Beispiele

68622263
FERNUNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
FACHHOCHSCHULREIFE - LEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 04
INHALT: Das Rechnen mit Brüchen
1 / 12
Stand: 13.09.2006 13:50:00
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INHALTSVERZEICHIS ZUR LEHREINHEIT 04
Seite
4. Das Rechnen mit Brüchen
2 - 11
4.1 Erweitern und Kürzen
3 - 4
4.2 Addition und Subtraktion von Brüchen
4 - 6
4.3 Multiplikation von Brüchen
6 - 7
4.4 Division von Brüchen
8
4.5 Brüche und Dezimalzahlen
8
Aufgaben zur Lehreinheit 04
9
Lösungen der Übungen und Aufgaben
10
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 04
11
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Stand: 13.09.2006 13:50:00
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4 DAS RECHNEN MIT BRÜCHEN
Das Rechnen mit Brüchen bereitet oft Schwierigkeiten. Zwar ist es kein Problem z.B. 12
auszurechnen. Wenn man dagegen a1

1
b
 13
zusammenfassen soll ….
Nun sind die Regeln für das Rechnen mit Variablen selbstverständlich gleich denen für das Rechnen
mit Zahlen. Wenn Probleme auftreten, dann ist oft eine Veranschaulichung durch Zahlen hilfreich.
Denken sie ferner bei der Bruchrechnung daran, dass ein Bruch einer Division entspricht. 12 bedeutet
1 : 2 , ab bedeutet a : b , 3a  6b bedeutet (3a + 6b) : (a + 2b).
a  2b
-2
3
Auch Minuszeichen können Probleme bereiten. Beachten Sie :
2
3
  23 ;
2
-3
  23 , dagegen ist
 32 ( vgl. Vorzeichenregel für Quotienten in LE 03 / 3.8) .
Manchmal kann in der Bruchrechnung folgende Schreibweise nützlich sein: Jede ganze Zahl lässt
sich
als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben, also 2 = 12 , x

x
1
.
Bevor nun Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder gar potenziert werden, heißt es
zunächst: „erweitern“ und „kürzen“. Das Erweitern wird besonders für die Addition und Subtraktion von
Brüchen mit unterschiedlichen Nennern benötigt, das Kürzen dient zur Vereinfachung von Brüchen.
4.1 Erweitern und Kürzen
Erweitern
1
2

2
4

3
6

4
8
5
usw. ,
 10
2
3


4
6
6
9
usw. .
 10
15
Erweitern eines Bruchs bedeutet: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl ( mit dem
gleichen Term ) multipliziert. Diese Zahl ( dieser Term ) heißt Erweiterungsfaktor. Der
Erweiterungsfaktor darf nicht null sein. Der Wert eines Bruches ändert sich beim Erweitern
nicht.
Beispiele:
1.
2
5
Erweiterungsfaktor 7

2
5

27
57

14
35
;
2.
2
5
Erweiterungsfaktor x

2
5

2x
5x

3.
a
5
Erweiterungsfaktor 3

a
5

a3
53

3a
15
;
4.
5
a
Erweiterungsfaktor a

5
a

5a
aa

5.
a
Erweiterungsfaktor c
b
2 x
Erweiterungsfaktor
5

a
b
6.
7.
ab
c d
8.
3
x

ac
bc

ac
bc

2 x
5

(2  x )  3
53

6  3x
15
Erweiterungsfaktor e

ab
c d

(a  b )  e
(c  d )  e

ae  be
ce  de
;

3  (x  y )
x  ( x y )

3 x  3y
x 2  xy
.

3
x
5a
a2
;
3
Erweiterungsfaktor (x + y)
2x
5x
;
Kürzen
4
6

2
3
;
2
4

1
2
Das Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns. Kürzen eines Bruchs bedeutet: Zähler und Nenner
werden durch die gleiche Zahl (durch den gleichen Term) dividiert. Diese Zahl (dieser Term) heißt
Kürzungsterm. Der Kürzungsterm darf nicht null sein. Der Wert des Bruchs ändert sich beim Kürzen
nicht.
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Stand: 13.09.2006 13:50:00
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Beispiele:
10
12
1.
3. 39a

10: 2
12: 2
5
6
, der Kürzungsterm ist 2 ;
 a3 , der Kürzungsterm ist 3 ;
3ab
6b
5.



ab
2b
a
2
6x
x²
4.
5x
7x
2.

6
x

5
7
, der Kürzungsterm ist x ;
, der Kürzungsterm ist x ;
, der 1. Kürzungsterm ist 3 , der 2. Kürzungsterm ist b,
der gesamte Kürzungsterm ist 3b ;
a4
6.
a6
10x
5
7.
 1 , der Kürzungsterm ist a4 . Vorsicht! Man kann nicht die Exponenten „gegeneinander kürzen“.
a2
 2 x  2 x , der Kürzungsterm ist 5 .
1
3x 6
3y
Aufgabe: Kürzen Sie
3x 6
3y
Richtig ist:
x 6
y
Möglicherweise haben Sie als Ergebnis
!
 2)
 3(x

3y
x 2
y
, das ist leider falsch!
, der Kürzungsterm ist 3 .
Teile einer Summe (Differenz) in Zähler oder Nenner dürfen nicht „gekürzt“ werden!
Faktorisieren der Summe (Differenz) hilft oft weiter.
15
An dem Zahlenbeispiel 1010
wird dieses „Verbot“ verständlich:
10  15
10

1 15
1
.
Weitere Beispiele:
8.
4a  8b
2 x  4y
9.
(a 5)(3b )
(b 3)2
10.
a 2 3 a
4a

2(2a  4b)
2(x  2y)
, der Kürzungsterm ist 2 ;
 a5 , der Kürzungsterm ist 3 + b ;
2
a (a - 3)
a 4

2a  4b
x  2y

a b
4

, der Kürzungsterm ist a .
a2  b 2
Aufgabe : Kürzen Sie 3  ( a  b ) . Hier hilft die Anwendung der 3. binomischen Formel !
a2  b2
3 (a  b )

(a  b)  (a - b)
3  (a  b)

a-b
3
, der Kürzungsterm ist (a + b) .
Übungen zu 4.1
1. Erweitern Sie:
a)
3x
5y
b) a 25 , Erweiterungsfaktor 3a ;
, Erweiterungsfaktor 2x ;
c) aa-bb , Erweiterungsfaktor (a – b) .
2. Kürzen Sie soweit wie möglich:
4
a) 12
;
f)
3a ²
9 a  6 ab
30x
b) 10
;
y
;
a²b
c) 25
;
5ab ²
2( x  y )
x ²y ²
g)
;
h)
7
d) 12x 5 ;
14 x
4 x 2 y 3z 4
8 xy 4 z 4
e)
12x  8 y
4x
;
.
4.2 Addition und Subtraktion von Brüchen
Gleichnamige Brüche (gleiche Nenner)
Beispiele:
1. 72
 37 
23
7

5
7
; 2.
5. aab  a bb  aabb  1
;
2
x
6.
5
5
23
 5x ; 3. 27a  2a
 72a
x
x-4
 x  (5x  4 )  x - x5 4  54 ;
5
 3x 
x
5

4 / 12

2
2a
7.

1
;
a
-4
3
 8
8
4. a3

 b3  a3b ;
3  ( 4 )
8

7
8
.
Stand: 13.09.2006 13:50:00
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Regel: Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert
bzw. subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Ungleichnamige Brüche ( unterschiedliche Nenner)
Der Begriff Hauptnenner:
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner (kgV; LE 01/1.8).
Regel: Ungleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem sie zunächst so
erweitert werden, dass sie als gemeinsamen Nenner den Hauptnenner haben (sie werden
„gleichnamig gemacht“). Danach wird wie bei gleichnamigen Brüchen gerechnet.
Man kann zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: Die Nenner sind teilerfremd, d.h. sie haben außer der Zahl 1 keinen gemeinsamen Teiler.
Der Hauptnenner ist gleich dem Produkt der Einzelnenner.
Beispiele:
3 2
6
1.
1
2
 31 
3
6
3.
3
a
 b2 
3 b
a b
4.
4
x

1
2
5.
1
x
11
2 x
1 2x
;
 2  1x  12  x 1  1 x  1x  2xx  x
6.
4
5


3
y
x3
x

 62 

 b2  aa 
4 y2
xy2
4 x
5 x


3b
ab
5
6
;
2a
 ab

3 x2
yx2

 (x x 3)5  5 
3b  2a
ab
1 x  y
2 x  y
4x
5x
 38 
2
7
2.

28
78
 83  77 
16
56
21
 56

16  21
56

37
56
;
;
8y
2 xy
 15
 5x5x


6x
2 xy

xy
2 xy
4 x  ( 5 x  15)
5x


8y  6x - xy
2xy
4 x  5 x 15
5x

;
 x  15
Beachten Sie die Klammern!
5x
Fall 2: Die Nenner sind nicht teilerfremd:
4
9a
Aufgabe: Addieren Sie

5
3a2
?
Man kann ebenso wie im Fall 1 als gemeinsamen Nenner das Produkt der Einzelnenner wählen,
9a · 3a2 = 27a3 . Versuchen Sie es auf diesem Weg. Wenn Sie richtig rechnen, erhalten Sie als
ungekürztes Ergebnis
12a2  45a
27a3
, nach dem Kürzen erhält man
4a  15
9a 2
(Wieso?) .
27a3 ist aber nicht der Hauptnenner, denn das kgV von 9a und 3a2 ist 9a2 ! (das kgV von 3 und 9 ist 9;
das kgV von a und a2 ist a2).
4a
5
 9a
 5 2 3  4a2  152  4a 215
a
3a2
3a  3
9a
9a
9a
Beachten Sie: Der 1. Bruch wird mit a erweitert, weil 9a ∙ a = 9a² ist. Der 2. Bruch wird mit 3 erweitert, weil 3a² · 3= 9a² ist.
Die Rechnung mit dem Hauptnenner 9a²:
4
9a

Beispiele:
5
 12

1.
3
8
2.
5
2x
3.

5
2x3
9
;
 10
 19
24
24
24
54
3
3
 2x
 8x
 20
8x
4
8x

3
8x

2
4x 2
(das kgV von 8 und 12 ist 24)
 83x 
23
8x
;
(das kgV von 2x und 8x ist 8x)
?
Betrachten Sie in den Nennern die Zahlen 2, 8 und 4 einerseits mit dem kgV 8 sowie x³, x und x²
andererseits mit dem kgV x³. Insgesamt heißt das kgV 8x³.
5
2x 3
4.

4
3x  4
3
8x


3
6x  8
2
4x 2

54
2x 3  4

3  x2
8x  x 2

2 2x
4x2  2x

20
8x 3

3x 2
8x 3

4x
8x 3

20 3x 2  4 x
8x 3
;
?
5 / 12
Stand: 13.09.2006 13:50:00
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Wenn Nenner Summen enthalten, sollte man versuchen, diese zunächst zu faktorisieren:
6x + 8 = 2 ∙ (3x + 4) . Man erkennt: Der zweite Nenner ist doppelt so groß wie der erste Nenner,
man erhält 2 · (3x + 4) bzw. 6x + 8 als Hauptnenner.
 6x3 8 
4
3x  4
5.
4
9x  12

 2  (3x3  4) 
4
3x  4
42
(3x  4)  2

3
2  (3x  4)

8
6x  8
 6x3 8 
5
6x  8
;
 ?
3
6x  8
Da 9x + 12 = 3 ∙ (3x + 4) und 6x + 8 = 2 · (3x + 4) ist, erhält man als Hauptnenner
6 · (3x + 4) = 18x + 24 .
4
9x  12


3
6x  8
4
3 (3x  4)


3
2  (3x  4)
42
3  (3x  4)  2

3 3
2  (3x  4)  3

8
18x  24
 18x9 24 
1
18x  24
;
Anmerkung:
Man könnte in allen Fällen als gemeinsamen Nenner das Produkt der Einzelnenner wählen. Dieser
Weg ist nicht empfehlenswert, da er mit großem Rechenaufwand verbunden ist ( bes. in den
Beispielen 4 und 5), und das dann notwendige Kürzen nur sehr schwer durchführbar ist.
Noch einige Beispiele von Hauptnennerbildung
1. Nur Zahlen in den Nennern
a) 6, 8, 24 Hauptnenner (HN) = 24 ; b) 12, 16
HN = 48 .
2. Variablen in den Nennern
a) 2x, 3x HN = 6x ; b) 6a, 4x
HN = 12ax .
3. Potenzen in den Nennern
a) a2, a4 HN = a4 ; b) x5, x3, x
HN = x5 ; c) 6x4, 8x3 HN = 24x4 .
4. Summen (Differenzen) in den Nennern
a) a + b, 2a + 2b HN = 2a + 2b ; b) a2 – b2, a + b HN = a2 – b2 ;
c) x + 3, x + 6 (Vorsicht! HN  x + 6) der Hauptnenner ist (x + 3) ∙ (x + 6)
d) x + 3, 2x + 6 HN = 2x + 6 .
Übungen zu 4.2
Berechnen Sie; die Ergebnisse sollen soweit wie möglich gekürzt sein.
 3x  6x ; 3. 3a  4 ; 4. 34  72 ; 5. x3  2y ; 6. 4x7  5x8 ; 7.
1. 52  5x ; 2. 12
x
8.
5
4x 2
 32x- 3x ; 9.
4
3ax
6
 7bx
; 10.
a
5
 a6 ; 11.
 x 1 1 ; 12.
10
x
5  2a
2a  6b
3
x4
 x22  x1 ;
 a3  3ba .
4.3 Multiplikation von Brüchen
Es wird wieder einfacher!
Beispiele:
23
1. 2  3 
 6
7 5
75
4. 3a  8b 
4b 5a
3a  8b
4b  5a
2 14
22
2. 2  14 

4 ;
;
35

7
3 2
1 5
6 ;
5
73
3
1 3
3
5. 6  5  3  
a
b
c
ac
3. a  c 
 ac ;
b d
653
abc
b d
bd
  90 .
abc
Regel: Brüche werden miteinander multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das
Produkt der Nenner dividiert (Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner).
Sonderfälle:
1. Bruch mal ganze Zahl bzw. ganze Zahl mal Bruch:
Hilfe: Man schreibt die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 .
Beispiele: a)
3
7
 4  73  14 
3 4
7 1
 127 ; b) x  y5 
6 / 12
x
1
 y5 
x 5
y 1

5x
y
.
Stand: 13.09.2006 13:50:00
68622263
c 
a
b
Regel:
a c
b
c a
b
bzw c  a 
b
,b  0
(„Zähler mal ganze Zahl durch Nenner“)
2. Potenzieren von Brüchen:
Regel:
23 4  23  23  23  23  2323 3232 ,
a)
Beispiele:
ab n  abnn
 4  2344  1681
3x   27x 3 .
; b)  53yx  
 
5y 3 125y 3
3
d.h. 32
3
( b  0)
3. Multiplikation von einer Zahl mit ihrem Kehrwert:
Der Kehrwert von 23 ist 23
, 23  23  1 ; der Kehrwert von
a
b
ist ab
der Kehrwert von 5 ist 1 , 5  1  1 ; der Kehrwert von a ist a1
5
5
a
b
,
 ab  1 (a,b ≠ 0) ;
, a  a1  1 (a ≠ 0) .
Regel: Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer 1.
Multiplikation und Addition / Subtraktion
Beispiele:
1.
2
3
  34 
2x
3y
  23  34  23  65  3243  23  56  12  54  105  108  1013
  32  3920  1310 ;
 34  65   32  15
 24
20
20
2
3
oder
2.
6
5
2
6y
2x  x  2 x  6 y  2x  x  2x  6y  x 2  4 x  5 x  24xy
  x4  5   3y
4
3
y
5
3y

4
3y

5
6
y
5
30y


2x
3y
oder


x
4

 
6y
5
2x
3y
5x
20

24y
20

2x
3y
 5x 2024y 
2x (5x  24y)
3y  2 10

5 x 2  24xy
30y
3.
2
( 2  1 )  ( 3  x )  2  3  2  x  1  3  1  x  1  2 x  3  1  2 x  3  4 x 9
4.
( 1  2 )2  ( 1 )2  2  1  2  ( 2 )2  1  4  4 
3
y
x
2
x
3 2
y
y
x 2
3
x
x
x
y2
3
yx
x2
2x
3
2
2
x  4 xy  4y
y 2x 2
2x
;
6x
(überprüfen Sie den letzten Schritt)
1. binomische Formel
oder ( y1
 x2 ) 2  ( x yx2 y ) 2 
x 2  4 xy  4 y 2
y 2x 2
.
Übungen zu 4.3
Rechnen Sie soweit wie möglich.
1. 3  5 ;
2.
25 6
7. 3  ( 1  2 ) ;
11.
(1
2
x
y

x)  ( 2
5
10
x
2
20
x
8.
 x) 
;
2
3
x2
3. 9a  8c ;
 4b
( x  3 ) ;
2
y
3a
9.
4.
7
x
5 x ;
5. ( 3x
)2 ;
4y
14
2
3  (a b )
a b
9
2 y3
6. 10x 
9y 4
2x5
;
10. ( 1  x )  ( 1  x ) ;
;
2
2
.
Heiteres am Rande
Behauptung:
Begründung:
1Euro = 1Cent !
1Euro = 100 Cent = 10 Cent · 10 Cent = 1 Euro · 1 Euro = 1 Euro = 1 Cent .
10
10
100
Also 1Euro = 1Cent. Wo steckt der Fehler?
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Stand: 13.09.2006 13:50:00
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4.4 Division von Brüchen
Die Division lässt sich wieder als Umkehrung der Multiplikation auffassen.
Regel: Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des
zweiten Bruchs multipliziert.
a
b
Allgemein:
:

c
d
a
b
 dc 
a d
bc

(b; c; d;  0)
ad
bc
Beispiele:
1. 32 : 56  23  65  54 ;
2x : 5x  2 x  6y  2 x  6y  4 ;
2. 3y
6y
3y 5x
3y  5x
5
5a  ( x  y )2
( x  y )2
2
xy
3. x5a
: 10a  x5ay 

 2a
 y ( x  y )2
10a 2
( x  y ) 10a 2
;
- 9a
9a  4
4. - 4b : 43  94ab  43   4b  3   3ba ;
2
2
3
2
2
2
3
5. ( 5x3  6 x5  3x4 ) : x60  ( 5x3  6 x5  3x4 )  602  100  72  45 x  172  45 x ;
x
3
15 ;
6. 44  34 : 54  34  54  16
7.
5
a
b
a2
1 b
1 b
a  (1  b ) 1  b
 ab  2 
 ba
a
ba 2
.
Sonderfall: Bruch durch ganze Zahl bzw. ganze Zahl durch Bruch:
Hilfe: Die ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben werden.
Beispiele:
2
2
2
b) a4 : 2a  a4  21a  a8a  a8 ;
8 ;
a) 83 : 5  83 : 15  83  15  15
y
;
d) x : z  1x  yz  xz
y
e)
3
4
5

3
4
:5
3
4
 15 
3
20
f)
;
3
4
5
c) 5 :
7
3

5
1


3
7
15 ;
7
 3 : 54  3  54  15
.
4
Übungen zu 4.4
Rechnen Sie soweit wie möglich:
9 : 5 ;
1. 11
12
2. 3x : 102 ;
x
3.
-12x
7
: ( 4) ;
2
3
4. 3x5 : 2 x 4 ;
5y
15y
3x
5. x 3 : yx ;
4 .
6. 5x
8
4.5 Brüche und Dezimalzahlen
Jede Bruchzahl lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. Dabei gibt es für Bruchzahlen, die sich
nicht mehr kürzen lassen, 2 Möglichkeiten:
1. Der Nenner ist ein Teiler von 10 oder 100 oder 1000 usw. . Man erhält eine Dezimalzahl mit
endlich vielen Stellen hinter dem Komma. Beispiel: 38  3 : 8  0,375 .
2. Der Nenner ist kein Teiler von 10 oder 100 oder 1000 usw. . Man erhält eine periodische
Dezimalzahl, d.h. es gibt unendlich viele Stellen hinter dem Komma, wobei bestimmte
Ziffernfolgen immer wiederkehren. Beispiel:
8
33
 8 : 33  0,242424....  0, 24 .
Wie bereits angesprochen (vgl. LE 01 / 2.1 reelle Zahlen) gibt es Dezimalzahlen, die nicht aus einer
Bruchzahl hervorgehen. Es handelt sich um nicht-periodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen
Stellen hinter dem Komma. Beispiele für solche Zahlen sind , viele Wurzelzahlen (vgl. LE 09), viele
Zahlen aus der Trigonometrie (vgl. LE 08).
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Stand: 13.09.2006 13:50:00
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AUGABEN ZUR LEHREINHEIT 04
1. Kürzen sie soweit wie möglich:
12 a ³ b 4
3x ²
10 a  5
a)
; b)
; c)
;
15
9x
10 a ² b 6
d)
5 x
;
 15 x ²
2. Rechnen und kürzen sie so weit wie möglich:
4 x 5
3 5
x 3x

x ;
a)   2 ; b)
c) 
;
5
5
5
5
8 4
f)
5
1

;
a3 a
g)
1
1
a
;
2
a
h)
a 3 1
   ;
5 a 2
1 2
g)     x  y  ;
x y
 10 ax ² 12a ² x 

j) 
 : 2ax ;
5 
 7
k)
x 5
10
x 3
15
5x  10 y
;
2 x  4y
d)
3
7

;
x 4x
f)
e)
x²  y ²
.
3  (x  y )
9
3

x² x 5
3
1

.
2 x  5 6 x  15
3. Rechnen und kürzen sie so weit wie möglich:
10 x 3
12 a ³ 7b ²
5 3 2
 
8 ;

a)  
;
b)
c)
;
9 10 3
x 7 4
5b ² 6a
f)
e)
;
h)
l)
d)
3x 6 x
;
:
5y 11y ²
5a ²  5b ² 14

;
7
ab
1 x
2
2  1x
9 / 12
7
: 7x ;
x
e)
4 1
i)   
5 x
2
;
.
Stand: 13.09.2006 13:50:00
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LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
a²  b²
6a
6x ²
; b)
; c)
3a ²  15a
a ²  2ab  b ²
10 xy
6x ²
a
3x  2 y
1
5a
3x
2. a) 
; b)
; c)
; d)
; e)
;
f)
;
3
b
7
3  2b
x
y
2
x
g)
; h)
.
2y
xy
x
3
2x
3  4a
29
3y  2x
Üungen zu 4.2: 1.
; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
; 6.
;
20
x
a
28
5
3
xy
3  2x ²  x ³
a
7x  6
28 b  18a
7.
; 8.
; 9.
; 10.
;
4
21abx
30
4x ³
x
11x  10
1
11.
;
12.
.
2a  6b
x²  x
6c
x
1
5
3y  6 x
9x ²
5
Üungen zu 4.3: 1.
; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
; 6.
; 7.
;
10
b
2
2
16 y ²
9yx ³
xy
1  4x ²
2x
ab
xy  6
8.
; 9.
; 10.
; 11.
3
10
4
3y
3x
3x
108
6
9
Üungen zu 4.4: 1.
; 2.
; 3.
; 4.
; 5. x² y ; 6.
.
5
55
10
7
2yx
x
6a
1
xy
2a  1
5
Aufgabe 1:
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
.
3
3
3
5b ²
3x
2
9x
9x
9x ³  3
3
6a  3
19
Aufgabe2:
a) 
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
;
5
8
a
²  3a
5
5
4x
x
a  2a ²  2
8
g)
; h)
.
6 x  15
2a
6a
1
60
14 a ²
11y
1
Aufgabe3:
a)
; b) 
; c)
; d)
; e)
; f)
;
2
9
7
5
10
10
x
16 x ²  40 x  25
25 x  42 a
3xy  y ²  2x ²
g)
; h) 10a  10 b ; i)
; j)
;
35
25 x ²
xy
2x  1
3x  15
x  x²
1
k)
; l)
( 1. Schritt: 2 
wird umgeformt zu
).
2x  6
4x  2
x
x
Üungen zu 4.1:
1. a)
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Stand: 13.09.2006 13:50:00
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FERNUNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 04
Dienstgrad, Name,
Vorname
Einheit,
Standort,
DZE
Privatanschrift
Email
Datum
1. Kürzen Sie soweit wie möglich:
14a
20
8 x² y 5
a)
;
b)
;
c)
;
6 6
10  5 x
21ab
4x y
d)
2. Rechnen und kürzen Sie soweit wie möglich:
3 x
2
5
1
1



a)
; b)
; c)
; d)
3a 6a
a² a³
4 4
1
a
x
2

2
e)
; f)
a2 a3
2
x
8  6x
;
4  2x
e)
a²  b²
2a  2b
5 x 5

,
x
x
3. Rechnen und kürzen Sie soweit wie möglich:
2  15 3a 
4
21
b 3a b
 
3


a)
; b)
; c)

3  8 2b 
7
16
a b² 5
4 3
:
d)
;
9x x ²
e)
x²  y ² x  y
:
;
16
32 x
f)
a5
a
3a 2
a5
Senden Sie die Lösungen auf dem beigefügten DIN A4 Blatt an die für Sie
zuständige Bundeswehrfachschule (Name und Adresse nicht vergessen!).
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Stand: 13.09.2006 13:50:00
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DStG
Name
Vorname
Blatt:
Lösungen zu den Einsendeaufgaben LE 04
12 / 12
Stand: 13.09.2006 13:50:00