Informelle Logik

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Martin Carrier
WS 02/03
Einführung in die Logik: Folientexte
Gegenstand: Beziehung der logischen Folgerung zwischen Aussagen.
Die Logik dient der Beurteilung der Gültigkeit von Schlussfolgerungen.
Logik als fester Bestandteil der septem artes liberales, der sieben freien Künste.
Trivium: Grammatik, Rhetorik, Dialektik.
Dialektik: Logik.
Gliederung:
(1) Informeller Zugang zu logischen Schlüssen
(2) Aussagenlogik
(3) Prädikatenlogik.
Teil I: Informelle Logik
1. Aussage, Argument, Schluss
Ausgang von sprachlichen Gebilden und insbesondere von Aussagen.
Aussagen können richtig oder falsch sein; sie besitzen einen Wahrheitswert.
Logik ist auf den Inhalt von Aussagen gerichtet: „Proposition“.
Invarianz von Propositionen gegen grammatische Verschiebungen und den Wechsel der Sprache.
Logik und Argumentieren
Das Argument im Zentrum der Logik.
Ein Argument besteht aus Prämissen und einer Konklusion.
Die Konklusion wird durch die Prämissen begründet;
die Konklusion soll aus den Prämissen logisch folgen.
Alle Menschen sind ungefiederte Zweifüßler.
Sokrates ist ein Mensch.
=> Sokrates ist ein ungefiederter Zweifüßler.
Eine Aussage ist nicht ihrer inneren Beschaffenheit nach Prämisse oder Konklusion, sondern nach
Maßgabe ihrer Stellung in einem Argument.
Alle ungefiederten Zweifüßler sind Menschen.
Sokrates ist ein ungefiederter Zweifüßler
=> Sokrates ist ein Mensch.
Prämisse wird zur Konklusion.
Konklusion wird zur Prämisse.
Zwar stützen sich Argumente häufig auf logische Folgerungen, aber die Gültigkeit von Schlüssen
und die Überzeugungskraft von Argumenten fallen an einigen Stellen auseinander.

Logisch gültige Schlüssen sind nicht in jedem Fall gute Begründungen.

Auch logisch ungültige Schlüsse stellen unter Umständen überzeugende Begründungen dar.
Die formale Logik erfasst nur einen Teil dessen, worauf sich eine gelungene Argumentation stützt.
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Psychologie versus Proposition
Arnauld & Nicole: Logique de Port Royal (1662): Logik als Denkkunst.
Dominanz dieser Verbindung von Logik und Psychologie im 18. und 19. Jahrhundert.
=> John Stuart Mill, Wilhelm Wundt, Christoph Sigwart: empirisch-normative Doppelrolle der
Logik:
Logik als Aufklärung der faktischen Denkgesetze und deren Formulierung als allgemeingültige
Erfahrungssätze.
Logik als Auszeichnung richtiger Denkprozesse.
Dagegen Frege (1892) folgend:
Gegenstand der Logik: Beziehung der logischen Folgerung zwischen Propositionen.
Die Logik dient der Beurteilung der Gültigkeit von Schlussfolgerungen.
Deduktive und induktive Logik
Wahrheitstransfer von den Prämissen auf die Konklusion als Kennzeichen des korrekten deduktiven Schlusses.
Ein deduktives Argument entwickelt den Gehalt der Prämissen.
Der Gehalt der Konklusion steckt zur Gänze im Gehalt der Prämissen.
Deduktives Argument:
Alle griechischen Philosophen sind Menschen.
Alle Menschen sind ungefiederte Zweifüßler.
=> Alle griechischen Philosophen sind ungefiederte Zweifüßler.
Induktives Argument:
Alle bislang beobachteten griechischen Philosophen waren ungefiederte Zweifüßler.
=> Alle griechischen Philosophen sind ungefiederte Zweifüßler.
Konklusionen induktiver Schlüsse als Prämissen deduktiver Argumente:
Alle griechischen Philosophen sind ungefiederte Zweifüßler.
Sokrates ist ein griechischer Philosoph.
=> Sokrates ist ein ungefiederter Zweifüßler.
Induktives Argument: der Gehalt der Konklusion geht über den Gehalt der Prämissen hinaus.
Induktiver Schluss als Erweiterungsschluss.
Wahre Prämissen können zu falschen Konsequenzen führen.
Der logische Schluss als Beziehung zwischen Prämissen und Konklusion
Irrige Konklusionen:
(1) Falschheit von Prämissen.
(2) Prämissen stellen trotz ihrer Richtigkeit keine Gründe für die Konklusion dar.
In der Logik geht es nicht um die Wahrheit der Prämissen, sondern allein um die Korrektheit des
Übergangs von den Prämissen zur Konklusion.
Korrektheit des logischen Schlusses: betrifft ausschließlich die Beziehung zwischen Prämissen und
Konklusion und ist von der Wahrheit von Prämissen und Konklusion völlig unabhängig.
Korrekte Schlüsse mit falschen Prämissen und falscher Konklusionen.
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Alle griechischen Philosophen sind gefiederte Vierfüßler.
Fridolin ist ein griechischer Philosoph.
=> Fridolin ist ein gefiederter Vierfüßler.
Alle Kreise sind viereckig.
Einige Dreiecke sind Kreise.
=> Einige Dreiecke sind viereckig.
Fehlschlüsse können wahre Prämissen zu falschen Konklusionen, aber ebenso wahre Prämissen zu
wahren Konklusionen führen.
Ungültiger Schluss mit wahren Prämissen und falscher Konklusion.
Alle Philosophen sind lustig.
Alle Quietschenten sind lustig.
=> Alle Quietschenten sind Philosophen.
Ungültiger Schluss mit wahren Prämissen und wahrer Konklusion.
Alle Säugetiere sind Warmblüter.
Alle Warzenschweine sind Warmblüter.
=> Alle Warzenschweine sind Säugetiere.
Man kann die Gültigkeit von Argumenten untersuchen, ohne sich um die Wahrheit der Prämisse zu
kümmern.
Gültiges deduktives Argument: Übertragung der Wahrheit der Prämissen auf die Wahrheit der
Konklusion.
Fehlerhaftes Argument: Jede beliebige Verteilung der Wahrheitswerte auf die Prämissen oder die
Konklusion möglich.
Unterscheidung zwischen Gültigkeit (validity) und Korrektheit (soundness): Gültige Argumente
sind logisch schlüssig; korrekte Argumente besitzen darüber hinaus wahre Prämissen.
Eine fehlerhafte Begründung beweist nicht die Falschheit der Konklusion.
2. Konditionalaussagen
Konditionalaussagen als Verknüpfung von Antecedens und Konsequens.
Allgemeine Form: wenn p, dann q.
p, q: schematische Satzbuchstaben/schematische Aussagebuchstaben: von der Bedeutung wird
abgesehen; die Bedeutung wird nicht abgekürzt.
Ergänzung einer Konditionalaussage zu einem gültigen Argument: „Bejahung des Antecedens“.
Traditionell: „Modus ponens“
Allgemeine Form: Wenn p, dann q; p => q.
Bezeichnung „=>“ für den logischen Schluss: Charakteristikum: Transfer der Wahrheit von den
Prämissen auf die Konklusion.
Die Bedeutung der deskriptiven Elemente eines Schlusses ist für die Gültigkeit des Schlusses irrelevant.
=> Charakterisierbarkeit der Struktur eines Schlusses durch schematische Buchstaben.
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Schematische Buchstaben geben die Form oder das Schema des Schlusses wieder.
=> Dieselbe Schlussform kann durch eine Vielzahl inhaltlicher verschiedener Schlüsse realisiert
werden.
Fehlschluss der „Verneinung des Antecedens“.
Wenn p, dann q; nicht p => nicht q.
Grund der Ungültigkeit: Das Konsequens könnte sich aus anderen Gründen ergeben und daher
auch bei Fehlen des gegebenen Antecedens eintreten.
Umkehrung einer Konditionalaussage: Kontraposition.
Grundform: Wenn p, dann q.
Kontraposition: Wenn nicht-q, dann nicht-p.
Beide Formen sind logisch äquivalent.
Gültige Schlussform der „Verneinung des Konsequens“, traditionell „Modus tollens“.
Wenn p, dann q; nicht-q => nicht-p.
Fehlschluss der „Bejahung des Konsequens“.
Wenn p, dann q; q => p.
Grund der Fehlschlüssigkeit: Das Konsequens könnte auch auf andere Antecedentien zurückgehen.
Bejahung des Konsequens:
Wenn Bielefeld in Niedersachsen liegt, dann liegt Bielefeld in Deutschland.
Bielefeld liegt in Deutschland.
=> Bielefeld liegt in Niedersachsen.
Wahre Prämissen bei falscher Konklusion.
Notwendige und hinreichende Bedingungen:
Konditionalaussage:
— Antecedens als hinreichende Bedingung,
— Konsequens als notwendige Bedingung.
Nota bene: Die für das Antecedens notwendige Bedingung folgt aus dem Antecedens.
Relevanz der Unterscheidung: mehrere unterschiedliche Antecedentien können auf das gleiche
Konsequens führen.
„wenn p, dann q“ und: „wenn r, dann q“.
p ist für das Auftreten von q zwar hinreichend, aber nicht notwendig, da q auch durch r herbeigeführt werden könnte.
Umgekehrt ist q notwendig für die Realisierung irgendeiner dieser Antecedentien.
Relevanz der Unterscheidung zwischen hinreichenden und notwendigen Bedingungen:
Variante 1:
Alle Studierenden gehen in die Mensa.
Franziska ist Studierende.
=> Franziska geht in die Mensa.
Erste Prämisse als Konditionalaussage:
Wenn jemand Studierende ist, dann geht sie in die Mensa.
Gültiger Schluss des Modus ponens.
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Variante 2:
Nur Studierende gehen in die Mensa.
Franziska ist Studierende.
=> Franziska geht in die Mensa.
Zweite Prämisse als Konditionalaussage:
Wenn jemand in die Mensa geht, ist sie Studierende.
Fehlschluss der Bejahung des Konsequens.
=> Fehlerhafter Versuch, eine notwendige Bedingung als hinreichende zu verwenden.
3. Die Analyse von Argumenten
Analyse der logischen Struktur von Argumenten zur Verbesserung ihres Verständnisses.

Identifikation der Konklusion und der Prämissen.

Feststellung des Bedingungsverhältnisses zwischen den Prämissen.

Aufsuchen von Schlussformen.

Bei Vermeidung eines formalen Fehlschlusses, ist über die Stichhaltigkeit des Arguments inhaltlich zu urteilen.
Argumente von Descartes und Hume als Beispiel:
Descartes: Zur Erkennbarkeit von Geist und Körper (1644, I, §11.):
„(1) Um aber einzusehen, daß wir unsern Geist ... klarer als den Körper erkennen, ist festzuhalten,
(2) daß das Nichts keine Zustände oder Eigenschaften hat. (3) Wo wir mithin solche antreffen, da
muß sich auch ... eine Substanz finden, der sie angehören; (4) und um so klarer erkennen wir diese
Substanz, je mehr dergleichen Zustände ... wir antreffen. (5) Nun ist offenbar, daß wir deren mehr
in unserem Geist als in irgend einer anderen Sache antreffen, (6) weil es unmöglich ist, daß wir
etwas anderes erkennen, ohne daß uns dies nicht auch ... zur Erkenntnis unseres Geistes führte.“
Konklusion (1).
Ontologische Prämisse: (2).
(2) => (3). (3) als Kontraposition zu (2).
Erkenntnistheoretische Prämisse (4):
(2) notwendig für (4): (4) => (2).
(5)  (4) => (1) (nach Modus ponens).
(6) => (5).
(B) Hume, Die Grenzen der Mathematik bei der Naturerkenntnis (1758, 47-48):
„(1) Man gibt zu, daß das Äußerste, was menschliche Vernunft vermag, darin besteht, ... die vielen
einzelnen Wirkungen auf einige wenige allgemeine Ursachen zurückzuführen. (2) Wir würden
aber vergeblich versuchen, die Ursachen dieser allgemeinen Ursachen zu entdecken. ... (3) Ebensowenig ist die Geometrie, wenn von der Naturwissenschaft zu Hilfe genommen, jemals imstande,
... uns zur Erkenntnis der letzten Ursachen zu führen. ... (4) Jeder Teil der angewandten Mathematik beruht auf der Voraussetzung, daß die Naturvorgänge durch gewisse Gesetze festgelegt sind.
(5) Die Geometrie hilft uns bei der Anwendung dieses Gesetzes ... (6) Die Entdeckung des Gesetzes selbst jedoch verdanken wir ausschließlich der Erfahrung, (7) und alle abstrakten Gedankengänge der Welt könnten uns nie einen einzigen Schritt seiner Erkenntnis näherbringen.“
6
K: (1)  (2)
=> (3)
(4) => (6) => (7)
(4) => (5)
4. Weitere Schlussformen und Argumente
Hypothetischer Syllogismus
Grundform des hypothetischen Syllogismus:
Wenn p, dann q;
wenn q, dann r.
=> Wenn p, dann r.
(C) Hume, Gleichförmigkeit und Notwendigkeit (1758, 108-109):
„(1) Es ist offenkundig: unterläge alles Naturgeschehen derart dem Wechsel, daß nicht zwei Ereignisse Ähnlichkeit miteinander hätten, (2) ... so hätten wir ... niemals die mindeste Vorstellung von
Notwendigkeit oder einer Verknüpfung zwischen diesen Gegenständen erlangt. ... (3) Die Relation
von Ursache und Wirkung würde der Menschheit völlig unbekannt sein. ... (4) Somit entsteht unser Begriff von Notwendigkeit und Verursachung ausschließlich aus der im Naturgeschehen beobachteten Gleichförmigkeit.“
Konklusion: (4);
Argumentationsgang: (1) => (2) => (3) => (4).
(1) => (2): Nicht-Gleichförmigkeit beinhaltet Nicht-Notwendigkeit: G => N.
(2) => (3): N => K.
(4) Konklusion: Gleichförmigkeit notwendig für Notwendigkeit und Verursachung:
N => G; K => G.
Formal gültige Argumentation:
N => G als Kontraposition von (1) => (2).
K => G als Kontraposition von (2) => (3) zusammen mit dem hypothetischen Syllogismus:
[(K => N)  (N => G)] => (K => G).
Disjunktiver Syllogismus
Disjunktiver Syllogismus:
p oder q; nicht p
=> q
Francis Bacon (1620): experimentum crucis; entscheidendes Experiment:
Nur zwei denkbare Erklärungen für ein Phänomen; die wesentlichen Eigenschaften des Phänomens
widerlegen eine davon.
=> Die andere muss richtig sein.
Zwei alternative Hypothesen h1 und h2:
h1 => e1; h2 => e2.
Beobachtung: e1, also e2.
Widerlegung von h2 durch Modus tollends.
Schluss auf h1 durch disjunktiven Syllogismus.
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Teil II. Aussagenlogik
1. Bedeutung und logische Form
Unabhängigkeit der Gültigkeit von Schlüssen von der Bedeutung der in ihnen auftauchenden deskriptiven Ausdrücke.
=> Austauschbarkeit der deskriptiven Ausdrücke ohne Beeinträchtigung der Gültigkeit des Schlusses.
=> Spezifizierung von Schlussformen, die die allgemeine Struktur von Schlüssen wiedergeben.
Dabei Repräsentation der deskriptiven Ausdrücke durch schematische Buchstaben.
Modus ponens: wenn p, dann q; p => q.
Disjunktiver Syllogismus: p oder q; nicht-p => nicht-q.
Einschränkung der Austauschbarkeit deskriptiver Ausdrücke: Inhaltsgleiche Aussagen sind durch
gleiche Satzbuchstaben zu repräsentieren.
Grund: Verlust der Schlüssigkeit bei Wechsel des Satzbuchstabens.
Wenn Quietschenten Philosophen sind, dann sind ihre Argumente biegsam.
Quietschenten sind Philosophen.
=> Ihre Argumente sind biegsam.
Übliche Formalisierung:
wenn p, dann q; p => q.
Abweichende Formalisierung:
wenn p, dann q; r => q.
=> Gültigkeit aussagenlogisch nicht mehr rekonstruierbar.
Die Beurteilung der Gültigkeit aussagenlogischer Schlüsse hängt von der angemessenen Wiederholung der schematischen Satzbuchstaben ab.
Einbezug der Binnenstruktur von Aussagen:
Erhaltung der Gültigkeit von Schlüssen bei Vertauschung von Begriffen statt von Teilaussagen.
Alle Logiker sind Zweifüßler.
Alle Zweifüßler sind Warmblüter.
=> Alle Logiker sind Warmblüter.
Alle Logiker sind Säugetiere.
Alle Säugetiere sind Warmblüter.
=> Alle Logiker sind Warmblüter.
Ersetzbarkeit deskriptiver Begriffe durch andere unter Erhaltung der Korrektheit des Schlusses.
Unabhängigkeit der Gültigkeit der Schlüsse von den Bedeutungen der deskriptiven Begriffe:
=> Darstellbarkeit durch schematische Buchstaben.
=> Form oder Schema des Schlusses.
Übereinstimmende Schlussform:
Alle A sind B.
Alle B sind C.
=> Alle A sind C.
Beachtung der Inhaltsgleichheit von Begriffen: Wiedergabe durch gleiche schematische Buchstaben.
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Grenzen der Unabhängigkeit der Gültigkeit von Schlüssen von der Bedeutung der Bestandteile.
Beschränkung der Austauschbarkeit auf die deskriptiven Ausdrücke.
Keine Ersetzbarkeit von Aussagenverknüpfungen.
Modus ponens: Ersetzung von „wenn, dann“ durch „oder“.
Modifiziertes Schluss-Schema: p oder q; p => q.
=> Ungültig.
Abhängigkeit der Korrektheit von Schlüssen von sog. Quantoren wie „alle“ und „einige“.
Im Gegensatz zum deskriptiven Vokabular keine beliebige Ersetzbarkeit.
Ersetzung von „alle“ durch „einige“.
Einige A sind B.
Einige B sind C.
=> Einige A sind C.
Einige Landbewohner sind Säugetiere.
Einige Säugetiere sind Meeresbewohner.
=> Einige Landbewohner sind Meeresbewohner.
=> Ungültige Schlussform.
Komplikation: ungültige Schlussformen können gültige Schlüsse umfassen.
Logische Form: Diejenigen Bestandteile von Schlüssen, die für deren Korrektheit von Belang sind.
Zur logischen Form gehören:
– Aussageverknüpfungen (Junktoren)
– Wörter wie „alle“, „einige“ (Quantoren)
– Inhaltsgleichheit von Aussagen oder Bedeutungsgleichheit von Begriffen.
Die Grenzlinie zwischen Form und Inhalt hängt von der Absicht ab, aus der heraus eine solche
Unterscheidung eingeführt wird.
Bei der logischen Form besteht die Absicht darin, die für die Analyse der Gültigkeit logischer
Schlüsse relevanten Bestandteile auszusondern.
Gegenstandsbereich der Logik: Schlüsse, die aufgrund ihrer logischen Formen gültig sind.
2. Wahrheitsfunktionale Verknüpfungen
„Atomare Aussagen“: Aussagen, die nicht aus Teilaussagen zusammengesetzt sind.
Ihre Verknüpfung zu zusammengesetzten Aussagen ist Gegenstand der Aussagenlogik.
Aussagenlogik: allein wahrheitsfunktionale Verknüpfungen relevant.
Wahrheitsfunktionale oder extensionale Verknüpfung: Der Wahrheitswert der zusammengesetzten
Aussage ist durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen eindeutig festgelegt.
=> Insbesondere: Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage unabhängig vom Sinn der Teilaussagen.
Hingegen: Intensionale Aussagenverknüpfung: Der Wahrheitswert der Gesamtaussage ist nicht
eindeutig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen bestimmt.
Fehlschlüsse bei intensionalen Verknüpfungen:
Oedipus wünschte, Iokaste zu ehelichen.
Iokaste war die Mutter des Oedipus.
> Oedipus wünschte, seine Mutter zu ehelichen.
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Wichtiges Kriterium für die Ermittlung extensionale Zusammenhänge: Substituierbarkeit salva
veritate.
Viele umgangssprachliche Aussagenverknüpfungen sind intensional: motivationale, epistemische,
temporale oder kausale Verknüpfungen.
Intensionale Verknüpfungen vermag die Aussagenlogik nicht korrekt zu analysieren.
3. Aussagenlogische Junktoren und Wahrheitstafeln I: Konjunktion, Negation, Disjunktion
Wahrheitsfunktionale Verknüpfungen der Aussagenlogik: Junktoren.
Wahrheitstafel oder Wahrheitstabelle eines Junktors: Übersicht über die möglichen Wahrheitswertkombinationen von Teilaussagen und Gesamtaussage.
Konjunktion
Junktor „und“ bzw. „et“.
„Konjunktion“: dargestellt durch .
Wahrheitstafel der Konjunktion:
p
q pq
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
f
Hauptspalte: Wahrheitswerte der Gesamtaussage.
Negation
Negation: Verneinung einer Aussage: „nicht“ bzw. „non“.
Negation von p: p: „es ist nicht der Fall, dass p“.
Wahrheitstafel der Negation:
p p
w f
f
w
Die Negation verneint den zugehörigen Satz als Ganzes, nicht einen spezifischen Teil.
Disjunktion und Kontravalenz
Junktor „oder“ bzw. „vel“; Zeichen .
Einschließendes „oder“, das nur falsch wird, wenn beide Teilaussagen falsch sind.
Wahrheitstafel der Disjunktion:
p q pq
w w
w
w f
w
f w
w
f f
f
„Ausschließendes oder“; „entweder – oder“; „aut“: Kontravalenz.
Zeichen „“.
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Wahrheitstafel der Kontravalenz:
p q pq
w w
f
w f
w
f w
w
f f
f
p  q äquivalent mit (p  q)   (p  q).
Formalisierungen und Notationen
Symmetrie der Konjunktion: p  q äquivalent mit q  p.
Symmetrie der Disjunktion: p  q äquivalent mit q  p.
Formalisierungsregeln:
weder p noch q: p  q.
nicht sowohl p als auch q:  (p  q)
p nicht ohne q:  (p  q)
Klammersetzung zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten.
pqr
– entweder: p  (q  r)
– oder (p  q)  r.
Wahrheitswertanalyse zeigt Verschiedenheit:
p  (q  r)
f
w w
w
f
(p  q)  r
f w w
f
w
Klammernkonventionen:
– Keine Konventionen für das gemeinsame Auftreten von  und .
– Bezug der Negation auf den kleinsten von der Klammersetzung ermöglichten Ausdruck.
Beispiel: p  q als (p)  q, nicht als  (p  q).
Eignung von Wahrheitstafeln für die Analyse der Wahrheitswerte komplexer Ausdrücke.
 (p  q)  (r   s)
w f
f wf
w f
w
w
4. Aussagenlogische Junktoren und Wahrheitstafeln II:
Konditional und Bikonditional
Projekt: Zuordnung eines aussagenlogischen Junktors zu Konditionalaussagen.
Für falsches Antecedens ist das umgangssprachliche „wenn, dann“ keine wahrheitsfunktionale
Verknüpfung.
Erstes Zwischenergebnis
p q
wenn p, dann q
w w
w
w f
f
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f
f
w
f
unbestimmt
unbestimmt
Das umgangssprachliche „wenn, dann“ verlangt bei wahren Konditionalaussagen einen inhaltlichen Zusammenhang zwischen den verknüpften Teilaussagen.
Zweites Zwischenergebnis
p q
wenn p, dann q
w w
w oder f
w f
f
f w
unbestimmt
f f
unbestimmt
Die Wiedergabe von Konditionalaussagen durch einen Junktor scheint an der mangelnden Wahrheitsfunktionalität des umgangssprachlichen „wenn, dann“ zu scheitern.
Definition des Konditionals
Wenn sich jemand auf „wenn p, dann q“ festlegt, dann will er auf jeden Fall ausschließen, dass bei
wahrem Antecedens das Konsequens falsch ist.
Ausschluss dieser Wahrheitswertkombination als extensionaler Kern der „wenn, dann“-Verknüpfung:  (p  q) wahr.
=> Definition für den gesuchten wahrheitsfunktionalen Junktor.
=> Konditional/Subjunktion/materiale Implikation:  (oder ).
=> Wahrheitstafel für das Konditional:
p q  q  (p  q) bzw. p  q
w w f
w
w f w
f
f
w f
w
f
f w
w
Annahme dieser Definition beinhaltet:
Die Wahrheit des Konditionals
(1) verlangt keine inhaltliche Verbindung zwischen Antecedens und Konsequens
(2) ist bei Falschheit des Antecedens stets gewährleistet.
Wahre Konditionale:
– „Wenn Paris in Frankreich liegt, war Adenauer deutscher Bundeskanzler.“
– „Wenn Paris in England liegt, war Adenauer deutscher Bundeskanzler.“
– „Wenn Paris in England liegt, war Adenauer nordrhein-westfälischer Ministerpräsident.“
=> Falsches Konditional:
– „Wenn Paris in Frankreich liegt, war Adenauer nordrhein-westfälischer Ministerpräsident.“
Zwei kontraintutive Eigenschaften des Konditionals: „Paradoxien der Implikation“:
(1) Ein Konditional mit einem falschen Antecedens ist in jedem Falle wahr: „ex falso quodlibet“.
(2) Ein Konditional mit einem wahren Konsequens ist zwangsläufig wahr: „quodlibet verum“.
=> Spannungen zwischen Alltagsdenken und Aussagenlogik: Experiment von Peter Wason (1966):
Stapel Karten mit einem Buchstaben auf der einen Seite und einer Zahl auf der anderen.
Aufgedeckt sind die Karten: t, 4, 3, e.
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Frage: Welche Karten sollen umgedreht werden, wenn man prüfen will, ob jeder Vokal eine gerade
Zahl auf der Rückseite hat?
Definition der Junktoren:
Die Junktoren gelten als durch die zugeordneten Wahrheitswertverteilungen definiert.
Wahrheitstafeln als „Gebrauchsdefinitionen“ der Junktoren.
Definition des Bikonditionals
Bikonditional, auch: „Bisubjunktion“ oder „materiale Äquivalenz“:
beidseitig gerichtetes Konditional: „genau dann, wenn“: „“.
Äquivalenz von p  q mit: p  q  q  p
=> Wahrheitstafel:
p q
(p  q)  (q  p) bzw. p  q
w w
w w w
w f
f
f
w
f w
w f
f
f
f
w w w
=> Wahrheit des Bikonditionals bei Übereinstimmung der Wahrheitswerte der Teilaussagen.
Klammernkonventionen: Zunahme der Bindungsstärke der Junktoren in der folgenden Reihenfolge: , ,  bzw. , .
Formalisierungen des Konditionals
(1) Wenn Friedebert auf den Sportplatz geht (S) oder Heribert auf einen Baum klettert (B), dann ist
Mathilde wütend (M).
S  B  M.
(2) Nur wenn Friedebert auf den Sportplatz geht (S) und Mathilde wütend ist (M), geht Heribert in
die Turnhalle (T), und wenn Heribert nicht in die Turnhalle geht, dann macht er entweder zu
Hause Gymnastik (G) und klettert auf einen Baum (B), oder er lädt Tante Ida zum Kaffee ein
(K).
[T  (S  M)]  [T  (G  B)  K]
Formalisierungsregel: Nur q, wenn p: q ist notwendig für p: p  q.
(3) Wenn Heribert Tante Ida nicht zum Kaffee einlädt (K), dann ist Mathilde wütend (M), und
Heribert lädt Tante Ida nicht ein, ohne dass auch Friedebert anwesend ist (F), und wenn Friedebert anwesend ist, dann ist Mathilde wütend.
(K  M)   (K  F)  (F  M)
(4) Wenn Heribert Tante Ida nicht zum Kaffee einlädt (K), und Mathilde wütend ist (M), dann
wird Friedebert weder in den Schwimmverein aufgenommen (V) noch macht er zu Hause
Gymnastik (G).
(K  M)  (V  G)
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(5) Es ist nicht der Fall, dass nur dann, wenn Heribert sowohl zu Hause Gymnastik macht (G)
oder auf einen Baum klettert (B) als auch Tante Ida zum Kaffee einlädt (K), Friedebert in den
Schwimmverein aufgenommen wird (V).
 [V  (G  B)  K]
5. Logische Wahrheit und logische Folgerung
Logische Wahrheit
Unabhängigkeit der Wahrheit der Gesamtaussage nicht allein vom Inhalt, sondern auch von den
Wahrheitswerten der Teilaussagen.
Stattdessen: Die Wahrheit der Gesamtaussage beruht auf ihrer logischen Form (p  q  q).
p 
w w
w w
f w
f w
q
w
f
w
f

w
w
w
w
q
f
w
f
w
Ist eine aussagenlogische Formel für beliebige Kombinationen von Wahrheitswerten gültig, so
heißt sie logisch wahr.
Ihre Wahrheit beruht dann auf ihrer logischen Form.
Eine logische Wahrheit heißt Tautologie.
Weitere logische Wahrheit:
„Tertium non datur“ oder „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“: p  p.
p  p
ww f
f w w
Tertium non datur als Ausdruck der Zweiwertigkeit der klassischen Logik: Eine Aussage kann nur
die beiden Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ annehmen.
Gründe für die Bildung des Begriffs der aussagenlogischen Form: Bedingung der Eignung zur
Feststellung der aussagenlogischen Wahrheiten.
Kennzeichen der logischen Form: Sinn der Teilaussagen veränderbar, nicht aber die Junktoren,
sowie Respektierung der Gleichheit bzw. Verschiedenheit der Teilaussagen.
Entscheidung über das Vorliegen einer logischen Wahrheit anhand dieser invarianten Elemente.
Substitutionstheorem: Wird in einer logischen Wahrheit ein Satzbuchstabe bei jedem Auftreten
durch dieselbe aussagenlogische Formel ersetzt, so entsteht wiederum eine aussagenlogische
Wahrheit.
Tertium non datur: p  p.
Beispiele für Substitution:
(q  r)   (q  r)
(q  r)   (q  r).
Logische Wahrheiten als Tautologien: Kein spezifischer Bezug auf Sachverhalte bzw. keine Tatsachenbehauptungen.
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Logische Falschheit
Ist eine aussagenlogische Formel für beliebige Kombinationen von Wahrheitswerten ungültig, so
heißt sich logisch falsch.
Ihre Falschheit beruht dann auf ihrer logischen Form.
Eine logische Falschheit heißt Kontradiktion.
Beispiel:
p p
w f f
f f w
Widerspruch: Man behauptet zunächst das Bestehen eines Sachverhalts und bestreitet dies gleich
wieder.
Negation eines logischen Widerspruchs: logische Wahrheit.
„Satz vom Widerspruch“  (p  p).
Traditionelle Formulierung: Dass dasselbe in derselben Hinsicht zugleich sei und nicht sei, ist unmöglich.
Logische Folgerung
Nicht Wahrheit von Prämissen oder Konklusion relevant, sondern Wahrheitstransfer von den Prämissen zur Konklusion.
Grundlage der Unabweisbarkeit aussagenlogischer Schlüsse: Wiederholung bestimmter Teilaussagen.
=> Mehrfaches Auftreten derselben Teilaussage wesentlich.
Die Gültigkeit von Schlüssen
(1) beruht auf der Gleichheit von Teilaussagen,
(2) hängt von den in ihnen vorkommenden Junktoren ab,
(3) ist unabhängig vom Sinn der in ihnen enthaltenden Teilaussagen.
(1) bis (3) kennzeichnend für die aussagenlogische Form von Aussagen.
(4) Wahrheitstransfer: Bei gültigen Schlüssen dürfen niemals wahre Prämissen mit einer falschen
Konklusion verbunden sein.
Naheliegende weitere Bedingung für gültige Schlüsse: Falschheitstransfer: falsche Prämissen führen niemals auf eine wahre Konklusion.
Hingegen: gültige Schlussform des hypothetischen Syllogismus: (p  q)  (q  r)  (p  r).
Gültigkeitsbeweis durch Wahrheitstafel: Auswahl der relevanten Fälle:
Falschheit der Schlussform verlangt Falschheit der Konklusion: p wahr, r falsch.
q wahr: zweites Glied des Antecedens falsch.
q falsch: erstes Glied des Antecedens falsch.
Falschheit des Konsequens beinhaltet Falschheit des Antecedens: Gültigkeit des hypothetischen
Syllogismus bleibt gewahrt.
Trotz Gültigkeit der Schlussform: falsche Prämissen und wahre Konklusion möglich:
Wenn Friedebert ein Schöngeist ist, dann liebt er den Boxsport.
Wenn Friedebert den Boxsport liebt, dann verabscheut er Gewalt.
=> Wenn Friedebert ein Schöngeist ist, dann verabscheut er Gewalt.
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Grund der Wahrheit der Konklusion: Beseitigung des irreführenden Mittelbegriffs q durch den
hypothetischen Syllogismus.
=> Inadäquatheit der Bedingung des Falschheitstransfers für gültige Schlüsse.
Aufnahme von Bedingung (4):
Wahrheit der konditionalen Verknüpfung von Prämisse P und Konklusion K: P  K wahr für alle
Wahrheitswerte der Teilaussagen.
Äquivalent mit: P  K ist logisch wahr.
Eine Schlussform ist aussagenlogisch gültig, wenn das Konditional „Prämisse  Konklusion“ eine
aussagenlogische Wahrheit darstellt.
„Logische Folgerung“ bzw. „logische Implikation“: „=>“:
„P => K“ äquivalent mit „P  K ist logisch wahr“.
Folgerung oder Implikation als logische Wahrheit des Konditionals.
Konditional: Kontingente Beziehung zwischen Sachverhalten: objektsprachliche Stufe.
Logische Folge: Beziehung zwischen Aussagen gestiftet durch logische Wahrheit: metasprachliche
Stufe.
6. Theoreme der Aussagenlogik
Gültige Schlussformen lassen sich mit der Wahrheitstafel als logische Wahrheiten erweisen.
=> Die Korrektheit von Schlüssen wird einem formalen Beweisverfahren zugänglich.
=> Aussagenlogische Schlussformen als Theoreme der Aussagenlogik.
Die Rekonstruktion bekannter Schlussformen mit der Wahrheitstafel
Korrektheitsbeweis mit der Wahrheitstafel:
Modus ponens
(p  q)  p  q
w w w w www
w f f f w w f
f w w f f ww
f w f f f w f
Modus tollens
(p  q)  q  p
w w w f f w f
w f f f w w f
f w w f f w w
f w f w w w w
Beide Schlussformen als logische Wahrheiten.
Formulierung als logische Folgerung:
Modus ponens: (p  q)  p => q.
Modus tollens: (p  q)  q => p
Verneinung des Antecedens
(p  q)  p  q
w w w f f w f
w f f f f w w
f w w ww f f
f w f ww w w
Bejahung des Konsequens
(p  q)  q  p
w w w w w w w
w f f f f w w
f w w ww f f
f w f f f w f
=> Keine logischen Wahrheiten.
Begründung durch Wahrheitswertanalyse
16
Aussagenlogische Rekonstruktion von Argumenten (Descartes, Meditatio VI, §19):
(1) Der Körper ist seiner Natur nach stets teilbar.
(2) Wenn Körper und Geist dasselbe sind, dann ist auch der Geist teilbar.
(3) Der Geist ist seiner Natur nach unteilbar.
Also: Körper und Geist sind gänzlich verschieden.
Schlussfigur.
p
Teilbarkeit der Körper.
q r
Körper-Geist Identität beinhaltet Teilbarkeit des Geistes.
r
Keine Teilbarkeit des Geistes.
=> q
Keine Körper-Geist Identität.
[p
w
w
w
w
f
f
f
f

w
f
w
w
f
f
f
f
(q
w
w
f
f
w
w
f
f

w
f
w
w
w
f
w
w
r)]
w
f
w
f
w
f
w
f

f
f
f
w
f
f
f
f
r
f
w
f
w
f
w
f
w

w
w
w
w
w
w
w
w
q
f
f
w
w
f
f
w
w
=> Descartes’ Argumentform als logische Wahrheit.
Frage, ob einer der beiden Sätze den anderen impliziert oder nicht.
(1) Friedebert ist dann und nur dann schadenersatzpflichtig (S), wenn er schuldhaft nachlässig war
(N) und der Anspruch nicht verjährt ist (V):
S  N  V.
(2) Wenn Friedebert schuldhaft nachlässig war, dann ist er schadenersatzpflichtig und der Anspruch nicht verjährt; und wenn Friedebert nicht schuldhaft nachlässig war, dann ist er nicht schadenersatzpflichtig und der Anspruch verjährt:
(N  S  V)  (N  S  V).
Logische Wahrheit von (1)  (2):
[p  q  r]  [(q  p  r)  (q  p  r)]
Logische Wahrheit von (2)  (1):
[(q  p  r)  (q  p  r)]  [p  q  r]
Ungültigkeit der ersten Ableitungsrichtung: Aufweis durch ein Gegenbeispiel:
Wahrheitswerte: p – f, q – w, r – w:
[p  q  r]  [(q  p  r)  (q  p  r)]
f w w ffw f
w f f f f w f f w w wf w w
Umgekehrte Ableitungsrichtung durch Wahrheitstafel:
[(q  p
w f w
w ww
f ww
f ww
w f f
 r)  (q  p
f fw f f
w f
w wf w w w f
f fw f w f f
w wf f w f f
f fw f
f w w
 r)]  [p  q  r]
f
f
w w w w ww
f
f
w
17
w f f f wf f
f w f f fw w
f w f f wf f
f w w f
w w w w
w f w f
w
f
wf
f f
Aufweis von Fehlschlüssen durch Wahrheitstafeln
Fehlschluss der multiplen Antecedentien:
(p  q)  (r  q) => p  r.
Zugrundeliegende Vorstellung: wenn zwei Gründe auf dieselbe Folge führen, stehen die Gründe
untereinander in einer Beziehung von Grund und Folge.
Kommunisten befürworten die Abrüstung.
Friedensbewegte befürworten die Abrüstung.
=> Friedensbewegte sind Kommunisten.
Fehlschlüssigkeit:
Wahrheitswertverteilung für Falschheit der Formel: p – w, q – w, r – f.
(p  q)  (r  q)  ( p  r)
w w w w f w w f
f
Fehlschlüssigkeit deutlicher:
Anhaltende Untreue führt zur Ehescheidung.
Gewalt in der Ehe führt zur Scheidung.
=> Untreue Ehepartner sind gewalttätig.
Grund der Plausibilität: Gültigkeit bei linearer Verkettung von p, r und q: r als Folge von p, und q
als Folge von r.
Wenn es Herbst wird, fallen die Blätter.
Wenn es kalt wird, fallen die Blätter.
=> Wenn es Herbst wird, wird es kalt.
Ungültige Schlussformen können sich im Einzelfall zu gültigen Argumenten konkretisieren.
Fehlschluss der multiplen Konsequenzen:
(p  q)  (p  r) => q  r.
Raserei auf der Autobahn führt zu hohem Benzinverbrauch.
Raserei auf der Autobahn ist unfallträchtig.
=> Benzinverbrauch oder Unfallrisiko sind hoch.
Wahrheitswertverteilung für Falschheit der Formel: p – f, q – f, r – f.
(p  q)  (p  r)  q  r
f w f w
w f f
f
Grund der Fehlschlüssigkeit: Leere Wahrheit von Konditionalen, aber Falschheit kontrafaktischer
Disjunktionen.
Wenn der Mond aus grünem Käse besteht, wohnt der Sandmann in der Milchstraße.
Wenn der Mond aus grünem Käse besteht, benutzt die Glücksfee stets den Großen Wagen.
=> Der Sandmann wohnt in der Milchstraße, oder die Glücksfee benutzt stets den Großen Wagen.
Logische Fallstricke
Oder-Abschwächung (oder Addition): Aus einer Aussage folgt deren Disjunktion mit einer anderen Aussage: p => p  q.
18
Logische Schwierigkeiten des empiristische Sinnkriteriums:
Sinnkriterium: Überprüfbarkeit von Aussagen anhand von Beobachtungsmerkmalen.
„Partielle Prüfbarkeit“ hinreichend: Untersuchung einer Teilmenge der einschlägigen Objekte.
Oder-Abschwächung: Die Disjunktion einer sinnvollen und einer intuitiv sinnlosen Aussage ist (a)
die logische Konsequenz der sinnvollen Aussage und (b) partiell prüfbar; sie sollte damit insgesamt sinnvoll sein.
Und-Abtrennung (oder Simplifikation): Aus der Konjuktion zweier Aussagen folgt jede dieser
Aussagen: p  q => p.
Prämissenverstärkung: Dem Antecedens eines Konditionals können stets weitere Prämissen hinzugefügt werden. p  q => p  r  q.
Begründung durch Aufsuchen der Umstände, unter denen das Konditional falsch werden kann:
(1) Falschheit des Konsequens: p  r  q.
Verlangt: q falsch.
(2) Wahrheit des Antecedens: p  q wahr.
Verlangt p falsch.
(3) Folge: p  r falsch.
Weitere Folge: p  r  q wahr.
=> Gültigkeit des Konditionals als Ganzem unter allen Umständen: Logische Wahrheit.
Grundlage der Prämissenverstärkung: Monotonie der Aussagenlogik: Stabilität logischer Schlussfolgerungen bei Zusatzinformationen.
Gültige Schlüsse werden durch hinzugefügte Voraussetzungen nicht ungültig.
7. Logische Äquivalenz
Logische Äquivalenz aussagenlogischer Formeln:
p
q
p

q
q
w
w
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
f
w
w

w
f
w
w
p
f
f
w
w
(1) Ein Konditional und seine Kontraposition sind miteinander äquivalent: p  q  q  p.
(2) Sie sind beweisbar äquivalent; die Wahrheitstafel demonstriert die Übereinstimmung der
Wahrheitswerte.
=> Logische Äquivalenz: „<=>“ (auch: „“):
p  q <=> q  p.
Logische Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln p und q (p <=> q): Das betreffende Bikonditional (p  q) ist logisch wahr.
Bikonditional: Beständige faktische Übereinstimmungen von Wahrheitswerten: objektsprachliche
Ebene.
Logische Äquivalenz: Beziehung zwischen Aussagen gestiftet durch logische Wahrheit: metasprachliche Stufe.
Aussagenlogische Äquivalenzen:
Idempotenz
19
p  p <=> p; p  p <=> p.
Doppelte Negation
Eine Negation wird durch eine weitere Negation aufgehoben: p <=>   p.
Kommutativität
p  q <=>
p  q <=>
p  q <=>
qp
qp
qp
Assoziativität
(p  q)  r
(p  q)  r
(p  q)  r
<=>
<=>
<=>
p  (q  r)
p  (q  r)
p  (q  r)
Distributivität
p  (q  r)
p  (q  r)
<=>
<=>
(p  q)  (p  r)
(p  q)  (p  r)
Regeln von de Morgan
Negation von Konjunktion und Disjunktion:
 (p  q)
<=> p  q
 (p  q)
<=> p  q
Wahrheitstafel der negierten Konjunktion
 (p  q) <=> p  q
f w w w w f
f f
w w f f w f w w
w f f w w w w f
w f f f w w w w
Regel der negierten Konjunktion:
Satz vom Widerspruch äquivalent mit dem Tertium non datur.
 (p  p)
Satz vom Widerspruch
<=> p   p negierte Konjunktion
<=> p  p
doppelte Negation
<=> p  p
Kommutativgesetz
Tertium non datur
Einsatz logischer Äquivalenzen zur Formelvereinfachung:
(1)  ( p   q)   ( p   r)
<=> ( p    q)  ( p   r)
de Morgan
<=> (p  q)  (p  r)
Doppelte Negation
<=> p  (q  r)
Distributivgesetz
(2)  (p   [q   ( p  q)])
<=> p   [q  ( p   q)] de Morgan
<=> p  [q  (p   q)]
Doppelte Negation
20
<=> [p  q]  [p  (p   q)]
<=> [p  q]  [(p  p)   q]
<=> [p  q]  [p   q]
<=> p  [q   q]
<=> p
Distributivgesetz
Assoziativgesetz
Idempotenz
Distributivgesetz
Grund des letzten Schritts: logische Äquivalenz:
p  [q   q] <=> p
w
f
w w
f
f
w f
Allgemein: logische Falschheit „F“ („das Falsche“): p  F <=> p.
(3) p  [q  p  q]
<=>  {p   [q  p  q]}
<=>  {p   [q   (p  q)]}
<=>  {p  [q   (p  q)]}
<=>  {(p  q)   (p  q)}
<=>  (p  q)    (p  q)
<=>  (p  q)  (p  q)
<=> (p  q)   (p  q)
<=> W
Definition des Konditionals
Definition des Konditionals
Doppelte Negation
Assoziativgesetz
de Morgan
Doppelte Negation
Kommutativgesetz
Grund des letzten Schritts: Nach dem Substitutionstheorem äquivalent mit Tertium non datur.
p  [q  p  q] <=> W
W: logische Wahrheit („das Wahre“).
Umformung zeigt, dass die Ausgangsformel logisch äquivalent mit einer logischen Wahrheit ist
und damit selbst eine logische Wahrheit darstellt.
Dualität der Aussagenlogik
Symmetrien der Aussagenlogik: Erhaltung von logischen Äquivalenzen bei bestimmten Vertauschungsoperationen.
Ein Ausdruck heißt dual zu einem anderen, wenn die Umkehrung der Wahrheitswerte der Komponenten zu einer Umkehrung der Wahrheitswertverteilung des Gesamtausdrucks führt.
Konjunktion und Disjunktion sind dual zueinander:
p q pq p q pq
w w w
f
f
f
w f
f
f
w
w
f w
f
w
f
w
f f
f
w
w
w
=> Dualität von p  q mit p  q.
Negierte Ausdrücke sind zu sich selbst dual.
Grundform:  ( p   q)   ( p   r)
Duale Form:  ( p   q)   ( p   r)
Erhaltung logischer Äquivalenzen beim Übergang zum dualen Ausdruck.
=> Dualität erzeugt logische Wahrheiten aus anderen logischen Wahrheiten.
21
Logische Wahrheit:
 ( p   [q   ( p  q)]) <=> p.
Nach dem Dualitätsprinzip muß auch gelten:
 ( p   [q   ( p  q)]) <=> p.
Beweis beinhaltete: p  F <=> p
Duale Form hierzu: p  W <=> p.
Junktorenbeseitigung
Definition des Bikonditionals über das Konditional: p  q <=> p  q  q  p.
Einführung des Konditionals durch Konjunktion und Negation: p  q <=>  (p   q).
Rückführung der Konjunktion auf Disjunktion und Negation.
de Morgan #1:  (p  q) <=> p  q.
Negation: (p  q) <=> ( p   q).
Rückführung der Disjunktion auf Konjunktion und Negation.
de Morgan #2:  (p  q) <=> p  q.
Negation: (p  q) <=> ( p   q).
=> Formulierbarkeit der Aussagenlogik auf der Basis von Disjunktion und Negation oder von
Konjunktion und Negation.
H.M. Sheffer (1913): Ein einziger Junktor ausreichend: „Shefferscher Strich“, „Exklusion“:
p q p|q
w w f
w f
w
f w w
f f
w
Negation:  p <=> p | p
Beweis durch Wahrheitstafel:
p  p|p
f w w f
wf w w
Konjunktion: p  q <=> (p | q) | (p | q)
Beweis durch Wahrheitstafel:
p  q  (p | q) | (p | q)
ww w w f w f
wf f w w f w
f f w w w f w
f f f w w f w
Disjunktion p  q <=> (p | p) | (q | q)
Beweis durch Wahrheitstafel:
p  q  (p | p) | (q | q)
ww w w f w f
ww f w f w w
f w w w w w f
f f f w w f w
22
8. Dialogische Logik
Konstruktives Verständnis (u.a. Paul Lorenzen): Mathematik und Logik als besondere Tätigkeitsformen.
Mathematiker und Logiker erzeugen und transformieren die von ihnen studierten Gebilde durch
eine Reihe von Operationsvorschriften.
Aussagenlogik nach Art eines Dialogspiels:
Verteidigung von Aussagen durch einen Proponenten, Widerlegungsversuch durch einen Opponenten.
Logische Wahrheiten können vom Proponenten stets verteidigt werden.
Für logische Wahrheiten gibt es im Dialogspiel eine Gewinnstrategie.
Einschlägige Regeln:
Behauptung des Proponenten: p  q.
Angriff: p?, q?
Behauptung des Proponenten: p  q.
Angriff: p.
Grundlage von Gewinnstrategien: Der Proponent kann bei seiner Verteidigung auf Behauptungen
zurückgreifen, die vom Opponenten zuvor im Zuge seines Angriffs aufgestellt wurden.
Beispiel: p  (q  r  p).
Opponent
Proponent
p  (q  r  p)
p
qrp
q
rp
r  p?
p*
23
Beispiel: (p  q)  ((q  r)  (p  r)).
Opponent
Proponent
(p  q)  ((q  r)  (p  r))
pq
(q  r)  (p  r)
qr
pr
p
r
r!
q, p Widerspruch !
9. Systematische Rekonstruktionen der Aussagenlogik
1. Der axiomatische Ansatz
Axiome: vorausgesetzte Prinzipien.
Aus den Axiomen werden die Lehrsätze oder Theoreme deduziert.
Axiomatisierung der Logik durch Angabe von zwei Typen von Grundsätzen:
– Axiome im engeren Sinne,
– Schlussregeln.
Die Schlussregeln ermöglichen die Umformung der Axiome in Theoreme.
Syntaktisches System:
– Vorrat uninterpretierter Zeichen,
– Regeln, nach denen Zeichen zu erlaubten oder „wohlgeformten Formeln“ zusammengefügt werden.
Regeln eines syntaktischen Systems: Festlegung der korrekt gebildeten Ausdrücke oder Formeln.
Regeln für das syntaktische System der Aussagenlogik:
(1) Die Variablen sind Formeln.
(2) Ist P eine Formel, so auch  P.
(3) Sind P und Q Formeln, so auch (P  Q), (P  Q), (P  Q), (P  Q).
(4) Eine Zeichenreihe ist eine Formel genau dann, wenn sie in endlich vielen Schritten mittels der
Regeln (1) bis (3) konstruierbar ist.
Syntaktische Axiomatisierung: Axiome und Schlußregeln in einer formalen Sprache.
Mendelson-Axiomatisierung der Aussagenlogik (1964):
Axiome:
(1) P  (Q  P)
(2) (P  (Q  R)  ((P  Q)  (P  R))
24
(3) ( P   Q)  (Q  P)
Schlussregel:
Aus P und P  Q ist Q ableitbar.
– Trennung von Axiomen und Schlussregeln.
– Ableitbarkeit: Erzeugbarkeit einer Formel aus einer anderen nach der Schlussregel.
– Typographische Äquivalenz der Axiome mit logischen Wahrheiten.
Inhaltlich gesprochen: Herausgreifen bestimmter logischer Wahrheiten und bestimmter gültiger
Schlussregeln als grundlegend und von ihnen ausgehend Ableitung aller übrigen logischen Wahrheiten.
Abschließender Schritt: Interpretation.
Deutung der Variablen als aussagenlogische Satzbuchstaben und der Verknüpfungen zwischen
ihnen als aussagenlogische Junktoren.
=> Die syntaktischen Ausdrücke werden zu aussagenlogischen Formeln, und die formale Ableitbarkeit wird zur aussagenlogischen Folgerung.
Adäquate Axiomatisierung:
(1) Vollständigkeit: alles das, was logisch wahr ist, ist auch formal ableitbar.
Beispiel: Ableitung der logischen Wahrheit (p  p) in der Mendelson-Axiomatisierung.
P: p; Q: q  p; R: p
p  ((q  p)  p) Ax. 1
(p  ((q  p)  p))  ((p  (q  p))  (p  p)
Ableitung nach Schlussregel:
(p  (q  p))  (p  p)
P: p; Q: q.
p  (q  p) Ax. 1
Ableitung nach Schlussregel: p  p.
(2) Korrektheit: alles das, was formal ableitbar ist, ist auch logisch wahr.
2. Der semantische Ansatz
Semantik: in der Logik Zuordnung von Wahrheitswerten.
Man kann zunächst rein syntaktisch eingeführte Zeichen durch die Angabe von Wahrheitswerten
für die Formeln mit einer Semantik versehen.
Festlegung der Semantik aussagenlogischer Junktoren durch die zugehörige Wahrheitswertverteilung.
=> Fixierung der Bedeutung von Junktoren durch deren Einführung durch Wahrheitstafeln.
Beweis von logischer Wahrheit oder Korrektheit von Folgerungsbeziehungen durch Demonstration
des tautologischen Charakters der betreffenden Formeln.
Keine Axiome und Schlussregeln; keine syntaktische Charakterisierung.
Stattdessen: allein Definition der Junktoren durch Wahrheitswertverteilungen.
Der Ansatz des natürlichen Schließens
Ansatz des natürlichen Schließens (Gentzen & Jaskowski 1934): Rückkehr zu Schlussregeln, wenn
auch nicht zu Axiomen.
25
Kein Inventar logischer Wahrheiten angestrebt, sondern Kodifizierung von Schlüssen aus beliebigen Prämissen.
Schlussregeln im System natürlichen Schließens:
(1) Modus ponens:
(p  q)  p => q
(2) Modus tollens:
(p  q)  q => p
(3) Hypothetischer Syllogismus:
(p  q)  (q  r) => p  r
(4) Disjunktiver Syllogismus:
(p  q)  p => q
(5) Und-Abtrennung (Simplifikation):
p  q => p
(6) Oder-Abschwächung (Addition):
p => p  q
(7) Doppelte Negation:
p <=>   p
(8) Kontraposition:
p  q <=> q  p
(9) Definition des Konditionals:
p  q <=>  (p   q) <=>  p  q
(10) Definition des Bikonditionals:
p  q <=> (p  q)  (q  p)
(11) Idempotenz:
p  p <=> p; p  p <=> p
(12) Exportation:
(p  q)  r <=> p  (q  r)
(13) Kommutativität:
p  q <=> q  p
p  q <=> q  p
(14) Assoziativität:
(p  q)  r <=> p  (q  r)
(p  q)  r <=> p  (q  r)
(15) Distributivität:
p (q  r) <=> (p  q)  (p  r)
p  (q  r) <=> (p  q)  (p  r)
(16) Regeln von de Morgan:
 (p  q) <=> p  q
 (p  q) <=> p  q
Zu zeigen: Gültigkeit der Schlussform [(p  q)  (r  s)]  [(p  r)  (q  s)].
(1) (p  q)  (r  s)
Antecedens
(2) (p  q)
Und-Abtrennung auf (1)
(3) (p  q)   r
Oder-Abschwächung auf (2)
(4)  r  (p  q)
Kommuntativität auf (3)
(5) r  (p  q)
Def. des Konditionals auf (4)
(6) (r  p)  q
Exportation auf (5)
(7) (p  r)  q
Kommutativität auf (6)
(8) (r  s)  (p  q)
Kommutativität auf (1)
(9) (r  s)
Und-Abtrennung auf (8)
(10) (r  s)   p
Oder-Abschwächung auf (9)
(11)  p  (r  s)
Kommutativität auf (10)
(12) p  (r  s)
Def. des Konditionals auf (11)
(13) (p  r)  s
Exportation auf (12)
(14) [(p  r)  q]  [(p  r)  s] Konjunktion von (7) und (13)
(15) [ (p  r)  q]  [ (p  r)  s] Def. des Konditionals auf (14)
(16)  (p  r)  (q  s)
Distributivität auf (15)
(17) (p  r)  (q  s)
Def. des Konditionals auf (16): Konsequens
10. Reichweite und Grenzen der Aussagenlogik
Die Theorie der Aussagenlogik gestattet den Beweis von logischen Sätzen; Schlussregeln werden
zu logischen Theoremen.
26
Rückführung von Aussagenverknüpfungen auf eine geringe Zahl wahrheitsfunktionaler Junktoren.
=> Einfache mechanische oder elektrische Realisierung der Junktoren.
=> Bau logischer Maschinen.
Schwierigkeit: Beweise logischer Theoreme scheinen entweder zirkulär oder leer.
Voraussetzung von Beweisen in der Logik:
Festlegung dessen, was als korrekte logische Folgerung gelten soll.
Definition des Begriffs der logischen Folgerung.
Jedoch keine synthetische Definition, sondern Explikation: präzisierende Rekonstruktion.
Bedingungen:
– Näherungsweise Übereinstimmung des Anwendungsbereichs des explizierten Begriffs der logischen Folgerung mit dem Anwendungsbereich des gewöhnlichen Verständnisses gültiger Schlüsse.
– Klare und präzise inhaltliche Umschreibung des Begriffs der logischen Folgerung.
Ausgangspunkt:
– Urteile über intuitiv klare Fälle von gültigen Schlüssen und Fehlschlüssen.
– Aufsuchen übergreifender Regeln, die diese Urteile reproduzieren.
– Intuitionen über diese klaren Fälle als Prüfsteine systematischer Schlußregeln.
– Intuitionsunabhängige Eignung der Schlussregeln zur Erfassung undurchsichtiger Fälle; Regeln
als Grundlage der Beweise logischer Theoreme.
Schwierigkeit bei Grenzfällen: „Paradoxien der Implikation“
Erste Paradoxie: Ein Konditional mit einer logisch falschen Prämisse („F“) stellt eine logische
Wahrheit dar und bildet eine gültige logische Folgerung:
Also: F  p logisch wahr; daher: F => p.
Beispiel: Aus „Sein und Nicht-Sein, das ist hier die Antwort“ folgt logisch: „Friedebert ist ein
Schöngeist“.
Zweite Paradoxie: Ein Konditional mit einem logisch wahren Konsequens („W) stellt eine logische
Wahrheit dar und bildet eine gültige logische Folgerung.
Also: p  W logisch wahr; daher: p => W.
Beispiel: Aus „Friedebert ist ein Schöngeist“ folgt logisch: „Sein oder Nicht-Sein, ein Drittes ist
nicht gegeben“.
Konflikt zwischen Explikation und Vorverständnis: Entweder Korrektur des Vorverständnisses
korrigieren oder der Explikation.
(1) Der Kern der Intuitionen über logisches Schließen besteht darin, dass bei wahren Prämissen die
Konklusion niemals falsch werden kann. Diese Kernintuition ist auch bei den paradoxen Implikationen gewahrt.
(2) Die Übertragung des Wahrheitswerts stellt die Kernintuition des logischen Schließens dar.
Diese Intuition wird durch beide Paradoxien verletzt.
27
Teil III: Prädikatenlogik
1. Die Binnenstruktur von Aussagen und die Prädikatenlogik
Logische Form eines Schlusses: diejenigen Elemente, die für seine Korrektheit wesentlich sind.
Für aussagenlogische Schlüsse relevante logische Form:
– Junktoren
– Inhaltsgleichheit der deskriptiven Aussagen.
Beschränkung des aussagenlogischen Zugriffs auf die Argumentation mit integralen Aussagen.
Kein Zugang zur Binnenstruktur von Aussagen.
=> Verlust von Differenzierungsmöglichkeiten des Ausdrucks.
Vermehrte Differenzierung verlangt Einbezug der Binnenstruktur von Aussagen.
Erweiterung auf Bedeutungsbeziehungen: Logische Betrachtung analytischer Urteile.
Analytisch wahre Urteile: Gültigkeit beruht auf der Definition der beteiligten Begriffe oder der Anwendung logischer Regeln.
Wahres analytisches Urteil als gültige logische Folgerung; Bestreiten beinhaltet einen Widerspruch.
Logische Beziehungen dieser Art werden erst auf der Ebene der Binnenstruktur von Aussagen erkennbar.
Prädikatenlogik: Berücksichtigung, welchen Individuen bestimmte Eigenschaften zu- oder abgesprochen werden.
=> Quantoren „alle“ und „einige“ bzw. „es gibt“, stehen im Mittelpunkt.
Alle Logiker sind flinke Rechner.
Alle flinken Rechner sind lahme Läufer.
=> Alle Logiker sind lahme Läufer.
Unabhängigkeit der Gültigkeit prädikatenlogischer Schlüsse von der Bedeutung der deskriptiven
Begriffe.
=> Repräsentation dieser Begriffe durch schematischer Buchstaben:
=> Schluss-Schema:
Alle A sind B.
Alle B sind C.
=> Alle A sind C.
Ersetzung von „alle“ durch „einige“:
Einige A sind B.
Einige B sind C.
=> Einige A sind C.
Ungültig.
Wahrung der Bedeutungsgleichheit der deskriptiven Begriffe wesentlich.
=> Logische Form der Prädikatenlogik: umfasst Quantoren und Inhaltsgleichheit deskriptiver Begriffe.
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2. Die prädikatenlogische Notation
2.1 Logische Prädikate und singuläre Aussagen
Bei singulären Aussagen ist das Subjekt ein Einzelgegenstand, Sachverhalt oder Individuum.
Bezeichnung des Subjekts durch Namen oder Individuenkonstanten: a, b, c etc.
Dem Subjekt wird eine Eigenschaft zu- oder abgesprochen: logisches Prädikat der Aussage.
Darstellung von Prädikaten durch schematische Prädikatbuchstaben: F, G, H etc.
Schematischer Prädikatbuchstabe als Platzhalter für unterschiedliche Eigenschaften.
Singuläre Sätze als Zuordnung einer Individuenkonstanten zu einem Prädikatbuchstaben:
Anton ist hungrig: Ha.
Bertha ist glücklich: Gb.
Verneinung:
Anton ist nicht hungrig:  Ha.
Bertha ist unglücklich:  Gb.
Anwendung der Junktoren der Aussagenlogik: Anton ist hungrig, und Bertha ist glücklich:
Ha  Gb.
Die Satzstruktur in Grammatik und Logik
Mittelalterliche Logik oder Syllogistik: Ansetzen an der prädikativen Struktur des einfachen Aussagesatzes in indoeuropäischen Sprachen.
Dagegen andersartige Rekonstruktion von Aussagen in der Prädikatenlogik: In der singulären Aussage wird dem logischen Subjekt ein logisches Prädikat zugewiesen.
Logisches Prädikat: umfasst Relationen: schreibt nicht zwangsläufig einem Individuum eine Eigenschaft zu, sondern kann eine Beziehung dieses Individuums zu anderen ausdrücken.
„Rom ist Hauptstadt von Italien“
Zweistelliges logisches Prädikat: „x ist Hauptstadt von y“.
Geordnetes Paar als logisches Subjekt: (Rom, Italien).
Dreistelliges logisches Prädikat: „x liegt zwischen y und z“.
Geordnetes Tripel als logisches Subjekt: (Bielefeld, Bonn, Berlin).
Unterschied zwischen der grammatischen und der logischen Analyse von Sätzen.
Die Notation logischer Prädikate
Individuenvariablen: Platzhalter für Einzelnes:
x, y, z etc.
Einstelliges Prädikat: Fx;
zweistelliges Prädikat: Gxy;
dreistellige Prädikat: Hxyz.
Ein n-stelliges Prädikat verlangt ein n-Tupel von Individuenvariablen oder Individuenkonstanten
als Subjekt.
Ausdrücke mit freien Individuenvariablen: Satzfunktionen.
Ihr Wahrheitswert ist eine Funktion der Werte der Individuenvariablen.
Bei Ersetzung der Individuenvariablen durch Individuenkonstanten entsteht ein Satz mit festem
Wahrheitswert.
29
2.2 Existenzaussagen
Existenzaussagen als partikulare Aussagen: mindestens einem Individuum eines Gegenstandsoder Individuenbereichs wird ein Prädikat zu oder abgesprochen.
Existenzquantor  (auch V):
Anwendung auf Individuenvariablen.
Aussage: im bezeichneten Gegenstandsbereich gibt es mindestens ein Individuum mit den betreffenden Eigenschaften.
Eigenschaft Kx: x ist Kirchendiener.
x (Kx), Bereich: Beutelschneider.
Mindestens ein Kirchendiener ist ein Beutelschneider.
Existenzquantor
– beinhaltet nicht, dass es mehr als ein Objekt der betreffenden Art gibt,
– schließt nicht aus, dass alle Objekte des Individuenbereichs die betreffende Eigenschaft besitzen.
Simultane Verwendung von Junktoren und Quantoren:
Einige Veterinäre sind Kopiloten.
x (Vx  Kx), Bereich: Menschen.
Erweiterung des Gegenstandsbereichs der Individuenvariablen:
Mindestens ein Veterinär (V) ist Kopilot (K).
Modifizierte Darstellung:
x (Vx  Kx), Bereich: Menschen.
Bereichserweiterung bei Existenzaussagen:
Umformung der ursprünglichen Bereichsangabe in ein Prädikat,
Verknüpfung durch Konjunktion mit dem vorhandenen Prädikat.
Ausdruck von Nicht-Existenz-Behauptungen durch Negation des Existenzquantors: x Fx.
Beispiel: Keine Rose (R) ohne Dornen (D).
x  Dx; Bereich: Rosen.
x (Rx   Dx); Bereich: Gegenstände.
Anwendung des Existenzquantors auf zweistellige Prädikate: Anton (a) ist Vater (V) von Beatrix
(b).
Logisches Prädikat: „ist Vater von“: Vxy.
Beatrix hat einen Vater: x Vxb.
Anton ist Vater: y Vay.
Grammatische und logische Struktur von Existenzaussagen
Unterschied zwischen grammatischer und logischer Struktur bei Existenzaussagen:
Prädikatenlogik: Einheitlicher Ausdruck sämtlicher Existenzaussagen durch den Existenzquantor.
=> Grammatisch verschiedenartige Sätze mit gleicher logischer Struktur:
– Einige Oberassistenten sind Fallschirmspringer.
– Es gibt fallschirmspringende Oberassistenten
– Fallschirmspringende Oberassistenten existieren.
Logisch: x (Ox  Fx)
30
„Existieren“ nicht als logisches Prädikat:
Ausdruck von Existenz allein durch den Existenzquantor, nicht durch Zuschreibung einer Eigenschaft.
=> Auch „nicht-existieren“ kein logisches Prädikat.
„Einhörner existieren nicht“
Rekonstruktion: „Es gibt keine Objekte, die Einhörner sind“: x Ex.
Unter allen Dinge gibt es keines, das die Eigenschaft besitzt, ein Einhorn zu sein.
=> Grammatisch gleichartige Sätze können eine unterschiedliche logische Struktur annehmen.
„Blumen verblühen.“
Für alle Objekte: Wenn ein Objekt eine Blume ist, dann verblüht es. x (Bx  Vx).
„Blumen existieren.“
Es gibt Objekte, die Blumen sind. x Bx.
2.3 Universelle Aussagen
Universelle Aussagen oder Allaussagen sprechen sämtlichen Elementen eines Individuenbereichs
eine Eigenschaft oder Relation zu oder ab.
Allquantor  (auch , (x)):
Anwendung auf Individuenvariablen.
Aussage: Jedem Element des Gegenstandsbereichs kommt die betreffende Eigenschaft zu.
Alle Veterinäre sind Kopiloten (K).
x Kx; Bereich: Veterinäre.
Erweiterung des Gegenstandsbereichs durch Einfügen der Bereichseingrenzung als zusätzliches
Prädikat.
Versuchsweise Verknüpfung durch Konjunktion: x (Vx  Kx), Bereich Menschen.
Alle Menschen sind zugleich Veterinäre und Kopiloten.
Stattdessen Heranziehen des Konditionals:
x (Vx  Kx), Bereich: Menschen.
Wenn irgendjemand Veterinär ist, ist er auch Kopilot.
Allaussagen: „Alle F sind G“: Ausdruck durch universelle Konditionale:
– Bezug auf einen Individuenbereich;
– Formulierung als Bedingungsverhältnis:
x (Fx  Gx): Für alle Elemente des Individuenbereichs gilt: wenn eines die Eigenschaft „F“ besitzt, dann besitzt es auch die Eigenschaft „G“.
=> Möglichkeit leer wahrer Allaussagen: Wenn im Individuenbereich ein Element mit der Eigenschaft „F“ fehlt, ist die Allaussage richtig – unabhängig davon, ob irgendein Element die Eigenschaft „G“ besitzt.
Allaussagen besitzen im Gegensatz zum Verständnis der alten Logik keine Existenzimplikation.
Gleiche Rekonstruktion für negative Allaussagen:
Keines der Elemente des Gegenstandsbereichs besitzt die betreffende Eigenschaft.
„Kein Konditor ist Autopilot.“ x (Kx  Ax).
=> Leere Wahrheit auch negativer Allaussagen möglich.
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Möglichkeit leerer Wahrheit als Grund dafür, Existenzaussagen nicht mit dem Konditional zu notieren: Existenzaussagen kommt auch im prädikatenlogischen Rahmen eine Existenzimplikation
zu.
3. Die Sprache der Prädikatenlogik und ihre Beziehung zur Aussagenlogik
3.1 Prädikate und Aussagen
Übersicht über die prädikatenlogische Begrifflichkeit:
– Individuenkonstanten a, b, c;
– Individuenvariablen x, y, z;
– Prädikatbuchstaben F, G, H;
– Quantoren  und .
Wertebereich der Quantoren: Individuenvariablen: Prädikatenlogik erster Stufe (first order logic).
Unterscheidung von Prädikaten und Sätzen:
Prädikate: freie Individuenvariablen;
Sätze: nur Individuenkonstanten oder gebundene Individuenvariablen.
Einschluss der begrifflichen Mittel der Aussagenlogik:
Junktoren , , ,  als Teil der Prädikatenlogik.
Beispiel: Wiedergabe universeller Aussagen durch das Konditional.
=> Übertragbarkeit der Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen:
Nur Quietschenten (Q) quietschen melodisch (M): x (Mx  Qx).
Universelle Aussagen mit Ausnahmen:
Bereich der Ausnahme: „A“
x [(Fx  Ax)  Gx)].
3.2 Konträrer und kontradiktorischer Widerspruch
Vorliegen eines Widerspruchs generell: beide Aussagen können nicht gemeinsam wahr werden.
Kontradiktorischer Widerspruch: eine Aussage als Negation der anderen.
Entgegengesetzte Wahrheitswerte beider Aussagen; diese können nicht nur nicht gemeinsam wahr,
sondern auch nicht gemeinsam falsch werden.
„Der Kirchendiener ist ein Beutelschneider“ versus „Der Kirchendiener ist kein Beutelschneider.“
Konträrer Widerspruch mit geringeren Ansprüchen: Zwar können auch solche Aussagen nicht zugleich wahr werden, wohl aber zugleich falsch.
Konträrer Widerspruch:
“Alle Konditoren sind Kopiloten“ versus „Kein Konditor ist ein Kopilot“.
=> Gemeinsame Falschheit: „Einige Konditoren sind Kopiloten“.
Dritte Option unter Verwerfung beider konträrer Aussagen.
Konträre Widersprüche bei polar-konträren Gegensätzen:
Bezeichnung der entgegengesetzten Enden eines Spektrums von Möglichkeiten, sodass Zwischenstufen verbleiben.
„Draußen ist es heiß“ und „draußen ist es kalt“.
Falschheit beider, wenn: „draußen ist es mild“.
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Bei geeigneten Aussagen: Aussagenlogische Rekonstruierbarkeit konträrer Gegensätze.
„Friedebert ging jodelnd über die Alm“ und „Friedebert ist des Jodelns unkundig.“
Möglichkeit gemeinsamer Ungültigkeit: „Friedebert der Jodler wanderte in ergriffenem Schweigen
über die Alm“.
Konjunktion beider Aussagen (J  A)   J logische Falschheit.
Zwei aussagenlogische Formeln p und q stehen in konträrem aussagenlogischem Widerspruch,
wenn p  q aussagenlogisch falsch ist.
Geeignet gebildete Aussagen: Aussagenlogische Rekonstruierbarkeit kontradiktorischer Gegensätze.
Zwei aussagenlogische Formeln p und q stehen in kontradiktorischem aussagenlogischem Widerspruch, wenn p  q aussagenlogisch falsch ist.
Der kontradiktorische Widerspruch beinhaltet den konträren:  (p  q) =>  (p  q).
Fehlschluss: Anwendung des disjunktiven Syllogismus auf konträre Gegensätze.
=> Beachtung des Unterschieds zwischen konträren und kontradiktorischen Gegensätzen als
Schutz vor Übergeneralisierungen.
3.3 Die Nicht-Vertauschbarkeit von Quantoren
Verknüpfung von All- und Existenzquantor.
Es gibt eine Flüssigkeit (F), in der jeder feste Körper (K) löslich (L) ist: x [Fx  y (Ky  Lyx)].
Jeder feste Körper ist in der einen oder anderen Flüssigkeit löslich: x [Kx  y (Fy  Lxy)].
Direkte Verbindung zwischen beiden Quantoren: – x y: für alle x gibt es ein y, sodass ...
– x y: es gibt ein x, sodass für alle y ...
Dabei keine Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Quantoren.
Beispiel:
„Für alle Menschen (x) gibt es einen Zeitpunkt (y), der ihr Todeszeitpunkt (T) ist.“
x y Txy.
Bedeutung: Alle Menschen sind sterblich.
Umkehrung: „Es gibt einen Zeitpunkt (y), der für alle Menschen (x) der Todeszeitpunkt (T) ist.“
y x Txy.
Bedeutung: Der Weltuntergang steht bevor.
Frege: „Alle Menschen sind Nachkommen einiger Götter“.
Rekonstruktion: Es gibt Götter (x), sodass alle Menschen (y) deren Nachkommen (N) sind:
x y Nyx.
Zur Kombination von Quantoren
„Lxy“: x liebt y; Gegenstandsbereich: Menschen.
(1) Jeder liebt irgendjemanden: x y Lxy.
(2) Jeder wird von irgendjemandem geliebt:
x y Lyx.
(3) Jemand wird von allen geliebt: x y Lyx.
(4) Jemand liebt alle: x y Lxy.
(5) Niemand liebt alle:  x y Lxy.
33
(6) Jemand wird von niemandem geliebt:
x  y Lyx
Unterschiedlichkeit hinsichtlich der Existenz eines ausgezeichneten Elements:
(3), (4), (6): ein Element tritt in sämtlichen einschlägigen Beziehungen auf.
(1), (2), (5): kein solches ausgezeichnetes Element.
Fehlschluss („von jeder und alle“): Annahme des Vorliegens von ausgezeichneten Elementen,
wenn das Argument nur die schwächere Behauptung unterschiedlicher relevanter Elemente stützt.
Quantoren und Junktoren
(1) Unrecht Gut gedeihet nicht.
x (Ux  Gx); Bereich: Güter.
Ux: x ist auf unrechte Weise erworben;
Gx: x gedeiht.
(2) Wer den Wagen hat, braucht für den Schrott nicht zu sorgen
x [Mx  y (Wy  Hxy)   z (Sz  Fxz)]
Bereich: {Menschen}  {Wagen}  {kaputte Gegenstände}
Mx: x ist ein Mensch; Wy: y ist ein Wagen;
Hxy: x hat y; Sz: z ist Schrott; Fxz: x muss sorgen für z.
(3) Auch ein blindes Huhn findet manchmal ein Korn.
Optimistische Präzisierung: Jedes blinde Huhn findet irgendwann einmal ein Korn.
x [Hx  Bx  y (Ky  Fxy)]
Bereich: {Hühner}  {Körner}
Hx: x ist ein Huhn; Bx: x ist blind; Ky: y ist ein Korn; Fxy: x findet y.
(4) Wer andern eine Grube gräbt, fällt selbst hinein.
x y [Mx  My   (x = y)  z (Lz  Gxzy  Fxz)]
Bereich: {Menschen}  {Gruben}
Mx: x ist ein Mensch; Lz: z ist eine Grube (ein Loch); Gxyz: x gräbt z für y, Fxz: x fällt in z.
4. Prädikatenlogik mit Identität und Beziehungen zwischen den Quantoren
4.1 Die Einführung der Identität in die Prädikatenlogik
Rekonstruktion von:
– singulären Aussagen,
– partikularen Aussagen, Existenzaussagen
– universellen Aussagen, Allaussagen
Zusätzliches begriffliches Element: Identität.
Es kann von zwei Gegenständen a und b ausgesagt werden kann, sie seien identisch (a = b) oder
nicht identisch ( (a = b)).
=> Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität.
Einzigkeitsbehauptung: Es gibt genau ein Individuum mit bestimmten Eigenschaften.
Es gibt genau einen Bundespräsidenten (B)
(a) Existenzbedingung: Es gibt wenigstens einen Bundespräsidenten: x Bx.
(b) Eindeutigkeitsbedingung: Wenn es zwei Präsidenten gibt, dann sind beide identisch:
34
y (By  x = y).
Insgesamt: x [Bx  y (By  x = y)].
„Kennzeichnung“ (definite description): Bezug auf genau ein Individuum anhand einer Beschreibung.
Zuordnung weiterer Eigenschaften zu den gekennzeichneten Größe:
„Der Bundespräsident findet stets ein würdiges Wort (W).“ x [Bx  y (By  x = y)  Wx].
Rekonstruierbarkeit der unterschiedlichen Verwendungsweisen des Hilfsverbs „sein“.
(1) Teilmengenbeziehung: „Alle Quietschenten (Q) sind schwimmfähige Lebewesen (S)“.
Prädikatenlogische Wiedergabe: x (Qx  Sx).
(2) Element-Menge-Beziehung: „Quirinalia (q) ist eine Quietschente“.
Prädikatenlogische Wiedergabe: Qq.
(3) Identität: „Quirinalia ist die einzige rotgepunktete (R) Quietschente aller Badewannen“.
Kennzeichnung: x [Qx  y (Qy  x = y)  Gx].
(4) Existenz: „Und es ist eine Quietschente“.
Prädikatenlogische Wiedergabe: x Qx.
Zweifaltigkeitsbehauptung: Das Verfassungsgericht besteht aus genau zwei Senaten (S).
Existenzbedingung: x y [(Sx  Sy)   (x = y)], Bereich: Deutsche Verfassungsgerichtshöfe.
Eindeutigkeitsbedingung:z (Sz  (z = x  z = y)).
Insgesamt: xy[(SxSy)  (x = y)  z(Sz  (z=x  z=y))]
4.2 Beziehungen zwischen den Quantoren
Wechselseitige Ausdrückbarkeit von Allquantor und Existenzquantor (unter Rückgriff auf die Negation).
Schwächere Verneinung von Allaussagen: Nicht alle relevanten Objekte besitzen die betreffende
Eigenschaft.
x Fx. Negation: x Fx.
Äquivalent mit: einige dieser Objekte besitzen die Eigenschaft nicht:
(1) x Fx <=> x Fx.
Geltung für beliebige Prädikatbuchstaben und deren Verknüpfungen: Metavariable „“:
x x <=> x x.
Stärkere Verneinung von Allaussagen: Allen Objekten fehlt die Eigenschaft
(2) x Fx <=> x Fx.
Es gibt kein einziges Objekt mit der betreffenden Eigenschaft.
Negation der Quantoren von (2):
(3) x Fx <=> x Fx.
Wenn die Eigenschaft nicht allen fraglichen Objekten fehlt, dann muss mindestens eines sie besitzen.
Negation der Quantoren von (1):
(4) x Fx <=> x Fx.
Wenn alle Objekte die Eigenschaft besitzen, dann fehlt sie keinem.
Verneinung einer Allaussage durch „nicht alle“ (x Fx) oder durch „alle nicht“ bzw. „kein“
(x Fx).
35
Verneinung einer Existenzaussage durch Verneinung der Existenz (x Fx) oder Verneinung der
Eigenschaft (x Fx).
Verneinung des Quantors: äußere Verneinung.
Verneinung des Prädikats: innnere Verneinung.
Zusammenfassede Wiedergabe der Äquivalenzen zwischen Quantoren:
x Fx
<=> x Fx
x Fx
<=> x Fx
x Fx
<=> x Fx
x Fx
<=> x Fx
Äquivalenz der äußeren Verneinung des einen Quantors mit der inneren Verneinung des anderen.
Äquivalenz der Verknüpfung von innerer und äußerer Verneinung des einen Quantors mit dem
anderen Quantor.
Anschein einer Unverträglichkeit zwischen Unterschiedlichkeit der Existenzimplikationen der
Quantoren und der Behauptung ihrer Äquivalenz.
Erste Zeile:
prima-facie: Existenzimplikation auf der rechten Seite, nicht aber auf der linken.
Stattdessen: Existenzimplikation auch der linken Seite.
Linke Seite als universelle Konditionalaussage:
 x (Hx  Ix).
Die Wahrheit dieses Ausdruck verlangt, dass das Konditional in mindestens einem Fall falsch
wird: Ha   Ia.
Existenzgeneralisierung: Ha => x Hx.
Es gibt zwar leer wahre, aber keine leer falschen Konditionale.
5. Prädikatenlogische Schlussformen
Bestimmung der prädikatenlogischen Form durch die folgenden Charakteristika:
– Quantoren;
– Junktoren;
– Gleichheit und Verschiedenheit der Prädikate und ihrer Stelligkeit;
– Gleichheit und Verschiedenheit von Individuenkonstanten und -variablen.
Gültiger Schluss der Prädikatenlogik: „Prämissenkonjunktion  Konklusion“ als prädikatenlogische Wahrheit.
Eine Satzfunktion mit n-stelligem Prädikat ist eine prädikatenlogische Wahrheit, wenn diese für
sämtliche relevanten n-Tupel von Subjekten in wahre Sätze übergeht.
Logische Wahrheit einer prädikatenlogischen Formel verlangt Wahrheit für alle extensionalen Interpretationen.
Kein universell anwendbares Verfahren für die Identifikation prädikatenlogischer Wahrheiten.
Beweis von Existenzaussagen durch Aufweis eines Einzelfalls.
Grundlegendes Verfahren für den Beweis von Allaussagen: Ansetzen der Argumentation an einem
beliebigen Element; diese Beliebigkeit sichert die Verallgemeinerbarkeit.
Prinzip: Die Wahrheit jedes beliebigen Einzelfalls garantiert die Wahrheit universeller Aussagen
(„universelle Generalisierung“).
36
x Fx  Fa.
“a“ als beliebige Individuenkonstante aus dem Individuenbereich ist dann notwendigerweise Element der Menge derjenigen Gegenstände, auf die F zutrifft.
=> Wenn eine Eigenschaft allen Elementen eines Individuenbereichs zukommt, dann kommt sie
auch jedem besonderen Element zu („universelle Einsetzung“).
Vier prädikatenlogische Schlussregeln
(1) Das Prinzip der universellen Einsetzung: x Fx => Fa.
Heranziehen zum Beweis der prädikatenlogischen Folgerung: x (Kx  Ux)  Ks => Us.
Alle Kirchendiener sind unwirsch.
Sigismund ist ein Kirchendiener.
Also ist Sigismund unwirsch.
Beweis:
x Fx => Fa.
Ersetzung: Fx durch Kx  Ux.
Es folgt: x (Kx  Ux) => (Ks  Us).
Ks als weitere Prämisse:
Es folgt: Us (nach Modus ponens).
(2) Das Prinzip der universellen Generalisierung: Fy => x Fx.
Beweis von Allaussagen durch Betrachtung beliebig herausgegriffener Elemente des Individuenbereichs:
(a) Aufzeigen der Geltung der betreffenden Formel für jeden willkürlich herausgegriffenen Einzelfall: Prämisse Fy mit „y“ als beliebigem Element aus dem Individuumbereich.
(b) Schluss auf die Wahrheit der universellen Aussage: Diese ist genau dann wahr ist, wenn sie in
jedem einschlägigen Einzelfall zutrifft.
Heranziehen zum Beweis der prädikatenlogischen Folgerung:
x (Qx  Sx); x (Sx  Kx) => x (Qx  Kx).
Alle Quietschenten sind flinke Schimmer.
Alle flinken Schwimmer benötigen frische Kraftnahrung.
Also benötigen alle Quietschenten frische Kraftnahrung.
Ohne Allquantor: hypothetischer Syllogismus:
(p  q)  (q  r) => p  r.
Geltung dieser Schlussform für jeden willkürlich herausgegriffenen singulären Satz.
=> Geltung der betreffenden Allaussage wg. des Prinzips der universellen Generalisierung.
(3) Das Prinzip der Existenzeinsetzung: x Fx => Fa.
Aus einer als gültig vorausgesetzten Existenzaussage folgt die Wahrheit zumindest eines singulären Satzes, der sich durch Einsetzung einer Individuenkonstanten aus dem Individuenbereich
ergibt.
(4) Das Prinzip der Existenzgeneralisierung: Fa => x Fx.
Aus der Geltung der singulären Aussage folgt die Geltung der zugörigen Existenzaussage.
Anwendungen dieser Schlussregeln
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x (Kx  Ux); x (Mx  Kx) => x (Mx  Ux).
Alle Kirchendiener sind unwirsch.
Einige Menschen sind Kirchendiener.
Also sind einige Menschen unwirsch.
Prämissen:
(1) x (Kx  Ux)
(2) x (Mx  Kx)
(3) Ma  Ka (durch Existenzeinsetzung aus (2)
(4) Ka  Ua (durch universelle Einsetzung aus (1))
(5) Ka (durch Und-Abtrennung aus (3))
(6) Ua (durch Modus ponens aus (4) und (5))
(7) Ma (durch Und-Abtrennung aus (3))
(8) Ma  Ua (durch Konjunktion aus (6) und (7))
(9) x (Mx  Ux) (durch Existenzgeneralisierung aus (8))
Q.e.d.
Strategie:
(a) Durch Einsetzung Übergang zur Aussagenlogik.
(b) Umformung nach aussagenlogischen Regeln.
(c) Durch Generalisierung Rückübertragung auf die Ebene der Prädikatenlogik.
Weitere Beispiele:
Prämissen:
(1) x (Fx   Gx)
(2) x (Hx  Fx)
Zu zeigen: x (Hx   Gx)
Kein Flusspferd ist ein Gnu
Es gibt ein Flusspferd mit Halsentzündung.
Es gibt etwas mit Halsentzündung, das kein Gnu ist.
Beweis:
(3) Ha  Fa (durch Existenzeinsetzung aus (2))
(4) Fa   Ga (durch universelle Einsetzung aus (1))
(5) Fa (durch Und-Abtrennung aus (3))
(6)  Ga (durch Modus ponens aus (4) & (5))
(7) Ha (durch Und-Abtrennung aus (3))
(8) Ha   Ga (durch Konjunktion aus (6) & (7))
(9) x (Hx   Gx) (durch Existenzgeneralisierung aus (8))
Q.e.d.
Prämissen:
(1) x (Dx   Ex)
(2) x (Fx  Ex)
Zu zeigen: x (Fx   Dx).
Kein Dromedar ist ein Elefant.
Alle Dickhäuter sind Elefanten.
Alle Dickhäuter sind keine Dromedare.
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Beweis:
(3) Fa  Ea (durch universelle Einsetzung aus (2))
(4) Da   Ea (durch universelle Einsetzung aus (1))
(5)   Da   Ea (durch doppelte Negation des Antecedens aus (4))
(6) Ea   Da (durch Kontraposition aus (5))
(7) Fa   Da (durch hypothetischen Syllogismus aus (3) & (6))
(8) x (Fx   Dx) (durch universelle Generalisierung aus (7)).
Q.e.d.