Schulmathematik — Blatt 10

Apl. Prof. Dr. Jens Wirth,
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Übung am 13. Juli 2017
Schulmathematik — Blatt 10
Dieses Prinzip ist so vollkommen allgemein, daß keine Anwendung dafür möglich ist.
(George Polya, 1887–1985)
Votieraufgaben:
10.1. Beweisen Sie ausgehend von den Peano-Axiomen und der Definition der Verknüpfungen aus
der Vorlesung
(a) a + b = b + a
(b) a < b impliziert 2a < 2b
für alle natürlichen Zahlen a und b.
10.2. Beweisen Sie ausgehend von den Peano-Axiomen, dass
(Starkes Induktionsprinzip)
Gelte P (1). Angenommen, für jedes n implizert die Gültigkeit von P (1), . . . P (n) die
Gültigkeit von P (n + 1). Dann gilt P (n) für jede natürliche Zahl n.
gilt.
10.3. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass
(a)
1
1
7
1
+
+ ··· +
≥ ,
n+1 n+2
2n
12
(b)
√
1
1
1
1 + √ + √ + · · · + √ ≤ 2 n,
n
2
3
für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2
für alle natürlichen Zahlen n
gilt.
10.4. Durch n Geraden werde die Ebene in polygonale Teile zerlegt. Dann können die Teile so in
rot und blau eingefärbt werden, dass benachbarte Gebiete (mit einer gemeinsamen Kante)
verschiedene Farben besitzen. Zeigen Sie dies!
10.5. Every night, critic Ivor Smallbrain gets drunk, staggers out of the pub, and performs a kind
of random walk towards his home. At each step of this walk, he stumbles either forwards
or backwards, and the walk ends either when he collapses in a heap or when he reaches his
front door (one of these always happens after a finite –possibly very large– number of steps).
Ivor’s Irish friend Gerry O’Laughing always accompanies him and records each random walk as
sequence of 0s and 1s: at each step he writes a 1 if the step is forwards and a 0 if it is backwads.
Prove that the set of all possible recordings of random walks of this kind is countable.
c [email protected]
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Wirth/Schulmathe17/