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ET 07

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Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 7
Weitere Schaltungen mit
R, L und C für sinusförmige Signale
2003
Kurt Steudler
(\ET_07.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
7-2
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Inhaltsverzeichnis
7
Weitere Schaltungen mit R, L und C für sinusförmige Signale ....... 3
7.1
Erzeugung elektrischer Energie............................................................. 3
7.1.1
7.1.2
7.2
Strom Spannung und Leistung .............................................................. 5
7.2.1
7.2.2
7.3
Begriffe zur Leistung an einer komplexen Last ................................................. 5
Zeitverhalten der Leistung ................................................................................. 6
Kompensation der Blindleistung ............................................................ 7
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.4
Drehstrom .......................................................................................................... 3
Netze ................................................................................................................. 4
Ziel der Kompensation....................................................................................... 7
Vorgehen zur Kompensation ............................................................................. 7
Bestimmen der Kompensation .......................................................................... 8
Leistungsanpassung.............................................................................. 9
7.4.1
7.4.2
Leistungsanpassung einer komplexen Last ...................................................... 9
Bedingungen für die Lastimpedanz................................................................... 9
7.5
Entkoppelte Netzwerke........................................................................ 10
7.6
Normieren auf vorgegebene Frequenz................................................ 11
7.6.1
7.6.2
7.7
Analoge Filter mit passiven Elementen................................................ 15
7.7.1
7.7.2
7.7.3
7.7.4
7.8
Filter mit Butterworth Charakter ...................................................................... 16
Filter mit Tschebyscheff Charakter.................................................................. 18
Filter mit Bessel Charakter .............................................................................. 19
Filter höherer Ordnung .................................................................................... 21
Mittelwerte periodischer Funktionen .................................................... 22
7.8.1
7.8.2
7.8.3
7.9
Normieren auf eine Grenzfrequenz ................................................................. 11
Normieren auf ein Winkelextremum ................................................................ 13
Gleichrichtwerte ............................................................................................... 22
Effektivwert ...................................................................................................... 23
Formfaktor und Scheitelfaktor ......................................................................... 24
Verzeichnisse ...................................................................................... 25
Literaturverzeichnis und Software
L 7-1
L 7-2
L 7-3
L 7-4
L 7-5
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
Gren Joachim und Krause Joachim, Metzler Physik, Verlag Schroedel, Hannover, 1998,
ISBN 3-507-10700-7.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und
Laborauswertungen eignet.
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen,
Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x
Tietze Ulrich, Schenk Christoph, Halbleiter-Schaltungstechnik, Dritte Auflage, Springer –
Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1974, ISBN 3-540-06667-5.
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Kurt Steudler
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STR – ING
Elektrotechnik
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7
Weitere Schaltungen mit R, L und C für sinusförmige Signale
7.1
Erzeugung elektrischer Energie
Elektrische Energie wird zum grössten Teil aus Maschinen mit umlaufenden Teilen
1 2
(Generatoren) gewonnen. ,
7.1.1 Drehstrom
Wird ein bewegter Leiter einem magnetischen Feld mit der Induktion B ausgesetzt,
3
induziert sich in diesem Leiter eine Spannung u(t).
Diese Tatsache (Induktionsgesetz) wird zur Energieerzeugung genutzt. Ein Dreiphasennetz ergibt sich aus drei einem Induktionsfeld ausgesetzten Leiterschlaufen.
Sind diese Leiterschlaufen zueinander um je 120 Grad versetzt entsteht das in Europa übliche Drehstromnetz.
ωt
B
L1
L2
L3
N
N
L1
L2
L3
Fig. 7-1
Generator im Drehstromsystem
PE
Fig. 7-2
Drehstromsystem
Vom Generator führen drei Aussenleiter (Phasenleiter) L1, L2 und L3 weg. Die
Spannung eines Aussenleiters zum Neutralleiter N (hellblau) heisst Phasenspannung (Live) und beträgt in Europa 230 Veff.
PE ist der Schutzleiter (gelbgrün). Er liegt auf Erdpotential.
Die Spannung zwischen den drei Aussenleitern L1, L2 und L3, nämlich je L1 – L2, L2
– L3 und L3 – L1 heisst Aussenleiterspannung. Sie beträgt 400 Veff.
1
2
3
Die Grundlagen zum Generator finden sich im Kapitel 86
Die indirekte Umwandlung in elektrische Energie mit Generatoren geschieht aus Primärenergien wie
Oel, Kohle, Kernbrennstoffe, Wasser.
Bekannt aber noch wenig verbreitet ist die direkte Umwandlung: elektrochemische Stromerzeuger
(galvanische Elemente, Akkumulatoren), Thermospannung und Photovoltaik (Halbleiterelemente).
Im europäischen Netz beträgt die Netzfrequenz f = 50 Hz.
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Elektrotechnik
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Zwischen der Aussenleiterspannung und der Phasenspannung herrscht folgende
Beziehung:
Aussenleiterspannung = 3 ⋅ Phasenspannung
Für die nachfolgenden Betrachtungen darf das Niederspannungsnetz als ideale
Quelle angenommen werden.
7.1.2 Netze
Wir unterscheiden Netze mit:
•
Kleinspannung:
Betriebsspannung bis 50 V (Gleichspannung oder
Wechselspannungseffektivwert)
•
Niederspannung:
Betriebsspannung über 50 V und bis 1000 V (Gleichspannung oder Wechselspannungseffektivwert)
•
Hochspannung:
Betriebsspannung über 1000 V. Unterteilt ergeben sich
die Mittelspannung von 1 kV bis 50 kV, die Hochspannung von 50 kV bis 150 kV, die Höchstspannung von
150 kV bis 380 kV und die Ultrahochspannung über 380
kV (bis 1500 kV).
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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7.2
Strom Spannung und Leistung
Ausgemessen wird ein beliebiges Eintor mit der Impedanz Z:
I
U
Quelle,
Generator,
Netz
Fig. 7-3
Z
Leistungsmessung an einem Eintor
7.2.1 Begriffe zur Leistung an einer komplexen Last
4
Die Impedanz Z = a+ j⋅b stellt eine kapazitive oder induktive Last dar. Zwischen
5
dem Strom I und der Spannung U ist eine Phasenverschiebung ϕ vorhanden.
In der Impedanz Z fällt die Scheinleistung S an mit
S = I2 ⋅ Z = I2 ⋅ a + j ⋅ I2 ⋅ b = P + j ⋅ Q
6
7
(7-1)
8
Die Scheinleistung S ist eine komplexe Zahl. Der Realteil P stellt die Wirkleis9
tung dar. Der Imaginärteil Q wird Blindleistung genannt.
Im
VAr,
Var
S
Q
LeistungsDreieck
ϕ
Re
P
Fig. 7-4
4
5
6
7
8
9
W
Leistungsdreieck
Die Lasten im Niederspannungsnetz sind oft (meist) induktiv (Motoren, Transformatoren und so weiter).
Die Quelle liefert ein sinusförmiges Signal. Die grossen Buchstaben U und I bedeuten hier Effektivwerte.
In der Elektrotechnik wird als Bezugsgrösse der Strom I [bzw. i(t)] verwendet.
[S] = VA, [P] = W, [Q] = VAr (VoltAmpère reaktiv).
Die Scheinleistung S ist jene Leistung, die vom Stromerzeuger (EW) aufgebracht werden muss.
Die Blindleistung ist nicht nutzbar (sie ist „blind“).
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7.2.2 Zeitverhalten der Leistung
u(t) = Û sin(ωt - ϕ) und i(t) = Î sin ωt
Es seien
i(t)
I
u(t)
U
Ideale
Quelle
Fig. 7-5
Z
Messanordnung zum Zeitverhalten
10
Für die Leistung gilt
) )
p( t) = u(t ) ⋅ i(t ) = U ⋅ I ⋅ sin ωt ⋅ sin(ωt − ϕ)
und daraus
) )
) )
U⋅ I
U⋅ I
p( t) =
⋅ cos ϕ −
⋅ cos(2 ⋅ ωt − ϕ)
2
2
(7-2)
Die momentane Leistungsaufnahme der Lastimpedanz (Eintor) schwankt sinusförmig mit der Kreisfrequenz 2ω (doppelte Netzfrequenz) um den Mittelwert P =
) )
U⋅ I
U⋅I⋅cosϕ, dies mit der Amplitude
= U⋅I.
2
10
10
5
p( t )
u( t )
i( t )
0
5
5
0
0
Fig. 7-6
10
0.005
0.01
0.015
t
0.02
0.025
0.03
Zeitverhalten der Leistung
Es ist zu beachten, dass mit einem Voltmeter und einem Ampèremeter die Wirkleistung bei einem
Verbraucher nicht gemessen werden kann. Die Anordnung miss die Scheinleistung S.
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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7.3
Kompensation der Blindleistung
7.3.1 Ziel der Kompensation
Wird ein Eintor mit sinusförmigem Signal gespeist, muss der speisende Generator
die Scheinleistung S aufbringen. Dabei ist die Scheinleistung in ihrem Betrag stets
│S│ ≥ P der reellen Wirkleistung.
Für ϕ = 0 wird S = P, für ϕ ≠ 0 wird │S│ > P; dabei kann die zugehörige Blindleistung Q mit einem positiven oder einem negativen Vorzeichen versehen sein. [Das
Vorzeichen ergibt sich nach DIN beziehungsweise DIN-EN 40110 aus dem Bezugszeiger i (Strom)].
Ist Q > 0 (ϕ > 0), sprechen wir von einer Induktiv - Last. Das Eintor wirkt induktiv.
Mit Q < 0 (ϕ < 0), liegt eine Kapazitiv - Last vor. Das Eintor wirkt kapazitiv.
Im Bereich der Energieversorgung (Starkstromtechnik) sind praktisch alle Lasten
induktiv (Motoren, Transformatoren und so weiter).
In einem Energie - Verteilnetz mit konstanter Spannung U wird bei ϕ ≠ 0 ein grösserer Strom I fliessen, als das für die zu erzeugende Wirkung nötig wäre.
Am Ort der Last wird nur P als reelle Grösse wirksam (Leistung an einer Motorwelle,
umgesetzte Leistung in einem Transformator und so weiter).
Mit zunehmendem ϕ ≠ 0 muss das Leitungsnetz zunehmende Drahtquerschnitte
aufweisen, um eine vorgegebene Stromdichte J nicht zu überschreiten. Die so verursachten Mehrkosten lassen sich vermeiden, wenn die Blindleistung Q auf ein erträgliches Mass reduziert oder kompensiert wird.
7.3.2 Vorgehen zur Kompensation
Im
VAr,
Var
S
Q
Q‘
S‘
ϕ
ϕ‘
P
Fig. 7-7
Q‘‘
W Re
Wirkung der Kompensation im Leistungsdreieck
Induktive Blindleistung QL lässt sich ganz oder teilweise wegschaffen oder kompensieren mit einer zusätzlichen kapazitiven Blindlast QC.
Wird zum Zeiger S = P + j⋅QL der Zeiger - j⋅QC addiert, ergibt sich gegenüber der
Quelle eine Reduktion der Scheinleistung auf S', beziehungsweise eine Reduktion
2
von Q auf Q‘‘ = Q - QC (Q – Q‘), worin QC = U ωC.
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Je nach Grösse und Vorzeichen von Q' unterscheiden wir drei Fälle:
Q' = Q - QC > 0 wird als „unvollständige Kompensation“ bezeichnet,
Q' = Q - QC = 0 nennen wir eine „vollständige Kompensation“ und
Q' = Q - QC < 0 ist eine „Überkompensation“.
Der Zusammenhang zwischen P, Q und S ergibt sich über den Winkel ϕ zwischen P
und S (u und i). Es gelten:
Q = S⋅sinϕ , P = S⋅cosϕ und Q = P⋅tanϕ
•
•
I
C
Z
U
•
Fig. 7-8
(7-3)
•
Beschaltung zur Kompensation
In der Energietechnik wird üblicherweise der zu einer bestimmten Anlage gehörende
Winkel als cosϕ angegeben. Der Wert cosϕ = P/S heisst Leistungsfaktor.
Q/S = sinϕ wird Blindfaktor genannt.
7.3.3 Bestimmen der Kompensation
Für eine vollständige Kompensation gilt
QC = Q = S⋅sinϕ = P⋅tanϕ und damit für C
Q
C= 2
U ⋅ 2 πf
Für eine unvollständige Kompensation wird
QC = Q‘ = Q – Q‘‘ mit Q‘‘ = P⋅tanϕ‘
C=
(Fig. 7-7)
und damit für C (Fig. 7-7)
 tan ϕ − tan ϕ' 
P
=
⋅ [tan ϕ − tan ϕ']
⋅

tan ϕ
U2 ⋅ 2πf 
 U2 ⋅ 2πf
Q
(7-4)
(7-5)
Beweisen Sie die vorangehende Formel.
Aufgabe
Eine Maschine mit der Anschrift 200 MVA, cosϕ = 0,8 weist eine Wirkleistung von P = 160
MW auf und nimmt 120 MVAr Blindleistung auf. Bei einer vollständigen Kompensation in einem 66 kV/50Hz-Netz kann mit C = QC/U2ω = 87,7 µF der aufgenommene Strom von 3 kA
auf 2,4 kA reduziert werden. Wieviele Prozent Kupferquerschnitt lassen sich so einsparen ?
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Elektrotechnik
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7.4
Leistungsanpassung
7.4.1 Leistungsanpassung einer komplexen Last
Zi
A
Ii
IL
Ui
ZL
U
B
Ûsinωt
Fig. 7-9
UL
Komplexe Last
Die Anordnung zeigt eine reale Quelle mit einer komplexen Innenimpedanz Zi.
Zi = Ri + j⋅Xi.
Die Last sei ebenfalls komplex mit ZL = RL + j⋅XL.
Welche Bedingungen müssen für die Lastimpedanz ZL erfüllt sein, damit sie eine
maximale Wirkleistung PL aufnimmt ?, damit Leistungsanpassung herrscht ?
7.4.2 Bedingungen für die Lastimpedanz
Die Scheinleistung an der Last wird
S = IL2 ⋅ ZL =
U2
2
⋅ RL + j ⋅
U2
Zi + ZL
Zi + ZL
Daraus ergibt sich die Wirkleistung zu
PL =
U2
⋅ RL
(Ri + RL )2 + ( X i + X L )2
2
⋅ XL
(7-6)
(7-7)
Aus der Bestimmungsgleichung
∂P
∂P
∆PL = L ⋅ dR L + L ⋅ dX L
(7-8)
∂R L
∂X L
ergeben sich die Bedingungen für die maximale Wirkleistungsaufnahme der Lastimpedanz ZL
einerseits
RL = Ri
und
XL = − Xi
(7-9)
oder andererseits
ZL = Zi*
ZL* = Zi
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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7.5
Entkoppelte Netzwerke
ue1
Fig. 7-10
Zweitor 1
ua1
ue2
Zweitor 2
ua2
Entkoppelte Netzwerke
Zwei Netzwerke (Zweitore) gelten als entkoppelt, wenn das zweite Zweitor 2 das
erste Zweitor 1 kaum (oder nicht) belastet.
Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Eingangsimpedanz Z2IN des Zweitors 2 sehr
11
gross ist gegenüber der Ausgangsimpedanz Z1OUT des Zweitors 1.
ZIN2 >> ZOUT1
(7-10)
Für entkoppelte Netzwerke gilt
ua ua 2 ua1 ua 2
=
=
⋅
ue ue1 ue1 ue 2
(7-11)
Im dB – Mass addieren sich die Amplitudengänge
u
u
u
20 ⋅ lg a = 20 lg a1 + 20 ⋅ lg a 2
ue
ue1
ue 2
11
(7-12)
Als „sehr viel grösser“ gilt in der technischen Praxis der Faktor 10 oder mehr (besser 100).
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Elektrotechnik
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7.6
Normieren auf vorgegebene Frequenz
Bei verschiedenen Anwendungen besteht der Wunsch, die normierte Kreisfrequenz für eine bestimmte Bedingung auf dem Wert 1 zu halten. Zum Beispiel soll
Ω = 1 sein für eine Eckfrequenz oder eine bestimmte Winkelbedingung.
Mit der Normierung ΩN = ωRC wird
Anwendung:
u
1 + j ⋅ kωRC
1 + j ⋅ kΩN
v (Ω N ) = a (Ω N ) =
=
ue
1 + k + j ⋅ kωRC 1 + k + j ⋅ kΩN
kR
Der untere 3 dB – Punkt (die untere Eckfrequenz) stellt
1+ k
1
sich ein bei ΩN1 =
⋅
k
(1 + k)2 − 2
1
Die obere Eckfrequenz wird ΩN2 = ⋅ (1 + k )2 − 2
k
C
ua
ue
R
Fig. 7-11
Hochpass mit Anfangsdämpfung
0
10
20⋅ log ( v ( Ω , x, 99)
20⋅ log ( v ( Ω , x, 9)
)
20⋅ log ( v ( Ω , x, 1) )
)
20
30
40
1 .10
3
0.01
0.1
1
10
Ω ( x)
Fig. 7-12
Amplitudengang
7.6.1 Normieren auf eine Grenzfrequenz
Es besteht der Wunsch, die obere Eckfrequenz für alle k auf dem Wert Ω = 1 zu
halten, das heisst es soll Ω2 = 1 sein.
Die angewendete Normierung ist um den Faktor aus ΩN2 zu verändern, das heisst
ΩN
⋅ Ω 3dB = Ω ⋅ Ω 3dB worin
es gilt für die Normierung Ω neu
Ω 3dB
ΩN
Ω
ωRC
Ω=
= N =
.
Ω 3dB ΩN2 1
2
⋅ (1 + k ) − 2
k
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Elektrotechnik
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Damit wird neu
u
1 + j ⋅ kωRC
v (Ω ) = a (Ω ) =
ue
1 + k + j ⋅ kωRC
=
=
mit den Eckfrequenzen
1 + j ⋅ k ⋅ ΩNΩ 3dB
1 + k + j ⋅ k ⋅ ΩNΩ 3dB
Ω2 = 1
und
(1 + k)2 − 2
Ω1 =
1+ k
2
1 + j ⋅ Ω ⋅ (1 + k ) − 2
1 + k + j ⋅ Ω ⋅ (1 + k )2 − 2
Zeigen Sie, dass diese Aussage stimmt. Bei welchen Frequenzen liegt neu der
Winkel auf ϕ = π/4 ?
v( Ω , x , k) :=
1 + j ⋅k ⋅Ω ( x) ⋅Ω 3dB( k)
Ω 3dB( k) :=
( 1 + k) + j ⋅k ⋅Ω ( x) ⋅Ω 3dB( k)
1
2
⋅ ( 1 + k) − 2
k
0
3
( (
))
20⋅ log ( v ( Ω N , x, 9) )
20⋅ log ( v ( Ω N , x, 1) )
20⋅ log v Ω N , x, 99
6
9
12
15
18
0.1
1
10
Ω ( x)
1.5
arg( v ( Ω , x, 99) )
1
arg( v ( Ω , x, 9) )
arg( v ( Ω , x, 1) )
0.5
0
0.1
1
10
Ω ( x)
Fig. 7-13
Amplituden- und Phasengang mit verschoben normierter oberer Eckfrequenz
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90
120
60
1
150
30
0.5
v ( Ω , x, 99)
v ( Ω , x, 9)
v ( Ω , x, 1)
180
0
0
210
330
240
300
270
arg( v ( Ω , x, 99) ) , arg( v ( Ω , x, 9) ) , arg( v ( Ω , x, 1) )
Fig. 7-14
Ortskurve mit verschoben normierter oberer Eckfrequenz
7.6.2 Normieren auf ein Winkelextremum
Es besteht der Wunsch, das Maximum des Winkels (der Phase) ϕ für alle k auf
dem Wert Ω = 1 zu halten, das heisst es soll Ω0 = 1 sein.
Die angewendete Normierung ist um den Faktor aus ΩN0 zu verändern, das heisst
ΩN
⋅ ΩMax = Ω ⋅ ΩMax worin
es gilt für die Normierung Ω neu
ΩMax
ΩN
Ω
ωRC
Ω=
= N =
.
Ω 3Max ΩN0 1
⋅ 1+ k
k
Damit wird neu
u
1 + j ⋅ kωRC
v (Ω ) = a (Ω ) =
ue
1 + k + j ⋅ kωRC
=
1 + j ⋅ k ⋅ ΩNΩMax
1 + k + j ⋅ k ⋅ ΩNΩMax
mit den Frequenzen
Ω0 = 1
Ωπ =
4
=
und
k 1 + k ± (1 + k )(k 2 − 4k − 4)
2 ⋅ (1 + k )
1+ j ⋅ Ω ⋅ 1+ k
1+ k + j ⋅ Ω ⋅ 1+ k
Zeigen Sie, dass diese Aussage stimmt. Bei welchen Frequenzen stellen sich nun
die Eckfrequenzen (3dB - Orte) ein ?
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1.5
arg( v ( Ω , x, 99) )
1
arg( v ( Ω , x, 9) )
arg( v ( Ω , x, 1) )
0.5
0
0.01
0.1
1
10
100
Ω ( x)
Fig. 7-15
Winkel in rad bei verschobener normierter Frequenz auf Extremum
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7.7
Analoge Filter mit passiven Elementen
Mit den passiven Bauelementen R, L und C lassen sich Filter bauen, die unterschiedlichen Anforderungen genügen.
Wir unterscheiden Filter mit Butterworth, Tschebyscheff oder Bessel Charakter.
Butterworth Filter zeichnen sich durch einen Amplitudengang aus, der im Durch12
lassbereich bis zur Grenzfrequenz möglichst horizontal verläuft.
Tschebyscheff Filter lassen vorgegebene Spannungsüberhöhungen mit konstanter
Amplitude (Welligkeit) zu. Die Filter zeichnen sich durch eine hohe Steilheit auf die
Grenzfrequenz hin aus und werden mit zunehmender Welligkeit steiler.
Bessel Filter sind bezüglich der Gruppenlaufzeit optimiert (vgl. 7.7.3).
3
2.5
2
1.5
1
A ( Ω , x, 0.7)
A ( Ω , x, 1.3)
Tschebyscheff
0.5
0
Butterworth
0.5
1
1.5
2
A ( Ω , x, 0.86) 2.5
A ( Ω , x, 0.58)
Bessel
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
0.01
0.1
1
10
Ω ( x)
Fig. 7-16
Butterworth, Tschebyscheff und Bessel Filter - Charakter
Den nachfolgenden Betrachtungen wird folgende Anordnung zugrunde gelegt:
R
ue
ua
=
ue
L
C
1
1
(1 − ΩN ) + j ΩN
k
ua
ΩN = ω LC , kΩN = ω
12
mit der Normierung
2
L 1
, ΩN = ωRC
R k
Eckfrequenz, 3dB-Ort, 3dB-Punkt.
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Elektrotechnik
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3
Tschebyscheff
0
Butterworth
Bessel
A ( Ω , x, 0.71)
A ( Ω , x, 1.3)
A ( Ω , x, 0.58)
3
A ( Ω , x, 0.86)
6
9
0.01
0.1
1
10
Ω ( x)
Fig. 7-17
Die Filter – Charaktere, normiert auf die Eckfrequenz
7.7.1 Filter mit Butterworth Charakter
Butterworth Filter zeichnen sich durch einen Amplitudengang aus, der im Durchlassbereich bis zur Grenzfrequenz möglichst horizontal verläuft.
Tiefpässe lassen sich allgemein darstellen als
ua
ue
2
=
a0
1 + a 2Ω 2 + a 4Ω 4 + ..... + a 2nΩ 2n
(7-13)
worin Ω auf die Eck- oder Grenzfrequenz normiert ist.
Angewendet auf unser Beispiel wird nach 7.6.1 aus
ua
1
=
1
ue
(1 − Ω 3dB 2 ⋅ Ω 2 ) + j Ω 3dB ⋅ Ω
k
ua
ue
2
=
1
1

1 +  − 2 Ω 3dB 2 ⋅ Ω 2 + Ω 3dB 4 ⋅ Ω 4
k

(7-14)
2


1 
1 
mit Ω 3dB =  1 −
 + 1 −
 +1
2
 2k 
 2k 2 
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Kurt Steudler
7 - 16
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Elektrotechnik
7 - 17
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u
Aufgabe: Leiten Sie Ω3dB aus a =
ue
u
Damit a
ue
2
1
1
(1 − ΩN ) + j ΩN
k
her.
2
u
möglichst horizontal verläuft, soll a
ue
2
nur von der höchsten Potenz
Ω2n beziehungsweise Ω4 abhängen.
Die tieferen Potenzen von Ω ergeben für Ω<1 höhere Beiträge an den Amplitudenabfall. Um dies zu vermeiden sollen die Koeffizienten a1 bis a2n-2 Null sein.
1
a 2 = a 4 = ..... = a 2n − 2 = 0 beziehungsweise − 2 = 0 ; k = 0,707
(7-15)
k
Damit wird |ua/ue| für das Butterworth – Filter näherungsweise
2
2
ua
1
≈
ue B 1 + Ω 3dB 4 ⋅ Ω 4
ua
a0
≈
ue B 1 + a 2nΩ 2n
(7-16)
Für Ω = 1 soll die Amplitude um 3 dB abgenommen haben, das heisst
2
ua
a
a0
= 0 ≈
ue B Ω =1 2 1 + a 2n
2
ua
1
1
= ≈
ue B Ω =1 2 1 + Ω3dB 4
Der Butterworth – Charakter ergibt sich mit
a 2n = 1 beziehungsweise Ω 3dB 4 = 1
(7-17)
und der oben genannten Bedingung, was im Beispiel erfüllt ist. (Fig. 7-17)
Zusammengefasst sind zwei Bedingungen zu erfüllen:
In
ua
ue
2
=
a0
1 + a 2Ω + a 4Ω 4 + ..... + a 2nΩ 2n müssen a 2 = a 4 = ..... = a 2n − 2 = 0
2
13
und a 2n = 1 sein.
13
In aktiven Schaltungen ist a0 die Verstärkung bei tiefen Frequenzen (bei f gegen Null).
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Kurt Steudler
7 - 17
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 18
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7.7.2 Filter mit Tschebyscheff Charakter
Tschebyscheff Filter lassen vorgegebene Spannungsüberhöhungen mit konstanter
Amplitude (Welligkeit) zu. Die Filter zeichnen sich durch eine hohe Steilheit auf die
Grenzfrequenz hin aus und werden mit zunehmender Welligkeit steiler. (Fig. 7-16,
Fig. 7-17)
7.7.2.1
Tschebyscheff - Tiefpass zweiter Ordnung
ua
=
ue
Die Form
1
1
(1 − Ω 3dB ⋅ Ω ) + j Ω 3dB ⋅ Ω
k
2
weist nur einen Ort mit einer Span-
2
nungsüberhöhung auf, nämlich den Ort ΩMax = 1−
ua
=
ue Max
2 ⋅ k2
2
4 ⋅k −1
1
k2
. Für ΩMax wird
.
Aufgabe: Leiten Sie ΩMax her und bestimmen Sie
ua
.
ue Max
Für eine bestimmte Welligkeit (Spannungsüberhöhung) von A dB lässt sich ansetzen
ua
ue
2
 A 
4⋅k


=
= 10 20  = a 2

4 ⋅ k2 − 1 
Max


2
4
woraus sich k errechnet zu
a2 + a a2 − 1
. Für eine Welligkeit von 3 dB wird k = 1,307 und für 0,5 dB
2
wird k = 0,864.
k=
3
3 dB
Tschebyscheff
0
A ( Ω , x, 1.3)
0,5 dB
A ( Ω , x, 0.86)
3
6
0.01
0.1
1
10
Ω ( x)
Fig. 7-18
7.7.2.2
Tschebyscheff Tiefpass mit 3 dB und 0,5 dB Welligkeit
Tschebyscheff - Tiefpass höherer Ordnung
Wird unter 7.7.4 behandelt.
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7 - 18
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 19
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7.7.3 Filter mit Bessel Charakter
Bessel Filter sind bezüglich der Gruppenlaufzeit optimiert.
7.7.3.1
Gruppenlaufzeit
Das Signal ue = U1sinωt1 wird in ein Zweitor gespeist. Zu einem beliebigen Zeitpunkt t1 weist das Signal den Winkelwert ωt1 auf. Das Signal erscheint am Ausgang zeitlich um die Phasenlaufzeit TP verschoben.
ua
u
e
t
0
Fig. 7-19
t
ue
Zweitor
t1
ua
0
T P t1
t2
Phasenlaufzeit
Am Ausgang erscheint das Signal ua = U2sin(ωt1 – ϕ(ω)).
Der Amplitudenwert zum Winkel ωt1 erscheint am Ausgang zur Zeit t2 mit dem
Winkelwert ωt2 . Es muss daher gelten
ωt1 − ϕ(ω) = ωt 2 und daraus − ϕ(ω) = ω(t 2 − t1 ) = ωTP = ω ⋅ ∆t . Damit wird
ϕ(ω) b(ω)
TP = ∆t = −
=
= ∆t(ω)
(7-18)
ω
ω
Der Ausdruck b(ω) wird Wellenphasenmass genannt.
Ein Signal das verschiedene Frequenzen enthält (zum Beispiel ein Dreiecksignal)
wird dann verzerrungsfrei übertragen, wenn ∆t(ω) frequenzunabhängig ist, das
heisst wenn ϕ(ω) ~ ω beziehungsweise ϕ(ω) = - Kω .
Diese Bedingung wird erfüllt, wenn die Ableitung von ϕ(ω) nach ω konstant ist.
t gr = −
dϕ(ω)
dω
(7-19)
Die Ableitung von ϕ(ω) nach ω nennen wir Gruppenlaufzeit tgr. Ein beliebiges
Signal wird demnach verzerrungsfrei übertragen, wenn die Gruppenlaufzeit tgr und
14
damit die Phasenlaufzeit TP konstant sind.
7.7.3.2
Bessel – Filter am Beispiel
Bessel – Filter sind Filter, welche die Gruppenlaufzeit möglichst konstant halten.
Für praktische Anwendungen wird die normierte Gruppenlaufzeit Tgr eingeführt.
t gr
t gr
ω
dϕ
1 dϕ
(7-20)
=−
⋅
= t gr ⋅ f3dB =
⋅ ω3dB = − 3dB ⋅
Tgr =
2π
2π dω
2π dΩ
T3dB
Angewendet auf das Beispiel wird mit
14
Mit dem Begriff „Gruppe“ sind benachbarte Frequenzen, eine Gruppe von Frequenzen gedacht.
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7 - 19
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 20
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 1

Ω 3dB ⋅ Ω 


ϕ = − arctan k
 1 − Ω 3dB 2 ⋅ Ω 2 




−
Ω
1 dϕ
= Tgr = 3dB ⋅
⋅
2π dΩ
2 πk
1 + Ω 3dB 2Ω 2
 1

1+ 
− 2 Ω 3dB 2Ω 2 + Ω 3dB 2Ω 4
2
k

Die normierte Gruppenlaufzeit Tgr wird dann möglichst lange konstant, wenn einerseits die Faktoren vor Ω2 im Zähler und im Nenner übereinstimmen und andererseits der Faktor vor Ω4 den 3 dB - Punkt für Ω = 1 erfüllt.
Die erste Bedingung ist erfüllt mit
 1

1
Ω 3dB 2 = 
− 2  ⋅ Ω 3dB 2 ; k =
= 0,577
2
3
k

2
1
2
und die zweite Bedingung mit 1 − Ω 3dB 2 +
Ω
=2
2 3dB
k
Die nachfolgende Figur vergleicht die Gruppenlaufzeiten von Butterworth, Tschebyscheff und Bessel.
(
Tgr( Ω , x, 0.71)
)
0.4
Tgr( Ω , x, 1.31)
Tschebyscheff
Tgr( Ω , x, 0.58)
Tgr( Ω , x, 0.86)
Butterworth
0.2
0
0.01
Bessel
0.1
1
10
Ω ( x)
Fig. 7-20
Gruppenlaufzeit im Vergleich
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7 - 20
str
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Elektrotechnik
7 - 21
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7.7.3.3
Bessel – Filter zweiter Ordnung
Tiefpässe zweiter Ordnung lassen sich, normiert auf die Eckfrequenz, allgemein
darstellen als
ua
a0
(7-21)
=
ue 1 + a1 ⋅ jΩ + b1 ⋅ jΩ ⋅ jΩ
 a1 ⋅ Ω 

Aus ϕ = − arctan
 1− b ⋅ Ω2 
1


folgt für die normierte Gruppenlaufzeit
−
1 dϕ
a
1 + b1 ⋅ Ω 2
= Tgr = 1 ⋅
⋅
2π dΩ
2π 1 + a12 − 2 ⋅ b1 ⋅ Ω 2 + b12Ω 4
)
(
(7-22)
Die normierte Gruppenlaufzeit Tgr wird dann möglichst lange konstant, wenn einerseits die Faktoren vor Ω2 im Zähler und im Nenner übereinstimmen und andererseits der Faktor vor Ω4 den 3 dB - Punkt für Ω = 1 erfüllt (Normierungsbedingung).
Damit werden
b1 =
1 2
a1
3
2
und
ua
a
a0
= 0 =
ue 3dB
2
(1 − b1)2 + a12
7.7.3.4
(7-23)
Bessel - Tiefpass höherer Ordnung
Wird unter 7.7.4 behandelt.
7.7.4 Filter höherer Ordnung
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7 - 21
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 22
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7.8
Mittelwerte periodischer Funktionen
Wir gehen aus von einer periodischen Funktion u(t) oder i(t) mit der Periodendauer
T und der Frequenz f = 1/T.
Fig. 7-21
Periodische Funktion [aus L 7-1]
Für elektrotechnische Anwendungen interessieren zwei Grössen:
• Welche Ladung wird im Mittel transportiert ?
• Welche Leistung wirkt an einem Verbraucher (am Widerstand R) ?
7.8.1 Gleichrichtwerte
t
Die während der Zeit t transportierte Ladung ergibt sich aus Q = ∫ i(t) ⋅ dt = i(t) ⋅ t ,
0
worin der Mittelwert des Stromes wird
DEFINITION
T
i( t) =
1
⋅ i( t) ⋅ dt
T ∫0
(7-24)
Für Anwendungen geeignete Werte ergeben sich nach einer Gleichrichtung des
periodischen Signals. Dabei unterscheiden wir die Einweg- und die Zweiweg Gleichrichtung.
7.8.1.1
Einweg - Gleichrichtwert
Fig. 7-22
u(t)
Einweg - Gleichrichtung
Diode
i(t)
R
Für die Mittelwertbildung werden nur die
positiven Anteile der Spannungs- oder der
Strom - Funktion berücksichtigt.
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7 - 22
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 23
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7.8.1.2
Zweiweg – Gleichrichtwert
Fig. 7-23
Zweiweg - Gleichrichtung
Dioden
u(t)
i(t)
Für die Mittelwertbildung werden die negativen Anteile der Spannungs- oder der
Strom – Funktion an der Zeitachse positiv
gespiegelt.
R
Es gilt dann
T
i( t) =
7.8.1.3
1
⋅ i( t) ⋅ dt
T ∫0
(7-25)
Gleichrichtwerte sinusförmiger Signale
Beweisen Sie, dass für u( t) = U ⋅ sin(ω ⋅ t) gelten:
1
u(t ) 1Weg = ⋅ U
π
2
u(t ) 2 Weg = ⋅ U
π
(7-26)
(7-27)
7.8.2 Effektivwert
Für die meisten Wirkungen des elektrischen Stromes ist die übertragene Arbeit W
= U·I·t und damit die Leistung P = U·I = I2·R = U2/R massgebend.
T
T
1
1
Für periodische Signale werden I = ⋅ ∫ [i(t )]2 ⋅ dt und U2 = ⋅ ∫ [u(t )]2 ⋅ dt
T 0
T 0
2
Daraus definieren wir den Effektivwert für Spannung und Strom:
DEFINITION
T
ieff = irms =
1
⋅ ∫ [i(t )]2 ⋅ dt
T 0
(7-28)
T
ueff = urms =
1
⋅ [u(t )]2 ⋅ dt
T ∫0
______________________________________________________________________
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7 - 23
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 24
_____________________________________________________________________
Beweisen Sie, dass für u( t) = U ⋅ sin(ω ⋅ t) gilt:
1
u( t)effektiv = ueff = urms =
⋅U
2
15
(7-29)
7.8.3 Formfaktor und Scheitelfaktor
Als Formfaktor F eines periodischen Signals definieren wir das Verhältnis von Effektivwert ueff zum Gleichrichtwert uGleichricht = <u> :
DEFINITION
ueff
u
Frage: Wie gross ist der Formfaktor für sinusförmiges Signal ?
F=
(7-30)
Als Scheitelfaktor ξ eines periodischen Signals definieren wir das Verhältnis von
Scheitelwert û zum Effektivwert ueff :
DEFINITION
û
ueff
Frage: Wie gross ist der Scheitelfaktor für sinusförmiges Signal ?
ξ=
15
(7-31)
rms: root mean square
______________________________________________________________________
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7 - 24
str
STR – ING
Elektrotechnik
7 - 25
_____________________________________________________________________
7.9
Verzeichnisse
Verzeichnis der Figuren
Fig. 7-1
Fig. 7-2
Fig. 7-3
Fig. 7-4
Fig. 7-5
Fig. 7-6
Fig. 7-7
Fig. 7-8
Fig. 7-9
Fig. 7-10
Fig. 7-11
Fig. 7-12
Fig. 7-13
Fig. 7-14
Fig. 7-15
Fig. 7-16
Fig. 7-17
Fig. 7-18
Fig. 7-19
Fig. 7-20
Fig. 7-21
Fig. 7-22
Fig. 7-23
Generator im Drehstromsystem..................................................................................... 3
Drehstromsystem........................................................................................................... 3
Leistungsmessung an einem Eintor............................................................................... 5
Leistungsdreieck ............................................................................................................ 5
Messanordnung zum Zeitverhalten ............................................................................... 6
Zeitverhalten der Leistung ............................................................................................. 6
Wirkung der Kompensation im Leistungsdreieck .......................................................... 7
Beschaltung zur Kompensation ..................................................................................... 8
Komplexe Last ............................................................................................................... 9
Entkoppelte Netzwerke ................................................................................................ 10
Hochpass mit Anfangsdämpfung................................................................................. 11
Amplitudengang ........................................................................................................... 11
Amplituden- und Phasengang mit verschoben normierter oberer Eckfrequenz.......... 12
Ortskurve mit verschoben normierter oberer Eckfrequenz.......................................... 13
Winkel in rad bei verschobener normierter Frequenz auf Extremum .......................... 14
Butterworth, Tschebyscheff und Bessel Filter - Charakter .......................................... 15
Die Filter – Charaktere, normiert auf die Eckfrequenz ................................................ 16
Tschebyscheff Tiefpass mit 3 dB und 0,5 dB Welligkeit.............................................. 18
Phasenlaufzeit ............................................................................................................. 19
Gruppenlaufzeit im Vergleich....................................................................................... 20
Periodische Funktion [aus L 7-1] ................................................................................. 22
Einweg - Gleichrichtung ............................................................................................... 22
Zweiweg - Gleichrichtung............................................................................................. 23
Kurzschluss in einer Schalttafel
______________________________________________________________________
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