N∗ . Dann gilt:
n
...
n−1
=
+
k
k−1
...
.
(1.4) Binomischer Lehrsatz
Vor.:
Beh.:
a, b ∈ R und n ∈ N.
n n X
n n−k k
a b .
... + ... =
k
...
(1.5) Summenabspaltungen
.
n n−1 X
n n−k k X n n−k k
x y =
x y + ............ + ............
k
k
k=0
k=1
(1.6) Endliche geometrische Reihe
Vor.:
x ∈ R\{1},
n ∈ N.
Beh.:
n
X
xk =
...
1 − ...
..................
(1.7) Abbildungen
Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv
:⇔
x1 , x2 ∈ X und f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(1.8) Abbildungen
Die Abbildung f : [0, ∞) → . . . . . . . . . , x 7→ f (x) = x2 ist bijektiv.
(1.9) Körperaxiome
Zu jedem a ∈ R existiert ein negatives Element in R , bezeichnet mit −a mit der
Eigenschaft
a + ...... = ....
(1.10) Dreiecksungleichung
Für alle a, b ∈ R gilt:
|a| + |b|
...
|a + b|.
(1.11) Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom
........................................................................................
........................................................................................
(1.12) Bemerkung
Vor.:
(an ), (bn ) seien Folgen reeller Zahlen und λ ∈ (0, ∞).
Beh.:
| bn | ≤ λ| an | ∀n ≥ k, k ∈ N und (an ) Nullfolge ⇒
(bn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
(1.13) Grenzwerte
2n
a) lim
= . . . . . . . . ..
n→∞ n!
√
b) lim n n = . . . . . . . . ..
n→∞
4n2 + 13n
= . . . . . . . . ..
n→∞ 3n2 − 2
√
n
d) lim 32 + 82 + 72 = . . . . . . . . ..
c)
lim
n→∞
e) Für | b| < 1 gilt lim bn = . . . . . . . . ..
n→∞
f)
lim
n→∞
n + 1 n
n
= . . . . . . . . ..
(1.14) Cauchy-Folge
Eine Folge (an ) reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge
:⇔ Zu jedem . . . . . . . . . existiert ein . . . . . . . . . derart, dass | . . . . . . . . . . . . . . . . . . | < für
alle n, m ≥ N .
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(1.15) Teleskop-Summe
m
X
n=1
m
.........
X n
1
=
− ......... =
n(n + 1) n=1 n + 1
m+1
(1.16) Reihen
a)
∞ X
−
n=0
1 n
= ..........
2
∞
X
5 1 n
b)
= ..........
10 100
n=0
c)
∞ X
1 n
n=1
3
= ..........
(1.17) Notwendige Bedingung für Konvergenz einer Reihe
Vor.:
Beh.:
an ∈ R für n ≥ k.
∞
X
an konvergent ⇒ (an )n≥k ist eine . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
n=k
(1.18) Satz
Sei x ∈ R.
∞
X
xn ist divergent für . . . . . . . . ..
n=0
(1.19) Quotientenkriterium
Vor.:
∞
X
an sei eine Reihe mit folgenden Eigenschaften:
n=k
Es gibt ein n0 ∈ N, n0 ≥ k, und ein θ ∈ R mit . . . . . . . . . derart, dass
(1) an . . . . . . . . . für alle n ≥ n0
(2) | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ≤ θ für alle n ≥ n0 .
Beh.:
∞
X
n=k
an ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..