Musterbeispiel: Lineare Optimierung

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Musterbeispiele Nichtlineare Gleichungen
14. Mai 2016
Teil 1: Umkehrfunktionen
Was ist eine Funktion? (inverse function)
Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von Elementen einer Menge (der Definitionsmenge D) auf die
Elemente einer anderen Menge (der Wertemenge W).
Die Elemente von D heißen Argumente (x-Werte), die
Elemente von W Bilder oder Funktionswerte.
Eindeutig heißt, dass jedem Argument genau ein Funktionswert (nicht mehr und nicht weniger) zugeordnet
wird. Es kann jedoch vorkommen, dass ein Element
von W der Funktionswert mehrerer Argumente ist.
Eine bijektive Funktion ist eine Funktion, bei der jeder
Funktionswert genau einmal vorkommt.
Darstellung:
durch ein Bildungsgesetz (z.Bsp. eine
mathematische Gleichung y = f(x))
durch eine Tabelle
durch eine grafische Darstellung (kartesisches Koordinatensystem)
Was ist eine Umkehrfunktion?
Vertauscht man die Bedeutung der Variablen, so entsteht aus einer bijektiven Funktion die inverse oder
Umkehrfunktion. Führt man Funktion und Umkehrfunktion hintereinander aus, dann erhält man wieder das
Originalelement.
Definition:
f und g seien bijektive Funktionen.
g heißt inverse Funktion von f wenn
f(g(x)) = g(f(x)) = x
 x  D gilt.
Schreibweise:
f–1(x) ist die Umkehrfunktion von f(x)
Beispiel 1:
Berechnen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 4. Zeigen Sie für das Argument x = 3 und x
= 10, dass die Umkehrfunktion gilt.
Wie heißén die Umkehrfunktionen von bekannten Funktionen?
Beispiele für Umkehrfunktionen (in speziellen Definitionsbereichen):
Quadrieren
x2
Wurzelziehen
n
Potenzieren hoch n
x
n-te Wurzel
Sinus
sin x
Arkussinus
Kosinus
cos x
Arkuskosinus
Tangens
tan x
Arkustangens
Exponentialfunktion
ax
Logarithmus
Exponentialfkt. mit Basis e ex
Natürlicher Logarithmus
Exponentialfkt. mit Basis 10 10x
Dekadischer Logarithmus
Exponentialfkt. mit Basis 2 2x
Binärer Logarithmus
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x
n;x
sin –1(x) oder arcsin(x)
cos–1(x) oder arccos(x)
tan–1(x) oder arctan(x)
alog(x)
ln x
lg x
lb x
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Beispiel 2:
Berechnen Sie
Musterbeispiele Nichtlineare Gleichungen
3;125 ,
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4;–16 , arcsin(1), cos–1(–1), arccos(2), 4log(64), ln(0), lg(10.000), lb(128).
Wie löse ich eine Gleichung der Form f(x) = a?
Man wendet auf beide Seiten der Gleichung von außen
die Umkehrfunktion (wenn es sie gibt) an:
f–1(f(x)) = f–1(a)  x = f–1(a)
Sind mehrere Funktionen verschachtelt, muss man das
Verfahren öfter anwenden.
Beispiel 3:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen durch Anwenden der Umkehrfunktion in R:
x3 = 520
6;5x = 1,2
sin x2 = 0,8
cos2 x = 0,1
103x = 15.403
ln (x + 2) = 2
tan–1( e3x ) = 1 x im Bogenmaß
© Mag. Wolfgang Streit
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Teil 2: Komplexe Zahlen
Was ist die imaginäre Einheit i?
i (oder j) ist eine nichtreelle Zahl mit der Eigenschaft:
i2 = –1
Was sind komplexe Zahlen und wie stelle ich sie
dar?
Die Zahl i mit der Eigenschaft i2 = – 1 heißt imaginäre
Einheit. i ist keine reelle Zahl.
Die Menge der komplexen Zahlen C ist die
Menge aller Linearkombinationen a + b i
mit a  R und b  R.
a heißt Realteil, b Imaginärteil der komplexen Zahl z.
Die Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge der
komplexen Zahlen C.
Wie rechnet man mit komplexen Zahlen?
Es gelten die Rechenregeln des Körpers der reellen
Zahlen mit der Zusatzdefinition i2 = –1
Was sind konjugiert komplexe Zahlen?
Zwei Zahlen a + bi und a – bi heißen konjugiert komplex
Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist
wegen
(a + bi) (a – bi) = a2 + abi – abi – b2i2 = a2 + b2
eine reelle Zahl.
Wie berechnet man Potenzen von i?
Potenzen von i:
i2 = – 1
i3 = – i
i4 = 1
i5 = i
i6 = – 1 usw.
Beispiel 4:
Berechnen Sie:
© Mag. Wolfgang Streit
(3 + 2i) (5 – 3i)
(2 + j)3
Error!
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Teil 3: Quadratische Gleichungen
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine Gleichung, die sich auf die Form
ax2 + bx + c = 0
umformen lässt, heißt
algebraische Gleichung 2. Grades oder
quadratische Gleichung.
Wie löst man eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0
hat die Lösungen
Formel von VIETA
1x2 = Error!
b2 – 4ac heißt Diskriminante D.
Für
D>0
DR
D=0
D=R
D<0
DR
2 verschiedene reelle Lösungen
1 Doppellösung
keine reelle Lösung, ein konjugiert komplexes Lösungspaar
Beispiel 5:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R bzw. in C :
5x2 – 20x – 105 = 0
10x – x2 = 500
x2 – 14x + 49 = 0
2x2 – 7ax + 2bx + 3a2 – 6ab = 0
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Teil 4: Algebraische Gleichungen höheren Grades
Was ist eine algebraische Gleichung?
Eine Gleichung der Form:
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … anxn = 0 mit n  N, ak  R
oder
n
a x
k
k
0
k 0
heißt algebraische Gleichung n-ten Grades.
Was ist der Fundamentalsatz der Algebra?
In C gilt:
Ein Polynom der Form
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … anxn
lässt sich in genau n Linearfaktoren (x + zi) mit z  C
zerlegen.
zi ist dabei entweder reell oder ein Teil eines konjugiert
komplexen Paares.
Die Gleichung p(x) = 0 lässt sich dann in folgender
Form anschreiben:
(x + z1) (x + z2) … (x + zn) = 0
Die Zahlen zi sind dann Lösungen der Gleichung, weil
ein Produkt dann 0 ergibt, wenn auch nur eine Faktor 0
ist!
Kommt ein Linearfaktor (x + zk) mehrmals (k mal) vor,
dann heißt die Zahl zk k-fache Lösung der Gleichung.
Man nennt das algebraische Zählweise der Lösung.
Daher:
Fundamentalsatz der Algebra:
Eine algebraische Gleichung n-ten Grades mit reellen
Koeffizienten hat in C, algebraisch gezählt, genau n
Lösungen. Nichtreelle Lösungen treten als konjugiert
komplexe Paare auf.
In R gilt:
Ein Polynom der Form
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … anxn
lässt sich in Linearfaktoren (x + di) mit d  R und in
irreduzible quadratische Terme der Form (ax2 + bx + c)
zerlegen.
Die Gleichung p(x) = 0 lässt sich dann in folgender
Form anschreiben:
(x + d1) (x + d2) … (a1x2 + b1x + c1) … (ajx2 + bjx + cj) =
0
Die Zahlen di sind dann Lösungen der Gleichung, weil
ein Produkt dann 0 ergibt, wenn auch nur eine Faktor 0
ist!
Kommt ein Linearfaktor (x + dk) mehrmals (k mal) vor,
dann heißt die Zahl zk k-fache Lösung der Gleichung.
Man nennt das algebraische Zählweise der Lösung.
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Daher:
Fundamentalsatz der Algebra:
Eine algebraische Gleichung n-ten Grades mit reellen
Koeffizienten hat in R, algebraisch gezählt, höchstens
n Lösungen. In R fehlende Lösungen treten paarweise
auf.
Lösungsvarianten:
linear
quadratisch
kubisch
4. Grades
5. Grades
6. Grades
1
0
1
0
1
0
2
3
2
3
2
4
5
4
6
Wie löst man höhergradige Gleichungen?
Für kubische Gleichungen (dritten Grades) existiert
zwar noch ein Lösungsalgorithmus, der aber für nicht
computerunterstützte Verfahren zu umständlich und
langwierig ist. Gleichungen von mehr als dritten Grades
lassen sich im Allgemeinen nicht mehr exakt lösen. Es
müssen numerische Näherungsverfahren angewendet
werden (rechnergestützte Verfahren).
Beispiel 6:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R bzw. C:
(-10 + 2x)3 x2 (x2 + 6x + 13) (x + 3) = 0
5x6 – 18x3 = 200
4x4 – 15x3 = 50x2
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Beispiel 7:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R:
x3 – 20x2 + 30x + 500 = 0
50.000 Error! = 280.000
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Teil 5: Exponentialgleichungen
Was ist eine Exponentialgleichung?
Eine Gleichung der Form
m · bx = a
heißt Exponentialgleichung.
Exponentialgleichungen sind also Gleichungen, bei
denen die Variable nur im Exponenten auftritt.
Wie löst man Exponentialgleichungen?
Lösung erfolgt mit Hilfe einer Umkehrfunktion einer
Exponentialfunktion (vernünftigerweise verwendet man
den natürlichen (Basis e) oder den dekadischen (Basis
10) Logarithmus unter Zuhilfenahme der folgenden
Rechenregeln:
ln (uv) = v ln u
ln (u v) = ln u + ln v
Anmerkung: beide Regeln gelten für Logarithmusfunktionen mit beliebiger Basis.
Außerdem:
x
alog a = x
Beispiel 8:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R:
350 · 82x = 7.000
7x · 153x = 120.000
6log 18 = x
3x – 15 · 3x + 2 = – 2.000
25x + 8 · 5x +2 = 10.000
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Lösungen
Beispiel 1:
Berechnen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 4. Zeigen Sie für das Argument x = 3 und x
= 10, dass die Umkehrfunktion gilt.
x = 2y + 4  y = Error!= f-1(x)
f(3) = 10 f-1(f(3)) = f-1(10) = 3 f(10) = 24 f-1(f(3)) = f-1(24) = 10
Beispiel 2:
Berechnen Sie 3;125 , 4;–16 , arcsin(1), cos–1(–1), arccos(2), 4log(64), ln(0), lg(10.000), lb(128).
3;125 = x  125 = x3  x = 5
4;–16 = x  – 16 = x4  x  R
Wurzeln mit geradzahligem Wurzelexponenten aus negativen Radikanden gibt es in R nicht.
arcsin(1) = x  1 = sin(x)  x = 90° oder /2
cos-1(–1) = x  –1 = cos(x)  x = 0
arccos(2) = x  2 = cos(x)  x  R
x  x = 3
4log(64) = x  64 = 4
x
ln(0) = x  0 = e  x  R Logarithmen von 0 oder negativen Werten gibt es in R nicht.
lg(10.000) = x  10.000 = 10x  x = 4
lb(128) = x  128 = 2x  x = 7
Beispiel 3:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen durch Anwenden der Umkehrfunktion in R:
x3 = 520
6;5x = 1,2
sin x2 = 0,8
cos2 x = 0,1
103x = 15.403
ln (x + 2) = 2
tan–1( e3x ) = 1 x im Bogenmaß
x3 = 520
Anwenden der Umkehrfunktion der kubischen Potenzfunktion (d.i. die Kubikwurzelfunktion) liefert:
x = 3;520  8,041
Achtung: alle Funktionen müssen auf die ganze linke bzw. rechte Seite der Gleichung angewendet werden.
Anwendung auf Teile einer Gleichung liefert im Allgemeinen falsche Resultate.
6;5x = 1,2
5x = 1,26 = 2,986
x = 0,597
sin x2 = 0,8
Das Argument von trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan) kann im Gradmaß (degrees), im Bogenmaß
(radiant) oder in Neugrad (grad) angegeben sein. Für die Berechnung mit TR muss diese Einheit angegeben
sein. Standardeinstellung ist DEG.
x2 = sin-1 0,8 = 53,130…
x=
53
130… = 7,289 oder: x =
sin–1(0,8)
Achtung auf die Reihenfolge, die entsprechenden Umkehrfunktionen müssen in umgekehrter Reihefolge
angewendet werden. Die Funktionen sind von außen nach innen aufzulösen.
cos2 x = 0,1 cos2 x ist eine Kurzschreibweise für (cos x)2 cos x =
0
1 = 0,316… x = cos–1 0,316 = 71,565
0
oder: x = cos–1( 1 ) = 71,565
103x = 15.403
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit der Basis 10 ist der dekadische Logarithmus lg:
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3x = lg 15.403 = 4,188…
x = 1,396
oder: x = Error!
ln (x + 2) = 2
ln ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit der Basis e.
x + 2 = e2 = 7,389…
x = 5,389
oder:
x = e2 – 2
tan–1( e3x ) = 1
TR auf RAD umstellen
e3x = tan 1 = 1,557…
1,557…2 = 2,426…
3x = ln 2,426… = 0,886…
x = 0,295
e3x =
oder:
e3x = tan 1
3x
e = (tan 1)2 = tan2 1
3x = ln (tan2 1)
x = Error!
Beispiel 4:
Berechnen Sie:
(3 + 2i) (5 – 3i)
(2 + j)3
Error!
In  gelten die algebraischen Rechenregeln weiter mit dem Zusatz i2 = – 1.
(3 + 2i) (5 – 3i) = 15 – 10i – 9i – 6i2 = 15 – 19i + 6 = 21 – 19i
(2 + j)3 = 8 + 3·22·j + 3·2·j2 + j3 = 8 + 12j + 6j2 + j2 j = 8 + 12j – 6 – j = 2 + 11j
Error! = Error! = Error! = 1,3 + 1,1i
Beispiel 5:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R bzw. in C :
5x2 – 20x – 105 = 0
10x – x2 = 500
x2 – 14x + 49 = 0
2x2 – 7ax + 2bx + 3a2 – 6ab = 0
Einsetzen in die Lösungsgleichung von Vieta
1x2 = Error!
ergibt:
1x2
= Error!
1x2
= Error!
x1 = – 3 und x2 = 7
10x – x2 = 500
Umordnen und Multiplikation mit –1 liefert:
x2 – 10x + 500 = 0
1x2 = Error!
1x2
= Error!
1x2
= Error!= 5  21,8i
Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen. Die Lösung in C ist ein konjugiert komplexes Paar.
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x2 – 14x + 49 = 0
1x2 = Error!= 7  0 = 7
Diese Gleichung hat eine reelle Doppellösung!
Anm.: für numerische Gleichungen wird man sich eine TR-Prozedur für den VIETA-Algorithmus schreiben.
2x2 – 7ax + 2bx + 3a2 – 6ab = 0
in die VIETA – Formel ist einzusetzen:
für a: 2
für b: –7a + 2b
für c: 3a2 – 6ab
1x2 = Error!
= Error!
= Error!=
= Error!=
= Error!
x1 = 0,5a – b
und x2 = 3a
Beispiel 6:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R bzw. C:
(-10 + 2x)3 x2 (x2 + 6x + 13) (x + 3) = 0
5x6 – 18x3 = 200
4x4 – 15x3 = 50x2
(-10 + 2x)3 x2 (x2 + 6x + 13) (x + 3) = 0
ist eine Gleichung 8. Grades. Sie hat in C genau 8 Lösungen, in R kann sie 0, 2, 4, 6 oder 8 Lösungen haben.
Sie ist in der Form
Produkt aus Faktoren = 0
gegeben.
Es reicht, wenn ein Faktor der linken Seite 0 ist:
daher
– 10 + 2x = 0  1x2,3 = 5
Diese Lösung zählt dreifach, weil der zugehörige Linearfaktor gleich dreimal in der Gleichung vorkommt.
4x5
= 0 Doppellösung
x2 + 6x +13 = 0
6x7 = Error!= –3  2i
dieser quadratische Term liefert keine reellen Lösungen, er ist in R nicht zerlegbar (irreduzibel).
x + 3 = 0 liefert die Einfachlösung x8 = –3
5x6 – 18x3 = 200
5x6 – 18x3 – 200 = 0
Substitution von u = x3 liefert die quadratische Gleichung:
5u2 – 18u – 200 = 0
mit den Lösungen
u1 = x3 = – 4,776… und u2 = x3 = 8,376…

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x1 = Error!= – 1,684
3;8
x2 =
376… = 2,031
die anderen 4 Lösungen sind komplex.
4x4 – 15x3 = 50x2
oder
4x4 – 15x3 – 50x2 = 0
Herausheben gemeinsamer Faktoren liefert
x2 (4x2 – 15x – 50) = 0
wie vorher:
Doppelnullstelle
1x2 = 0
x3 = – 2,127
Einfachnullstelle
x4 = 5,877
Einfachlösung
Beispiel 7:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R:
x3 – 20x2 + 30x + 500 = 0
50.000 Error! = 280.000
x3 – 20x2 + 30x + 500 = 0
ist eine allgemeine kubische Gleichung und kann mit vernünftigem Aufwand nur numerisch (d.h. näherungsweise gelöst werden).
f(x) = x3 – 20x2 + 30x + 500 wird für Belegungen von x untersucht. Da die Funktion stetig ist, muss eine Nullstelle in einem Intervall [ a , b ] liegen, wenn f(a) und f(b) verschiedenes Vorzeichen haben.
z.Bsp.
f(0) = 500
f( 10) = – 200
Eine Lösung liegt also zwischen x = 0 und x = 10.
Durch Einengung des Intervalls kann die Lösung mit der gewünschten Genauigkeit bestimmt werden:
f(7,7) = 1,733 und f(7,8) = – 8,248 
x  7,7
besser:
Solver-fähige TR-Typen oder Programme.
EL 5120:
Mode 3 (SOLV)
Gleichung eingeben
B yx 3 – 20 B x2 + 30 B + 500 = 0
ENTER
Startwert für B eingeben (z.Bsp. 0)
SOLVE
Display zeigt
B = – 3,983
R  0 Wert der rechten Seite
L  0 Wert der linken Seite
Sind beide Seiten gleich groß, kann man der Lösung vertrauen.
Allerdings sollten u. U. noch andere Lösungen existieren (neuer Startwert):
B=5
liefert B = 7,717
die Gleichung muss aber noch eine reelle Lösung haben (fehlende reelle Lösungen treten paarweise auf)
QUIT
B = 20
SOLVE
liefert
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16,266
daher
x1 = – 3,983
x2 = 7,717
x3 = 16,266
50.000 Error! = 280.000
SOLVER:
50.000 * (1 – B yx ( (-)10)) / ( B – 1) = 280000
Vorsicht: Startwert 1 ist nicht erlaubt
liefert
x = 1,122
Beispiel 8:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R:
350 · 82x = 7.000
7x · 153x = 120.000
6log 18 = x
3x – 15 · 3x + 2 = – 2.000
25x + 8 · 5x +2 = 10.000
350 · 82x = 7.000
82x = 20
Anwenden einer beliebigen Logarithmusfunktion (am besten ln) ergibt:
ln (82x) = ln 20
2x ln 8 = ln 20
2x = Error!
x = Error!= 0,720
7x · 153x = 120.000
ln (7x · 153x) = ln 120.000
ln 7x + ln 153x = ln 120.000
x ln 7 + 3x ln 15 = ln 120.000
x (ln 7 + 3 ln 15) = ln 120.000
x = Error!= 1,161
6log
18 = x
Anwenden der Umkehrfunktion:
18 = 6x
ln 18 = x ln 6 (Exponentialgleichung, wie oben)
x = 1,613
3x – 15 · 3x + 2 = – 2.000
Logarithmieren der Gleichung führt wegen der Differenz auf der linken Seite nicht zum Ziel:
zuerst herausheben:
3x (1 – 15 · 32) = –2.000
3x (– 134) = – 2.000
3x · 134 = 2.000
3x = 14,925…
x ln 3 = ln 14,925
x = 2,460
25x + 8 · 5x +2 = 10.000
52x + 8 · 5x · 52 = 10.000
Herausheben von 5x führt nicht zum Ziel, weil die Variable weiterhin in der Klammer stehenbleiben würde!
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Musterbeispiele Nichtlineare Gleichungen
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Substitution u = 5x  u2 = 52x = 25x
u2 + 200 u – 10.000 = 0 VIETA
u1 = 5x = – 241,421
keine reelle Lösung für x, weil 5x nur positive Werte annehmen kann
u2 = 5x = 41,421
Rücksubstitution ergibt
x ln 5 = ln 41,421
x = 2,314
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