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ET 04

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Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 4
Theoreme
2003
Kurt Steudler
(/ET_04.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
4-2
_____________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
4
Theoreme ............................................................................................. 3
4.1
Die π - T (Y - ∆) Transformation............................................................. 3
4.2
Das Superpositionsprinzip ..................................................................... 5
4.2.1
4.2.2
4.2.3
Die „Black Box“ („Schwarze Schachtel“) ........................................................... 5
Mathematische Aussage zur Linearität ............................................................. 5
Anwendung in der Elektrotechnik ...................................................................... 6
4.3
Das Theorem von Thévenin (Quellenersatzschaltung).......................... 8
4.4
Das Theorem von Norton (Quellenersatzschaltung).............................. 9
4.5
Das Substitutionstheorem.................................................................... 10
4.6
Die Leiter - Analyse ............................................................................. 11
4.7
Gleichstromtechnik - Wechselstromtechnik ......................................... 12
4.7.1
4.7.2
4.8
Anpass - Schaltungen.......................................................................... 16
4.8.1
4.8.2
4.8.3
4.8.4
4.9
Einmalige Vorgänge ........................................................................................ 12
Periodische Vorgänge ..................................................................................... 12
Problemstellung............................................................................................... 16
Anpassung mit T - Glied .................................................................................. 16
Anpassung mit π - Glied .................................................................................. 18
Anpassungs – Netzwerk. Anwendung............................................................. 19
Verzeichnisse ...................................................................................... 21
Literaturverzeichnis und Software
L 4-1
L 4-2
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und
Laborauswertungen eignet.
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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4
Theoreme
Mit Hilfe des OHM‘ schen Gesetzes und der KIRCHHOFF’ schen Sätze lassen
sich sämtliche Netzwerke berechnen.
Trotzdem erweisen sich verschiedene zusätzliche Rechenmethoden oder Theoreme für praktische Anwendungen als nützlich.
4.1
Die π - T (Y - ∆) Transformation
Zu einem gegebenen π - oder ∆ - Netzwerk soll ein T - oder Y – Netzwerk gefunden werden, das an den Klemmen x, y und z die gleichen Eigenschaften aufweist.
In gleicher Weise soll zu einem T - oder Y – Netzwerk ein entsprechendes π - oder
∆ - Netzwerk gefunden werden.
Rb
R1
x
y
Ra
R2
x
y
Rc
z
R3
z
z
z
x
y
Das π – Glied und das T - Glied
Fig. 4-1
Rb
x
y
R1
Ra
R2
Rc
R3
z
z
Fig. 4-2
Das ∆ – Glied und das Y – Glied (Dreieck – Stern)
Von π - und T – Netzwerken sprechen wir in der Kommunikationstechnik, von ∆ –
und Y - Netzwerken in der Energietechnik.
Damit die beiden Glieder die gleichen Eigenschaften aufweisen, müssen folgende
Bedingungen erfüllt sein:
R xy ( π) = R xy (T)
R xy ( ∆) = R xy ( Y)
R xz ( π) = R xz (T) und R xz (∆) = R xz ( Y)
R yz (π) = R yz (T)
(4-1)
R yz (∆) = R yz ( Y)
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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Aus den drei Bedingungen ergeben sich drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Es ergeben sich die Lösungen
R1 =
R a ⋅ Rb
R a + Rb + R c
Ra =
R1 ⋅ R 2 + R 2 ⋅ R 3 + R 3 ⋅ R 1
R2
R2 =
Rb ⋅ R c
Ra + Rb + Rc
und R b =
R1 ⋅ R 2 + R 2 ⋅ R 3 + R 3 ⋅ R1
R3
R3 =
Rc ⋅ Ra
Ra + Rb + Rc
Rc =
R1 ⋅ R 2 + R 2 ⋅ R 3 + R 3 ⋅ R1
R1
(4-2)
π –T – Transformation oder ∆ –Y - Transformation
Jede Impedanz des T (Y) – Gliedes ist gleich dem Produkt der anliegenden π (∆)
1
Impedanzen, geteilt durch die Summe der π (∆) Impedanzen.
T - π– Transformation oder Y - ∆ –Transformation
Jede Impedanz des π (∆)– Gliedes ist gleich der Summe der Produkt der Impedanzen der drei möglichen T (Y) Impedanzpaare, geteilt durch die gegenüberliegende T (Y) - Impedanz.
Beispiele
R1
Zähler
Ra
56 . Ω
R2
R 1. R 2
R 2. R 3
Zähler
Rb
R2
R a = 135.098 Ω
Fig. 4-3
R 3. R 1
Zähler
Zähler
Rc
R3
R b = 235.702 Ω
15 . kΩ
Nenner
R1
Ra
R a. R b
Nenner
R 1 = 3.018 kΩ
1
47 . Ω
R3
R1
R c = 197.821 Ω
Stern – Dreieck Umwandlung [mit L 4-2]
Ra
Fig. 4-4
82 . Ω
Rb
Rb
6.8 . kΩ
Rc
12 . kΩ
Rc
R2
R b. R c
Nenner
R 2 = 2.414 kΩ
R3
R c. R a
Nenner
R 3 = 5.325 kΩ
Dreieck - Stern Umwandlung [mit L 4-2]
Der Begriff Impedanz meint hier die Widerstände R. Dem Begriff Impedanz wird in der Wechselstromtechnik eine erweiterte Bedeutung zukommen. Die angegebenen Formeln gelten auch in der
Wechselstromtechnik.
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Kurt Steudler
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STR – ING
Elektrotechnik
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4.2
Das Superpositionsprinzip
Das Prinzip geht zurück auf HELMHOLTZ.
2
4.2.1 Die „Black Box“ („Schwarze Schachtel“)
Zwischen zwei Grössen bestehe ein bestimmter Zusammenhang, über den näher
nichts bekannt ist (oder der in seinen Einzelheiten nicht von Bedeutung ist).
Solche Fälle können mit dem „Black-Box“ – Modell näher geklärt werden.
Black Box
fe(xi)
fa(xi)
Op
Fig. 4-5
Black - Box
Auf die Eingangsfunktion fe als Funktion einer oder mehrerer Variablen xi wird eine
Operation Op angewendet, die zu einer Ausgangsfunktion fa der Variablen führt.
Es gilt der Zusammenhang
fa ( x i ) = Op[fe (x i )]
(4-3)
Über die Variable xi ist nichts ausgesagt. Insbesondere muss es sich nicht um eine
mathematisch fassbare Grösse handeln.
4.2.2 Mathematische Aussage zur Linearität
Eine Operation Op ist dann und nur dann linear, wenn gelten
• das Prinzip der Homogenität und
Op[K ⋅ fe (x i )] = K ⋅ fa ( x i ) = K ⋅ Op[fe ( x i )]
•
das Superpositionsprinzip
(4-4)
3
Op[fe1( x i ) + fe 2 ( x i )] = fa1(x i ) + fa 2 (x i )
(4-5)
Ist eine Operation linear, dann darf superponiert werden.
2
3
Hermann Ludwig Ferdinand von HELMHOLTZ, 31.8.1821 – 8.9.1894, deutscher Physiker und Physiologe. Er nimmt 1881 als erster die Existenz von Elektronen an.
Super: über, darüber.
Position: Lage, Ort.
Superponieren: „übereinanderlegen“.
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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Beispiel
fe(t)
Op
d_
dt
fa(t)
Die Operationen „differenzieren“ und „integrieren“ sind homogen und das Superpositionsprinzip gilt.
Differenzieren und Integrieren sind daher lineare Operationen.
In der Gleichstromtechnik und später in der Wechselstromtechnik sind die Netzwerke linear und es darf superponiert werden.
4.2.3 Anwendung in der Elektrotechnik
Enthält ein Netzwerk zwei oder mehr Quellen, können die Grössen am Element
(Spannung und Strom) folgendermassen berechnet werden.
Wir betrachten eine Quelle nach der anderen als wirksam (die jeweils übrigen
Quellen gelten als unwirksam) und berechnen die Grössen am Element.
Die gesamten Grössen ergeben sich aus der Addition der nacheinander gefundenen Grössen.
Die nicht wirksamen Spannungsquellen sind als Kurzschluss und die nicht wirksamen Stromquellen als Leerlauf zu betrachten.
Beispiel
R1
Ua
Ux
Gegeben sind die Grössen
Ua, Ub, R1, R2, Rx
R2
Rx
Ub
Gesucht wird der Strom Ix durch den
Widerstand Rx.
Ix
Fig. 4-6
Superposition A
Das Beispiel zeigt zwei Quellen, die auf das Element Rx wirken. Mit dem Superpositionsprinzip lassen wir beide Quellen nacheinander wirksam werden und bestimmen die beiden Teilbeiträge.
Die gesuchten Grössen lassen sich auch mit einem Knotenansatz bestimmen.
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Elektrotechnik
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a)
Es sei die Quelle Ua wirksam (Ub gilt als Kurzschluss)
R1
A
Uxa
Ua
Rx R2
Ixa
Fig. 4-7
I2a
Superposition B
Es sei die Quelle Ub wirksam (Ua gilt als Kurzschluss)
b)
R2
A
Uxb
R1 Uxb
I1b
Fig. 4-8
c)
Uxa
Im Knoten A gilt
I1 = Ixa + I2a und damit
Ua − Uxa Uxa Uxa
=
+
womit
R1
Rx
R2
Ua ⋅ R 2
Ixa =
R x ⋅ R 1 + R1 ⋅ R 2 + R 2 ⋅ R x
Rx
Ixb
Ub
Im Knoten A gilt
I2 = Ixb + I1b und damit
Ub − Uxb Uxb Uxb
womit
=
+
R2
Rx
R1
Ub ⋅ R1
Ixb =
R x ⋅ R1 + R 1 ⋅ R 2 + R 2 ⋅ R x
Superposition C
Nun sind beide Quellen wirksam. Es gilt mit dem Superpositionsprinzip
Ix = Ixa + Ixb =
Ua ⋅ R 2 + Ub ⋅ R1
R x ⋅ R1 + R1 ⋅ R 2 + R 2 ⋅ R x
Das Superpositionsprinzip eignet sich weniger für formale Herleitungen. Dagegen
lassen sich numerische Betrachtungen gut handhaben.
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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4.3
Das Theorem von Thévenin (Quellenersatzschaltung)
Der Strom durch ein passives Element in einem linearen Netzwerk ist gleich dem
Strom der durch das betreffende Element fliesst, wenn dieses an einer realen
Quelle, einer Ersatzquelle mit der Leerlaufspannung UTh und dem Innenwiderstand Rr liegt.
Dabei ist UTh die Leerlaufspannung zwischen den Anschlusspunkten des Elementes, das heisst jene Spannung die an den Klemmen gemessen werden kann, wenn
sich das Element nicht in der Schaltung befindet.
Rr ist der von den Anschlusspunkten des Elementes aus nach rückwärts gemessene Widerstand. Das Element ist dabei nicht mit einbezogen.
Für die Bestimmung von Rr gelten Spannungsquellen als Kurzschluss und Stromquellen als Leerlauf.
Die reale Quelle mit UTh und Rr ersetzt an den Anschlusspunkten des Elementes
die gesamte Schaltung, die ausserhalb des betrachteten Elementes liegt.
Beispiel
R1
U
Ux
Gegeben sind die Grössen
U, R1, R2, RL
A
R2
RL
Ix
Gesucht wird der Strom IL durch den
Widerstand RL.
UAB IL
B
Fig. 4-9
Thévenin
Rr
UTh
A
RL
UAB
IL
Ohne Element RL werden
R2
U AB leer = UTh = U ⋅
R1 + R 2
R ⋅R
Rr = 1 2
R1 + R 2
B
Fig. 4-10
Ersatzquelle nach Thévenin
Fig. 4-10 ersetzt die Schaltung nach Fig. 4-9 und es wird
UTh
U ⋅ R2
IL =
=
Rr + RL R1 ⋅ R 2 + RL ⋅ (R1 + R 2 )
Jenes Element, an dem etwas gesucht wird, darf nicht in die Umwandlung in eine
Ersatzquelle nach Thévenin einbezogen werden.
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Kurt Steudler
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str
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Elektrotechnik
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4.4
Das Theorem von Norton (Quellenersatzschaltung)
Der Strom durch ein passives Element in einem linearen Netzwerk ist gleich dem
Strom der durch das betreffende Element fliesst, wenn dieses an einer realen
Quelle, einer Ersatzquelle mit dem Kurzschlusstrom IN und dem Innenwiderstand
Rr liegt.
Dabei ist IN jener Strom, der zwischen den Anschlusspunkten des Elementes
fliesst, wenn das Element kurzgeschlossen wird.
Rr ist der von den Anschlusspunkten des Elementes aus nach rückwärts gemessene Widerstand. Das Element ist dabei nicht mit einbezogen.
Für die Bestimmung von Rr gelten Spannungsquellen als Kurzschluss und Stromquellen als Leerlauf.
Die reale Quelle mit IN und Rr ersetzt an den Anschlusspunkten des Elementes die
gesamte Schaltung, die ausserhalb des betrachteten Elementes liegt.
Beispiel
R1
U
Ux
Gegeben sind die Grössen
U, R1, R2, RL
A
R2
Ix
RL
Gesucht wird der Strom IL durch den
Widerstand RL.
UAB IL
B
Fig. 4-11
Norton
A
IN
Rr
UAB
RL
IL
Ohne Element RL werden
U
IL kuzschluss = IN =
R1
R ⋅R
Rr = 1 2
R1 + R 2
B
Fig. 4-12
Ersatzquelle nach Norton
Fig. 4-12 ersetzt die Schaltung nach Fig. 4-11 und es wird
Rr
U ⋅ R2
IL = IN ⋅
=
Rr + RL R1 ⋅ R 2 + RL ⋅ (R1 + R 2 )
Jenes Element, an dem etwas gesucht wird, darf nicht in die Umwandlung in eine
Ersatzquelle nach Norton einbezogen werden.
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Kurt Steudler
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STR – ING
Elektrotechnik
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4.5
Das Substitutionstheorem
Sind ein lineares Element oder eine Gruppe von linearen Elementen an zwei Knoten mit einem linearen Netzwerk verbunden, lässt sich dieses Element oder die
Gruppe von Elementen durch ein anderes lineares Element oder eine andere
Gruppe von linearen Elementen ersetzen.
Dies gilt, wenn die Spannung zwischen den Knoten und der Strom durch das betrachtete Element oder die Gruppe von Elementen unverändert bleiben.
In stationären linearen Netzwerken darf substituiert werden.
4
Beispiel
R1
U
Fig. 4-13
A
R3 U3
R2
B
Gegeben sind die Grössen
R2, = 2kΩ,
U = 5 V,
R1 = 1kΩ,
R3 = 1 kΩ, R4 = 3 kΩ.
Gesucht wird die Substitution des Elementes R3 zwischen A und B.
R4
Substitutionstheorem
Es errechnen sich I3 = 5/7 mA und U3 = 5/7 V. Das Element R3 kann ersetzt werden mit
A
B
A
B
2 kΩ
500 Ω
5/7 V
oder
5/14 V
A
B
oder
5/14 mA
und so weiter
4
Stationär: zeitunabhängig, gleichbleibend.
Substituieren: ersetzen, austauschen.
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Elektrotechnik
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4.6
Die Leiter - Analyse
Besteht ein lineares Netzwerk aus sich abwechslungsweise folgenden Längs- und
Querelementen, dann hat es Leiterstruktur.
Fig. 4-14
Leiterstruktur
In den Knoten solcher Netzwerke fliessen insgesamt höchstens drei Ströme. (Anzahl zu- und wegfliessender Ströme < 3).
Folgender Fall kann mit der Leiter – Analyse nicht behandelt werden
Vorgehen
Die Spannung am letzten Element oder der Strom durch das letzte Element wird
als bekannt angenommen.
Die übrigen Ströme und Spannungen werden Schritt für Schritt vom letzten Element her zum ersten Element hin in der als bekannt angenommenen Grösse ausgedrückt.
Es ergibt sich so eine Beziehung zwischen den bekannten Grössen und den unbekannten Grössen.
Aufgabe
R
UE
4R
R
A
2R
4R
B
Fig. 4-15
R
C
4R
2R
D
E
4R
R
UA
F
Leiter - Analyse
Wie gross wird das Verhältnis der Spannung UA zur Spannung UE ?
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str
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Elektrotechnik
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4.7
Gleichstromtechnik - Wechselstromtechnik
Als Wechselstrom bezeichnen wir Ströme oder Spannungen, die in einer bestimm5
ten Weise von der Zeit t abhängig sind. i = i(t) und u = u(t)
In der Gleichstromtechnik ist der Strom I nicht von der Zeit abhängig. Man spricht
6
von statischen Grössen.
4.7.1 Einmalige Vorgänge
i(t)
0 ; − ∞ < t ≤ t 0
i(t ) = 
I ; t 0 ≤ t < ∞
I
t
t0
Fig. 4-16
Sprungfunktion
u(t)
0 ;
− ∞ < t ≤ t0

 t − t0
u(t ) = U ⋅
; t 0 ≤ t ≤ t1
 t1 − t 0
U
;
t1 ≤ t < ∞
U
t0
Fig. 4-17
t1
t
Rampe
4.7.2 Periodische Vorgänge
Als Wechselstrom bezeichnen wir üblicherweise Strom- und Spannungsverläufe,
7
die sich in der Zeit wiederholen. Solche Verläufe sind periodisch.
4.7.2.1
i = i(t + n ⋅ T)
;
n∈ Ν
u = u( t + n ⋅ T )
; T : Periodendauer
(4-6)
Periodische Funktion allgemein
Der im allgemeinen beliebige Verlauf der Funktion wiederholt sich nach der Zeit T,
nach der Periodendauer T.
5
Zeitabhängige Grössen bezeichnen wir mit kleinen Buchstaben.
6
Statisch, στατικοζ :
7
Periodisch, περιοδικοζ : regelmässig auftretend, wiederkehrend.
stillstehend, ruhend.
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Elektrotechnik
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Fig. 4-18
4.7.2.2
Periodische Funktion [aus L 4-1]
Periodische Funktion, stückweise beschreibbar
8
Stückweise beschreibbare Funktionen werden Modulo T ausgedrückt
15
15
10
u1( t1 )
u2( t2 )
u3( t3 )
5
u4( t4 )
0
5
5
0
100
50
Fig. 4-19
200
t1 , t2 , t3 , t4
Modulo T = 420 ms
300
400
450
Funktion Modulo T [mit L 4-2]
Die dargestellte Funktion ist gegeben mit
  21 t 

4
⋅T
0 ≤ t ≤
U ⋅  1 − 4 ⋅ T  ;
21

 

 U

19
4
⋅T ≤ t ≤
⋅T 
;
− 3
21
42


19
t − ⋅T
u( t) = 
 Modulo T
− 42


T
19
34 
U ⋅ e 6
⋅T ≤ t ≤
⋅T
;

42
42 


U ⋅  21 ⋅ t − 17  ; 34 ⋅ T ≤ t ≤ T

  4 T 4 

42
8
Lat. modulor;
nach dem Takt abgemessen.
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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Aufgabe: Stellen Sie folgende Funktionen grafisch dar:
I ;−∞ < t ≤ 0

i(t ) = 0 ; 0 ≤ t ≤ T
− I ; T ≤ t < ∞

a)
I = 5mA
T =1s
b)


U ⋅  1 − t 
;
0 ≤ t ≤ 50 ms 


 
τ


5τ − t 

 
−
u( t) = U ⋅  1 − e τ 
; 50 ms ≤ t ≤ 60 ms  Modulo T = 100 ms


 



6τ − t 

 
τ  ; 60 ms ≤ t ≤ 100 ms

U ⋅  0,63 + e


 

U = 15 V
τ = 10 ms
c)
Schreiben Sie die skizzierte Funktion Modulo T an:
u(t)
U
t
0
T
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Elektrotechnik
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4.7.2.3
Sinusförmige Signale
Sinusförmige Signale gelten als Sonderfall der periodischen Funktionen, der sehr
häufig vorkommt.
u 1 ( t)
U.sin( ω .t )
u 2 ( t)
0.8 .U.sin( ω .t
φ)
u 3 ( t)
1.1 .U.sin( ω .t
ψ)
10
5
u 1( t )
u 2( t )
0
u 3( t )
5
10
0.5
Fig. 4-20
0
0.5
t
1
1.5
Sinusförmiges Signal [Mit L 4-2]
Die Spannung u2 eilt der Spannung u1 um den Winkel ϕ vor. Die Spannung u3 eilt
der Spannung u1 um den Winkel ψ nach.
Signale können einem Gleichstrom, einer Gleichspannung überlagert sein:
u 1 ( t)
U.sin( ω .t )
5
u 2 ( t)
5
0.8 .U.sin( ω .t
φ)
u 3 ( t)
5
1.1 .U.sin( ω .t
ψ)
15
10
u 1( t )
u 2( t )
5
u 3( t )
0
5
0.5
Fig. 4-21
0
0.5
t
1
1.5
Überlagertes Signal [Mit L 4-2]
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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4.8
Anpass - Schaltungen
In der Übertragungstechnik werden oft Einheiten mit unterschiedlichen Eigenschaften für die Übertragung von Informationen verwendet.
Häufig besteht der Wunsch, diese Einheiten unter Leistungsanpassung miteinander zu verbinden, was nicht immer unmittelbar möglich ist. Die Ausgangs- und
Eingangswiderstände der einzelnen Einheiten sind oft unterschiedlich.
Für das angepasste Zusammenschalten solcher Einheiten eignen sich die π - und
T – Netzwerke nach 4.1.
4.8.1 Problemstellung
T oder π Glied
Einheit A
Einheit P
RQuelle
RAbschluss
Anpass - Netzwerk
Fig. 4-22
Anpass - Netzwerk
Aktive Einheiten A lassen sich als reale Quellen darstellen, passive Einheiten P als
Widerstände.
Um je Leistungsanpassung zu erreichen, werden die Einheiten mit einem Anpass
– Netzwerk verbunden.
Für Leistungsanpassung muss die Einheit A nach rechts RQuelle = Re als Last sehen. Für Leistungsanpassung muss die Einheit P nach links RAbschluss = Ra als Last
sehen.
4.8.2 Anpassung mit T - Glied
R1
R3
Anpass - Netzwerk
R2
Re
Fig. 4-23
Ra
Anpass – Netzwerk mit T - Glied
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Kurt Steudler
4 - 16
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STR – ING
Elektrotechnik
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4.8.2.1
Spannungsbezug
Re und Ra sind gegeben. Mit d = Ue/Ua und k = Ra/Re werden:
d ⋅ k ⋅ (d − 2) + 1
d ⋅ k ⋅ (d − 2) + 1
= Re ⋅
2
k ⋅ d ⋅k −1
d2 ⋅ k − 1
2⋅d⋅k
2⋅d
Re ⋅ 2
R2 = Ra ⋅ 2
=
d ⋅k −1
d ⋅k −1
d ⋅ (d ⋅ k − 2) + 1
k ⋅ [d ⋅ (d ⋅ k − 2) + 1]
R3 = Ra ⋅
= Re ⋅
2
d ⋅k −1
d2 ⋅ k − 1
R1 = R a ⋅
(
)
(4-7)
Das Verhältnis 1/d der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung kann auch in Dezibel
(dB), dem Mass für die Spannungsdämpfung, angegeben sein.
Wegen dB = 20⋅lg(Ua/Ue) = 20⋅lg(1/d) = -20⋅lg(d) gilt mit a = |dB| / 20, dass d = 10a.
Abhängig von k = Ra/Re darf d folgende Werte nicht unterschreiten:
Für k < 1 oder Ra < Re :
Für k > 1 oder Ra > Re :
1+ 1− k
k
k −1
d ≥ 1+
k
d≥
Abhängig von k kann eine minimale Dämpfung nicht unterschritten werden.
4.8.2.2
Leistungsbezug
Re und Ra sind gegeben. Mit Pa = Ua2 /Ra und Pe = Ue2 /Re wird
Pe /Pa = N = d2 k
Weiter gelten
10⋅lg(N) = 20⋅lg(d) + 10⋅lg(k) und
20⋅lg(d) = 10⋅lg(N) – 10⋅lg(k) (Sonderfall: k=1)
Re und Ra sind gegeben. Mit N = Pe/Pa und k = Ra/Re werden:
N+1
− R2
N −1
2 ⋅ N ⋅ Re ⋅ Ra
R2 =
N −1
N+1
R3 = Ra ⋅
− R2
N−1
R1 = R e ⋅
(4-8)
Das Verhältnis 1/N der Ausgangsleistung zur Eingangsleistung kann auch in Dezibel (dB),
dem Mass für die Leistungsdämpfung, angegeben sein.
Wegen dB = 10⋅lg(Pa/Pe) = 10⋅lg(1/N) = -10⋅lg(N) gilt mit n = |dB| / 10, dass N = 10n.
Abhängig von k = Ra/Re darf d beziehungsweise N folgende Werte nicht unterschreiten:
Für k < 1 oder Ra < Re :
Für k > 1 oder Ra > Re :
1+ 1− k
k
k −1
d ≥ 1+
k
d≥
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
4 - 17
str
STR – ING
Elektrotechnik
4 - 18
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Abhängig von k kann eine minimale Dämpfung nicht unterschritten werden.
4.8.3 Anpassung mit π - Glied
Ry
Anpass - Netzwerk
Rx
Rz
Re
Fig. 4-24
4.8.3.1
Ra
Anpass – Netzwerk mit π - Glied
Spannungsbezug
Re und Ra sind gegeben. Mit d = Ue/Ua und k = Ra/Re werden:
R x = Ra ⋅
d2 ⋅ k − 1
d2 ⋅ k − 1
= Re ⋅
k ⋅ [d ⋅ (d ⋅ k − 2) + 1]
d ⋅ (d ⋅ k − 2) + 1
d2 ⋅ k − 1
d2 ⋅ k − 1
=
Re ⋅
2⋅d⋅k
2⋅d
2
d ⋅k −1
k ⋅ (d2 ⋅ k − 1)
R z = Ra ⋅
= Re ⋅
k ⋅ d ⋅ (d − 2) + 1
k ⋅ d ⋅ (d − 2) + 1
Ry =
Ra ⋅
(4-9)
Das Verhältnis 1/d der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung kann auch in Dezibel
(dB), dem Mass für die Spannungsdämpfung, angegeben sein.
Wegen dB = 20⋅lg(Ua/Ue) = 20⋅lg(1/d) = -20⋅lg(d) gilt mit a = |dB| / 20, dass d = 10a.
Abhängig von k = Ra/Re darf d folgende Werte nicht unterschreiten:
Für k < 1 oder Ra < Re :
Für k > 1 oder Ra > Re :
1+ 1− k
k
k −1
d ≥ 1+
k
d≥
Abhängig von k kann eine minimale Dämpfung nicht unterschritten werden.
4.8.3.2
Leistungsbezug
Re und Ra sind gegeben. Mit Pa = Ua2 /Ra und Pe = Ue2 /Re wird
Pe /Pa = N = d2 k
Weiter gelten
10⋅lg(N) = 20⋅lg(d) + 10⋅lg(k) und
20⋅lg(d) = 10⋅lg(N) – 10⋅lg(k) (Sonderfall: k=1)
Re und Ra sind gegeben. Mit N = Pe/Pa und k = Ra/Re , sowie G = 1/R werden:
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4 - 18
str
STR – ING
Elektrotechnik
4 - 19
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N+1
− Gy
N −1
2 ⋅ N ⋅ G e ⋅ Ga
Gy =
N−1
N+1
G z = Ga ⋅
− Gy
N −1
G x = Ge ⋅
(4-10)
Das Verhältnis 1/N der Ausgangsleistung zur Eingangsleistung kann auch in Dezibel (dB),
dem Mass für die Leistungsdämpfung, angegeben sein.
Wegen dB = 10⋅lg(Pa/Pe) = 10⋅lg(1/N) = -10⋅lg(N) gilt mit n = |dB| / 10, dass N = 10n.
Abhängig von k = Ra/Re darf d beziehungsweise N folgende Werte nicht unterschreiten:
Für k < 1 oder Ra < Re :
Für k > 1 oder Ra > Re :
1+ 1− k
k
k −1
d ≥ 1+
k
d≥
Abhängig von k kann eine minimale Dämpfung nicht unterschritten werden.
4.8.4 Anpassungs – Netzwerk. Anwendung
Messungen zum Vergleich verschiedener Antennen:
Es sollen drei Antennen, nämlich
eine 5 Element Yagi mit
50 Ohm Fusspunktwiderstand,
eine 2 Element Cubical - Quad mit 40 Ohm Fusspunktwiderstand und
ein 3 Element Faltdipol mit
75 Ohm Fusspunktwiderstand
in ihren Empfangseigenschaften verglichen werden zu einem einfachen Dipol mit 60 Ohm
Fusspunktwiderstand.
Fig. 4-25
Anpassungs – Netzwerk. Anwendung
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4 - 19
str
STR – ING
Elektrotechnik
4 - 20
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Für die Messungen im Feld steht ein Messgerät zur Verfügung, das einen Eingangswiderstand von 50 Ohm aufweist und in der Leistung geeicht ist (Ablesung in Watt, beziehungsweise S für Signal – Strength).
Es sollen geeignete Anpass – Netzwerke berechnet werden welche es erlauben, die abgelesenen Werte unmittelbar miteinander zu vergleichen. Es sollen keine Umrechnungen
mit den abgelesenen Werten nötig sein.
Lösung mit π Netzwerk
Die verschiedenen Antennen dürfen als Quellen gegenüber dem Messgerät aufgefasst
werden.
Damit die Messresultate unmittelbar verglichen werden können, sollen alle Anpassungen
um den gleichen Wert dämpfen, das heisst es soll nicht auf je minimale Dämpfung geachtet werden.
Aus den verschiedenen Faktoren k (Antennen gegenüber Messgerät) lässt sich ermitteln,
dass N > 3,732 sein muss.
Es ist geeignet N = 4 zu wählen, was einer Leistungsdämpfung von 6 dB entspricht.
Anpassung Yagi gegenüber Messgerät:
R y = 37.5 Ω
R x = 150 Ω
R z = 150 Ω
Anpassung Cubical Quad gegenüber Messgerät:
R y = 33.541 Ω
R x = 84.371 Ω
R z = 284.164 Ω
Anpassung Faltdipol gegenüber Messgerät:
R y = 45.928 Ω
R x = 2.227 kΩ
R z = 86.505 Ω
_______________
N
Gy
Ry
4
Ra
50 .Ω
2 . N .G e .G a
N
1
1
Gy
R y = 45.928 Ω
Re
Gx
Rx
75 .Ω
G e.
1
Ga
N
1
N
1
Ra
Gy
1
Gx
R x = 2.227 kΩ
Ge
Gz
Rz
1
Re
G a.
N
1
N
1
Gy
1
Gz
R z = 86.505 Ω
Aufgabe:
Suchen Sie eine Lösung mit T – Netzwerken.
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Elektrotechnik
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4.9
Verzeichnisse
Figurenverzeichnis
Fig. 4-1
Fig. 4-2
Fig. 4-3
Fig. 4-4
Fig. 4-5
Fig. 4-6
Fig. 4-7
Fig. 4-8
Fig. 4-9
Fig. 4-10
Fig. 4-11
Fig. 4-12
Fig. 4-13
Fig. 4-14
Fig. 4-15
Fig. 4-16
Fig. 4-17
Fig. 4-18
Fig. 4-19
Fig. 4-20
Fig. 4-21
Fig. 4-22
Fig. 4-23
Fig. 4-24
Fig. 4-25
Das π – Glied und das T - Glied .................................................................................... 3
Das ∆ – Glied und das Y – Glied (Dreieck – Stern)....................................................... 3
Stern – Dreieck Umwandlung [mit L 4-2] ....................................................................... 4
Dreieck - Stern Umwandlung [mit L 4-2]........................................................................ 4
Black - Box ..................................................................................................................... 5
Superposition A.............................................................................................................. 6
Superposition B.............................................................................................................. 7
Superposition C ............................................................................................................. 7
Thévenin ........................................................................................................................ 8
Ersatzquelle nach Thévenin........................................................................................... 8
Norton ............................................................................................................................ 9
Ersatzquelle nach Norton............................................................................................... 9
Substitutionstheorem ................................................................................................... 10
Leiterstruktur ................................................................................................................ 11
Leiter - Analyse ............................................................................................................ 11
Sprungfunktion............................................................................................................. 12
Rampe.......................................................................................................................... 12
Periodische Funktion [aus L 4-1] ................................................................................. 13
Funktion Modulo T [mit L 4-2] ...................................................................................... 13
Sinusförmiges Signal [Mit L 4-2] .................................................................................. 15
Überlagertes Signal [Mit L 4-2] .................................................................................... 15
Anpass - Netzwerk....................................................................................................... 16
Anpass – Netzwerk mit T - Glied ................................................................................. 16
Anpass – Netzwerk mit π - Glied ................................................................................. 18
Anpassungs – Netzwerk. Anwendung ......................................................................... 19
______________________________________________________________________
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