Umgang mit Termen

Lösbarkeit von Gleichungen
Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2
Impressum .................................................................................................................. 3
Lernziele ..................................................................................................................... 4
Gleichungen ............................................................................................................... 5
Die Lösung als Bruch angeben, wenn die Rechnung „nicht aufgeht“ ......................... 5
Gleichungen mit negativen Werten als Lösungen ...................................................... 8
Gleichungen mit Klammern ...................................................................................... 11
Bruchgleichungen ..................................................................................................... 12
Lösbarkeit von Gleichungen ..................................................................................... 15
Umstellen von Formeln ............................................................................................. 17
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Impressum
Produktion:
leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, 87600 Kaufbeuren
Herausgeber:
e/t/s Didaktische Medien GmbH
Kirchstraße 3
87642 Halblech
Autor:
Bfw Bad Pyrmont
Rechte:
Copyright© 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech.
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Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Lernziele
In den Qualifizierungseinheiten zu den Grundrechenarten Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division sowie der Qualifizierungseinheit „Rechengesetze“ haben
Sie den praktischen Umgang mit Zahlen wiederholt, d.h. wie man Terme korrekt
ausrechnet. Dabei müssen Sie bestimmte Gesetzmäßigkeiten beachten,
beispielsweise die Vertauschbarkeit von Werten innerhalb einer Rechnung oder die
„Vorfahrtsregelungen“ „Punkt-vor-Strich“ und „Klammern zuerst“.
Diese Rechengesetze - und dazu noch einige mehr - kann man verallgemeinernd
betrachten. Immer wenn es um mathematische Ausdrücke – also Terme – geht,
gelten sie, beim Lösen von Gleichungen ebenso.
In dieser Qualifizierungseinheit

lernen Sie folgenden Gesetze kennen und in Termumformungen und
Gleichungen anzuwenden:
 das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz
 das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz
 das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz

Sie lernen mit negativen Werten zu rechnen und die Vorzeichen bei
Termumformungen zu berücksichtigen.

Sie lernen Bruchgleichungen zu lösen.

Sie lernen die Lösbarkeit und einschränkende Bedingungen einer Gleichung
zu erkennen.

Sie lernen Formeln umzustellen.
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Gleichungen
In diesem Kapitel werden Probleme im Umgang mit linearen Gleichungen behandelt,
die mit Hilfe Ihrer Kenntnisse der Rechengesetze und Ihrem erfolgreichen Umgang
mit Vorzeichen gelöst werden können. Grundwissen über das Lösen einer Gleichung
mit einer der vier Grundrechenarten aus dem LB Gleichungen 1 setzen wir voruaus.
Die Lösung als Bruch angeben, wenn die Rechnung „nicht aufgeht“
Ist der letzte Schritt zur Lösung einer Gleichung eine Division, die oft ja nicht
„aufgeht“, lässt man üblicherweise das Ergebnis als Bruch stehen. Nur wenn ein
Problem mit konkreten Größen gelöst werden soll, das Ergebnis beispielsweise
einen Geldbetrag oder ein Längenmaß darstellt, dürfen Sie runden. In allgemeinen
Gleichungen dürfen Sie niemals runden, sonst stimmt die Probe nicht exakt. Es heißt
ja „Gleich-ung“ und nicht „Ungefähr-ung“!
Beispiel:
7x=5
/:7
Die Gleichung wird durch 7 geteilt.
x=5:7
Das könnte man ausrechnen, die Rechnung geht aber
nicht auf! Also wird die Division mit Hilfe des Bruchstrichs
notiert:
x = Error!
So kann das Ergebnis bleiben!
L =  Error!
So gibt man auf „gut Mathematisch“ die Lösung als
Lösungsmenge an!
Probe:
7  Error! = Error! = 5  wahre Aussage, also ist die
Gleichung richtig gelöst worden.
Beispiel:
1,4 x = 0,6
Die Gleichung wird durch 1,4 geteilt.
x = Error!
Das Ergebnis steht als Bruch, muss nun mit 10 erweitert
werden, damit keine Kommazahlen mehr vorkommen.
x = Error!
Nun kürzen Sie! (Hier durch 2!)
x = Error!
L =  Error!
Probe:
1,4  Error!= Error! = 4,2 : 7 = 0,6  wahre Aussage,
also ist die Gleichung richtig gelöst worden.
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Übung
Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie die Ergebnisse als Bruch oder
gemischte Zahl an. Denken Sie daran, das Ergebnis in der vollständig gekürzten
Form anzugeben und nur ganze Zahlen in Zähler und Nenner zu belassen. Machen
Sie jeweils auch die Probe:
15 x = 14
14 x = 15
x=
x=
Probe:
Probe:
12 x = 10
65 x = 15
x=
x=
Probe:
Probe:
36 x = 15
39 x = 102
x=
x=
Probe:
Probe:
19 x = 21
x=
Probe:
121 x = 22
x=
Probe:
1,5 x = 0,8
0,18 x = Error!
x=
x=
Probe:
Probe:
2,9 x = 0,03
22,5 x = 50
x=
x=
Probe:
Probe:
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Gleichungen mit negativen Werten als Lösungen
Peter hat 11 Äpfel. Wie viele hat ihm seine Tante noch dazu gegeben, wenn er
hinterher 8 Äpfel hat?
Hier stimmt ja wohl etwas nicht! Peter hat nichts bekommen, er hat weniger Äpfel,
also hat er welche gegessen oder abgegeben!
Übersetzen Sie trotzdem die Aufgabe in eine Gleichung, dann sieht das so aus:
11 + x = 8
Wenden Sie Ihre Kenntnisse zum Lösen einer Gleichung an und Sie erhalten
folgende Lösung:
x = 8 – 11
x = –3
Es gibt also eine rechnerische Lösung : x = -3 . Sie machen die Probe, indem Sie
den Wert (-3) an die Stelle des x in die Gleichung einsetzen.
11 + (-3) = 8
11 – 3 = 8  wahre Aussage!
Bezogen auf die Aufgabe mit Peter und seinen Äpfeln gibt es diese Lösung nicht,
weil es keine –3 Äpfel gibt! Stückzahlen beziehen sich auf den Zahlenraum der
natürlichen Zahlen Ν.
Erweitert man den Zahlenraum für mögliche Lösungen jedoch nicht nur auf die
Menge aller positiven, sondern auch aller negativen rationalen Zahlen (Q), dann
ergibt sich eine mathematische Lösung dieser Gleichung.
Im Folgenden sind für alle Aufgaben Lösungen aus dem gesamten Zahlenraum Q
möglich.
Beispiel:
4 – x = 9 .........................................................................
| -4
-x=9–4
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
|  (-1) Das x mit dem verkehrten
-x=5
Vorzeichen (-x) ist 5, also
multiplizieren Sie die Gleichung
mit –1!
x = -5
Probe: 4 – (-5) = 9
4 + 5 = 9  wahre Aussage!
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Übung
Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie die Probe
45 – x = 55,2
15 x = -4,5
2,5 x = -22,5
-65 – x = 20
x : (-3) = 9
15 – x = 17 + x
x + 26 = - 13 – x
x + 23 = -13
-3x = 12
- 44 + x = - 65
2x = -77
x : 5 = -7
- x – 2 = 12
0 = x + 11
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Gleichungen mit Klammern
Im LB Gleichungen haben Sie gelernt, einfache Gleichungen zu lösen.
Sind Gleichungen aus größeren Termen zusammengesetzt, müssen Sie sämtliche
Rechengesetze berücksichtigen.
„Punkt vor Strich“ bedeutet in der Gleichungslehre, dass die Punktrechenarten die
Terme fester zusammenhalten als die Strichrechenarten. Deshalb müssen die
Strichrechenarten zuerst von der Variablen gelöst werden. Klammern können
ausmultipliziert werden, um die Terme übersichtlicher zu gestalten.
Beispiele: ....................................................................................................................
x – (2x – 6)  2 = .................................................................................................. x + 2
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Lösen Sie z
Klammern
Sie die Gle
lösen!
Beachten S
was Sie im
mit Klamme
Vorzeichen
haben:
1. Ein
Kla
ute
Kla
kan
we
we
das
ode
ver
2. ein
Kla
bed
das
und
um
3. Ein
ode
der
bed
das
aus
tw
mu
Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
x – 4x + 12 = ................................................................................................................ x + 2Zusammen
–3x + 12 = ....................................................................................................................| x + 2Alle Eleme
+3x auf der Sei
sammeln, w
sind,
die
4xZahlen
+2
anderen.
.............................................................................................................................. 12 =| 2
.............................................................................................................................. 10 =| :4 4x
............................................................................................................................. 2,5 = x
2,5 – (2,5 
Probe:
= 2,5 + 2
2,5 – (5 – 6
2,5 – (-1) 
2,5 + 2 = 4,
Aussage!
Übung
Lösen Sie folgenden Gleichungen:
5 (2x +2) = x + 28
(x + 1)  7 – 5 = 8x
10 – (1 –x) = 8
2 (2 – 1,5x) = 8
2x – (-x –1)  3 = 3
(x + 2)  2 = (x + 3)  3
- (x +2) = (x + 3)  3
(16 x – 8) : 4 = x + 6
(x+2) (x – 2) = x2 – x
(x – 5)2 = x2 + 5
(10 + x )2 = x2
Bruchgleichungen
Beachten Sie folgende Regeln der Bruchrechnung:
Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem die Zähler addiert
bzw. subtrahiert werden und der Nenner bleibt.
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Ungleichnamige Brüche müssen auf den Hauptnenner erweitert werden.
Wenden Sie diese Regel auch im Umgang mit Brüchen in Gleichungen an!
Beispiel:
Sie!
Error!- Error!
= 40 .... Hauptnenner ist 12. Erweitern
Error!- Error!
Error!
= 40
= 40
Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
= 40  12
= 480
= 96
5x
5x
x
:5
Tipp : Sie können die Gleichung auch sofort mit dem Hauptnenner multiplizieren,
das sieht dann so aus und geht schneller:
Error!– Error!
4
= 40 Multiplizieren Sie beide Seiten
der Gleichung mit dem Hauptnenner 12.
3
Error!– Error!= 12  40
8x – 3x
5x
x
Probe:
Kürzen!
= 480
= 480
= 96
Error!– Error! ......................................................................... = 40
64 – 24 ..................................................................................... = 40
Übung
Lösen Sie folgenden Gleichungen ebenso:
Error!+ Error! = 62
Error!– Error! = 16
Error!– Error! = 3
Error!+ 8 = Error! + 2
Wenn der Zähler (oder auch der Nenner) eine Strichrechenart enthält, müssen Sie
aufpassen, dass Sie beim Multiplizieren eine Klammer um den jeweiligen Term
setzen müssen!
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Beispiel:
Hauptnenner!
Error! + Error!
2
= -2 ................. Multiplizieren Sie mit dem
Setzen Sie die Zähler in Klammern!
3
Error! + Error! = -2  6 ..............................................................
Kürzen!
2x – 4 + 6 – 3x = –12
2–x
= –12
–x
= –14
x
= 14
Probe:
Error! + Error! .................................................................... = -2
Error! + Error! .................................................................... = -2
4–6
= -2
Übung
Lösen Sie folgenden Gleichungen ebenso:
Error! = Error! - Error!
Error!- 2 = Error!
Error! + Error!= x
Error! + Error!= 1
Error! - Error!= 4
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Lösbarkeit von Gleichungen
x + 3 = 1 ist nur lösbar, wenn x nicht darauf begrenzt ist, eine positive Zahl zu sein;
denn x = -2 .
Für x muss die sogenannte Grundmenge definiert sein und x muss dann ein Element
aus dieser Menge sein. In unserem Zusammenhang wollen wir x immer aus der
Menge der rationalen Zahlen (Q) wählen, das sind die Zahlen, die sich als Bruch
schreiben lassen.
Wir wollen folgende Gleichung lösen: x + 1 = x – 1
|-x
+ 1 = - 1......................................................
Was bedeutet das?
Diese Aussage ist eindeutig falsch!
Vielleicht probieren wir es anders? ............................................................ x + 1 = x – 1
.....................................................................................................................................
............................................................................................................................... | - 1
x
= x – 2 ..................................................
|-x
0
= - 2 .....................................................
Was bedeutet das?
Diese Aussage ist eindeutig falsch!
Wie Sie es auch angehen, es entsteht eine falsche Aussage. Das bedeutet, unsere
Ausgangsgleichung ist nicht lösbar!
Die Lösungsmenge ist leer. Man schreibt L =  
Lösen Sie nun diese Gleichung:
2x – x = x
x = x ....................................................| -x
0=0
Das stimmt! Aber welchen Wert hat x?
Sie gelangen zu einer allgemeingültigen Aussage, die unabhängig von der Wahl für
den Wert von x ist. Das heißt, egal wie Sie den Wert für x wählen, es entsteht immer
eine wahre Aussage. Probieren Sie es!
2x – x = x
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
x=1

21–1
=1
x=2

22–2
=2
x=3

23–3
=3
x=0

20–0
=0
x = -1

2  (-1) –(-1)
= -1
x = -2

2  (-2) – (-2) = -2
Die Gleichung ist allgemeingültig und hat unendlich viele Lösungen. Man schreibt
L=Q
Alle anderen Gleichungen dieser Lerneinheit haben nur ein Ergebnis.
Beispiel:
x + 5 = 0,5
x
= 0,5 – 5
x
= -4,5 ..................... Die Gleichung ist eindeutig lösbar.
Man schreibt
L = -4,5
Aufpassen müssen Sie noch, wenn in einer Gleichung durch eine Variable dividiert
wird oder durch einen Term mit der Variablen, denn das Teilen durch 0 ist nicht
definiert! In solch einem Fall darf der Term, durch den geteilt wird, niemals den Wert
0 annehmen.
Beispiel:
Error!= 20 ...............................................................................
x + 1 0; also x  -1
18 = 20(x+1)
18 = 20x + 20
18 – 20 = 20 x
-2 = 20x
Error!= x
Error!= x
L = Error!
Übung: Geben Sie die Lösungsmenge an und die einschränkenden
Bedingungen für x:
3x + 3 = 3x – 3
5x – 4x = x
................................................................................... L =
L=
2(x+1) –2x = 2
................................................................................... L =
Error!= 2
x  .............................................................................. L =
Error!= 1
x  .............................................................................. L =
Error!= 0
x  .............................................................................. L =
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Umstellen von Formeln
Formeln stellen „Kochrezepte“ zur Berechnung verschiedenster Sachverhalte dar:
Flächen-, Körperberechnungen in der Geometrie, Prozente und Zinsen,
physikalische Zusammenhänge werden in ihrer Allgemeinheit als Formel dargestellt.
Platzhalter geben an, wie welche Größen miteinander durch Rechenoperationen
verknüpft werden.
Beispiel:
V = Error!
Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit
V = Geschwindigkeit
s = zurückgelegte Strecke
t = Zeit
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, teilt man also die Strecke
durch die Zeit. Zeit und Strecke müssen bekannt sein.
Die Formel muss umgestellt werden, sobald nicht V, sondern s
oder t unbekannt sind. Dazu benutzen Sie Ihre Kenntnisse aus der
Gleichungslehre.
Ist s unbekannt, müssen Sie die Gleichung „nach s auflösen“, d.h.
s muss allein auf einer Seite der Gleichung übrig sein:
V
= Error!
Vt=s
|  t............................. Multiplizieren Sie mit t!
Schon sind Sie fertig! Sie haben nun die
Formel, wie Sie s mit Hilfe von V und t
berechnen können.
Stellen Sie nun nach t um:
Vt=s
Übrigens dürfen hier s, t und V nicht die Werte 0 annehmen! Da es sich um konkrete
Größen handelt, brauchen Sie keine Bedenken zu haben. Geschwindigkeit findet nur
statt, wenn tatsächlich Zeit vergangen ist oder eine Strecke zurückgelegt wurde!
Viele Formeln bestehen nur aus Multiplikationen und Divisionen, müssen daher nur
durch Division oder Multiplikation hin und her geschoben werden.
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Übung: Lösen Sie folgende Formeln zu den angegebenen Variablen auf:
Fläche eine Rechtecks:
A=ab
a = Länge
b = Breite
a=
b=
Volumen eine Quaders:
V=abh
a = Länge
b = Breite
h = Höhe
a=
b=
h=
Prozentwert:
W = Error!
G = Grundwert
p = Prozentsatz
G=
p=
Volumen einer Rechteckpyramide: V = Error!
a=
b=
a = Länge
b = Breite
h = Höhe
h=
Umfang eines Kreises:
U=2r
r = Radius
 = Kreiskonstante
r=
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Sobald Formeln auch Strichrechenarten oder Klammern enthalten, müssen Sie die
geltenden Rechengesetze beachten!

Strichrechenarten binden die Terme schwächer, also Strichrechenarten zuerst
lösen.

Klammern halten den Term fest zusammen, also keine Elemente aus einer
Klammer „herausreißen“!

Klammern so weit wie möglich lösen, z.B. ausmultiplizieren, oder als
Gesamtheit behandeln!
Beispiel:
Umfang eines Rechtecks:
Lösen Sie nach a auf!
U = 2 (a + b)
a = Länge
b = Breite
U = 2 (a + b)
Error!= (a + b)
|:2
Nun dürfen Sie die Klammer
weglassen!
|-b
Error! = a + b
Error!- b = a
oder :
U = 2 (a + b)
U = 2a + 2b
U – 2b = 2a
Error! = a
Sie lösen hier die Klammer auf!
| - 2b
|:2
Beide Varianten sind identisch, denn Error!= (U – 2b) : 2 = Error!- b
Übung: Lösen Sie folgende Formeln zu den angegebenen Variablen auf:
Mittellinie eines Trapez:
m = Error!
a=
c=
Fläche eines Trapez:
A = Error! h
a=
h=
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Pisafit Mathematik – Lösbarkeit von Gleichungen
Mantelfläche des Quaders: M = 2  h  (a + b)
h=
a=
„Linsengleichung“
g = Error!
f = Brennweite
g = Gegenstandsweite
b = Bildweite
f=
b=
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