Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktiven Statistik

Prof. Dr. Michael Müller, FB TBW, FH SWF
Stand: WS 04/05
Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und
induktiven Statistik
Aufgabe 1
Eine Münze wird dreimal geworfen.
a) Wie viele und welche Elemente enthält die Ergebnismenge
?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau „2 Kopf“ ?
Aufgabe 2
Geben Sie zu den folgenden Zufallsexperimenten die
Ergebnismengen an (ohne Formeln) :
In einer Urne befinden sich zwei rote, drei grüne und vier
blaue Kugeln.
a) Es werden gleichzeitig zwei Kugeln aus der Urne ohne
Zurücklegen gezogen
b) Es wird erst eine Kugel gezogen, die Farbe wird registriert
und dann wieder zurückgelegt. Anschließend wird die zweite
Kugel gezogen.
c) Ermitteln Sie anhand von Strukturbäumen die
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der verschiedenen
Elementarereignisse (Elemente der Ergebnismenge) für die
Kombinationen:
mit Reihenfolge und ohne Wiederholung
mit Reihenfolge und mit Wiederholung
1
Was ändert sich hinsichtlich des Strukturbaums, wenn man
ohne Reihenfolge spielt? Wie kann man das rechnerisch
berücksichtigen ?
Aufgabe 3
In der ersten Fußball-Liga eines Landes spielen in der Saison
2002/2003 15
Mannschaften um die Meisterschaft – darunter die
Mannschaften Pechstadt
und Glückstein.
a) Wie viele Spiele finden in der Saison, also in Hin- und
Rückrunde insgesamt,
statt?
b) Wie viele verschiedene Platzierungs-Tabellen der Liga sind
nach dem
letzten Spieltag der Saison theoretisch möglich?
c) Wie ändert sich die Anzahl aus Teil b), wenn nach dem
letzten Spieltag
die Mannschaft aus Pechstadt auf Platz 15 und die Mannschaft
aus
Glückstein auf Platz 1 liegt?
Aufgabe 4
In einer Urne befinden sich 7 blaue und 6 gelbe Kugeln. Zwei
Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine
gelbe Kugel zu ziehen unter der Bedingung, dass beim ersten
Zug
eine blaue
eine gelbe
Kugel gezogen wurde ?
2
b) Wenn man 4 mal ohne Zurücklegen zieht, wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 2 gelben und zwei
blauen Kugeln ?
Aufgabe 5
a) 20 Personen verabschieden sich voneinander mit
Händedruck. Jeder
geht alleine nach Hause. Wie oft werden dabei die Hände (1
Händedruck = 2 Hände) gedrückt?
b) 15 Ehepaare verabschieden sich voneinander mit
Händedruck und gehen
paarweise nach Hause. Wie oft werden dabei die Hände
gedrückt?
c) Die 15 Ehepaare verabschieden sich folgendermaßen: Die
Herren von
den Herren mit Händedruck, die Damen von den Damen mit
Küsschen
auf beide Wangen, die Damen von den Herren mit
Händedruck und
Küsschen auf die rechte Wange. Die Ehepaare gehen wieder
paarweise
nach Hause. Wie viele Küsschen werden gegeben? Wie oft
werden die
Hände gedrückt?
Aufgabe 6
Jemand hat zwei Kinder.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kinder
Mädchen sind, wenn
a) keine sonstigen Angaben vorliegen
b) bekannt ist, dass ein Kind ein Mädchen ist
c) bekannt ist, dass das erste Kind ein Mädchen ist ?
3
Aufgabe 7
Relais können aus verschiedenen Gründen ausfallen, unter
anderem durch Kurzschluss.
Der Anteil der defekten Relais in einem System betrage 5%.
Der Anteil der durch Kurzschluss ausgefallenen liege bei 3%
von allen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Ausfall
eines Relais auf Kurzschluss zurückzuführen ist ?
Aufgabe 8
An einer Hochschule gewinnt man folgende Erkenntnisse:
a) 15% der Studenten sind weiblich
b) von den männlichen Studenten rauchen 25%
c) von den weiblichen Studenten rauchen 35%
Erstellen Sie eine Kontingenztabelle.
Aufgabe 9
In einem Wühlkorb eines Textilwarenhauses befinden sich
200 Wäschestücke.
a) 80 Teile sind gut verarbeitet
b) 15% aller Teile sind sowohl modisch als auch schlecht
verarbeitet
c) Die Wahrscheinlichkeit für ein unmodisches Stück unter
der Bedingung, dass es gut verarbeitet ist, beträgt 25%
Erstellen Sie eine Kontingenztabelle.
Aufgabe 10
Ein Student besteht die Klausur „Statistik“ mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,7 und die Klausur „Mathematik“
4
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8. Die Wahrscheinlichkeit
für das Bestehen beider Klausuren beträgt 0,6.
a) Sind die Ereignisse „Bestehen Mathematik“ und „Bestehen
Statistik“ unabhängig ?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens
eine Klausur bestanden wird
Aufgabe 11
In einer Stadt erscheinen die drei Lokalblätter a, b und c. Das
Ereignis A sei
definiert durch
A : „Ein zufällig ausgewählter erwachsener Einwohner der
Stadt liest Blatt a.“
Entsprechend seien die Ereignisse B und C definiert. Es ist
bekannt, dass
P(A) = 0,40; P(B) = 0,50; P(C) = 0,20
P(A und B) = 0,1; P(B und C) = 0,05; P(A und C) = 0,15;
P(A und B und C) = 0,04
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig
ausgewählter
erwachsener Einwohner der Stadt
a) mindestens eine der drei Zeitungen liest,
b) ausschließlich b liest,
c) weder a noch b liest,
d) nur b und c liest,
e) höchstens zwei der drei Zeitungen liest.
Aufgabe 12
In einer Fabrik produziert Maschine A 50%, Maschine B 30%
und Maschine C 20% der Gesamtproduktion eines Gutes.
5
Dabei kommen aus Maschine A 3%, aus Maschine B 4% und
aus Maschine C 5% schadhafte Teile.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus der
Gesamtproduktion bei zufälliger Auswahl ein schadhaftes Teil
zu erwischen ?
b) Nehmen Sie an, Sie hätten ein schadhaftes Teil gezogen.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Teil auf
Maschine A produziert wurde ?
Aufgabe 13
Stellung im Hauptsc
Beruf
hule
Arbeiter
10.000
Angestellter
oder
Beamter
Selbständig
er
Summe
Höhere Hochsch Summe
Schule
ule
750
0 10.750
2.500
1.200
100
3.800
500
250
150
900
13.000
2.200
250 15.450
Die Tabelle enthält die Aufteilung von 15.450 Erwerbstätigen
nach Schulbildung und nach Stellung im Beruf. Man denke
sich die Gesamtheit durch eine Kartei vollständig erfasst.
a) Der Kartei wird eine Karte entnommen. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit für
1) Arbeiter mit Hauptschulabschluss
2) Angestellter/Beamter mit höherer oder
Hochschulbildung
3) Nichtselbständiger mit Hochschulbildung
6
4) Erwerbstätiger mit höherer Schulbildung oder
Selbständiger
5) Selbständiger unter der Bedingung
Hauptschulabschluss
b) Der Kartei werden zwei Karten ohne Zurücklegen
entnommen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit für
folgende Ereignisse:
1) eine der Karten betrifft einen Angestellten/Beamten,
die andere einen Selbständigen
2) mindestens eine Karte betrifft einen Arbeiter
Aufgabe 14
40% der männlichen und 30% der weiblichen Bevölkerung
lesen Zeitung. Weiterhin setzt sich die uns interessierende
Gesamtbevölkerung aus 60% Männern und 40% Frauen
zusammen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
ausgewählte Person Zeitung liest ?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
zeitungslesende Person männlich ist ?
Aufgabe 15
Ein Industrieprodukt bestehe aus drei Teilen. In der Fertigung
bestehe Unabhängigkeit
zwischen den Teilen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil
Ausschuss
ist, betrage für die drei Teile jeweils 3%, 5% und 6%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Endprodukt
völlig einwandfrei ist?
7
Aufgabe 16
In einer Reifenfabrik werden 40% der Reifen während der
Frühschicht, 40%
der Reifen während der Spätschicht und die restlichen 20%
der Reifen während
der Nachtschicht produziert. Es ist bekannt, dass der Anteil
fehlerhafter
Reifen für die Frühschicht 2%, für die Spätschicht 3% und für
die
Nachtschicht 8% beträgt.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein in dieser
Fabrik produzierter
Reifen fehlerhaft ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Reifen, von
dem bekannt
ist, dass er fehlerhaft ist, während der Nachtschicht (der
Frühschicht,
der Spätschicht) produziert wurde?
Aufgabe 17
Wie oft muss ein fairer Würfel mindestens geworfen werden,
damit die Wahrscheinlichkeit,
mindestens einmal eine gerade Augenzahl zu werfen,
mindestens 0,9 ist?
Aufgabe 18
Ein Bauer schließt eine Feuerversicherung für seine Scheune
ab. Diese kostet bei einer Laufzeit von einem Jahr eine Prämie
von 100 €. Im Brandfall zahlt die Versicherung 10.000 € aus.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Brand in dieser Gegend
8
betrage 0,0008 p.a.. Wie hoch ist der durchschnittliche
Überschuss der Versicherung p.a. pro Vertrag ?
Aufgabe 19
Eine Zufallsvariable hat folgende
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
xi
2
3
5
8
9
f(xi) 0,1 0,4 0,2 0,1 0,2
Berechnen Sie Erwartungswert E(xi) und
Standardabweichung.
Aufgabe 20
Die Anzahl der in einer Klausur erreichten Punkte kann nur
folgende Werte (xi) annehmen, welche mit der
Wahrscheinlichkeit f(xi) eintreffen:
xi
2
3
4
5
9
20
f(xi)
0,15
0,3
0,25
0,15
0,1
0,05
Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und
Standardabweichung.
Aufgabe 21
Es sei X die Wartezeit in Minuten, die man auf einer Behörde
verbringt, bis man zum Sachbearbeiter vorgelassen wird. Der
Erwartungswert für die Wartezeit sei 10 Minuten, die
Standardabweichung 5 Minuten. Wie groß ist höchstens die
Wahrscheinlichkeit, länger als 20 Minuten warten zu müssen ?
9
Aufgabe 22
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, beim 5-maligen Ziehen
einer Karte aus einem Skat-Kartenspiel (mit Zurücklegen)
genau einmal Pik zu ziehen. Wie ändert sich die
Wahrscheinlichkeit, wenn man ohne Zurücklegen zieht ?
Aufgabe 23
Die von einer Maschine produzierten Artikel sind zu 20%
nicht einwandfrei. Die Artikel werden ohne Kontrolle an den
Händler ausgeliefert. Der Händler überprüft die Ware anhand
einer Stichprobe, indem er 10 Artikel nach dem Zufall aus der
Sendung herausgreift. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet
er mehr als 2 nicht einwandfreie Artikel ?
Aufgabe 24
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein deutscher Urlauber in
einem bestimmten
Land eine seltene Infektionskrankheit zuzieht, sei p = 0,0001:
Nehmen Sie an, in einem Jahr verbringen 20.000 Deutsche
ihren Urlaub in diesem Land.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens
ein deutscher
Urlauber die Infektionskrankheit zuzieht ?
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung
der Anzahl
deutscher Urlauber, die sich mit der Krankheit infizieren.
Aufgabe 25
Man räumt einem neu entwickelten Medikament gegen
Herzinfarkt eine Heilungschance von 0,9 ein. Gesucht ist die
10
Wahrscheinlichkeit, dass von 5 behandelten Personen
mindestens 4 gesund werden.
Aufgabe 26
Die Hochschulvereinigung „Schafft die Statistik ab“ hat
innerhalb der Studentenschaft 40% Anhänger. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei 5 zufällig ausgewählten Studenten auf
a) keinen
b) genau 2
c) höchstens 3
d) mindestens 2
Anhänger zu stoßen ?
Aufgabe 27
In einer Saison spielen die Fußballmannschaften des 1.FC
Adorf und Borussia Dstadt 5 mal gegeneinander. Mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,6 gewinnt Adorf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adorf in der Saison
a) höchstens zwei Spiele
b) alle Spiele
c) kein Spiel
d) die Mehrheit der Spiele
gewinnt ?
Aufgabe 28
Ein Fragebogen bei einer Führerscheinprüfung enthält 25
Fragen, wobei von jeweils 4 vorgegebenen Antworten genau
eine anzukreuzen ist. Zum Bestehen sind mindestens 15
richtige Antworten nötig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Kandidat, der völlig willkürlich ankreuzt, den Test
besteht?
11
Aufgabe 29
In einem Feriengebiet ist das Wetter zu 60% schön. Ein
Hotelbesitzer garantiert seinen Gästen für einen 7-Tage
Aufenthalt vorwiegend, d.h. an mindestens 4 Tagen schönes
Wetter. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erfüllt sich das
Garantieversprechen des Hotelbesitzers?
Aufgabe 30
In einer Telefonzentrale läuft durchschnittlich pro Minute ein
Anruf ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) genau ein Anruf pro Minute
b) höchstens ein Anruf pro Minute
c) in 5 Minuten genau 6 Anrufe
ankommen? Gehen Sie von einer Poissonverteilung der
Anrufe aus.
Aufgabe 31
Die Firma Invinoveritas lagert in einem ihrer Weinkeller 80
Rotwein- und 40
Weißwein-Fässer. Dieser Weinkeller wurde beim letzten
Hochwasser überflutet,
so dass die Fässer nun völlig ungeordnet im Keller liegen. Der
Inhaber
lässt zunächst sechs Fässer aus dem Keller holen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit,
dass sich darunter
a) genau drei Weißwein- und drei Rotwein-Fässer
b) mindestens ein Rotwein-Fass
c) höchstens vier Weißwein-Fässer
befinden ?
12
Aufgabe 32
Ein Hersteller liefert einem Händler elektronische Bauteile,
die in Kisten zu je
100 Stück verpackt sind. Der Liefervertrag sieht vor, dass der
Händler eine
Kiste zurückweisen kann, wenn er darin auch nur ein einziges
fehlerhaftes
Bauteil findet.
Eine Totalkontrolle einer Kiste ist nicht möglich; daher
werden einer Kiste
ohne Zurücklegen einige Bauteile entnommen und auf
Fehlerhaftigkeit untersucht.
a) Nehmen Sie an, dass einer Kiste fünf Bauteile entnommen
werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste
zurückgewiesen
wird, wenn sie tatsächlich zwei fehlerhafte Bauteile enthält?
b) Wie viele Bauteile n müssen mindestens entnommen
werden, damit die
Wahrscheinlichkeit, die Kiste zurückweisen zu können, größer
als 0,5
ist, wenn tatsächlich M fehlerhafte Bauteile in der Kiste sind?
Geben Sie den allgemeinen Formelausdruck an und
bestimmen Sie n
für M = 1.
c) Der Händler erhält eine Lieferung von 50 Kisten. In jeder
Kiste
befindet sich genau ein fehlerhaftes Bauteil.
13
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Händler
mindestens eine
Kiste zurückweist (d.h. in mindestens einer Kiste ein
fehlerhaftes
Bauteil findet), wenn er die Kontrolle wie in (a) durchführt,
d.h. einer
Kiste jeweils fünf Bauteile ohne Zurücklegen entnimmt?
Aufgabe 33
An einer Straße werden Autos gezählt. Es wird festgestellt,
dass für beide Richtungen die Anzahl der pro Zeiteinheit
passierenden Fahrzeuge poissonverteilt mit mü = 1
bzw. mü = 4 ist.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt (d.h. in
beiden Richtungen zusammen) kein Fahrzeug pro Zeiteinheit
zu beobachten ?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Richtungen
zusammen höchstens zwei Fahrzeuge pro Zeiteinheit zu
beobachten ?
Aufgabe 34
Auf einer Drehbank werden Bolzen hergestellt, deren Länge
als normalverteilt gilt. Die Länge soll 100 mm betragen, der
Maschinenführer hat aber unbeabsichtigt auf 100,1 mm
eingestellt. Die Standardabweichung der Drehbank beträgt 0,1
mm. Laut Liefervertrag sind die Bolzen normgerecht, wenn
sie nicht mehr als 0,2 mm von 100 mm abweichen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Normgerechtigkeit
eines zufällig herausgegriffenen Bolzens ?
14
Aufgabe 35
Eine Fluggesellschaft weiß, dass die Anzahl ihrer Fluggäste
normalverteilt ist, mit Mittelwert = 150 und sigma = 25. Mit
wie vielen Fluggästen kann sie pro Flug mit 90 %-iger
Wahrscheinlichkeit kalkulieren?
Aufgabe 36
In einem Walzwerk werden Metallfolien hergestellt, von
denen nur Folien, deren Dicke zwischen 0,82 und 1,18 mm
liegen, zur Weiterverarbeitung verwendet werden können. Der
Rest wird als Ausschuss betrachtet. Zur Herstellung werden
dem Betrieb zwei Anlagen A und B angeboten. Die
Foliendicke der mit diesen Anlagen hergestellten Folien sind
um den auf den Anlagen einstellbaren Sollwert
(Erwartungswert) normalverteilt und zwar bei Anlage A mit
einer Standardabweichung von 0,1 mm und bei B von 0,18
mm.
Die Produktionskosten pro 1000 Coils betragen für Anlage A
€ 2000,- und für B € 1600,-. Für welche der beiden Maschinen
sollte sich der Betrieb entscheiden, wenn einwandfreie Folien
zu minimalen Stückkosten hergestellt werden sollen?
Aufgabe 37
Aus einer Produktion von 800 Seilen wurden zufällig und
ohne Zurücklegen 64 Seile ausgewählt und auf ihre
Reißfestigkeit hin überprüft. Im Durchschnitt rissen die Seile
bei einer Zugkraft von 1650 kp; der Variationskoeffizient
betrug 3 %.
Innerhalb welcher Grenzen reißen die Seile (Konfidenzniveau
0,99) ?
15
Aufgabe 38
Eine Operation wurde in einem Krankenhaus 81-mal
durchgeführt, wobei als Erfolg galt, wenn sich der
Gesundheitszustand verbessert (p = 0,2).
Man bestimme ein 95,45 % Konfidenzintervall für den Anteil
der erfolgreichen Operationen.
Aufgabe 39
In einer Fabrik werden Konservendosen abgefüllt, deren
Nettofüllgewicht
als normalverteilt angesehen werden kann. Das
durchschnittliche Nettofüllgewicht
der Dosen beträgt 249,2 Gramm, die Standardabweichung
11,37
Gramm. Das Label der Dosen gibt ein Nettofüllgewicht von
240 Gramm an.
Berechnen Sie den Anteil Dosen, die untergewichtig sind.
Aufgabe 40
Die tatsächliche Flugzeit X in Minuten von Köln nach
Washington kann als
normalverteilte Zufallsvariable aufgefasst werden.
Es sei bekannt, dass P(X <= 470) = 0,9332 und
P(X > 426) = 0,7580.
a) Bestimmen Sie aus diesen Angaben Erwartungswert und
Varianz.
b) Welche Flugzeit wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
95% nicht überschritten?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die tatsächliche
Flugzeit zwischen
420 und 460 Minuten?
16
Aufgabe 41
Die Anzahl X der Tippfehler pro Seite eines Manuskriptes sei
binomialverteilt mit n = 400 und pi = 0,005.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf einer
Seite
- mindestens ein Tippfehler
- mindestens zwei Tippfehler
befinden?
b) Das Manuskript hat insgesamt 200 Seiten. Was können Sie
über die Verteilung der Anzahl der Tippfehler im Manuskript
aussagen? (Begründung der Vorgehensweise.)
(i) Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung der
Anzahl der Tippfehler im Manuskript an.
(ii) Was können Sie über die Wahrscheinlichkeit aussagen,
dass das gesamte Manuskript zwischen 300 und 500 Fehler
enthält?
Aufgabe 42
Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert
100 und Varianz 36. Es wird eine einfache Zufallsstichprobe
vom Umfang n = 10 gezogen und der Stichprobenmittelwert X
berechnet.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert des
Stichprobenmittelwerts.
b) Bestimmen Sie die Varianz des Stichprobenmittelwerts.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Stichprobenmittelwert größer als 102 ist?
17
Aufgabe 43
In der Mühle eines Freilichtmuseums wird nach alter Tradition
Mehl gemahlen und in Tüten verpackt. Das Einzelgewicht X
einer Mehltüte kann als normalverteilte Größe angesehen
werden. Die Varianz des Gewichts sei aus langjähriger
Erfahrung (Grundgesamtheit) bekannt und betrage 15
Quadratgramm: Eine Stichprobe vom Umfang n = 16
erbrachte ein Gesamtgewicht von 7.936 Gramm.
a) Auf wie groß wird das durchschnittliche Tütengewicht
geschätzt?
b) Bestimmen Sie ein 0,90-Konfidenzintervall für den
Erwartungswert des Gewichts einer einzelnen Mehltüte und
ein 0,90-Konfidenzintervall für den Erwartungswert des
durchschnittlichen Mehltütengewichts in der Stichprobe.
c) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein,
wenn das 90%-Konfidenzintervall höchstens eine Breite von 2
Gramm haben soll?
Aufgabe 44
Bei einer Wahlumfrage wurden 200 zufällig ausgewählte
Personen danach befragt, ob sie bei den nächsten
Landtagswahlen für die Partei A stimmen würden
oder nicht. Von den befragten Personen gaben 75 Personen an,
dass sie beabsichtigen, A zu wählen.
a) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 1- alpha = 0,95 ein
Konfidenzintervall für den Stimmenanteil der Partei A.
b) Wie viele Personen hätten befragt werden müssen, um den
Stimmenanteil von A bei einem Konfidenzniveau von 95%
auf 3 Prozentpunkte genau zu prognostizieren?
18
Aufgabe 45
Eine Ladenkette fordert von den Erzeugern für Eisbergsalat
ein mittleres Kopfgewicht von mindestens 1000 Gramm. Das
Gewicht kann als normalverteilte Größe angesehen werden.
Aus einer Lieferung wird eine Stichprobe vom Umfang n = 7
gezogen. Man erhält x = 960,7 Gramm und s = 46,5 Gramm.
Prüfen Sie auf einem Signifikanzniveau von alpha = 0,05, ob
das mittlere Kopfgewicht der Forderung entspricht.
Aufgabe 46
Ein Hersteller von Ventilatoren für PCs gibt für die
Ventilatoren eine mittlere Lebensdauer von mindestens 3000
Stunden an. Ein Verbraucherinstitut behauptet, die
Lebensdauer sei geringer, und testet 50 Ventilatoren. Für
diese ergibt sich eine mittlere Lebensdauer von 2900 Stunden
bei einer Stichprobenvarianz von 160 Quadratstunden. Ist die
Behauptung des Herstellers mit dem Stichprobenergebnis
vereinbar (alpha = 0,05)?
Aufgabe 47
Den Angaben des Herstellers folgend gelten für Bildröhren
der Marke "Abas" eine mittlere Lebensdauer von 1400
Stunden und eine Standardabweichung von 60 Stunden. Die
Lebensdauer der Bildröhren sei normalverteilt.
Zur Überprüfung entnimmt ein Prüfer aus einer
Monatsproduktion 100 Röhren und erhält einen
Stichprobenmittelwert von 1388 Stunden.
a) Wird er bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 dem
Hersteller zustimmen?
b) Wie lautet die Entscheidung, wenn nur 30 Bildröhren
getestet wurden ?
19
Aufgabe 48
Von der Abfüllanlage einer Brauerei werden Flaschen gefüllt, wobei die
Füllmenge X pro Flasche gewissen Schwankungen unterliegt und als
normalverteilte Zufallsvariable mit bekannter Standardabweichung sigma = 1,5
ccm angesehen werden kann. Die Hypothese H0, dass der Erwartungswert mü
dieser Normalverteilung gleich dem Sollwert mü0 = 330 ccm ist, soll anhand
einer Stichprobe mit n = 30 überprüft werden.
Aufgrund der Interessenlage derjenigen Personen, die die Untersuchung
vornehmen, unterscheiden wir drei Fälle, nämlich: Die Überprüfung geschieht
durch:
(i)
eine Eichkommission, die an einer Abweichung vom Sollwert mü0 =
330 sowohl nach unten als auch nach oben interessiert ist,
(ii) eine Verbraucherorganisation, deren Interesse nur der Frage gilt, ob
der wahre Erwartungswert mü kleiner als der Sollwert mü0 ist,
(iii) den Brauereibesitzer, von dem wir hier annehmen, dass er lediglich
wissen will, ob im Mittel zu viel abgefüllt wird.
Formulieren Sie für jeden der drei Fälle das entsprechende Testproblem (d.h. H0
und HA) und bestimmen Sie dafür jeweils einen Test. Das Niveau der Tests sei
jeweils alpha = 0,01. Für welche Werte von x wird die Nullhypothese bei den
drei Tests abgelehnt?
Als Stichprobenmittel für die Füllmenge ergab sich der Wert
x = 329,33 ccm. Wie entscheiden Sie sich in den drei Fällen?
Aufgabe 49
Ein Ostwestfalener Keksfabrikant geht aufgrund einer Analyse des
Marktforschungsinstituts "Durchblick GmbH" von der Annahme aus, dass rund
1/4 der Bevölkerung sein Produkt kennt. Nach einer Werbekampagne will er
wissen, ob der Anteil sich erhöht hat (Irrtumswahrscheinlichkeit = 0,05). Er lässt
100 Personen befragen, von denen 29 das Produkt kennen.
Ende reguläre Aufgabensammlung
Weitere Aufgaben
20
Aufgabe 50
Verfahrenstechniker C ist beauftragt, den Kohlenstoffgehalt von zwei
verschiedenen Serien eines Industrieprodukts zu vergleichen, der als
normalverteilt gilt. Dazu entnimmt er aus den Serien X und Y jeweils
Stichproben und prüft mit Irrtumswahrscheinlichkeit = 0,05. Er findet folgende
Werte:
X: nx = 12;
Y: ny = 16;
x-quer = 8; sx = 6
y-quer = 11; sy = 4
Aufgabe 51
Auf einer Maschine werden Werkstücke hergestellt, deren Länge eine Varianz
von (2,8 mm) zum Quadrat aufweist. Eine Zufallsstichprobe von zehn Stück
ergab
folgende Werte in mm:
41,6; 37,1; 42,4; 39,3; 40,2; 36,1; 37,6; 43,5; 36,7; 37,2
Geben Sie ein Konfidenzintervall für den unbekannten Mittelwert der
Werkstücklänge
zu einem Niveau von mindestens 1- alpha = 0,95 an.
21