Unau Loes

STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 1
_______________________________________________________________________
Aufgabe 1
Gegeben ist ein rechteckförmiger Spannungsimpuls von τ = 1 ms Dauer und U0 = 5
V Amplitude.
a)
Wie gross ist die normierte Energie (an 50 Ω) dieses Signals ?
b)
Welchen Verlauf hat das Spektrum des Signals ?
c)
Wie lautet das (normierte) Energiedichtespektrum ?
d)
Welcher Anteil (in % der Gesamtenergie) wird in einer Bandbreite von 1 kHz
übertragen ?
a)
u0
5
R
50
τ
10
3
τ
2
2
u0
Wn
R
dt
Wn
2 τ
u0 .
R
W n = 5 10
4
τ
2
b)
τ
2
u 0. e
U( f )
2j .π .f.t
dt
U( f )
τ
sin( π . f. τ )
u 0.
( π .f)
f
3000 , 2901 .. 3000
2
0.005
U( f )
0
3000
2000
1000
0
1000
2000
3000
f
c)
W ( f)
( U( f ) )
2
W ( f)
R
5 10
2
sin( π . f. τ )
u 0.
( π .f)
R
7
W( f )
0
3000
2000
1000
0
1000
2000
3000
f
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 2
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d)
fg
fg
1000
W ( f ) df
Wg
W g = 4.324 10
4
Wg
Wn
fg
= 86.474 %
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Aufgabe 2
Gegeben ist eine periodisches Rechtecksignal mit einer Periodendauer von T = 5
ms und einer Impulsbreite von τ = 1 ms bei einer Amplitude von 5 V. Normiert wird
an einem Widerstand von R = 50 Ω.
a)
Wie gross ist die normierte Energie einer Periode ?
b)
Wie gross ist die normierte Leistung des Signals ?
c)
Welchen Verlauf hat das (Linien) Spektrum ?
d)
Wie sieht das Leistungsspektrum aus ?
e)
Wie wird die Leistung aus dem Leistungsspektrum bestimmt ?
a)
R
τ
50
2
u0
Wn
R
3
5. 10
T
τ
10
2 τ
u0 .
R
dt W n
3
u0
W n = 5 10
5
4
0
b)
Wn
Pn
P n = 0.1
T
τ
c)
2j .n .π .
2
c( n)
1.
T
u 0. e
T
τ
sin n. π .
T
u 0.
( n. π )
t
dt
n
15 , 14 .. 15
c( n)
τ
2
1
c( n )
0
0
15
10
5
0
5
10
15
n
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 3
_______________________________________________________________________
d)
P( n )
c( n)
2
R
0.02
P( n )
0.01
0
0
15
10
5
0
5
10
15
n
e)
n
200 , 199 .. 200
Pg
P( n)
P g = 0.08
n
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Aufgabe 3
Gegeben sei ein Signal mit einer Gleichverteilung der Amplituden p(x) = 0,2 im Bereich von 0 bis 5 Volt. Vorausgesetzt ist ein ergodischer Prozess.
a)
Welchen Verlauf hat p(x) und welchen möglichen Verlauf hat x(t) ?
b)
Wie gross sind der Mittelwert und der Effektivwert des Signals ?
c)
Wie gross ist die Leistung des Signals an 50 Ω ?
a)
p( x )
if x > a , 0 ,
1
a
5
x
0 , 0.1 .. 10
t max
200
t
0 .. t max
a
0.2
p( x )
xt
0
rnd( a )
0
2
4
6
8
10
x
5
x
t
0
0
50
100
150
200
t
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 4
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b)
Rechnung im Zeitbereich (Näherung):
1
x m1
Rechnung mit Wahrscheinlichkeitsverteilung:
a
.
xt
t max
x m1 = 2.474
1.
x m2
t
a
x dx x m2
1.
2
a
x m2 = 2.5
0
a
1
x e1
.
2
xt
t max
1.
x e2
a
t
2
x dx
0
x e1 = 2.835
x e2
1.
3
3. a
x e2 = 2.887
2
c)
R
50
P
x e2
P = 0.167
R
Watt
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Aufgabe 4
Gegeben ist ein cosinusförmiges Signal (zeitlich unbegrenzt).
a)
Wie lautet die Autokorrelationsfunktion dieses Signals ?
b)
Wie gross ist die normierte Leistung (gemessen in der AKF) ?
a)
x0
R xx ( τ ) limit
1.
R xx ( τ )
b)
2
5
2. π
ω
x 0. cos ( ω . t )
x( t )
T
1 .
2. T
x 0. cos ( ω . t ) . x 0. cos ( ω . ( t
τ ) ) dt , T ∞ , left
T
2
x 0 . cos ( ω . τ )
R xx ( 0 ) = 12.5
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Aufgabe 5
Wie lautet die AKF eines einzelnen rechteckförmigen Impulses ?
1
t
2
0
5
y
t
0
0
20
40
60
80
100
120
t
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 5
_______________________________________________________________________
Y
FFT( y )
f max
last ( Y )
f max = 64
f
0 .. f max
1
Y
0
f
1
0
10
20
30
40
50
60
f
Y. Y
P
f
0 .. 10
1
P
0.5
f
0
0
2
4
6
8
10
f
R yy
IFFT( P )
τ
R yy
0 ..
t max
2
τ
0
0
10
20
30
40
50
60
τ
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Aufgabe 6
Ein periodisches Rechtecksignal wird durch ein bandbegrenztes Rauschen gestört.
a) Wie lautet die AKF eines mit fg bandbegrenzten weissen Rauschens ? (Berechnung ausgehend vom Leistungsdichtespektrum).
b) Welchen Verlauf hat die AKF eines periodischen Rechtecksignals ?
c)
Wie sieht die Überlagerung der beiden Signale aus ? Welche Grenzfrequenz
muss man für das bandbegrenzte Rauschen idealerweise wählen ?
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 6
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a)
1
fg
Ps
64
20
fg
j
P s. e
R ss ( τ )
.2 .π .f.τ
P s.
R ss ( τ )
df
sin 2. π . f g. τ
( π .τ )
fg
b)
t max
xt
127
t
0 .. t max
T
if mod( t , T ) >
X
FFT( x )
2
τ
0 .. t max
x0
P
X. X
R yy
IFFT( P )
1
2. T
fg
τ
32
, x 0, 0
c)
R yy
1 T
0.5
R ss( τ )
0
0
20
40
60
80
100
120
τ
Die AKF des Rauschens geht gerade durch Null, wenn die AKF des Nutzsignales ein
Maximum hat!
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Aufgabe 7
Ein gegebenes Leistungsdichtespektrum wird durch einen Tiefpass erster Ordnung
geschickt. Wie gross ist die normierte Leistung dieses Signals am Eingang und am
Ausgang des Systems ?
Gegeben:
ω 0
τ
1
P0
10
if ω < ω 0 , P 0.
P e( ω )
ω
ω 0
2
,0
2
F( ω )
1
1
j .ω .τ
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 7
_______________________________________________________________________
ω 0
1 .
2. π
P ne
P 0.
ω
2
dω
ω 0
P ne
1 .
P 0. ω 0
( 3. π )
P ne = 1.061
ω 0
P a( ω )
( F( ω ) ) P e ( ω )
1.
P na
ω 0
2.
π
τ.ω 0
P 0.
P na
atan τ . ω 0
2. 3
ω 0 τ
1 .
2. π
P 0.
2
ω
ω 0
2
1
.
1
j .ω .τ
dω
ω 0
P na = 0.355
_______________________________________________________________________
Aufgabe 8
Gegeben ist das Leistungsdichtespektrum eines stochastischen Signals. Gesucht ist
die normierte Leistung des dazugehörenden Zeitsignals.
Gegeben:
P y( ω )
if
ω <
π P 0.
,
(1
T 2
P0
cos ( ω . T ) ) , 0
20
T
2
f
2 , 1.9 .. 2
20
P y( f )
0
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
f
π
Lösung:
Pn
1 .
2. π
T
π
P0
.( 1
2
cos ( ω . T ) ) dω
Pn
1. P 0
2 T
Pn=5
T
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Aufgabe 9
Ein gesendetes Signal x kommt als y in der Zeit verschoben zurück. Wir bestimmen
mit einer KKF diese Zeitverschiebung.
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 8
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Wird um die Zeit to verschoben:t 0
t max
100
t
0 .. t max
xt
rnd( 1 )
tx
0 .. t max t 0 yt
0
yt
xt
x
x
3
0.5
t0
0.5
x
t
0
y
t
0.5
0
20
40
60
80
100
t
Wir berechnen die diskrete Kreuzkorrelation: τ
t max
τ
0 .. 5
Der Maximalwert markiert die gemessene Zeitverzögerung:
y n. xn τ
R xy ( τ )
n= 0
R xy( τ )
0
0
1
2
3
4
5
τ
_______________________________________________________________________
Aufgabe 10
Multiplikation und FFT sinusförmiger Signale.
a( t )
xt
cos
a( t )
2. π .
t
160
yt
b( t )
a( t ) . a( t )
cos
2. π .
90
zt
t
c( t )
cos
b( t ) . c ( t )
2. π .
70
f
t
t
0 .. 511
0 .. 25
1
x
t
y
t
0
z
t
1
0
100
200
300
400
500
t
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 9
_______________________________________________________________________
0.5
FFT( x )
FFT( y )
FFT( z )
f
f
f
0
0
5
10
15
20
25
f
_______________________________________________________________________
Aufgabe 11
Um welche Modulationsart handelt es sich nachstehend ?
Φ (t
x( t )
x int ( t )
t
1 ). ( t
2 ). ( t
Φ (t
1)
2)
Φ (t
2
2
.5. ( t 1. ) . Φ ( t 1 ) .5. ( t 2. ) . Φ ( t
2
+ .5. ( t 4. ) . Φ ( t 4 ) .2. t
3 ). ( t
Φ (t
3)
2
3. ) . Φ ( t
.5. ( t
2)
4 ). ( t
4)
0.2
3 ) ...
0 , 0.01 .. 5
1
x( t )
0
0
1
2
3
4
5
t
a( t )
x ( t ) . cos ( 50. t )
b( t )
cos
x int ( t )
1 . 5. t
c( t )
cos ( ( t
x ( t ) ) . 10 )
2
2
2
a( t ) 0
b( t ) 0
c( t ) 0
2
2
0
2
4
2
0
t
2
4
t
0 2 4 6
t
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str
STR - ING
Übertragungstechnik
NAU - Lösungen 10
_______________________________________________________________________
T
τ
0.25
0.05
if( mod( t , T ) < τ , x ( t ) , 0 )
a( t )
1.5
1
a( t )
0.5
0
0
1
2
3
4
t
b( t )
if mod( t , T ) <
x( t )
5
, 0.9 , 0
1
b( t ) 0.5
0
0
1
2
3
4
5
t
c( t )
if mod t ,
0.2
x( t )
< τ , 0.9 , 0
1
c( t ) 0.5
0
0
1
2
3
4
5
t
_______________________________________________________________________
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
Fel/str