Vertiefungsfach Mathematik
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Modul L Lineare Funktionen 1 Vertiefungsfach Mathematik – Schwerpunkt „graphische und handlungsorientierte Lösung mathematischer Probleme aus dem Alltag“ Modul L: Stundenvolumen 4 Stunden „ lineare Funktionen“ Fachbezogene Kompetenzen (Die angegebenen Kompetenzen beziehen sich auf alle inhaltlichen Schwerpunkte) Argumentieren und Kommunizieren SuS diskutieren (verschiedene) Lösungswege ,reflektieren die Annahmen aus der Realsituation und variieren diese gegebenenfalls Probleme erfassen, erkunden und lösen SuS ergänzen und vertiefen ihre Kenntnisse zu linearen Gleichungen und Funktionen Inhaltlicher Schwerpunkt Graphische Darstellung linearer Funktionen Arbeitsschritte SuS 1) erstellen Mindmap (auch Poster oder „PaniniMethode“ möglich ) zu linearen Funktionen 2) verwenden Terme 3) modellieren Sachsituationen durch lineare Funktionen 4) stellen lineare Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Grafen und in Termen dar, wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen ihre Vor- und Nachteile (arbeitsteilige Gruppenarbeit möglich) bestimmen die Funktionsgleichung von linearen Funktionen Arbeitsformen und Materialien Diagnose Copy-Shop Telefontarife Weg-Zeit-Diagramme Wirtschaftsmathematik Internetrecherche zu Handytarifen (arbeitsteilige Gruppenarbeit möglich) 2 Lineare Modellierung 4-6 Stunden Modelle erstellen und nutzen SuS übersetzen Realsituationen in einfache mathematische Modelle, finden lineare Funktionsgleichung zu Anwendungsaufgaben und untersuchen das Modell kritisch Medien und Werkzeuge verwenden SuS beschaffen sich Informationen für mathematische Argumentationen aus dem Internet und bewerten diese, benutzen Taschenrechner und Funktionsplotter SuS 1) untersuchen Muster und Beziehungen 2) identifizieren lineare oder proportionale Abhängigkeiten 3) reflektieren die Annahmen aus der Realsituation und variieren diese gegebenenfalls 4) erkunden sonstige Abhängigkeiten 5) stellen Datenpaare grafisch dar und führen eine lineare Anpassung unter Verwendung des Taschenrechners durch und nutzen die Ergebnisse für Prognosen 6) nutzen den eingeführten Lineare Modellierung „alle Vögel sind schon da“ Eigene Experimente (SchuhgrößeGröße u.ä.) können durchgeführt und Zusammenhänge gesucht werden. Der Taschenrechnereinsatz wird intensiv eingeübt. Taschenrechner zur Kontrolle und vertiefen den Umgang mit Werkzeugen (Taschenrechner, Tabellenkalkulationsprogramme) 3 4 Vertiefungsfach Mathematik Modul L 4.1. Rahmenbedingungen (z.B. Gruppengröße, Lage im Stundenplan) Am Vertiefungskurs Mathematik nehmen Schülerinnen und Schüler (10w, 2 m) teil. Der Kurs besteht vorwiegend aus Seiteneinsteigerinnen aus der Realschule (9), die sehr motiviert sind ihre Noten zu verbessern. Die Teilnahme am Kurs ist freiwillig. 4.2. Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite Alle Teilnehmer haben im Regelunterricht Mathematik Defizite in der Sonstigen Mitarbeit (4 minus und schlechter) Argumentieren/Kommunizieren kommunizieren, präsentieren und argumentieren alle Teilnehmer kommunizieren miteinander und mit mir, sie erleben das Reden über Mathematik als stressfrei (in einer Umfrage zu Beginn des Kurses äußerte ein größerer Teil der Gruppe, sie würden sich im Regelunterricht selten oder nie beteiligen [siehe Somi-Noten]) reihum präsentieren die TN ihre Ergebnisse zunehmend selbstbewusst im Vortrag und an der Tafel Sie argumentieren zunächst eher unbeholfen und nicht immer fehlerfrei Problemlösen Probleme erfassen, erkunden und lösen TN erfassen bekannte Probleme schnell, diskutieren diese Lösung gelingt erst dann, wenn bekannte Rechenverfahren genutzt werden können Modellieren Modelle erstellen und nutzen Erst nach der Vorstellung möglicher Modelle (Funktionenklassen, Rechenwege) wird eine Lösung erreicht Werkzeuge Medien und Werkzeuge verwenden Der Umgang mit dem TR TI 30 ist prinzipiell bekannt, der neu eingeführte TR Casio fx-991 muss in seiner vielfältigen Funktionalität in mehreren Stunden noch erklärt werden (Speichern, Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, Statistikfunktionen...) Der Einsatz von einfachen Funktionenplottern (hier Geogebra, MuPad) ist unbekannt und teilweise „unbeliebt“ Lehr- und Lernprogramme (KL-Soft o.ä.) sind unbekannt Arithmetik/Algebra mit Zahlen und Symbolen umgehen Der Umgang mit Zahlen ist geläufig, die Zahlenbereiche N,Z,Q, R sind nicht bekannt Das Rechnen mit Symbolen wird auch bei allgemeinen Lösungsansätzen möglichst vermieden 4 Funktionen Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden Begriffsdefinition unpräzise vorhanden Lineare und quadratische Funktionen sind als Funktionenklassen bekannt, wenn auch Begrifflichkeiten (Steigung der Parabel statt Streckfaktor, Achsenabschnitt und Nullstellen häufig verwechselt werden) Nullstellen- und Funktionswertberechnungen sind bei diesen Funktionen bekannt Extremwertbestimmung bei quadratischen Funktionen über die Scheitelpunktsform ist teilweise bekannt, aber sehr Rechenfehler anfällig Schnittpunktbestimmung zweier Funktionen (LGS bzw. quadratische Gleichung [p-q-Formel]) bereitet Schwierigkeiten Geometrie ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen Einfache Konstruktionen bekannt Pythagoras in der Form a² + b² = c² bekannt Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten Nur einige Standardbegriffe (arithmetische Mittel [Mittelwert]) bekannt 5 Modul L: „Graphische und handlungsorientierte Lösung mathematischer Probleme aus dem Alltag – Schwerpunkt lineare Funktionen“ (1) Stundenvolumen ca. 10 Doppelstunden (2) Kompetenzerwartung Die TN können am Ende der Reihe - den Funktionsbegriff sicher anwenden - die linearen Funktionen (Graf, Wertetabelle, Funktionsgleichung) sicher beherrschen - lineare Gleichungen lösen - den Funktionsplotter anwenden (3) Inhaltlicher Schwerpunkt - Durchführung der Diagnose (besonders Teil „Funktionen“ ) - Übungen zum Erwerb elementarer Kompetenzen zum Funktionsbegriff (4) Arbeitsformen und Materialien Expertenrunde, arbeitsteilige Gruppenarbeit, Einzelarbeit (a. Anhang) (5) Arbeitsschritte Die TN erstellen eine Mind Map zu linearen Funktionen. Die Lehrkraft stellt einige Stichworte zur Verfügung (Dreisatz, proportionale Zuordnungen, Wachstum, Geradengleichung......). Die grundlegenden Kenntnisse über den Funktionsbegriff werden aufgegriffen. (6) Transparenz/Reflexion der Zielerreichung Die Arbeit eines Schülers / einer Schülerin im Vertiefungsfach wird in einem Portfolio dokumentiert. Alle schon angesprochenen Materialien werden in dieses Portfolio (Ordner) abgeheftet. Dies sind zur Verfügung gestellte Materialien der Lehrkraft, Kursergebnisse, individuell Erarbeitetes (Fachinhaltliches, Dokumentation des eigenen Lernprozesses). Eine Fortschreibung des Portfolios in der Sekundarstufe II über das Vertiefungsfach hinaus ist möglich (7) Lernprozess- und Ergebnisevaluation Die Evaluation bezieht Portfolio, Feedbackbogen, Feedbackgespräche mit Schülerinnen und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern des Regelkurses ein. (8) Kursevaluation Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen, Einschätzungen durch die beteiligten Lehrkräfte und ggf. Einschätzungen der Schulleitung. 6 Anhang: Materialien L0 L1 L2 L 3a-b L4 L 5a -b Diagnose Copyshop Telefontarife/ Internetrecherche zu Handytarifen Weg-Zeit-Diagramme Wirtschaftsmathematik Lineare Modellierung 7 Material Modul L Lineare Funktionen 8 L0 Diagnose Genau eine Antwort ist richtig. Wähle aus! 1. Welcher Füllgraph gehört zu diesem Gefäß? keiner dieser Graphen a) b) c) d) e) 2. Welchen Vorgang beschreibt dieses Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm? a) Fahrzeug steht b) Fahrzeug fährt mit gleicher Geschwindigkeit c) Fahrzeug wird schneller d) Fahrzeug wird langsamer e) keine dieser Aussagen stimmt 3. Welchen Vorgang beschreibt dieses Weg-Zeit-Diagramm? a) Fahrzeug fährt vom Beobachter weg b) Fahrzeug fährt zum Beobachter hin c) Fahrzeug wird schneller d) Fahrzeug wird langsamer e) keine dieser Aussagen stimmt 4. Zwei Autos fahren aufeinander zu und begegnen sich. Welches der Diagramme gibt diese Situation wieder? keines dieser Diagramm e a) b) c) d) e) ,,,,,,,, 9 5. Welche dieser Zuordnungen ist keine Funktion? x y x y x y -2 4 -2 -2 -2 2 -1 2 -1 -1 -1 2 0 0 0 0 0 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a) b) c) x -2 -1 0 1 2 y -4 -2 0 2 4 x 2 1 0 1 2 d) y -4 -2 0 2 4 e) 6. Die Summe aus 2 natürlichen Zahlen x und y ist 10. Welche grafische Lösung passt zu dieser Aufgabenstellung? kein Graph ist korrekt a) b) c) d) alle Graphen sind korrekt e) 7. Ein Handytarif hat eine Grundgebühr von 5€ und einen Preis von 10ct pro SMS. Welche Funktionsgleichung beschreibt den Preis in €, wenn x die Anzahl der SMS ist? a) f(x) = 5x+10 b) f(x) = 0,5x+0,1 c) f(x) = 5x+0,1 d) f(x) = 5+0,1x e) keine von diesen Gleichungen 8. Eine Prepaid-Karte ist mit 15€ aufgeladen. Eine SMS kostet 9ct. Welche Funktionsgleichung beschreibt das Guthaben in €, wenn x die Anzahl der SMS ist? a) f(x) = 15x+0,09. b) f(x) = 15x-0,09 c) f(x) = 15-0,09x d) f(x) = 15+0,09x e) keine von diesen Gleichungen 10 Kosten (in €) 9. Das Diagramm stellt die Druckkosten in Abhängigkeit von der Anzahl der gedruckten Seiten dar. Der Drucker kostet 150€. 1000 Seiten kosten 200 €. 2000 Seiten kosten 100 €. Eine Seite kostet 5ct. 400 300 200 Wie viele Aussagen sind richtig? a) 0 Aussagen b) 1 Aussage c) 2 Aussagen d) 3 Aussagen e) 4 Aussagen 100 0 0 500 1000 1500 2000 2500 10. Eine Kerze ist anfangs 20cm hoch. Sie brennt jede halbe Stunde etwa 1cm herunter. Welche Funktionsgleichung beschreibt die Höhe der Kerze in cm, wenn t die Zeit in min ist. a) h(t) = 20- ½ x b) h(t) = 20x- ½ c) h(t) = 20 – 2x d) h(t) = 20x-2 e) keine von diesen Gleichungen 11. Gib an welches Paar aus Funktionsgraph und Funktionsgleichung nicht zusammengehört. a) b) c) d) e) Graph 1 und f(x) = -2x+1 Graph 2 und f(x) = 1/2x+1 Graph 3 und f(x) = 1-1/2x Graph 4 und f(x) = -1/2x-1 keine Zuordnung ist falsch/ mehr als eine Zuordnung ist falsch 11 3000 3500 Anzahl (in 12. Gib die Schnittstelle von Graph 1 und 2 an. a) x = 1 b) y = 2 c) P(1;2) d) P(2;1) e) P(1/2;1) 12 L1 Copy Shop Bei der Firma gibt es folgendes Angebot: Preise für Farbausdrucke A4 1. Berechne den Preis für das Kopieren von Menge Preis Ab 1 je 0,55 Ab 25 je 0,45 Ab 50 je 0,39 Ab 100 je 0,35 Ab 250 je 0,33 Ab 500 je 0,30 Ab 1000 je 0,25 Ab 5000 je 0,22 Ab 10000 je 0,19 a. 4 Seiten b. 9 Seiten. 2. Die Kopiervorlage umfasst n Seiten. a. Stelle den Term für den zugehörigen Preis auf! b. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich! 3. Zeichne den Graphen der Zuordnung Anzahl der Seiten x Preis y (in €) in ein Koordinatensystem. 4. Begründe, warum es sich bei dieser Zuordnung nicht um eine proportionale Zuordnung handelt! 5. Wie viele Seiten kann man kopieren, wenn man nicht mehr als 13 € ausgeben will? 6. Herr Kleine möchte einen bebilderten Text kopieren, der 24 Seiten umfasst. Da ihm der Preis zu hoch ist, verkleinert er seinen Text so, dass er jeweils 2 Seiten zu einer Seite zusammenfassen kann. Spart er dadurch 50 %? 13 Preis in € 1) Das Angebot der Konkurrenzfirma Avanti-Copy kann man der folgenden Graphik entnehmen: Sie können bei uns Farbkopien erstellen: 40 erste Seite 1 € jede weitere Seite 0,75 € 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 Stückzahl a) Wie viel € kosten 10, 25, 40, 60 Kopien? b) Formuliere das Angebot in Worten (Erstelle ein Plakat)! c) Fatima muss 6 Kopien machen. Gibt es für sie Möglichkeiten Geld zu sparen? d) Bei welchen Stückzahlen kann man weitere Kopien erstellen, ohne mehr zu bezahlen? 14 L2 Telefontarife 1) Die Telefongesellschaft TELAG verlangt für Privatkunden eine monatliche Gebühr von 12 € und einen Preis von 0,15 € für eine Einheit. a) Wie hoch sind monatliche Telefonrechnungen für 125 und 250 Einheiten? b) Wie lautet die Funktionsgleichung für den monatlichen Gesamtpreis? c) Zeichne den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. Achte dabei auf eine sinnvolle Skalierung der Koordinatenachsen. d) Frau Knauser möchte jeden Monat höchstens 25,- € für ihre Telefonrechnung ausgeben. Für wie viele Einheiten darf sie maximal telefonieren? 2) Die Telefongesellschaft Novotel hat auch einen linearen Tarif. Bei ihr werden monatlich beispielsweise für 100 Einheiten 30 € und für 125 Einheiten 36,25 € verlangt. a) Wie lautet hier die Funktionsgleichung für den monatlichen Gesamtpreis? b) Wie hoch ist die Telefonrechnung bei 180 Einheiten? c) Zeichne den Funktionsgraphen in das Koordinatensystem von Aufgabe 1. d) Wie viele Einheiten kann man bei Novotel für 25 € vertelefonieren? 3) Bis zu welchem monatlichen Verbrauch sollte man bei Novotel telefonieren? 4) Wie erhält man die Lösung zeichnerisch? 5) Wie erhält man die Lösung rechnerisch? Die Firma TELAG möchte ihre monatliche Grundgebühr derart senken, dass Kunden bereits ab einem monatlichen Konsum von 50 Einheiten bei ihr günstiger telefonieren als bei Novotel. Wie lautet die Funktionsgleichung für den geänderten Tarif? 15 L3 a Weg-Zeit-Diagramme 1) Ordne folgende Weg-Zeit-Diagramme den verschiedenen Texten zu und begründe deine Entscheidung. a) Paola macht einen 1000-Meterlauf. Dabei ist sie am Anfang schneller als in der Mitte, legt zum Schluss aber noch einen grandiosen Sprint hin. b) Ein Auto fährt am Samstagvormittag durch die Hamburger Innenstadt. c) Frau Matheschinski geht zum Bäcker und zurück. d) Eine Wasserbombe fällt aus der dritten Etage des Schulgebäudes. e) Ein ICE bremst nach der Betätigung der Notbremse. 2) Die momentane Geschwindigkeit ist der Wert, den der Tacho anzeigt. Markiere in allen Weg-Zeit-Diagrammen aus Aufgabe 1die Zeitpunkte mit der höchsten Momentangeschwindigkeit. 3) Ein Güterzug verlässt um 8:00h die Stadt U und trifft um 8:45 in der 40 km entfernten Stadt B ein. Um 8.15h fährt ein D-Zug in B ab, der um 8.35h in U eintrifft. a) Zeichnen Sie das Weg-Zeit-Diagramm der beiden Züge! (5km=1cm);( 5min = 1cm) b) Wann fahren die Beiden Züge aneinander vorbei? c) Wie weit ist der Treffpunkt von U entfernt? 16 L3 b Weg-Zeit-Diagramm für den täglichen Weg zur Uni Erläutere die einzelnen Abschnitte Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeit 17 Strecke in m L3 c Zu einer Bewegung gehört das folgende Weg-Zeit Diagramm 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Zeit in s a) Bestimme aus dem Diagramm die Geschwindigkeit in den 5 Phasen. b) Zeichne das zugehörige Zeit-Geschwindigkeit- Diagramm. 18 L 4 Wirtschaftsmathematik: Steuern und Modellierung a) Mit Graf 1 stellt man die Grenzsteuersatz-Funktion von Mathesien. (Währung Taler). Stelle die Funktionsgleichungen für alle Bereiche auf. b) Erläutere die Bedeutung am Einkommen von 8000 Talern. c) Bei kontinuierlicher Modellierung ergibt sich in Graf 2 der Steuerfunktion s. Bestimme diese. Graf 1 Graf 2 19 L5 a Lineare Modellierung Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine PreisAbsatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wurde in n = 6 Geschäften ein Testverkauf durchgeführt. Man erhielt sechs Wertepaare mit dem Ladenpreis x (in Euro) einer Flasche und die verkaufte Menge y an Flaschen: Laden i 1 2 3 4 5 6 Preis einer Flasche xi 20 16 15 16 13 10 verkaufte Menge yi 0 3 7 4 6 10 20 L5b Alle Vögel sind schon da .... Länge Masse Flügelfläche Ruf Länge Masse Flügelfläche Ruf Schwalbe Taube Möve 18 cm 47 g 186 cm² wit-wit 40 cm 143 g gruh grugru gruh gru 56 cm 607 g 2006 cm² ga-ga-ga Krähe Spatz Star 46 cm 440 g 1344 cm² kro 14 cm 25 g 87 cm² tetetetet 21 cm 93 g 190 cm² spett-spett Die Bilder zeigen dir verschiedene Vogelarten mit verschiedenen Angaben. a) Bei einem Vogel fehlt die Angabe der Flügelfläche. Was meinst du wie groß sie sein könnte? b) Übertrage die von dir benutzten Größen für alle Vögel, die oben abgebildet sind, in ein Diagramm. Überlege, ob ein Zusammenhang besteht! c) Lege eine Gerade „so gut wie möglich“ durch die Punkte! Was bedeutet für dich „so gut wie möglich“? d) Wird deine Angabe aus a) bestätigt? e) Passt der Blaureiher (s. Abb. rechts) auch noch in etwa auf deine Gerade? f) Welche Flügelfläche müsste nach deinem „Zusammenhang“ ein Flugsaurier Quetzalcoatlus mit der Masse 220 kg gehabt haben? g) Hältst du eine Gerade als Darstellungsform biologischer Zusammenhänge für geeignet? Begründe deine Meinung! 91cm 2090 g 4436 cm² gra-gra 21 Steckbrief der Aufgabe Inhaltliche Kurzbeschreibung: Schüler stellen biologische Größenangaben graphisch dar, erarbeiten das Zeichnen von augenscheinlich günstigen Geraden (Ausgleichsgeraden) und reflektieren über die Grenzen des Modellierens mit Linearen Funktionen Funktion der Aufgabe: Modellierung von biologischen Daten Musterlösung/mögliche Schülerlösungen: Zu a) Keine eindeutige Angabe möglich! Betrachtungen der Zuordnungen: „Ruf – Flügelfläche“ : sinnlos „Länge- Flügelfläche“ : z.B. 380 cm2 (liefert Vergleich mit dem Star) aber 1167 cm2 (liefert Vergleich mit der Krähe) „Masse-Flügelfläche“ : z.B. 292 cm2 (liefert Vergleich mit dem Star) aber 558 cm2 (liefert Vergleich mit dem Schwalbe) Zu b) Bearbeitung per Hand oder mit dem GTR Länge (in cm) -Flügelfläche (in qcm) Zuordnung: „Länge – Flügelfläche“ 2500 2000 Eher kein linearer Zusammenhang! 1500 1000 500 0 10 20 30 40 50 60 Masse (ing) - Flügelfläche (inqcm) Zuordnung: „Masse – Flügelfläche“ 2500 Ein linearer Zusammenhang und auch nahezu proportionaler Zusammenhang! Zu c) Individuell verschiedene Möglichkeiten der Ausgleichsgeraden! 2000 1500 1000 500 0 0 100 200 300 400 500 600 700 „Möglichst gut“ könnte bedeuten: 22 - etwa gleich viele Punke über der Geraden wie darunter alle Punkte liegen möglichst nah an der Geraden Die Summe der Abstände aller Punkte von der Geraden so klein wie möglich „Ausreißer“ bleiben unberücksichtigt Zuordnung: „Länge - Flügelfläche“ Je nach Lage der Ausgleichsgeraden liegt der Wert um ca. 1200 cm 2. Der Wert aus a) wird nur z.T. bestätigt! Die Aufstellung einer Geradengleichung kann z.B. y = 50 x – 800 liefern. „Hinweis an die Lehrkraft : Das hier nicht gefragte Verfahren der linearen Regression würe die Geradengleichung y = 47 x – 731 liefern“ Zuordnung: „Masse – Flügelfläche“ Je nach Lage der Ausgleichsgeraden liegt der Wert um 400 cm 2. Der Wert aus a) wird ungefähr bestätigt! Die Aufstellung einer Geradengleichung liefert z.B. y = 3 x. „Hinweis an die Lehrkraft : Das hier nicht gefragte Verfahren der linearen Regression würde die Geradengleichung y = 3,25 x – 24 liefern“ (In der Literatur wird die Flügelfläche einer Taube z.B. mit 357 cm2 angegeben.) Der Zuordnung „Länge-Flügelfläche“ einen linearen Zusammenhang zuzuordnen erscheint sehr fraglich, da nicht annähernd ein proportionaler Zusammenhang vorliegt. Sinnvoller erscheint daher die Zuordnung „Masse – Flügelfläche“ (Einer Masse von 0 g entspricht in der Praxis auch einer Flügelfläche von 0 cm 2!) Zu d) Der Blaureiher passt bei der Zuordnungen nicht mehr in die linearen Zusammenhänge. In der Zuordnung „Länge- Flügelfläche“ liegt der Punkt zu weit oben (91 cm – 3750 cm2). In der Zuordnung „Masse- Flügelfläche“ liegt der Punkt zu weit unten (2090 g – 6270 cm2) Zu e) etwa 660 000 cm2 = 66 m2 . Dieser Wert ist hoch, jedoch nicht unwahrscheinlich bei einer Flügelspannweite von 11m (größter Flugsaurier!). Zu f) Nur in begrenzten Bereichen lässt sich ein linearer Zusammenhang ansetzen. Erstellt von: Herr Hogrebe und Frau Kost, Hildegardis-Schule Bochum, Sinus-Transfer, Projekt 1, Set Süd http://db.learnline.de/angebote/sinus/projekt1/material/materialeintragsinusp1.jsp?ma tId=1012 23
