Einführung

Einführung

Zufallsexperiment - Ereignis E – Ereignisraum 

Umgangssprachlicher Wahrscheinlichkeitsbegriff p  hn

Mengenmodell – Ereignis als Teilmenge von 

Klassische ( LAPLACE-) Wahrscheinlichkeit
p(E) =
Anzahl der für E günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
,
alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich

Exakte Definition : Axiome von KOLMOGOROW
0  p(E)  1
p() = 1
p(E1  E2) = p(E1) + p(E2)

mit E1  E2 ={}
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
p(A') = 1 - p(A) "Gegenwahrscheinlichkeit"
Die "ODER"-Regel
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A B)
p(A  B) = p(A) + p(B) wenn A  B ={} A und B sind unvereinbar
1) Ein L-Würfel werde geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
a) eine gerade Zahl,
b) eine durch 3 teilbare Zahl,
c) die Zahl 5,
d) eine Zahl die größer als 5 ist
zu werfen?
2) Zwei L-Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) 2 Sechsen,
b) mindestens eine Sechs,
d) die Augenzahlsumme 8,
d) keine Sechs,
e) Augenzahlsumme, die größer als 7 ist,
f) die Augenzahlsumme 4,
g) für jeden Würfel gerade Augenzahl geworfen wird?
3) Man wirft eine Münze dreimal und beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Wappen (W) oben
liegen. Es sei A das Ereignis, dass zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, und B das Ereignis,
dass alle drei Würfe gleich sind. Berechne p(A) und p(B).
4) Ein Würfel wird 6mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, lauter ungerade Augenzahlen zu
werfen?
5) Man wirft 3 Würfel gleichzeitig und nimmt die kleinste der 3 auftretenden Augenzahlen. Wie viel %
Einsen gibt es?
6) Eine Klasse enthält 10 Schüler und 20 Schülerinnen. Jeweils die Hälfte davon hat braune Augen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Schüler ist oder
braune Augen hat.
7) (Klassisches Geburtstagsproblem). Wir suchen die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass n Personen an
verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Bei der Lösung vernachlässigen wir Schaltjahre und nehmen an,
dass keiner der 365 Tage sich als Geburtstag besonders auszeichnet.
8) Für das Elferschießen werden aus den 10 Feldspielern 5 Schützen ausgewählt. Wie groß ist bei
Losentscheid die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit der Nummer 8 als 4. Schütze bestimmt wird?
9) Man nimmt 6 Schnüre so in die Hand, dass zu beiden Seiten der Faust 6 Schnurenden herausragen. Auf
jeder Seite werden Schnurenden paarweise und zufällig zusammen gebunden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Ring?
10) Wie Bsp. 9, nur wird jetzt ein oben liegendes mit einem unten liegenden Ende zufällig verknüpft.
Abzähltechniken (Kombinatorik)

Produktregel : Anzahl der Möglichkeiten N = n1.n2.....nr

Stichprobe : Es werden k Elemente aus einer Menge von n Elementen ausgewählt.

Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
N = n.(n-1).(n-2)....(n-k+1)

Permutation(ohne Wiederholung)
Entspricht der geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen für k = n.
N = n.(n-1).(n-2)......3.2.1 = n!
Gibt die Anzahl der möglichen Anordnungen von n Elementen an.

N=
Permutation(mit Wiederholung)
n!
k1!.k 2!...kr!
Je k1,k2,....kr Elemente sind gleich.

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen N = nk

Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen(Kombination)
N=
n
n!
n.(n  1).( n  2).....( n  k  1)
=
=  
k!
k!.(n  k )!  k 
11) auf wie viele Arten können 8 Personen a) auf einer Bank, b) im Kreis sitzen?
12) Eine Autonummer bestehe aus 3 Buchstaben, gefolgt von 3 Ziffern.
Wie viele solche Autonummern gibt es?
13) Ein Byte besteht aus 8 Bit. Wie viele verschiedene Zeichen können mit einem Byte dargestellt
werden?
14) Auf wie viele Arten kann man 5 Hotelgäste in 10 freien Einzelzimmern unterbringen?
15) Auf wie viele Arten können 8 Türme auf ein Schachbrett gestellt werden, so dass sie sich gegenseitig
nicht schlagen?
16) 3 Glühbirnen werden zufällig aus 15 Glühbirnen, von denen 5 defekt sind, ausgewählt. Bestimme die
Wahrscheinlichkeit p dafür, dass a) keine, b) genau eine, c) mindestens eine der 3 defekt ist.
17) 6 Ehepaare befinden sich in einem Raum.
i) Es werden 2 Personen zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass sie a)
verheiratet, b) gleichen Geschlechts sind?
ii) Es werden 4 Personen zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass darunter
a) 2 Ehepaare, b) kein Ehepaar,
c) genau ein Ehepaar ist?
iii) Die 12 Personen werden zufällig in 6 Zweiergruppen aufgeteilt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit p
dafür, dass man a) die 6 Ehepaare, b) 6 gemischte Paare erhält.
18) In einer Gruppe sind 12 Burschen und 4 Mädchen. Es werden 3 Personen zufällig ausgewählt. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass es 3 Burschen sind?
19) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Werfen von 3 L-Münzen mindestens 2mal Adler
erhält?
20) Wie oft muss man 2 Würfel werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, eine Doppelsechs zu erhalten,
größer als 0,5 ist?
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit(A unter der Bedingung von B)
p(A/B) =
p(A B )
p( B)
Ereignis B ist eingetreten!

Produktregel
p(A B) = p(A/B).p(B)

Wahrscheinlichkeitsbaum(Baumdiagramm)

Unabhängigkeit
A wird von B nicht beeinflusst  p(A/B) = p(A), daraus folgt:
Die "UND"-Regel
p (A  B) = p(A).p(B) A und B sind unabhängig
21) 3 homogene Münzen werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit p, dass bei allen Zahl oben
liegt, wenn dies bei a) der ersten, b) bei einer der Münzen der Fall ist.
22) 2 homogene Würfel werden geworfen, man erfährt, dass die beiden oben liegenden Zahlen
verschieden sind. Gib die Wahrscheinlichkeit p an, dass
a) die Augensumme 6 ist, b) eine Eins erscheint, c) die Augensumme 4 oder weniger beträgt.
23) 4 Personen, genannt Nord, Süd, Ost und West, erhalten je 13 Karten von einem normalen Kartenspiel
mit 52 Karten.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass Nord genau 2 Asse hat, wenn Süd keines hat?
b) Nord und Süd haben zusammen 9 Herz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass Ost und West
genau je 2 Herz haben?
24) Einer Urne mit 7 roten und 3 weißen Kugeln, werden 3 Kugeln (eine nach der anderen) entnommen.
Gib die Wahrscheinlichkeit p an, dass die ersten beiden rot sind und die dritte weiß ist.
25) In einer Urne sind 4 weiße, 3 schwarze und 1 rote Kugel. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:
a) Beide Kugeln haben die selbe Farbe.
b) Eine Kugel ist rot, eine weiß.
c) Die zweite Kugel ist schwarz.
d) Keine der Kugeln ist weiß.
e) Mindestens eine der Kugeln ist schwarz oder rot.
26) Vater, Mutter und Sohn spielen 3 Tennispartien, und zwar spielt der Sohn abwechselnd gegen Vater
und Mutter. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sohn gegen den Vater gewinnt, ist 1/3 und dafür dass er
gegen die Mutter gewinnt 2/3. Es wird vereinbart, dass der Sohn Sieger gegen die Eltern ist, wenn er 2
Partien hintereinander gewinnt. Soll der Sohn zuerst gegen den Vater oder zuerst gegen die Mutter
spielen? Berechne für beide Möglichkeiten seine Gewinnwahrscheinlichkeit!
27) Ein Karton enthält 5 Radioröhren, von denen 2 defekt sind. Die Röhren werden eine nach der anderen
zufällig ausgewählt und getestet, bis die 2 defekten gefunden sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass dieser Zufallsprozess beim a) zweiten, b) dritten Test beendet ist?
28) A trifft eine Scheibe mit der Wahrscheinlichkeit 1/4, bei B ist sie 1/3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) die Scheibe mindestens 1mal getroffen wird, wenn jeder 2mal schießt?
b) Wie oft muss B schießen, wenn A nur 2 Schüsse hat, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Scheibe
getroffen wird, mindestens 0,9 sein soll?
29) 6 Jäger sehen einen Fuchs aus gleicher Entfernung und schießen gleichzeitig auf ihn. Wir nehmen an,
jeder von diesen Jägern treffe auf diese Entfernung gewöhnlich einen Fuchs mit einem von 3 Schüssen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass der Fuchs getroffen wird?
30) Bei einem bestimmten Glücksspielautomaten darf man nach Einwurf einer 10 S Münze 4 Spiele, ein
sogenanntes 'Quartett', durchführen. Jemand weiß aus Erfahrung, dass er bei 90% aller Quartette
mindestens 1 Spiel gewinnt. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für ein einzelnes Spiel bei
diesem Automaten?
Totale Wahrscheinlichkeit und Formel von BAYES
Totale Wahrscheinlichkeit
A1  A2  A3 ..........  An = 
Ai  Aj = {}
p(B) = p(B/A1).p(A1) + p(B/A2).p(A2) + …..p(B/An).p(An)
oder kürzer:
n
p(B) =
 p( B / Ai). p( Ai) (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit)
i 1

Formel von BAYES
p( A  B) = p(A/B).p(B) und p(A  B) = p(B/A).p(A)
daraus folgt:
p(A/B) =
p(B/A ). p( A)
p( B)
allgemein:
p(Ak/B) =
p(B/Ak ). p ( Ak )
n
 p( B / Ai). p( Ai)
(k = 1,2,....n) (Formel von BAYES)
i 1
In beiden Fällen erweist sich das Baumdiagramm als wertvolles Hilfsmittel.
31) In einer Stanzerei wird eine bestimmte Art von Stanzteilen auf 3 Maschinen hergestellt. Die Maschine
I produziert 20% der Gesamtproduktion, die Maschine II produziert 50% und die Maschine III daher 30%
der Gesamtproduktion. Es ist bekannt, dass die Maschine I 1% Ausschuss, die Maschine II 4% Ausschuss
und die Maschine III 3,5% Ausschuss produziert. Die insgesamt produzierten Teile werden in einem
Lager gesammelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass ein im Lager zufällig ausgewähltes Teil ein
Ausschussteil ist.
32) Aus einer Urne, die 3 weiße und 2 schwarze Kugeln enthält, werden zufällig 2 Kugeln
herausgegriffen und in eine 2. Urne gelegt, in der sich bereits 4 weiße und 4 schwarze Kugeln befinden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass eine danach aus der 2. Urne zufällig entnommene Kugel weiß ist.
33) Die Bevölkerung eines Staates besteht aus 30% Weißen, 50% Schwarzen und 20% Asiaten. Es
besitzen 20% der Weißen, 5 % der Schwarzen und 12% der Asiaten höhere Bildung. Welcher
Prozentsatz der Gesamtbevölkerung besitzt höhere Bildung?
34) Drei Virusarten A, B, C treten bei einer bestimmten Krankheit mit der Wahrscheinlichkeit 1/2, 1/6
bzw. 1/3 auf. Alle drei können durch einen bestimmten biochemischen Test nachgewiesen werden, und
zwar: Virus A liefert einen positiven Befund mit der Wahrscheinlichkeit 0,6, Virus B mit der
Wahrscheinlichkeit 0,3 und Virus C mit der Wahrscheinlichkeit 0,8.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test positiv?
35) 3 Maschinen I, II, III produzieren Transistoren, und zwar die Maschine I 40%, die Maschine II 25%,
und die Maschine III 25% der Gesamtproduktion.
Der relative Anteil an fehlerhaften Transistoren ist bei I 5%, bei II 3% und bei III 8%.
a) Wie groß ist der relative Anteil der fehlerhaften Transistoren in der Gesamtproduktion?
b) Zufällig erhalte ich einen fehlerhaften Transistor. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er von
Maschine I?
36) Zu Beisp. 34 . Bei einem Erkrankten ist der Test positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der
Patient an Virus A, mir welcher an Virus B bzw. an Virus C ?
37) Bei den Prüfern A, B, C fallen die Kandidaten mit 20-, 30- bzw. 40%iger Wahrscheinlichkeit durch.
Die Kandidaten werden zufällig auf die Prüfer aufgeteilt. Mein Freund ist durchgekommen, mit welcher
Wahrscheinlichkeit wurde er von A, B, C geprüft?
38) Für ein Omelett werden 4 Eier benötigt. Unter den 12 Eiern im Kühlschrank sind, was nicht bekannt
ist, sind 2 Eier faul. Nachdem jedoch 4 Eier in den Topf geschlagen sind, wird festgestellt, dass
mindestens eins der Eier faul war.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide faulen Eier in den Topf geraten sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Eier, die aus den restlichen 8 Eiern gewählt werden, alle
gut sind?
39) Die Zuverlässigkeit einer Tuberkulose-Röntgen-Untersuchung sei durch folgende Angaben
gekennzeichnet:
90% der TBC Kranken werden durch Röntgen entdeckt, 99% der TBC Freien werden als solche erkannt.
Aus einer großen Bevölkerung, von der nur 0,1% TBC krank sind, wird nun eine zufällig
herausgegriffene Person geröntgt und als TBC- verdächtig eingestuft. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass diese Person wirklich krank ist?
40) Zusatz zu Bsp. 32:
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurden vorher 2 weiße Kugeln von Urne 1 nach Urne 2 gelegt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt die Kugel aus der 1. Urne?
Diskrete Verteilungen

Zufallsvariable
Ordnet einem Ereignis eine reelle Zahl zu
diskret: endlich oder abzählbar unendlich

Wahrscheinlichkeitsfunktion (Verteilung)
ZV: X
y = p(X = xi)
x1
x2
x3
.
.
xn
p1
p2
p3
.
.
pn
n
 pi = 1
pi  0,
i 1

Erwartungswert E(X) =  =
n
 xi. pi
i 1

n
Varianz
V(X) =
 ( xi  
- ²
i 1

Standardabweichung  =
V (X )

41) Ein homogener Würfel wird geworfen. Es sei X die Zufallsvariable, die die doppelte Augenzahl
angibt. Bestimme die Verteilung, den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.
42) Beispiel 41: X sei jetzt 1 oder 3, je nachdem, ob eine gerade oder ungerade Zahl erscheint.
43) Eine homogene Münze wird geworfen bis Zahl oder 5mal Wappen erscheint. Gib die erwartete
Anzahl der Würfe an.
44) Einem Karton mit 8 nicht defekten und 2 defekten Transistoren wird so lange ein Transistor zufällig
entnommen, bis man einen nicht defekten erhält. Wie groß ist die erwartete Anzahl der entnommenen
Stücke?
45) Team A gewinnt jedes Spiel mit der Wahrscheinlichkeit ½ und spielt gegen Team B ein Turnier. Das
Turnier hat gewonnen, wer 2 Spiele hintereinander oder insgesamt 3 Spiele gewinnt. Bestimme die
erwartete Anzahl der Spiele dieses Turniers.
46) Jemand kommt nach Hause und möchte die Haustür aufschließen. Er hat 5 Schlüssel am Bund und
probiert willkürlich einen nach dem anderen, wobei er die nicht passenden Schlüssel von den weiteren
Versuchen ausschließt. Mit X sei die Anzahl der Schlüssel bezeichnet, die er probieren muss, um den
passenden Schlüssel zu finden. Bestimme dann E(X).
47) Beim Spiel chuck a luck zahlt der Spieler zu Beginn einen Betrag ein (bei uns 10 S). Er wählt eine
Zahl aus den Zahlen 1 bis 6 und würfelt dann 3 Würfel. Zeigen alle 3 Würfel die vom Spieler genannte
Augenzahl , dann erhält er das Vierfache des eingezahlten Betrags, zeigen 2 Würfel die Zahl, dann erhält
er das Dreifache und zeigt 1 Würfel die Zahl, dann erhält er das Doppelte, sonst nichts. Ist das Spiel fair?
48) A setzt 10 S gegen b S von B, dass beim Ziehen von 2 Karten aus einem Spiel von 52 Stück beide
Karten die gleiche Farbe haben werden. X sei der Gewinn von A. Welcher Wert b ist einzusetzen, damit
E(X) = 0 wird?
Wie groß ist E(Y) mit dem so bestimmten Wert b, wenn Y der Gewinn des Spielers B ist?
49) Ein Autobus mit 30 Insassen kommt zur Zollstation. Wie groß ist bei zufälliger Auswahl von 3
Insassen aus der Sicht des Zöllners die Chance,
a) keinen, b) genau 1, c) genau 2, d) genau 3 Schmuggler zu erwischen, wenn er weiß, dass
erfahrungsgemäß 10% aller Grenzgänger schmuggeln?
50) Eine Prüfungsarbeit ist nach dem System 'multiple choice' aufgebaut. Sie besteht aus 5 Fragen mit je
3 vorgegebenen Antworten, wobei jeweils genau 1 Antwort richtig ist. Ein völlig Ahnungsloser kreuzt auf
gut Glück jeweils eine Antwort an. Es sei X die Anzahl der richtig angekreuzten Antworten. Berechne
den Erwartungswert und die Standardabweichung.
Binomial- und Poissonverteilung

Binomialverteilung
Ereignis A tritt mit p ein, mit 1-p nicht.
X: Anzahl des Eintretens von A bei n Wiederholungen desselben Versuchs
n
p(X = k) =   .pk.(1 – p)n-k
k
 
E(X) =  = n.p
n. p.(1  p)
=

Poissonverteilung
X: Anzahl des Eintretens eines Ereignisses A in einer langen Serie von Versuchen, wobei A eine kleine
Wahrscheinlichkeit besitzt.
p( X = k) =
 k -
.e 
k!
E(X) = 
=


Näherung der Binomial – durch die Poissonverteilung
Für großes n und kleines p (<0,1) kann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung ersetzt
werden.
51) Eine Maschine produziert Werkstücke mit dem Ausschussanteil p. Der Kaufinteressent testet die
Maschine, indem er 10 Stück produzieren lässt, und kauft sie, wenn dabei a) höchstens 1, b) kein
Ausschussstück produziert wird. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für einen Kaufabschluss für i) p=0,01,
ii) p=0,1 .
52) Erfahrungsgemäß keimen 5% der Zwiebeln einer bestimmten Blumenzwiebelsorte nicht. Diese
Zwiebelsorte wird in 10er Packungen verkauft, und es wird eine Keimgarantie von 90% gegeben. Wir
groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig herausgegriffene Packung dieses
Garantieversprechen nicht erfüllt?
53) Jemand spielt gegen einen gleichwertigen Gegner. Was ist wahrscheinlicher:
a) 3 von 4 oder 5 von 8 Spielen zu gewinnen?
b) mindestens 3 von 4 oder mindestens 5 von 8 Spielen zu gewinnen?
54) Eva und Heinz spielen ein Tennismatch auf 3 gewonnene Sätze. Eva gewinnt mit der
Wahrscheinlichkeit 0,6, Heinz mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) für
Eva, b) für Heinz
i) das Match ohne Satzverlust zu gewinnen,
ii) das Match in 4 Sätzen zu gewinnen?
55) 4% aller Fluggäste, die Plätze reservieren, erscheinen nicht. Die Fluggesellschaft weiß dies und
verkauft 75 Flugtickets für 73 verfügbare Plätze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Fluggäste
Platz bekommen? Löse die Aufgabe exakt mit der Binomialverteilung und mit der Poissonnäherung.
56) Ein Arzt behauptet, dass er eine Methode besitzt, mit der er mit 80% Sicherheit das Geschlecht eines
Kindes Monate vor der Geburt bestimmen kann. Um seine Behauptung zu testen, wird folgende
Entscheidungsregel verwendet: Man lässt ihn 14 Voraussagen treffen. Wenn die Anzahl der Erfolge X 
11 ist, will man seine Behauptung akzeptieren. Wenn X < 11 ist, wird sie verworfen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass seine Methode verworfen wird, obwohl er recht hat ?
57) Ein Glücksspieler bietet folgendes Spiel an: Eine Münze wird 20mal geworfen. Man gewinnt, wenn
9-, 10- oder 11mal Zahl erscheint. Ist das Spiel fair?
58) An einem Sommerabend wird durchschnittlich alle 10 Minuten eine Sternschnuppe beobachtet. Wir
nehmen an, dass die Zufallsgröße X, die die Anzahl der Sternschnuppen während einer Beobachtungszeit
von 15min angibt, eine Poissonverteilung besitzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer
Viertelstunde mindestens 2 Sternschnuppen zu beobachten?
59) Es wird angenommen, dass 2% der in einer Fabrik hergestellten Stücke defekt sind. Gib die
Wahrscheinlichkeit p dafür an, dass in einer Stichprobe von 100 Stück genau 3 defekte sind.
60) In einem Buch mit 500 Seiten seien 300 Druckfehler zufällig verteilt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit p, dass auf einer gegebenen Seite
a) genau 2, b) 2 oder mehr Druckfehler sind?
LÖSUNGEN
1. a)
2
3
1
1
b)
c)
d)
6
6
6
6
2. a)
9
1
25 11
5
25
15
3
b) 1 =
c)
d)
e)
f)
g)
36
36
36
36
36
36
36
36
3. p(A) = 3/8 p(B) = 2/8
4.
36
5. 1 -
66
53
= 42%
63
6. p(A) = 10/30 p(B) = 15/30 p(AB) = 5/30 p(AB) = 10/30 + 15/30 – 5/30 = 2/3
7.
365.364....(365  n  1)
für n23 ist p<0,5 d.h. es ist dann wahrscheinlicher, dass mindestens 2
365 n
Personen am gleichen Tag Geburtstag haben!
8.
9 .8 .7 . 1
= 0,1
10.9.8.7
9.
10.
13 28
12. 26³.10³
10   5 
 . 
2 1
b)    
15 
 
3
10 
 
3
16 a)  
15 
 
3
c) 1 – a)
6!
12  10   8   6   4 
 . . . . 
 2   2   2  2  2
5 .4 .3 .2 .1 1
=
6 .5 . 4 .3 .2 6
11. a) 8! b) 7!
14 10.9.8.7.6
17 (i) a)
6
6  6  4
2.   2.3.    . 
 4
 3  2  2
b)
12 
 
4
6
 
2
(ii) a)  
12 
 
4
(iii) a)
4 .2
8
=
5.3 15
b)
6
12 
 
2
15 8!
6
2. 
 2
b)
12 
 
2
c) 1 – a) – b)
(6!) 2
12  10   8   6   4 
 . . . . 
 2   2   2  2  2
12 
 
3
18  
16 
 
3
19 4/8
n
 35 
 > 0,5
 36 
20 1 - 
 4   35 
 . 
 2   11 
23 a)
 39 
 
 13 
n > 24,... n = 25
 4   22 
 . 
 2   11 
b)
 26 
 
 13 
25 a) 4/8 . 3/7 + 3/8 . 2/7
b) 4/8 . 1/7 . 2
21 a) 1/4 b) 1/7
22 a) 4/30 b) 10/30 c) 4/30
24 7/10 . 6/9 . 3/8
c) 4/8 . 3/7 + 1/8 . 3/7 + 3/8 . 2/7
d) 3/8 . 2/7 + 3/8 . 1/7 . 2 e) 3/8 . 4/7 . 2 + 3/8 . 2/7 . 2 + 1/8 . 4/7 . 2
26 Beginn gegen Vater: p(GG) + p(VGG) = 1/3 . 2/3 + 2/3 . 2/3 . 1/3 = 10/27
Beginn gegen Mutter: 2/3 . 1/3 + 1/3 .1/3 . 2/3 = 8/27
Er soll gegen den Vater beginnen!
27 a) 2/5 . ¼
b) p(GDD) +p (DGD) + p(GGG) = 3/5 . 2/4 . 1/3 + 2/5 .3/4 . 1/3 + 3/5 . 2/4 . 1/3 = 3 /10
GGG muss auch berücksichtigt werden, weil dann 2 defekte übrigbleiben!
2
3 2
4 3
2
2
3 2
4 3
n
28 a) 1 -   .   = 3/4 b) 1 -     > 0,9 n> 4,26 n = 5
6
2
29 1 -   = 0,91
3
30 1 – (1 – p)4 = 0,9 p = 0,438
31 0,01.0,2 + 0,04.0,5 + 0,035.0,3 = 0,0325
32 6/10 . 3/10 + 5/10 . 3/10 .2 + 4/10 . 1/10 = 0,52
33 0,3.0,2 + 0,5.0,05 + 0,2.0,12 = 0,109 = 10,9%
34
1
1
1
.0,6 + .0,3 + .0,8 = 0,62
2
6
3
35 a) 0,4.0,05 + 0,25.0,03 + 0,35.0,08 = 0,0555
b)
37
0,4.0,05
= 0,36
0,0555
36 a) 0,49 b) 0,08 c) 0,43
1
1
1
.0,8 + .0,7 + .0,6 = 0,7 a) 0,38 b) 0,33 c) 0,29
3
3
3
38 p(mindestens ein faules Ei) = 1 – p(kein faules) = 1 -
10 
 
2
1
p( 2 faul) =   =
12  11
 
4
3
3
a) 33 =
19
19
33
p(4 aus den restlichen 8 sind alle gut) = 11/33
39
10 9 8 7 19
. . . =
12 11 10 9
33
b) 11/19
0,001.0,9
= 0,083
0,001.0,9  0,999.0,01
40 a)
0,18 18
=
0,52 52
3 2
6 1
.  .
12
b) 10 10 10 10 =
52
0,52
41 E(X) = 2. 1/6 + 4. 1/6 + ..... 12. 1/6 = 7
 = 3,4
43 1. 1/2+ 2. 1/4 + 3. 1/8 + 4. 1/16 + 5. 1/16 = 1,9
42 E(X) = 2  = 1
44 1. 8/10 + 2. 2/10 . 8/9 + 3. 2/10 . 1/9 = 11/9
45 p(X=2) = p(GG)+p(VV) = 1/4 +1/4 = 1/2 p(X=3) = p(VGG) + p(GVV) = 1/4
p(X=4) = p(GVGG) + p(VGVV) = 1/8
p(X=5) = p(VGVGG)+p(GVGVV)+p(VGVGV)+p(GVGVG) = 1/8
E(X) = 23/8
46 1. 1/5 + 2. 4/5. 1/4 + 3. 4/5 .3/4 . 1/3 + 4. 1/5 + 5. 1/5 = 3
47 E(X) = -0,8 nein!
48 b = 10,4 E(X) = 0
49 p(X=0) = 0,9³ p(X=1) = 3.0,1.0,9² p(X=2) = 3.0,1².0,9 p(X=3) = 0,1³
50 E(X) = 5/3   1
51 a) p(X=0) + p(X=1) = 10.0,01.0,999 + 0,9910 = 0,995 (2) 0,736
b) p(X=0) = 0,9910 = 0,9
(2) 0,35
52 p(mindestens 9 keimen) = 10. 0,959.0,05 + 0,9510 = 0,914
1 – p = 0,086 d.h. zu 8,6% nicht erfüllt
53 a) 1/4> 7/32
b) 5/16 < 93/256
54 a) (i) 0,6³
(ii) 3.0,6³.0,4
b) (i)0,4³
(ii) 3.0,4³.0,6
55 X : Anzahl der nicht erscheinenden Fluggäste
p(X2) = 1 – p(X<2) = 1 – 0,9675 – 75.0,9674.0,04 = 0,807
Poisson: n =75, p = 0,04 ,  n.p = 3
p = 1 – e-3 – 3e-3 = 0,801
14 
 .0,811.0,2³ 11
 
56 p(X<11) = 1 -p(X11) = 1 - 
14 
 . 0,812.0,2² 12 
57 p = 0,497 nein!
58 
 p (X2) = 1 – p(X =0) – p(X =1) = 0,44
59 n = 100 p = 0,02  = 2 p =0,18
60 n = 300 p =1/500 a) 0,1
b) 0,122
14 
  .0,813.0,2 + 0,814 =
 13 
0,3