ET 06

Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 6
Einfache Schaltungen mit den Bauelementen
R, L und C für sinusförmige Signale
2003
Kurt Steudler
(\ET_06.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
6-2
_____________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
6
6.1
Schaltungen mit R, L und C für sinusförmige Signale ..................... 3
Serie- und Parallelschaltung von L und C.............................................. 3
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
6.2
Einfache Eintore (ohne L-C- Kombinationen) ........................................ 4
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.3
Der ideale Serie - Kreis ................................................................................... 22
Der ideale Parallel - Kreis................................................................................ 22
Der reale Serie - Kreis .................................................................................. 23
Der reale Parallel - Kreis ............................................................................... 25
Der reale Parallel - Kreis für k >> 1 ................................................................ 28
Umformung am Parallelkreis ........................................................................... 31
Der Begriff „kritische Impedanz“ oder „charakteristische Impedanz“ .............. 31
Spannungs- und Stromüberhöhung ................................................................ 32
Serie – Parallel - Wandlung............................................................................. 33
Zweitore mit L – C - Kombinationen .................................................... 34
6.6.1
6.6.2
6.6.3
6.6.4
6.7
Tiefpass mit Enddämpfung.............................................................................. 14
Die Wien Brücke. Bandbreite B und Güte Q ................................................... 16
Bandpass mit Anfangsdämpfung .................................................................... 17
Zweitorbeispiele mit Frequenzgang ................................................................ 18
Bestimmen von Asymptoten............................................................................ 19
Schieben der normierten Kreisfrequenz.......................................................... 20
Eintore mit L – C - Kombinationen....................................................... 22
6.5.1
6.5.2
6.5.3
6.5.4
6.5.5
6.5.6
6.5.7
6.5.8
6.5.9
6.6
Einfacher Tiefpass........................................................................................... 11
Einfacher Hochpass ........................................................................................ 12
Einfache Zweitore mit mehr als zwei Elementen ................................. 14
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
6.4.5
6.4.6
6.5
Serieschaltung von R und L .............................................................................. 4
Serieschaltung von R und C.............................................................................. 5
Parallelschaltung von R und L........................................................................... 6
Parallelschaltung von R und C .......................................................................... 7
Eintore mit drei Elementen ................................................................................ 8
Einfache Zweitore mit zwei Elementen (ohne L-C- Kombinationen).... 10
6.3.1
6.3.2
6.4
Die Serieschaltung mit Kondensatoren C ......................................................... 3
Die Parallelschaltung mit Kondensatoren C...................................................... 3
Die Serieschaltung mit Induktivitäten L ............................................................. 4
Die Parallelschaltung mit Induktivitäten L.......................................................... 4
Zweitore mit unbelastetem Ausgang ............................................................... 34
Zweitore mit belastetem Ausgang ................................................................... 36
Durchlassfilter und Einfügungsdämpfung........................................................ 39
Weitere Zweitor – Schaltungen ....................................................................... 40
Verzeichnisse ...................................................................................... 42
Literaturverzeichnis und Software
L 6-1
L 6-2
L 6-3
L 6-4
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik,
Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
Gren Joachim und Krause Joachim, Metzler Physik, Verlag Schroedel, Hannover, 1998,
ISBN 3-507-10700-7.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware.
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen,
Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x
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Kurt Steudler
6-2
str
STR – ING
Elektrotechnik
6-3
_____________________________________________________________________
6 Schaltungen mit R, L und C für sinusförmige Signale
1
2
Es werden Eintore und Zweitore mit Kombinationen der Bauelemente R, L und C
3
vorgestellt. Es gelten die Regeln nach Kirchhoff.
6.1
Serie- und Parallelschaltung von L und C
6.1.1 Die Serieschaltung mit Kondensatoren C
Es gelten
n
Z CS = j ⋅ X CS = j ⋅ ∑ X Ck =
k =1
C1 C2
Ck
Cn
n
=∑
k =1
CS
und
Fig. 6-1
1
=
jωCS
1
1 n 1
=
⋅∑
jωCk jω k =1 Ck
(6-1)
n
1
1
=∑
CS k =1 Ck
Serieschaltung mit C
6.1.2 Die Parallelschaltung mit Kondensatoren C
Es gelten
1
1 n 1
= ⋅∑
= jωCP =
YCP =
C1 C2
Ck
Cn
j ⋅ X CP j k =1 X Ck
CP
n
n
k =1
k =1
= ∑ jωCk = jω ⋅ ∑ Ck
(6-2)
n
und
CP = ∑ Ck
k =1
Fig. 6-2
1
2
3
Parallelschaltung mit C
„Black Box“ mit zwei Anschlüssen. Es interessieren die Spannung über dem Eintor und der Strom
durch das Eintor, beziehungsweise die Impedanz als deren Verhältnis.
„Black Box“ mit vier Anschlüssen. Es interessiert das Verhältnis der Spannung am Ausgang zur
Spannung am Eingang.
-1
Nach Kapitel 5 ergeben sich bei sinusförmigem Signal die Impedanzen jωL und (jωC) .
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Kurt Steudler
6-3
str
STR – ING
Elektrotechnik
6-4
_____________________________________________________________________
6.1.3 Die Serieschaltung mit Induktivitäten L
Es gelten
n
Z LS = j ⋅ X LS = j ⋅ ∑ X Lk = jωL S =
L1
L2
Lk
k =1
Ln
n
n
k =1
k =1
= ∑ jωL k = jω ⋅ ∑ L k
LS
(6-3)
n
LS = ∑ Lk
und
k =1
Fig. 6-3
Serieschaltung mit L
6.1.4 Die Parallelschaltung mit Induktivitäten L
Es gelten
1
1 n 1
1
L1 L2
Lk
Ln
= ⋅∑
=
=
YLP =
j ⋅ X LP j k =1 X Lk jωL P
n
LP
=∑
k =1
und
Fig. 6-4
6.2
1
1 n 1
=
⋅∑
jωL k jω k =1 L k
(6-4)
n
1
1
=∑
L P k =1 L k
Parallelschaltung mit L
Einfache Eintore (ohne L-C- Kombinationen)
Es interessiert die Impedanz, das Verhältnis von Spannung über dem Eintor zum
Strom durch das Eintor, abhängig von der Frequenz. Die Impedanz Z stellt eine
komplexe Grösse dar. Zwischen Spannung und Strom herrscht ein frequenzabhängiger Winkel ϕ , die Phasenverschiebung.
Eingeführt wird die normierte Kreisfrequenz Ω. Omega ist proportional zur Frequenz f.
6.2.1 Serieschaltung von R und L
i(t)
A
R
L
u(t)
B
L
L
Es sei Ω = ω = 2π ⋅ f = K ⋅ f
R
R
Fig. 6-5
Z AB = R + j ⋅ X L = R + jωL
Z AB
= 1+ j ⋅ Ω
R
Z AB
= 1+ Ω2
R
ϕ {u, i } = arctan(Ω)
(6-5)
Serieschaltung mit R und L
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Elektrotechnik
6-5
_____________________________________________________________________
j
ωL
ZAB
R
ZAB
j
Re
Re
1
Fig. 6-6
Ω
ϕ
ϕ
0
∞
Im
Im
1
0
R
Zeigerdarstellung für ZAB .
Fig. 6-7
Ortskurve der Serieschaltg R - L
Skizzieren Sie den logarithmierten Impedanzbetrag und den Winkel in rad zwischen Spannung und Strom, abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω mit logarithmischer Ω - Achse.
6.2.2 Serieschaltung von R und C
R
C
i(t)
A
u(t)
Fig. 6-8
B
Serieschaltung mit R und L
1
Z AB = R + j ⋅ X C = R +
jωC
Mit Ω = ωRC = 2πRC ⋅ f = K ⋅ f werden
0
Im
Z AB
1
1+ j ⋅ Ω
= 1+
=
R
j⋅Ω
j⋅Ω
1+ Ω2
1+ Ω2
=
R
Ω
Ω2
1
ϕ {u,i } = − arctan( )
Ω
Z AB
=
0
1
R
1
-j
Zeigerdarstellung für ZAB .
Re
ϕ
ZAB
-1
ωC
Fig. 6-9
Im
Re
ϕ
-j
(6-6)
Fig. 6-10
ZAB
R
Ω
Ortskurve der Serieschaltg R - C
Skizzieren Sie den logarithmierten Impedanzbetrag und den Winkel in rad zwischen Spannung und Strom, abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω mit logarithmischer Ω - Achse.
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str
STR – ING
Elektrotechnik
6-6
_____________________________________________________________________
6.2.3 Parallelschaltung von R und L
Mit Ω = ω
R
i(t)
L
A
Z AB
j⋅Ω
=
R
1+ j ⋅ Ω
B
u(t)
Fig. 6-11
Parallelschaltung mit R und L
Z AB =
R ⋅ j ⋅ XL
R ⋅ jωL
=
R + j ⋅ X L R + jωL
YAB ⋅ R = 1 +
Z AB
(6-7)
1+ Ω2
1+ Ω2
=
Ω
Ω2
1
= arctan( )
Ω
YAB ⋅ R =
ϕ {u,i }
R 2 ωL
R 2 + ω2L2
1
1+ j ⋅ Ω
=
j⋅Ω
j⋅Ω
Ω2
Ω
=
2
1+ Ω
1+ Ω2
=
R
1
1
1
1
= +
= +
R j ⋅ X L R jωL
YAB
L
L
= 2π ⋅ f = K ⋅ f werden
R
R
Im
Im
j
Ω
ZAB
j
ϕ
0
Fig. 6-12
Rω L
R 2 + ω2L2
1
2 2
Im
1
R
1
ϕ
-j
Fig. 6-14
0
1
Ortskurve der Parallelschaltg R L
Im
1
Re
ϕ
Re
YAB
YAB⋅R
1
jωL
Re
0
Zeigerdarstellung für ZAB .
0
Fig. 6-13
ZAB
ϕ R
Re
Ω
-j
Zeigerdarstellung für YAB .
Fig. 6-15
Ortskurve YAB R von R//L.
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str
STR – ING
Elektrotechnik
6-7
_____________________________________________________________________
2
0
log ( z( Ω , x) )
arg( z( Ω , x) )
0
2
0.01
Fig. 6-16
0.1
1
Ω ( x)
10
100
0.01
0.1
1
Ω ( x)
10
100
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom, abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R. [Mit L 6-1]
6.2.4 Parallelschaltung von R und C
R
i(t)
C
A
B
u(t)
Fig. 6-17
1
R ⋅ j ⋅ XC
jωC
=
=
1
R + j ⋅ XC
R+
jωC
YAB =
0
Im
R
1 + ω2R 2C 2
1
0
Re
Im
1
Re
ZAB
R ϕ
ZAB
ωCR
1 + ω2R 2C 2
4
(6-8)
1+ Ω2
ϕ {u,i } = − arctan(Ω)
Ω
2
Fig. 6-18
1
1
1
1
+
= + jωC
R j ⋅ XC R
ϕ
-j
R
=
YAB ⋅ R = 1 + Ω 2
R⋅
Z AB
Mit Ω = ωRC = 2πRC ⋅ f = K ⋅ f werden
Z AB
1
=
R
1+ j ⋅ Ω
YAB ⋅ R = 1 + j ⋅ Ω
Z AB
Parallelschaltung mit R und C
4
-j
Fig. 6-19
Ortskurve der Parallelschaltg R - C
Zeigerdarstellung für ZAB .
Beträge und Frequenzen werden üblicherweise im logarithmischen Massstab aufgetragen. Dagegen
werden Winkel in rad oder Grad nie logarithmiert.
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STR – ING
Elektrotechnik
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_____________________________________________________________________
Im
∞
Im
j
jωC
YAB⋅R
ZAB
j
ϕ
0
Fig. 6-20
ϕ
Re
1
Ω
1
R
Re
1
0
Fig. 6-21
Ortskurve YAB R von R//C
Zeigerdarstellung für YAB .
0
0
log ( z( Ω , x) )
arg( z( Ω , x) )
2
0.01
Fig. 6-22
0.1
1
Ω ( x)
10
100
2
0.01
0.1
1
Ω ( x)
10
100
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom, abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R.
6.2.5 Eintore mit drei Elementen
Beispiel 1
i(t)
R
p⋅R
C
A
u(t)
Fig. 6-23
Eintorbeispiel 1
Ansatz:
Z AB = p ⋅ R +
R
1 + jωRC
B
Einfügen der Normierung Ω = ωRC :
Z AB (1 + p) + jpΩ
=
R
1 + jΩ
Der Betrag wird
Z AB
(1 + p)2 + p 2 Ω 2
=
und
R
1+ Ω2
der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
Ω
ϕ {u,i } = − arctan
(1 + p) + pΩ 2
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str
STR – ING
Elektrotechnik
6-9
_____________________________________________________________________
0
0
log ( z( Ω , x) )
arg( z( Ω , x) )
0.5
1
1
0.01
Fig. 6-24
0.1
1
10
Ω ( x)
3
100 1 10
0.01
0.1
1
10
Ω ( x)
3
100 1 10
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom, abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R. [Mit L 6-3]
Skizzieren Sie die zum Beispiel 1 gehörende Ortskurve.
Beispiel 2
R
q⋅L
i(t)
Einfügen der Normierung Ω = ω
L
A
Z AB − qΩ 2 + j(1 + q)Ω
=
R
1 + jΩ
Der Betrag wird
Z AB
q2Ω 2 + (1 + q)2
= Ω⋅
und
R
1+ Ω2
der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
(1 + q) + qΩ 2
ϕ {u, i } = arctan
Ω
B
u(t)
Fig. 6-25
Ansatz:
Z AB = jωqL +
L
:
R
Eintorbeispiel 2
R ⋅ jωL
R + jωL
2
2
1
log ( z( Ω , x) )
arg( z( Ω , x) )
1
0
1
0
0.1
Fig. 6-26
1
10
Ω ( x)
100
3
1 10
0.1
1
10
Ω ( x)
100
3
1 10
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom, abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R. [Mit L 6-3]
Analysieren Sie das Verhalten der nachstehenden Ortskurve zum Beispiel 2.
Hinweis: Untersuchen Sie Real- und Imaginärteil der zugehörigen komplexen Grösse.
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str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 10
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90
120
1.2
60
1
150
30
0.5
z( Ω , x)
180
0
0
210
0
330
240
300
270
arg ( z( Ω , x) )
Fig. 6-27
6.3
Ortskurve zu Beispiel 2
Einfache Zweitore mit zwei Elementen (ohne L-C- Kombinationen)
Es interessiert das frequenzabhängige Verhältnis der Spannung am Ausgang zur
Spannung am Eingang des Zweitores. Dieses Verhältnis v stellt eine komplexe
Grösse dar. Zwischen der Ausgangsspannung und der Eingangsspannung
herrscht ein frequenzabhängiger Winkel ϕ , die Phasenverschiebung.
Benutzt wird die normierte Kreisfrequenz Ω. Omega ist mit K⋅f proportional zur
Frequenz f.
ue
Zweitor
ua
ua
(Ω) = v(Ω) = A(Ω) + j ⋅ B(Ω)
ue
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str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 11
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6.3.1 Einfacher Tiefpass
6.3.1.1 Tiefpass mit R und C
Einfügen der Normierung Ω = ωRC :
u
1
(6-9)
v (Ω ) = a (Ω ) =
ue
1+ j ⋅ Ω
R
~
ue
ua
Der Betrag wird
u
1
v = a =
ue
1+ Ω2
C
Fig. 6-28
Tiefpass mit R und C
Mit der Spannungsteilerformel wird
1
u
1
jωC
=
v= a =
1
1 + jωRC
ue
R+
jωC
dB
Ω=1
lgΩ
20 dB
Dekade
-3 dB
ϕ
Ω=1
mit
dB v = dB u = 20 ⋅ log(
a
ue
Amplitudengang
1+ Ω2
)
Der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
ϕ {ua, ue } = − arctan(Ω)
lgΩ
1
Im
-π/4
Phasengang (Winkelverhalten) und
Re
ϕ
|v|
Ω
-π/2
Fig. 6-29
1
Ortskurve
Ein Zweitor ist vollständig beschrieben aus dem Verhältnis zwischen Ausgangsund Eingangsspannung v(Ω) - dem Frequenzgang - und der zugehörigen Ortskurve.
Aus v(Ω) lassen sich | v(Ω)| - das Amplitudenverhalten - und der Winkel ϕ zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung - das Winkelverhalten - finden.
Das Amplitudenverhalten und das Winkelverhalten beschreiben zusammen das
Zweitor ebenfalls vollständig.
Das Amplitudenverhalten wird üblicherweise in Dezibel (dB) ausgedrückt als
20⋅log(|v(Ω)|).
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6 - 11
str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 12
_____________________________________________________________________
6.3.1.2 Tiefpass mit R und L
Einfügen der Normierung Ω = ω
L
R
ue
Fig. 6-30
ua
1
(Ω ) =
ue
1+ j ⋅ Ω
Der Betrag wird
u
1
v = a =
mit
ue
1+ Ω2
v (Ω ) =
ua
Tiefpass mit R und L
Mit der Spannungsteilerformel wird
v=
ua
R
=
ue jωL + R
Ω=1
dB
dB v = dB u = 20 ⋅ log(
a
ue
ϕ
lgΩ
Ω=1
lgΩ
1
)
1+ Ω2
1
Im
-π/4
Amplitudengang
Re
ϕ
|v|
Ω
-π/2
Fig. 6-31
(6-10)
Der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
ϕ {ua, ue } = − arctan(Ω)
20 dB
Dekade
-3 dB
L
:
R
Phasengang (Winkelverhalten) und
Ortskurve
6.3.2 Einfacher Hochpass
6.3.2.1 Hochpass mit R und C
Einfügen der Normierung Ω = ωRC :
R
ua
ue=Usinωt
Fig. 6-32
ua
j⋅Ω
(Ω ) =
ue
1+ j ⋅ Ω
Der Betrag wird
u
Ω
v = a =
mit
ue
1+ Ω2
v (Ω ) =
C
Hochpass mit R und C
dB v = dB u = 20 ⋅ log(
a
Mit der Spannungsteilerformel wird
u
jωRC
R
v= a =
=
1
1 + jωRC
ue
+R
jωC
ue
(6-11)
Ω
1+ Ω2
)
Der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
1
ϕ {ua, ue } = arctan( )
Ω
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Kurt Steudler
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str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 13
_____________________________________________________________________
ϕ π/2
Ω=1 lgΩ
dB
-3 dB
Im
|v|
ϕ
π/4
20 dB
Dekade
Fig. 6-33
Ω
lgΩ
1
Re
Ω=1
Amplitudengang
Phasengang (Winkelverhalten) und
Ortskurve
6.3.2.2 Hochpass mit R und L
Einfügen der Normierung Ω = ω
ua
j⋅Ω
(Ω ) =
ue
1+ j ⋅ Ω
Der Betrag wird
u
Ω
v = a =
mit
ue
1+ Ω2
R
L
ue
Fig. 6-34
v (Ω ) =
ua
Hochpass mit R und L
Mit der Spannungsteilerformel wird
u
jωL
v= a =
ue R + jωL
dB
Ω=1 lgΩ
-3 dB
dB v = dB u = 20 ⋅ log(
a
ue
Amplitudengang
(6-12)
Ω
1+ Ω2
)
Der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
1
ϕ {ua, ue } = arctan( )
Ω
ϕ π/2
Im
π/4
20 dB
Dekade
Fig. 6-35
L
:
R
lgΩ
Ω
|v|
ϕ
1
Re
Ω=1
Phasengang (Winkelverhalten) und
Ortskurve
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6 - 13
str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 14
_____________________________________________________________________
6.4
Einfache Zweitore mit mehr als zwei Elementen
6.4.1 Tiefpass mit Enddämpfung
R
C
ue
Einfügen der Normierung Ω = ωRC :
ua
1 + j ⋅ kΩ
(Ω ) =
ue
1 + j ⋅ (1 + k)Ω
Der Betrag wird
v (Ω ) =
ua
kR
v (Ω ) =
Fig. 6-36
Tiefpass mit Enddämpfung
ua
1 + k 2Ω 2
=
ue
1 + (1 + k)2 Ω 2
(6-13)
mit
dB v = dB u = 20 ⋅ log v(Ω)
a
Mit der Spannungsteilerformel wird
1
+ kR
ua
1 + jωkRC
jωC
=
v=
=
1
ue
1 + jω(1 + k)RC
R+
+ kR
jωC
10
ue
Der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
Ω
)
ϕ {ua,ue } = − arctan(
1 + k(1 + k)Ω 2
10
0
10
20. log ( v ( Ω , x) )
20
30
40
50 50
0.1
0.1
Fig. 6-37
1
10
Ω ( x)
3
100 1 10
3
.
1 10
Amplitudengang mit k = 0.01
Es interessieren die Eckfrequenzen, das heisst jene Frequenzen für die |v| um
den Faktor 2 (entsprechend 3 dB) von den |v| - Extrema abweicht.
Es werden die untere Grenzfrequenz
Ω1 =
1
(1 + k ) 2 − 2k 2
und die obere Grenzfrequenz Ω 2 =
(1 + k)2 − 2k 2
k(1 + k)
______________________________________________________________________
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Elektrotechnik
6 - 15
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0
0
arg( v ( Ω , x) )
1
1.57
0.1
0.1
Fig. 6-38
1
10
Ω ( x)
3
1 10
3
1 . 10
100
Winkelverhalten, Phasengang
Es interessieren an Zweitoren jene Frequenzen, bei denen der Winkel den Wert
+45° (+π/4) oder –45° (- π/4) annimmt.
Es werden
1 − 1 − 4k(1 + k)
1 + 1 − 4k(1 + k)
Ω3 =
und Ω 4 =
2k(1 + k)
2k(1 + k)
Zudem wird jene Frequenz gesucht, für die der Winkel ein Extremum aufweist (Ω0
1
für ϕExtremum) :
Ω0 =
k ⋅ (1 + k)
Ω3 und Ω4, sowie Ω1 und Ω2 liegen je logarithmisch symmetrisch zu Ω0.
Beweisen Sie diese Aussage.
120
90
1.2
60
1
150
30
0.5
v ( Ω , x)
180
0
210
0
0
330
240
300
270
arg( v ( Ω , x) )
Fig. 6-39
Ortskurve
Die Ortskurve beschreibt ein Zweitor vollständig. Die Ortskurve ergibt sich unmitu
1 + j ⋅ kΩ
telbar aus
v (Ω ) = a (Ω ) =
ue
1 + j ⋅ (1 + k)Ω
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6.4.2 Die Wien Brücke. Bandbreite B und Güte Q
Ansatz mit Spannungsteiler:
R
u
1 + jωRC
v= a =
R
C
1
R
R
ue
R+
+
jωC 1 + jωRC
ue
ua
C
Mit der Normierung Ω = ωRC wird
u
j⋅Ω
(6-14)
v (Ω ) = a (Ω ) =
ue
(1 − Ω 2 ) + j ⋅ 3Ω
Fig. 6-40
Wienbrücke mit Doppeldrehkondensator
C
Der Betrag wird
u
Ω
v (Ω ) = a =
ue
(1 − Ω 2 )2 + 9Ω 2
R
mit
dB v = dB u = 20 ⋅ log v(Ω)
C
a
ue
Fig. 6-41
ue
ua
R
Der Winkel (die Phase) ergibt sich zu
1− Ω2
)
ϕ {ua, ue} = arctan(
3Ω
Wienbrücke mit Doppelpotentiometer
0
10
20. log ( v ( Ω , x) )
arg( v ( Ω , x) )
20
0
30
40
0.01
Fig. 6-42
0.1
1
Ω ( x)
10
100
0.01
0.1
1
Ω ( x)
10
100
Amplituden- und Winkelverhalten der Wien – Brücke
120
0.4
60
0.3
150
v ( Ω , x)
90
30
0.1
180
0
210
0
330
240
300
270
arg( v ( Ω , x) )
Fig. 6-43
Ortskurve der Wienbrücke
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13 − 3
13 + 3
sowie Ω 2 =
und fallen mit
2
2
den Frequenzen für ϕ = ±π/4 zusammen.
Beweisen Sie diese Aussage.
Die Eckfrequenzen liegen bei Ω1 =
Ω0 = 1
dB
lgΩ
3dB
B
Ω1
Ω2
Der Amplitudengang weist Bandpasscharakter und bei Ω0 = 1 ein
Maximum auf.
Die Bandbreite B ist definiert als Differenz
der Eckfrequenzen und wird
B = Ω2 - Ω1 = 3
Die Güte Q eines Durchlassfilters ist das
Verhältnis der Mittenfrequenz Ω0 zur Bandbreite B. Sie wird
Ω0
Ω
1
= 0 =
Q=
Ω 2 − Ω1
B
3
6.4.3 Bandpass mit Anfangsdämpfung
A
R
kR
Im Knoten A gilt:
ue − u
(u − ua )(1 + jωkRqC)
= u ⋅ jωC +
R
kR
Im Knoten B gilt:
(u − ua )(1 + jωkRqC) ua
=
kR
pR
Die Gleichungen mit kR beziehungsweise
mit kpR erweitern und die Normierung
Ω = ωRC einfügen.
Das geordnete Gleichungssystem wird
B
qC
ua
ue
Fig. 6-44
C
u
pR
Bandpass
[(1 + k) + j ⋅ k(1 + q)Ω] ⋅ u
−
(1 + j ⋅ kqΩ) ⋅ ua = k ⋅ ue
p ⋅ (1 + j ⋅ kqΩ) ⋅ u + [(p + k) + j ⋅ kpqΩ] ⋅ ua = 0
mit der Lösung
u
p ⋅ (1 + j ⋅ kq ⋅ Ω)
v ( Ω ) = a ( Ω) =
ue
(1 + k + p) − kpqΩ 2 + j ⋅ [kq(1 + p) + k + p] ⋅ Ω
[
]
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x
2 , 1.9 .. 2
Ω ( x)
x
10
k
p. ( 1
v( Ω , x)
(1
k
k . p . q . Ω ( x)
p)
8
p
1
q
1
j . k . q . Ω ( x) )
2
j . ( k. q. ( 1
p)
k
p ) . Ω ( x)
0
10
20. log ( v ( Ω , x) )
arg( v ( Ω , x) )
20
0
30
40
0.01
0.1
1
Ω ( x)
10
100
0.01
120
1
Ω ( x)
10
100
60
0.3
150
v ( Ω , x)
90
0.1
30
0.1
180
0
210
330
240
300
270
arg( v ( Ω , x) )
Fig. 6-45
Amplitudenverhalten, Winkelverhalten und Ortskurve. [Mit L 6-3]
6.4.4 Zweitorbeispiele mit Frequenzgang
6.4.4.1 Tiefpass mit Anfangs- und Enddämpfung
Aus einem Ansatz mit Spannungsteiler und
mit der Normierung Ω = ωRC wird:
pR
kR
ue
qR
C
Fig. 6-46
ua
v (Ω ) =
ua
q ⋅ (1 + j ⋅ k ⋅ Ω)
=
ue (p + q) + j ⋅ [p(k + q) + kq] ⋅ Ω
Analysieren Sie das Zweitor
Tiefpass
Analysieren meint, es seien alle charakteristischen Werte zu bestimmen. Charakteristische Werte sind Maxima, Minima, Eckpunkte (3 dB Punkte), Winkelwerte ±
n⋅π/4, Grenzwerte, Steigungen, Bandbreite, Güte und so weiter.
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6.4.4.2 Bandpassfilter
Aus einem Ansatz mit zwei Knotengleichungen und mit der Normierung Ω = ωRC
wird:
kR
C
R
ue
Fig. 6-47
ua
C
k
v (Ω ) =
Bandpass
ua
j⋅k ⋅Ω
=
2
ue k(1 − Ω ) + j ⋅ (1 + 2k) ⋅ Ω
Analysieren Sie das Zweitor
6.4.4.3 Tiefpass mit L und einem Asymptotenabfall von 60db pro Dekade
L
ue
Fig. 6-48
L
R
ua
L
R
Aus einem Ansatz mit drei KnotengleichunL
gen und mit der Normierung Ω = ω wird:
R
u
1
v (Ω ) = a =
2
ue (1 − 5Ω ) + j ⋅ (6 − Ω 2 ) ⋅ Ω
Analysieren Sie das Zweitor.
R
Tiefpass 3 - fach
6.4.5 Bestimmen von Asymptoten
Asymptoten beschreiben jene Geraden, denen sich der Amplitudengang bei tiefen
oder hohen Frequenzen nähert. Bei Zweitoren mit Anfangs- oder Enddämpfung
zeigen sich die Asymptoten als horizontale Geraden.
Bei Zweitoren ohne Anfangs- oder Enddämpfung sind die Asymptoten als Geraden
mit einer von der Zahl der Speicherelemente abhängigen Steigung bestimmbar.
Aus dem Frequenzgang
u
j⋅Ω
v (Ω ) = a =
1
ue
(1 − Ω 2 ) + j ⋅ ( + 2) ⋅ Ω
kR
C
k
ua
R
Wird der Betrag
C
ue
k
u
Ω
v (Ω ) = a =
ue
1
(1 − Ω 2 )2 + ( + 2)2 ⋅ Ω 2
k
Für sehr tiefe Frequenzen, das heisst Ω<<1 geht |v| über in
u
v (Ω ) = a = Ω
und dB u = 20 ⋅ log v(Ω) = 20 ⋅ log Ω
a
ue
u
e
Die Asymptote steigt mit 20dB pro Dekade an und schneidet die 0 dB Achse
bei Ω = 1.
Für sehr hohe Frequenzen, das heisst für Ω>>1 geht |v| über in
u
1
und dB u = 20 ⋅ log v(Ω) = −20 ⋅ log Ω
v (Ω ) = a =
a
ue Ω
u
e
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Die Asymptote fällt mit 20dB pro Dekade ab und schneidet die 0 dB Achse
bei Ω = 1.
0
0
20 .log ( v ( Ω , x) )
10
20 .log ( v1 ( Ω , x) )
20
20 .log ( v2 ( Ω , x) )
30
40
Fig. 6-49
40
0.01
0.01
0.1
1
Ω ( x)
10
100
100
Amplitudengang mit Asymptoten
6.4.6 Schieben der normierten Kreisfrequenz
Bei verschiedenen Anwendungen besteht der Wunsch, die normierte Kreisfrequenz für eine bestimmte Bedingung auf dem Wert 1 zu halten. Zum Beispiel soll
Ω = 1 sein für eine Eckfrequenz oder eine bestimmte Winkelbedingung.
Mit der Normierung Ω = ωRC wird
Anwendung:
u
1 + j ⋅ kωRC
1 + j ⋅ kΩ
v (Ω ) = a (Ω ) =
=
ue
1 + k + j ⋅ kωRC 1 + k + j ⋅ kΩ
kR
C
ua
ue
R
Fig. 6-50
Der untere 3 dB – Punkt (die untere Eckfrequenz) stellt
1+ k
1
⋅
sich ein bei Ω11 =
k
(1 + k)2 − 2
1
Die obere Eckfrequenz wird Ω 21 = ⋅ (1 + k )2 − 2
k
Hochpass mit Anfangsdämpfung
0
0
10
20. log ( v ( Ω , x) )
20
30
40 40
3
1 10
0.01
0.001
Fig. 6-51
0.1
Ω ( x)
1
10
10
Amplitudengang
Es besteht der Wunsch, die untere Eckfrequenz auf dem Wert 1 zu halten, das
heisst es soll Ω12 = 1 sein.
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Die angewendete Normierung ist um den Faktor aus Ω11 zu verändern, das heisst
k
⋅ (1 + k ) 2 − 2
es gilt für die Normierung neu Ω = ωRC ⋅
1+ k
Damit wird neu
mit den Eckfrequenzen
u
1 + j ⋅ kωRC
v (Ω ) = a (Ω ) =
Ω12 = 1
und
ue
1 + k + j ⋅ kωRC
=
(1 + k)2 − 2 + j ⋅ (1 + k)Ω
Ω 22
(1 + k) (1 + k) 2 − 2 + j ⋅ (1 + k)Ω
(1 + k)2 − 2
=
1+ k
Zeigen Sie, dass diese Aussage stimmt. Bei welchen Frequenzen liegt der Winkel
auf ±π/4 ?
0
10
20. log ( v ( Ω , x) )
arg( v ( Ω , x) )
20
0
30
40
0.1
1
10
Ω ( x)
3
1 10
100
120
0.1
90
1
10
Ω ( x)
100
3
1 10
60
1
150
30
0.5
v ( Ω , x)
180
0
210
0
330
240
300
270
arg( v ( Ω , x) )
Fig. 6-52
Amplitudengang, Phasengang und Ortskurve mit verschoben normierter unterer Eckfrequenz
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6.5
Eintore mit L – C - Kombinationen
6.5.1 Der ideale Serie - Kreis
Das Eintor Serie - Kreis wird auch Saugkreis
genannt.
u
Es gilt:
i
L
Fig. 6-53
C
2
1
LC - 1
ω
= j⋅
Z AB = j ⋅ ωL +
j ⋅ ωC
ωC
Idealer Serie - Kreis
2
ω LC - 1
1
und daraus Z AB = ωL =
ωC
ωC
1
1
5
beziehungsweise für f 0 =
.
Dabei wird ZAB = 0 für ω0 =
LC
2π LC
Die Frequenz f0 nennen wir Resonanzfrequenz (Resonanz).
(6-15)
(6-16)
Das Winkelverhalten (der Phasengang) zwischen u und i ergibt sich zu:
ϕ
π
2
induktiv
0
-π
kapazitiv
f0
lg(f/1Hz)
2
Fig. 6-54
Phasengang des idealen Serie Kreises
6.5.2 Der ideale Parallel - Kreis
Das Eintor Parallel - Kreis wird auch
Sperrkreis genannt.
Es gilt:
ωL
(6-17)
Z AB = j ⋅
1 - ω2 LC
u
i
C
Fig. 6-55
L
Idealer Parallel - Schwingkreis
und daraus Z AB =
ωL
1 - ω2 LC
Dabei geht ZAB → ∞ für ω0 =
1
1
beziehungsweise für f 0 =
.
LC
2π LC
Die Frequenz f0 nennen wir Resonanzfrequenz (Resonanz).
5
Schwingungsformel
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Das Winkelverhalten (der Phasengang) zwischen u und i ergibt sich zu:
ϕ
π
2
induktiv
0
-π
f0
kapazitiv
lg(f/1Hz)
2
Fig. 6-56
Phasengang des idealen Parallel Kreises
In der Wirklichkeit kommen ideale Induktivitäten und Kapazitäten nicht vor. In einem ersten, einfachen Modell lassen sich Induktivitäten als Spulen mit einem Se6
riewiderstand darstellen und Kapazitäten als nahezu ideal auffassen.
6.5.3 Der reale Serie - Kreis
R
L
7
C
A
B
reale Induktivität
Fig. 6-57
Das Eintor Serie - Schwingkreis wird auch
Saugkreis genannt.
1
Es gilt: Z AB = R + j ⋅ ωL +
j ⋅ ωC
Realer Serie - Kreis
und daraus
ZAB = 1 + j ⋅ (Ω - 1 ) oder
QS
Ω
R
mit der Normierung
2
ZAB = Ω - j ⋅ QS (1 - Ω )
R
Ω
L
1
L
2
2
⋅Ω = ω ⋅ RC , worin QS = C
Ω = ω ⋅ LC , QS ⋅ Ω = ω ,
R
R QS
6
7
(6-18)
(6-19)
Mit zunehmender Frequenz werden an einer Induktivität auch Kapazität und Parallelwiderstand
wirksam. Ebenso werden an einer Kapazität auch Induktivität, sowie Serien- und Parallelwiderstand
wirksam.
L und C sind Energiespeicher. In L-C-Kombinationen kann zwischen L und C Energie ausgetauscht
werden (hin- und herpendeln). Das geschieht durch äussere Anregung (Quellen, aktive Elemente).
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str
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Elektrotechnik
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1 10
z( Ω , x , 0.1 )
3
100
z( Ω , x , 1 )
z( Ω , x , 10 )
z( Ω , x , 100 )
10
1
0.01
Fig. 6-58
0.1
1
Ω ( x)
10
100
Impedanzverhalten mit z = ZAB/R und QS = 0,1 , 1 , 10 und 100
Die Impedanz des R-L-C- Seriekreises wird an der Stelle Ω0 = 1 reell und mini8
mal.
Die Güte QS ergibt sich aus dem Verhältnis der Mittenfrequenz oder Resonanzfrequenz zur Bandbreite. Die Resonanzfrequenz Ω0 = 1 zeigt sich an jener Stelle,
wo die Impedanz minimal wird; dies aus der

Z AB
d
(Ω)
R
Bestimmungsgleichung
 = 0 für Ω0.
dΩ

Ω0
Die Bandbreite B = Ω2 - Ω1 errechnet sich aus der Bestimmungsgleichung für die
ZAB
ZAB
(Ω1,2) =
(Ω0) ⋅ 2 . Die beiden Eckfrequenzen Ω1 und Ω2
R
R
bezeichnen jene Stellen, an denen die Impedanz in ihrem Betrag um den Faktor
2 über der minimalen Impedanz liegt.
beiden Ω1,2 :
Es ergeben sich
für die Bandbreite
und für die Güte
8
B = Ω2 - Ω1 =
L
C
QS = k =
R
1
QS
(6-20)
(6-21)
Diese Eigenschaft begründet den Begriff Saug-Kreis.
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Das Winkelverhalten zwischen Spannung und Strom wird aus (6.13):
1
ϕ[u /i ] = arctan[QS ⋅ (Ω - )]
Ω
(6-22)
2
1
arg( z( Ω , x , 0.1 ) )
arg( z( Ω , x , 1 ) )
arg( z( Ω , x , 10 ) )
0
arg( z( Ω , x , 100 ) )
1
2
0.01
Fig. 6-59
0.1
1
10
100
Winkelverhalten in rad mit QS = 0,1 , 1 , 10 und 100
1
) in (6.13) und (6.16) lässt sich mit Ω0=1 auch schreiben als
Ω
f
ω
Ω Ω0
(
) = ( - ω0 ) = ( - f 0 ) = ν
(6-23)
Ω0 Ω
ω0 ω
f0 f
Der Ausdruck (Ω -
ν wird Verstimmung genannt.
6.5.4 Der reale Parallel - Kreis
9
Für den realen Parallel - Schwingkreis gilt:
1
(R + jωL) ⋅
jωC
Z AB =
1
R + jωL +
jωC
und daraus
reale Induktivität,
idealisiert
A
R
L
B
C
Fig. 6.4/8
Realer Parallelkreis
ZAB =
R
9
1 + j ⋅ kΩ
1
(1 - Ω2) + j ⋅ Ω
k
oder
1 + j ⋅ kΩ
ZAB = k ⋅
R
k ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
(6-24)
L und C sind Energiespeicher. In L-C- Kombinationen kann zwischen L und C Energie ausgetauscht
werden (hin- und herpendeln). Das geschieht durch äussere Anregung (Quellen, aktive Elemente).
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str
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mit der Normierung
L
L 1
C
2
2
Ω = ω ⋅ LC , k ⋅ Ω = ω , ⋅Ω = ω ⋅ RC , worin k =
R
R k
(6-25)
Die Impedanz des R-L-C - Parallelkreises wird, wie die Fig. 6-58 zeigt, an der Stelle Ω0P maximal; dabei ist die Resonanzfrequenz Ω0P von k (6.25) abhängig. Es
wird nötig, Ω0P eingehender zu untersuchen.
10
3
3
1 10
100
z( Ω , x , 0.1 )
z( Ω , x , 1 )
z( Ω , x , 10 )
10
z( Ω , x , 100 )
1
0.1
Fig. 6-60
0.1
0.01
0.01
0.1
1
Ω ( x)
10
100
2
10
Impedanzverhalten mit z = ZAB/R und k = 0,1 , 1 , 10 und 100
Die Güte QP ergibt sich aus dem Verhältnis der Mittenfrequenz oder Resonanzfrequenz zur Bandbreite. Die Resonanzfrequenz Ω0P zeigt sich an jener Stelle, wo
die Impedanz ZAB maximal wird; dies aus der

Z AB
d
(Ω)
R
Bestimmungsgleichung
 =0 .
dΩ

Ω0P
Die Herleitung zeigt für Ω0P:
Ω0P =
1
⋅ k ⋅ 2 + k2 - 1 =
k
1+
2
k
2
-
1
k
2
(6-26)
L
worin k = C
R
An der Stelle Ω0P (Resonanzfrequenz) stellt sich die maximale Impedanz ein.
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Ω0P eingesetzt in (6.24):
2
ZAB Max
k
=
R
2k ⋅ k 2 + 2 - (2 k 2 + 1)
(6-27)
Die Bandbreite B = Ω2 - Ω1 errechnet sich aus der Bestimmungsgleichung für die
ZAB Max 1
1
ZAB
ZAB
(Ω1,2) =
(Ω0P) ⋅
=
⋅
. Die beiden EckfrequenR
R
R
2
2
zen Ω1 und Ω2 bezeichnen jene Stellen, an denen die Impedanz in ihrem Betrag
um den Faktor 2 unter der maximalen Impedanz liegt.
beiden Ω1,2 :
Die Bandbreite ergibt sich damit zu:
1
B = ⋅ 4k ⋅ k2 + 2 - (2 k2 + 3) - 2 ⋅ (k 2 + 2 )2 - 2 - 4k ⋅ k 2 + 2
k
(6-28)
und die Güte QP wird
k ⋅ k2 + 2 - 1
Ω0P =
=
Q0P
B
4k ⋅ k 2 + 2 - (2 k 2 + 3) - 2 ⋅ (k2 + 2 )2 - 2 - 4k ⋅ k 2 + 2
Ein Maximum für die Impedanz ZAB existiert nur für k >
k≤
(6-29)
2 − 1 . Für
2 − 1 wird der Wurzelausdruck im Zähler Null oder negativ.
Im Impedanzmaximum ZAB Max wirkt das Eintor, der Parallelschwingkreis, an
den Klemmen AB nicht reell, sondern komplex, genauer kapazitiv.
Aufgabe:
Beweisen Sie diese Aussage.
Damit das Eintor an den Klemmen AB reell wirkt, muss Ωreell = 1 -
1
k
2
10
sein.
Der Phasengang ϕ[ua,ue ] (Ω) oder das Winkelverhalten zwischen Spannung und
Strom wird aus (6.24):

Ω
ϕ[ua /ue ] = arctan ⋅ [k 2 ⋅ (1 - Ω2) - 1]
k

10
(6-30)
Wenn das Eintor an den Klemmen AB reell wirkt, gilt es als kompensiert. An der Stelle Ωreell gilt C =
2
2
L/[(2πfL) + R ].
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_____________________________________________________________________
2
arg( z( Ω , x , 0.1 ) )
arg( z( Ω , x , 1 ) )
0
arg( z( Ω , x , 10 ) )
arg( z( Ω , x , 100 ) )
2
0.01
Fig. 6-61
0.1
1
10
100
Winkelverhalten in rad mit k = 0,1 , 1 , 10 und 100
90
3
120
60
2
150
30
1
z( Ω , x , 1.414 )
z( Ω , x , 1 )
z( Ω , x , 0.707 )
180
0
0
z( Ω , x , 2 )
210
330
240
300
270
arg( z( Ω , x , 1.414 ) ) , arg( z( Ω , x , 1 ) ) , arg( z( Ω , x , 0.707 ) ) , arg( z( Ω , x , 2 ) )
Fig. 6-62
Ortskurve mit k < 2
6.5.5 Der reale Parallel - Kreis für k >> 1
Die Formeln (6.26) bis (6.29) lassen sich stark vereinfachen, wenn der Faktor k
11
nach (6.25) gross (unendlich gross) wird.
Für k → ∞ gelten:

2 1 
lim  1 +
= Ω0 = 1
(6-31)
2
2
k → ∞
k
k


11
In vielen Anwendungen der Hochfrequenztechnik ist diese Bedingung erfüllt.
______________________________________________________________________
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6 - 28
str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 29
_____________________________________________________________________


2
Z AB Max


k
lim 
= k2
=
R
k → ∞
2
2

 2k ⋅ k + 2 - (2k + 1) 
1
lim  ⋅ 4k ⋅ k 2 + 2 - (2 k 2 + 3) - 2 ⋅ (k 2 + 2 )2 - 2 - 4k ⋅ k 2 + 2
k → ∞ k
Daraus wird für k → ∞ die Güte QP zu
(6-32)

1
= B=

k

(6-33)
L
C
QP = k =
R
(6-34)
Bevor mit den vereinfachten Formeln (6.31) bis (6.34) gerechnet wird, ist zu prüfen, ob k genügend gross ist.
Fehlerbetrachtung
Die normierte Kreisfrequenz Ω0P stellt sich nicht bei Ω0 = 1 ein, sondern ist stets
etwas kleiner als 1 und abhängig von k. Es interessiert, wie gross der Fehler Ω0 Ω0P zu Ω0P ist, beziehungsweise wie gross k gewählt werden muss, damit ein vorgegebener Fehler für die Resonanzfrequenz nicht überschritten wird.
0.1
0.10
0.01
1 10
1 10
3
4
F0( Ω0P, k ) 1 10 5
1 10
1 10
1 10
10
9
1 10
6
7
8
9
1
1
Fig. 6-63
10
k
100
30
Fehler der normierten Kreisfrequenz in Abhängigkeit von k
______________________________________________________________________
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Elektrotechnik
6 - 30
_____________________________________________________________________
Die maximale Impedanz stellt sich an der Stelle Ω0P ein und weicht von der Näherung ZMax = k2R ab. Es interessiert der Fehler dieser Abweichung:
1
1
0.1
0.01
1 10
3
FZMax( k )
1 10
1 10
1 10
10
7
1 10
4
5
6
7
1
1
Fig. 6-64
10
100
k
3
1 10
1000
Fehler des maximalen Impedanzwertes, abhängig von k
Die Güte Q0P ergibt sich aus dem Verhältnis der Kreisfrequenz Ω0P zur Bandbreite
B. Die Güte Q0P weicht vom Idealwert k ab. Es interessiert dieser Fehler:
1
1
0.1
0.01
1 10
FQ( k )
1 10
1 10
1 10
1 10
1 10
10
9
1 10
3
4
5
6
7
8
9
1
1
Fig. 6-65
10
k
100
100
Fehler der Güte, abhängig von k
Aufgabe:
Beweisen Sie die Formeln (6.27) und (6.28) und prüfen Sie die Aussagen (6.31) bis (6.34) nach.
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6 - 30
str
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Elektrotechnik
6 - 31
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6.5.6 Umformung am Parallelkreis
Für eine bestimmte Frequenz lassen sich R-L- Serieschaltungen umwandeln in RL- Parallelschaltungen. Für eine vorgegebene Frequenz lässt sich mit dem For12
melsatz in 6.5.9.2 die Fig. 6-66 umwandeln in die Fig. 6-67 :
L
A
R1
L
B
A
R2
B
C
C
Fig. 6-66
Realer Parallel - Kreis
Fig. 6-67
Realer Parallelkreis, gewandelt
Nach der Umwandlung gelten für R2 und L2:
L
2
2
(1
+
)
k Ω , worin Ω = ω LC und k = C
2
2
R2 = R1 ⋅ (1 + k Ω ) und L2 = L1 ⋅
2
2
R
k ⋅Ω
(6-35)
2⋅
Für k >> 1 (k → ∞) werden L2 = L1 und R2 = k R1 .
6.5.7 Der Begriff „kritische Impedanz“ oder „charakteristische Impedanz“
Die Formel (6.13) für den R – L – C - Seriekreis lässt sich umformen zu
ZAB = ZAB = 1 + j ⋅ (Ω - 1 )
(6-36)
Ω
L QS
QS R
C
Wir nennen
L
die «kritische Impedanz» oder auch etwa den «Kennwiderstand»
C
L
gibt je den Impedanzbetrag der beiC
den Elemente L und C bei der Resonanzfrequenz f0 an.
des R-L-C- Seriekreises. Der Ausdruck
Beweis:
1
1
und ZL = ωL = 2πfL .
=
ωC 2πfC
1
.
Für ZC = ZL wird f 0 =
2π ⋅ LC
Es gelten ZC =
Eingesetzt in ZC und ZL bestätigt sich die gemachte Aussage.
12
13
13
Oft wird in der Literatur die Parallelschaltung der drei Elemente R, L und C gezeigt. Es bleibt zu beachten, dass dann jeweilen die zugehörigen Formeln nur für k >> 1 gelten. Es ist von Fall zu Fall zu
prüfen, ob diese Bedingung erfüllt ist.
In der Literatur werden die Herleitungen nach 6.5 ff manchmal auf ZAB/ L / C basiert und nicht auf
ZAB/R. Die Aussagen bleiben dabei erhalten, verschieben sich aber um den Faktor QS.
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str
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Elektrotechnik
6 - 32
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6.5.8 Spannungs- und Stromüberhöhung
6.5.8.1 Die Spannungsüberhöhung im Serieschwingkreis
Im Seriekreis finden wir:
u
R
L
C
A
B
reale Induktivität
Fig. 6-68
14
uC
QS
uC =
und
u QS ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
2
uRL = QS ⋅ Ω - j ⋅ Ω
u QS ⋅ (Ω2 - 1) - j ⋅ Ω
Realer Serie - Kreis
Die beiden Spannungen uC und uRL können die Spannung u überschreiten. Die
grösste Spannungsüberhöhung wird im Resonanzfall erreicht.
Für Ω = Ω0 = 1 gelten:
uC = QS = - j ⋅ = ⋅ - j π und
(6-37)
QS QS e 2
u
j
uRL = QS - j = j ⋅ + 1 = ⋅ j π + 1 ≈ ⋅ j π , für
QS
QS e 2
QS e 2
QS >> 1
u
-j
6.5.8.2 Die Stromüberhöhung im Parallelschwingkreis
Im Parallelkreis finden wir:
-k⋅Ω+ j
iC = Ω ⋅
und
k ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
i
k
iRL =
worin
i k ⋅ (1 - Ω2 ) + j ⋅ Ω
reale Induktivität,
idealisiert
A
i
R
iC
L
B
C
Fig. 6-69
Realer Parallel - Kreis
L
k= C
R
Die beiden Ströme iC und iRL können den Gesamtstrom i überschreiten. Die
grösste Stromüberhöhung wird mit k >> 1 im Resonanzfall erreicht.
Für Ω = Ω0 = 1 (k >> 1) gelten:
iC = j ⋅ k + 1 ≈ j ⋅ k = k ⋅ j π und
(6-38)
e2
i
iRL = k = - j ⋅ k = ⋅ - j π , für → k >> 1 15
QS e 2
j
i
14
15
Die Spannungsüberhöhung kann zur Zerstörung eingesetzter Bauelementen führen. Im Kleinsignalbereich sind Halbleiterelemente gefährdet (zum Beispiel Kapazitätsdioden) und im Leistungsbereich sind Spannungsüberschläge zu verhindern.
Die Stromüberhöhungen können beträchtlich sein und eingesetzte Bauelemente zerstören.
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6 - 33
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6.5.9 Serie – Parallel - Wandlung
6.5.9.1 Die Serie – Parallel – Wandlung mit R und C
Für eine bestimmte Frequenz f0, ω0 oder Ω0 lässt sich die R – C – Serieschaltung
umwandeln in eine R – C – Parallelschaltung und umgekehrt.
1 + Ω S2
1
RP = R S ⋅
Ω S = ω0R SCS
CP = C S ⋅
2
1 + Ω S2
ΩS
RS
RP
CP
RS = RP ⋅
1
1 + ΩP2
C S = CP ⋅
1 + Ω P2
ΩP2
Ω P = ω0RPCP
CS
(6-39)
Fig. 6-70
R – C Serie - Parallelwandlung
6.5.9.2 Die Serie – Parallel – Wandlung mit R und L
Für eine bestimmte Frequenz f0, ω0 oder Ω0 lässt sich die R – L – Serieschaltung
umwandeln in eine R – L – Parallelschaltung und umgekehrt.
RS
LS
RP
LP
R P = R S ⋅ (1 + Ω )
2
S
RS = RP ⋅
ΩP2
1 + ΩP2
1 + Ω S2
LP = L S ⋅
Ω S2
Ω S = ω0
LS
RS
1
1 + ΩP2
ΩP = ω0
LP
RP
L S = LP ⋅
(6-40)
Fig. 6-71
R – L Serie - Parallelwandlung
______________________________________________________________________
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6 - 34
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6.6
Zweitore mit L – C - Kombinationen
6.6.1 Zweitore mit unbelastetem Ausgang
6.6.1.1 Einfacher Bandpass mit hoher Güte
Aus einem Ansatz mit Spannungsteiler und
mit der Normierung Ω2 = ω2 ⋅ LC ,
L 1
k ⋅ Ω = ω , ⋅Ω = ω ⋅ RC , wird:
R k
pR
L
ua
ue
C
R
Fig. 6-72
v (Ω ) =
Bandpass
ua
k ⋅ (1 + j ⋅ k ⋅ Ω)
=
ue k 1 + p(1 − Ω 2 ) + j ⋅ k 2 + p ⋅ Ω
[
] [
]
Analysieren Sie das Zweitor
Analysieren meint, es seien alle charakteristischen Werte zu bestimmen. Charakteristische Werte sind Maxima, Minima, Eckpunkte (3 dB Punkte), Winkelwerte ±
n⋅π/4, Grenzwerte, Steigungen, Bandbreite, Güte und so weiter.
0
20 .log ( v ( Ω , x , 1 ) )
20 .log ( v ( Ω , x , 3 ) )
15
arg ( v ( Ω , x , 1 ) )
arg ( v ( Ω , x , 3 ) )
30
20 .log ( v ( Ω , x , 10 ) )
0
arg ( v ( Ω , x , 10 ) )
45
60
0.01
Fig. 6-73
0.1
1
Ω ( x)
10
100
0.01
0.1
1
Ω (x)
10
100
Bandpass mit hoher Güte
6.6.1.2 Vierpoliger Tiefpass
R
L
aR
Aus einem Knotenansatz und mit der NorL
mierung Ω2 = ω2 ⋅ LC , k ⋅ Ω = ω ,
R
1
⋅Ω = ω ⋅ RC , wird:
k
aL
ue
bC
C
Fig. 6-74
v (Ω ) =
ua
Tiefpass - Filter
ua
k2
= 2
ue k − Ω 2 ab + k 2 (1 + ab + b) + Ω 4k 2 ab + j ⋅ kΩ 1 + ab + b − Ω 2 2ab
[
]
[
]
______________________________________________________________________
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str
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_____________________________________________________________________
40
40
20
20 .log ( v( Ω , x , 1 ) )
20 .log ( v( Ω , x , 3 ) )
0
20
20 .log ( v( Ω , x , 10 ) )
40
60
80 80
0.1
0.1
Fig. 6-75
1
Ω ( x)
10
10
Amplitudengang zu Tiefpass vierpolig
Das Amplitudenverhalten weist Spannungsüberhöhungen auf. Die SpannungsüberhöL
/ R ; sie wird mit zunehmendem k – Wert grösser.
hung ist abhängig vom Faktor k =
C
Die Amplitude fällt bei höheren Frequenzen mit 80 Dezibel pro Dekade ab.
120
90
6
6
60
4
150
30
2
v( Ω , x , 1 )
v( Ω , x , 3 )
v( Ω , x , 10 )
180
0
0
210
0
330
240
300
270
arg( v( Ω , x , 1 ) ) , arg( v( Ω , x , 3 ) ) , arg( v( Ω , x , 10 ) )
Fig. 6-76
Ortskurve zu Tiefpass vierpolig
______________________________________________________________________
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str
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6 - 36
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6.6.2 Zweitore mit belastetem Ausgang
6.6.2.1 Durchlassfilter mit realem Parallel - Kreis
pR
S
Z
~
pR
Parallelkreis
Fig. 6-77
In der nebenstehenden Anordnung werde
die Impedanz Z eines Parallel – Kreises mit
dem Schalter S zu- oder weggeschaltet.
Die Innenimpedanz Zi der Quelle und die
Lastimpedanz ZL sind mit Zi = ZL = pR als
gleich gross und reell angenommen.
Es interessiert das Verhalten von ua bei geschlossenem Schalter. Untersucht wird das
Verhältnis
ua Schalter zu
u
v (Ω ) =
= az
ua Schalter offen uao
ua
Bandpass unter Anpassung
Aus 6.5.4 entnehmen wir für Z:
A
R
L
Für den realen Parallel - Schwingkreis gilt:
1 + j ⋅ kΩ
Z =R⋅k⋅
k ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
und daraus wird
B
C
Fig. 6-78
v (Ω ) =
Parallelschwingkreis
ua Schalter
zu
ua Schalter offen
=
uaz
2⋅Z
2k(1 + j ⋅ kΩ)
=
=
uao 2 ⋅ Z + pR k ⋅ (2 + p) − pΩ 2 + j ⋅ (p + 2k 2 ) ⋅ Ω
[
]
(6-41)
L
L 1
weiterhin mit Ω2 = ω2 ⋅ LC , k ⋅ Ω = ω , ⋅Ω = ω ⋅ RC , worin k = C
R
R k
Es ist p ∼ k, da zunehmendes k bei gleichbleibendem C und L bedeutet, dass R
kleiner wird und mithin p grösser. Es sei p = q⋅k.
0
10
20 .log( v( Ω , x , 1 ) )
20 .log( v( Ω , x , 3 ) )
20 .log( v( Ω , x , 10 ) )
20
30
20 .log( v( Ω , x , 300 ) ) 40
50
60
0.01
Fig. 6-79
0.1
1
( x)
10
100
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelschwingkreis
Bei tiefen Frequenzen besteht eine Anfangsdämpfung, die sich aus p = q⋅k bestimmt und auf dem Wert 2/(2+p) einstellt.
Für k > 10 wird diese Anfangsdämpfung bezogen auf das Durchlassverhalten bei
Ω ≈ 1 in vielen Fällen bedeutungslos.
______________________________________________________________________
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6 - 36
str
STR – ING
Elektrotechnik
6 - 37
_____________________________________________________________________
Es erfolgt daher eine nähere Untersuchung für k>>1, das heisst k > 10.
90
0.5
120
60
0.4
0.3
150
30
0.2
v( Ω , x , 1 )
0.1
v( Ω , x , 3 )
v( Ω , x , 10 )
180
0
0
210
330
240
300
270
arg( v( Ω , x , 1 ) ) , arg( v( Ω , x , 3 ) ) , arg( v( Ω , x , 10 ) )
Fig. 6-80
Ortskurve zu Durchlassfilter mit realem Parallelschwingkreis
6.6.2.2 Durchlassfilter mit Parallel – Kreis und k>>1, das heisst k>10
In 6.5.5 ist ausgeführt, dass für hohe k – Werte (k>10) der reale Parallel – Kreis
aufgefasst werden darf als Parallelschaltung von Q2R, L und C.
Es werde die Impedanz Z eines Parallel –
Kreises mit dem Schalter S zu- oder weggeschaltet.
pR
S
Die Innenimpedanz Zi der Quelle und die
Lastimpedanz ZL sind mit Zi = ZL = pR als
Z
~
gleich gross und reell angenommen.
pR
Parallelua
Es interessiert das Verhalten
kreis
ua Schalter zu
u
v (Ω ) =
= az
ua Schalter offen uao
Fig. 6-81
Bandpass unter Anpassung
Für den realen Parallel - Schwingkreis gilt:
j ⋅ Q2Ω
Z=R⋅
Q ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
und daraus wird
L
A
Q2R
Fig. 6-82
v (Ω ) =
B
C
Parallelschwingkreis mit k>10
ua Schalter
zu
ua Schalter offen
j ⋅ 2Q 2 Ω
uaz
2⋅Z
=
=
=
uao 2 ⋅ Z + pR pQ ⋅ 1 − Ω 2 + j ⋅ (p + 2Q 2 ) ⋅ Ω
[
=
]
2Q 2
(6-42)
1
)
Ω
______________________________________________________________________
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6 - 37
str
(2Q 2 + p) + j ⋅ pQ (Ω −
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Elektrotechnik
6 - 38
_____________________________________________________________________
L
1
L
mit Ω2 = ω2 ⋅ LC , Q ⋅ Ω = ω ,
⋅Ω = ω ⋅ RC , worin Q ≈ k = C und p = qQ.
Q
R
R
Es ist p ∼ k, da zunehmendes k bei gleichbleibendem C und L bedeutet, dass R
kleiner wird und mithin p grösser. Es ist p = q⋅Q.
0
10
20. log ( v ( Ω , x, 3 ) )
20. log ( v ( Ω , x, 10) )
20. log ( v ( Ω , x, 100) )
20
30
0.1
Fig. 6-83
1
Ω ( x)
10
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelkreis und QP ≈ k > 10
Gesucht werden die 3 dB – Punkte, die Bandbreite BZweitor und die Güte QZweitor des
u
u
Zweitores v(Ω) = a Schalter zu = az mit vMax bei ΩP = 1 (für k > 10).
ua Schalter offen uao
Aus dem Ansatz v(Ω) =
B Zweitor =
ua Schalter
2
zu
ua Schalter offen
2Q 2 + p
pQ
2Q
u
1
= az =
⋅
werden
2
uao 2Q + p 2
und
Q Zweitor =
pQ
Ω0
=
B
2Q 2 + p
(6-43)
Die Eckfrequenzen ergeben sich aus dem Formelsatz
Ω1 = Ω 0 ⋅
2
1 + 4Q 2 − 1
2Q
2
Ω2 =
1 + 4Q 2 + 1
2Q
2
(6-44)
2
B + 4Ω 0 − B
B + 4Ω 0 + B
Ω2 =
2
2
Der Formelsatz (6-44) gilt nur, wenn Ω1 und Ω2 logarithmisch symmetrisch zu Ω0
liegen.
Ω1 =
______________________________________________________________________
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str
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Elektrotechnik
6 - 39
_____________________________________________________________________
6.6.3 Durchlassfilter und Einfügungsdämpfung
Durchlassfilter (Bandpass) erreichen bei ihrer Mittenfrequenz Ω0 den 0 dB Wert
nicht. Es zeigt sich an dieser Stelle eine Dämpfung, die Einfügungsdämpfung.
dB
Ω1
Ω0
QU
. Aus der Sicht des eingeQL
setzten Eintores, zum Beispiel des Parallelkreis aus 6.6.2.2, ist ein unbelastetes Q =
QU gegeben, das durch die Beschaltung
nach Fig. 6-81 belastet wird, so dass das
Zweitor ein tieferes Q = QL aufweist.
Es sei U =
Ω2 lgΩ
A dB
B
A
Mit a = 10 20 und (6-43) lassen sich folgende Zusammenhänge finden:
QU 2QU2 + p
U=
=
QL
p
und
2QU2
1
pU − p U − 1
=
=
=
2
a 2QU + p
pU
U
Zusammengestellt werden
1 U−1
=
a
U
a=
U
U−1
Q
a
= U
U=
a − 1 QL
(6-45)
Beispiel:
Gegeben ist aus einer Messung A = -0.4 dBm und QL = 25
Daraus werden
16
a2 = 1,0965, a = 1,047 und QU = 555,46
Ist das Zweitor ein Parallelkreis mit Ri = RL = pR = 50 Ω, werden p =
29'082,14 und R = 1,719 mΩ. Gemeint ist R in Serie zu L. Nach der Wandlung zu R parallel L wird RP = QU2 R = 530,37 Ω.
Die Mittenfrequenz sei f0 = 455 kHz. Bestimmen Sie L und C.
(C = 366,34 nF , L = 334 nH)
16
-1
-2
20lg(a ) = 10lg(a ). A in dBm gibt eine Einfügungsdämpfung als Leistungsverhältnis an.
______________________________________________________________________
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str
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6 - 40
_____________________________________________________________________
6.6.4 Weitere Zweitor – Schaltungen
6.6.4.1 Durchlassfilter mit realem Parallel - Kreis
In der nebenstehenden Anordnung werde
die Impedanz Z eines Parallel – Kreises
parallel zum Lastwiderstand pR eines
Spannungsteilers gelegt.
qR
ue
Z
pR
Parallelkreis
Fig. 6-84
Untersucht wird das Verhältnis
u
v (Ω ) = a
ue
ua
Bandpass mit Parallelkreis
Aus 6.5.4 entnehmen wir für Z:
A
R
L
Für den realen Parallel - Schwingkreis gilt:
1 + j ⋅ kΩ
Z =R⋅k⋅
k ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
und daraus wird
B
C
Fig. 6-85
Parallelschwingkreis
v (Ω ) =
p(1 + j ⋅ kΩ)

 pq
pq(1 − Ω 2 ) + (p + q) + j ⋅  + k(p + q) ⋅ Ω
k

[
]
(6-46)
L
L 1
weiterhin mit Ω2 = ω2 ⋅ LC , k ⋅ Ω = ω , ⋅Ω = ω ⋅ RC , worin k = C
R
R k
0
20
20log ( v ( Ω , x, 1) )
20log ( v ( Ω , x, 3) )
40
20log ( v ( Ω , x, 30) )
60
80
0.01
0.1
1
10
100
Ω ( x)
Fig. 6-86
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelschwingkreis
______________________________________________________________________
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6 - 41
_____________________________________________________________________
6.6.4.2 Durchlassfilter mit Parallel – Kreis und k>>1, das heisst k > 3, (10)
In 6.5.5 ist ausgeführt, dass für hohe k – Werte (k>10) der reale Parallel – Kreis
aufgefasst werden darf als Parallelschaltung von Q2R, L und C.
In der nebenstehenden Anordnung werde
die Impedanz Z eines Parallel – Kreises
parallel zum Lastwiderstand pR eines
qR
Spannungsteilers gelegt.
ue
Z
pR
Parallelkreis
ua
Untersucht wird das Verhältnis
u
v (Ω ) = a
ue
Bandpass mit Parallelkreis. k>>1
Fig. 6-87
Für den realen Parallel - Schwingkreis gilt:
j ⋅ Q2Ω
Z=R⋅
Q ⋅ (1 - Ω2) + j ⋅ Ω
und daraus wird
L
Q2R
A
B
C
Fig. 6-88
Parallelschwingkreis mit k>10
v (Ω ) =
j ⋅ pQ ⋅ Ω
[
pq ⋅ 1 − Ω
2
]+ j ⋅ (p + q)Q ⋅ Ω
(6-47)
L
1
L
mit Ω2 = ω2 ⋅ LC , Q ⋅ Ω = ω ,
⋅Ω = ω ⋅ RC , worin Q ≈ k = C und p = qQ.
R Q
R
0
20
20log ( v ( Ω , x, 3) )
20log ( v ( Ω , x, 10) ) 40
20log ( v ( Ω , x, 30) )
60
80
0.01
0.1
1
10
100
Ω ( x)
Fig. 6-89
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelkreis und QP ≈ k > 10
______________________________________________________________________
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STR – ING
Elektrotechnik
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6.7
Verzeichnisse
Figurenverzeichnis
Fig. 6-1
Fig. 6-2
Fig. 6-3
Fig. 6-4
Fig. 6-5
Fig. 6-6
Fig. 6-7
Fig. 6-8
Fig. 6-9
Fig. 6-10
Fig. 6-11
Fig. 6-12
Fig. 6-13
Fig. 6-14
Fig. 6-15
Fig. 6-16
Fig. 6-17
Fig. 6-18
Fig. 6-19
Fig. 6-20
Fig. 6-21
Fig. 6-22
Fig. 6-23
Fig. 6-24
Fig. 6-25
Fig. 6-26
Fig. 6-27
Fig. 6-28
Fig. 6-29
Fig. 6-30
Fig. 6-31
Fig. 6-32
Fig. 6-33
Fig. 6-34
Fig. 6-35
Fig. 6-36
Fig. 6-37
Fig. 6-38
Fig. 6-39
Fig. 6-40
Fig. 6-41
Fig. 6-42
Fig. 6-43
Fig. 6-44
Fig. 6-45
Fig. 6-46
Fig. 6-47
Fig. 6-48
Fig. 6-49
Fig. 6-50
Serieschaltung mit C...................................................................................................... 3
Parallelschaltung mit C .................................................................................................. 3
Serieschaltung mit L ...................................................................................................... 4
Parallelschaltung mit L................................................................................................... 4
Serieschaltung mit R und L............................................................................................ 4
Zeigerdarstellung für ZAB ............................................................................................... 5
Ortskurve der Serieschaltg R - L ................................................................................... 5
Serieschaltung mit R und L............................................................................................ 5
Zeigerdarstellung für ZAB ............................................................................................... 5
Ortskurve der Serieschaltg R - C................................................................................... 5
Parallelschaltung mit R und L ........................................................................................ 6
Zeigerdarstellung für ZAB ............................................................................................... 6
Zeigerdarstellung für YAB . ............................................................................................. 6
Ortskurve der Parallelschaltg R - L ................................................................................ 6
Ortskurve YAB R von R//L............................................................................................... 6
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom,
abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R. [Mit L 6-1] ......... 7
Parallelschaltung mit R und C........................................................................................ 7
Zeigerdarstellung für ZAB ............................................................................................... 7
Ortskurve der Parallelschaltg R - C ............................................................................... 7
Zeigerdarstellung für YAB . ............................................................................................. 8
Ortskurve YAB R von R//C .............................................................................................. 8
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom,
abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R............................ 8
Eintorbeispiel 1 .............................................................................................................. 8
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom,
abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R. [Mit L 6-3].......... 9
Eintorbeispiel 2 .............................................................................................................. 9
Logarithmierter Impedanzbetrag und Winkel in rad zwischen Spannung und Strom,
abhängig von der normierten Kreisfrequenz Ω und mit z = ZAB/R. [Mit L 6-3].......... 9
Ortskurve zu Beispiel 2 ................................................................................................ 10
Tiefpass mit R und C ................................................................................................... 11
Amplitudengang Phasengang (Winkelverhalten) und Ortskurve................................. 11
Tiefpass mit R und L .................................................................................................... 12
Amplitudengang Phasengang (Winkelverhalten) und Ortskurve................................. 12
Hochpass mit R und C ................................................................................................. 12
Amplitudengang Phasengang (Winkelverhalten) und Ortskurve................................. 13
Hochpass mit R und L.................................................................................................. 13
Amplitudengang Phasengang (Winkelverhalten) und Ortskurve................................. 13
Tiefpass mit Enddämpfung .......................................................................................... 14
Amplitudengang mit k = 0.01 ....................................................................................... 14
Winkelverhalten, Phasengang ..................................................................................... 15
Ortskurve...................................................................................................................... 15
Wienbrücke mit Doppeldrehkondensator..................................................................... 16
Wienbrücke mit Doppelpotentiometer.......................................................................... 16
Amplituden- und Winkelverhalten der Wien – Brücke ................................................. 16
Ortskurve der Wienbrücke ........................................................................................... 16
Bandpass ..................................................................................................................... 17
Amplitudenverhalten, Winkelverhalten und Ortskurve. [Mit L 6-3] .............................. 18
Tiefpass........................................................................................................................ 18
Bandpass ..................................................................................................................... 19
Tiefpass 3 - fach .......................................................................................................... 19
Amplitudengang mit Asymptoten ................................................................................. 20
Hochpass mit Anfangsdämpfung................................................................................. 20
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Kurt Steudler
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Fig. 6-51
Fig. 6-52
Fig. 6-53
Fig. 6-54
Fig. 6-55
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Fig. 6-57
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Fig. 6-62
Fig. 6-63
Fig. 6-64
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Fig. 6-66
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Fig. 6-69
Fig. 6-70
Fig. 6-71
Fig. 6-72
Fig. 6-73
Fig. 6-74
Fig. 6-75
Fig. 6-76
Fig. 6-77
Fig. 6-78
Fig. 6-79
Fig. 6-80
Fig. 6-81
Fig. 6-82
Fig. 6-83
Fig. 6-84
Fig. 6-85
Fig. 6-86
Fig. 6-87
Fig. 6-88
Fig. 6-89
Amplitudengang ........................................................................................................... 20
Amplitudengang, Phasengang und Ortskurve mit verschoben normierter unterer
Eckfrequenz ............................................................................................................ 21
Idealer Serie - Kreis ..................................................................................................... 22
Phasengang des idealen Serie Kreises....................................................................... 22
Idealer Parallel - Schwingkreis .................................................................................... 22
Phasengang des idealen Parallel Kreises ................................................................... 23
Realer Serie - Kreis...................................................................................................... 23
Impedanzverhalten mit z = ZAB/R und QS = 0,1 , 1 , 10 und 100................................. 24
Winkelverhalten in rad mit QS = 0,1 , 1 , 10 und 100................................................... 25
Impedanzverhalten mit z = ZAB/R und k = 0,1 , 1 , 10 und 100 ................................... 26
Winkelverhalten in rad mit k = 0,1 , 1 , 10 und 100 ..................................................... 28
Ortskurve mit k < 2....................................................................................................... 28
Fehler der normierten Kreisfrequenz in Abhängigkeit von k........................................ 29
Fehler des maximalen Impedanzwertes, abhängig von k ........................................... 30
Fehler der Güte, abhängig von k ................................................................................. 30
Realer Parallel - Kreis .................................................................................................. 31
Realer Parallelkreis, gewandelt ................................................................................... 31
Realer Serie - Kreis...................................................................................................... 32
Realer Parallel - Kreis .................................................................................................. 32
R – C Serie - Parallelwandlung.................................................................................... 33
R – L Serie - Parallelwandlung .................................................................................... 33
Bandpass ..................................................................................................................... 34
Bandpass mit hoher Güte ............................................................................................ 34
Tiefpass - Filter ............................................................................................................ 34
Amplitudengang zu Tiefpass vierpolig ......................................................................... 35
Ortskurve zu Tiefpass vierpolig ................................................................................... 35
Bandpass unter Anpassung......................................................................................... 36
Parallelschwingkreis .................................................................................................... 36
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelschwingkreis.................... 36
Ortskurve zu Durchlassfilter mit realem Parallelschwingkreis ..................................... 37
Bandpass unter Anpassung......................................................................................... 37
Parallelschwingkreis mit k>10...................................................................................... 37
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelkreis und QP ≈ k > 10 ...... 38
Bandpass mit Parallelkreis........................................................................................... 40
Parallelschwingkreis .................................................................................................... 40
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelschwingkreis.................... 40
Bandpass mit Parallelkreis. k>>1 ................................................................................ 41
Parallelschwingkreis mit k>10...................................................................................... 41
Amplitudenverhalten zu Durchlassfilter mit realem Parallelkreis und QP ≈ k > 10 ...... 41
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