Sommersemester 02 - Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der

Universität Leipzig
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät
Professur für Volkswirtschaftslehre,
insbesondere Mikroökonomik
Prof. Dr. Harald Wiese
18. Juli 2002
Klausur: Grundzüge der Mikroökonomik
Sommersemester 2002
Bearbeitungszeit:
60 Minuten
Maximal erzielbar:
60 Punkte
zulässige Hilfsmittel:
keine, insbesondere kein Taschenrechner
Sonstige Vorbemerkungen:
Schreiben Sie, bitte, leserlich!
Geben Sie kurze, präzise Antworten!
Machen Sie jeweils Ihren Rechenweg deutlich!
Name, Vorname
...............................................................................
Prüfungsnummer
...............................................................................
Studiengang
...............................................................................
Bewertung
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
Punkte
Gesamtpunktzahl
......................................................
Prüfer
Note
Aufgabe 1
(6 Punkte)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Paare von Nutzenfunktionen dieselben Präferenzen darstellen! Begründen Sie Ihr Ergebnis (Beweis oder Gegenbeispiel)!
(a)
(b)
u1(x1,x2) = x1 + x2 und u2(x1,x2) = 2x1 + 2x2
u3(x1,x2) = 2x1 + x2 und u4(x1,x2) = x1 + 2x2
Lösungsvorschlag
(a)
Die Nutzenfunktionen repräsentieren dieselben Präferenzen, denn die Nutzenfunktion u1 kann durch Multiplikation mit 2 – eine positiv monotone Transformation – in die Nutzenfunktion u2 überführt werden, d.h.<
2u1(x1,x2) = 2(x1 + x2) = 2x1 + 2x2 = u2(x1,x2).
(b)
Die Nutzenfunktionen repräsentieren nicht dieselben Präferenzen. Ein Gegenbeispiel: Wir betrachten die Güterbündel (x1,x2) = (2,3) und (y1,y2) = (3,2).
Dann gilt u3(2,3) = 2 · 2 + 3 = 7 < 8 = 2 · 3 + 2 = u3(3,2), also wird bei den
durch u3 dargestellten Präferenzen das Güterbündel (3,2) dem Güterbündel
(2,3) strikt vorgezogen.
Andererseits gilt u4(2,3) = 2 + 2 · 3 = 8 > 7 = 3 + 2 · 2 = u4(3,2), also wird bei
den durch u4 dargestellten Präferenzen das Güterbündel (2,3) dem Güterbündel (3,2) strikt vorgezogen.
In Bezug auf die untersuchten Güterbündel unterscheiden sich also die dargestellten Präferenzen und damit auch schon die Präferenzen an sich.
Aufgabe 2
(12 Punkte)
Gegeben sei die Produktionsfunktion
f x1 , x2   x1
(a)
(b)
(c)
(d)
2
2
 x2 3 .
3
Zeigen Sie, dass diese Produktionsfunktion homogen ist!
Welcher Art Skalenerträge weist die Produktionsfunktion auf?
Bestimmen Sie die Skalenelastizität!
Interpretieren Sie die Skalenelastizität aus (c)!
Lösungsvorschlag
(a)
Es gilt
f tx1 , tx2   tx1  3  tx2 
2
2
3
t
2
3
 x1
2
3
2
t
3
 x2
2
3
t
2
3

 x1
2
3
2
 x2
3
 t
2
3
 f x1 , x2 .
Die Produktionsfunktion ist also homogen.
(b)
Mit (a) gilt für t > 1
f tx1 , tx2   t
2
3
 f x1 , x2   t  f x1 , x2 .
Die Produktionsfunktion weist also fallende Skalenerträge auf.
(c)
Kurzer Weg: Da die Produktionsfunktion homogen ist, erhält man die Skalenelastizität sofort aus dem Grad der Homogenität. Mit (a) ist dieser ⅔.
Langer Weg: Mit der Definition der Skalenelastizität erhält man ebenfalls

df tx1 , tx2 
d tx1  3  tx2 
t



dt
dt
t 1 f tx1 , tx2 

(d)
2
3
t
1
3
x1
2
3
 23 t
1
3
x2
tx1  3  tx2  3
2
2
2
3
t  t
2
2
3
t
t
2
1
3
3

x
 x1
1
2
2
3
3
2
3
.
t 1
 x2
 x2

2
2
3
3

t
tx1  3  tx2 2 3
 2
2
3
.
Die Skalenelastizität gibt an, um wieviel Prozent – hier ⅔ Prozent – der Output
steigt, wenn man den Einsatz aller Produktionsfaktoren um ein Prozent erhöht.
Aufgabe 3
(13 Punkte)
Zur Allmende eines Dorfes gehört ein kleiner Teich, in dem die Bewohner nach Belieben angeln dürfen. Die Anzahl der insgesamt gefangenen Fische F hängt in der
folgenden Weise von der gesamten Angelzeit (aller Bewohner) A ab
1
F  A 2.
Die Fische werden zum Preis von vier Talern pro Stück verkauft. Neben dem Angeln
können die Bewohner ihren Lebensunterhalt durch die gleichermaßen angenehme
Arbeit als Bergführer bestreiten. Für eine Stunde Arbeit gibt es hier einen Taler.
(a)
(b)
(c)
(d)
Kann der Durchschnittserlös des Angelns kleiner sein als der Bergführerlohnsatz? Begründen Sie!
Wie viele Fische werden geangelt?
Die Dorfbewohner insgesamt können sich im Vergleich zu (b) besser stellen.
Wie lange sollte geangelt werden?
Die Diskrepanz zwischen (a) und (c) ist als „Tragödie der Allmende“ bekannt.
Nennen Sie zwei Möglichkeiten, diese „Tragödie“ zu vermeiden!
Lösungsvorschlag
(a)
Nein, denn dann wäre es ja besser, sich als Bergführer zu verdingen, als zu
angeln.
(b)
Es wird solange geangelt, bis der Durchschnittserlös des Angelns gleich dem
(konstanten) Durchschnittserlös der alternativen Verdienstmöglichkeit, des
Bergführens ist, nämlich 1. Also
4 A
A
1
2
 1,
und damit A = 16. Es wird also 16 Stunden geangelt, und es werden
F  16
1
2
4
Fische gefangen.
(c)
Die Dorfbewohner sollten den Mehrerlös des Angelns, d.h. den Erlös des Angelns unter Berücksichtigung des entgangenen Bergführerlohns maximieren,
also den Wert
1
4  A 2 1 A.
Mit der Maximierungsbedingung erster Ordnung
1
d  4  A 2  1 A 

  2  A 12  1! 0
dA
erhält man A = 4. Die Dorfbewohner sollten sich auf 4 Stunden Angelzeit beschränken. Man sieht, dass dann der Grenzerlös des Angelns gleich dem Berführerlohn ist.
(d)
Ein Möglichkeit wäre die Verpachtung des Teiches an einen Dorfbewohner
(Zuordnung eines Nutzungsrechtes), eine andere die Einführung einer Angelgebühr.
Aufgabe 4
(9 Punkte)
Klara maximiert ihren Nutzen auf Grundlage der Nutzenfunktion
2
3
1
3
u F , C   F C ,
wobei F ihre Freizeit und C ihren Konsum darstellt. Klaras Stundenlohn beträgt
w = 10 Euro. Der Preis für den Konsum beträgt p = 1. Neben dem Arbeitseinkommen verfügt die Konsumentin über ein arbeitsunabhängiges Einkommen, das ihr den
Realkonsum Cu = 30 ermöglicht.
(a) Wie nennt man das Paar (24, Cu)?
(b) Wie viele Stunden pro Tag wird Klara arbeiten?
(c) Nach einer Steuerreform muss Klara eine Lohnsteuer in Höhe von 50% (t = 0,5)
zahlen. Wie lange arbeitet Klara nun?
Lösungsvorschlag
a) Anfangsausstattung.
b) Wert der Anfangsausstattung
w  24  p  C u  10  24  1 30  270
Die optimale Menge von Freizeit F* bestimmt man durch Einsetzen in die wohlbekannte Formel für das Haushaltsoptimum bei einer Cobb-DouglasNutzenfunktion
F*  a
w  24  p  C u .
w
Also
2 270
F*  
 18
3 10
Es folgt
A*  24  F *  24  18  6.
Klara arbeitet 6 Stunden pro Tag.
c) Nach der Steuerreform sinkt Klaras Nettostundenlohn auf
w  w1  t   101-0,5  5.
Wert der Anfangsausstattung
w  24  p  C u  5  24  1 30  150
Die optimale Menge Ft bestimmt man durch Einsetzen in die Formel
w  24  p  C u ,
F a
w
t
also
2 150
Ft  
 20.
3 5
Es folgt
At  24  F t  24  20  4.
Nach der Steuerreform arbeitet Klara 4 Stunden pro Tag.
Aufgabe 5
(9 Punkte)
Unter vollständiger Konkurrenz ist das aggregierte Angebot der Produzenten durch
die Angebotsfunktion S(p) = p-5 gegeben. Die aggregierte Nachfrage lautet D(p) =
40 - 2p.
(a) Bei welchem Preis und welcher Menge stellt sich ein Gleichgewicht ein?
(b) Bestimmen Sie den Prohibitivpreis!
(c) Bestimmen Sie Konsumenten- und Produzentenrente und fertigen Sie dazu eine
Skizze an!
Lösungsvorschlag
(a)
S  p   D p 
p  5  40  2 p
p  15.
y  S ( p  15)  15  5  10.
Im Gleichgewicht beträgt der Preis 15 und die Menge 10.
b)
D p   0
40  2 p  0
p  20
c)
KR 
20  1510  50  25.
2
2
15  510  100  50.
PR 
2
2
p
S
20
15
KR
PR
D
5
0
10
y
Aufgabe 6
(11 Punkte)
An einem Markt mit der inversen Gesamtnachfrage p(Y) = 20 - Y agieren zwei Unternehmen. Dabei sei p der Preis und Y die am Markt angebotene Gesamtmenge
des homogenen Gutes. Die Unternehmen legen ihre Angebotsmengen simultan fest
(Cournot-Modell). Beide Unternehmen haben identische Grenzkosten MC1 = MC2 =
8.
(a) Ermitteln Sie die Reaktionsfunktionen von Unternehmen 1.
(b) Welche Menge wird jedes Unternehmen im Cournot-Gleichgewicht produzieren?
Fertigen Sie dazu eine Skizze an!
Lösungsvorschlag
a) Die Optimalitätsbedingung des Cournot-Dyopolisten 1 lautet
!
MR1  MC1.
Der Erlös beträgt
r1  p y1  y2 y1  20   y1  y2 y1 ,
der Grenzerlös also
MR1 
r1
 20  2 y1  y 2 .
y1
Die Optimalitätsbedingung hat jetzt die Form
!
MR1  20  2 y1  y2  8  MC1
Auflösen ergibt die Reaktionsfunktion für Unternehmen 1
y1  R1  y 2   6 
y2
.
2
b) Aus Symmetriegründen ergibt sich die Reaktionsfunktion für Unternehmen 2
y2  R2  y1   6 
y1
.
2
Die Menge des Cournot-Dyopolisten 1 erhält man durch Einsetzen von R2 in R1
1 1
1

y1     y1  6   6  y1  3
2 2
4

und hieraus
y1  4.
Aus Symmetriegründen ergibt sich die Menge des Cournot-Dyopolisten 2
y2  4.
y2
12
R1(y2)
6
Cournot-Nash-Gleichgewicht
4
R2 (y1)
0
4
6
12
y1