Instantane Korrelationsfunktionen

Instantane Korrelationsfunktionen
Vorüberlegung
Allgemein funktional abhängig von der Zeit und den beiden Forward Rates.
i , j   (t , Ti , T j )
( 1)
TK 1
Kovarianzelement:
  (u) 
i
j
(u ) ij (u )du
( 2)
Tk
Volatiltiätsunktion: quadratisch integriebar
Korrelationsfunktionen: Lebesgue/ Riemann integrierbar über dem Intervall [Tk,Tk+1], zeithomogenes Verhalten
Für jedes i,j und für jede Zeit muss gelten:  1  ij (t )  1
Untersuchte Funktionen; i , j   (Ti  t , T j  t ) als Sonderfall i , j   (Ti  T j )
Abschätzen der Korrelation (Probleme):
Schwache Abhängigkeit von Swaptionpreise
Nur europäische Swaptions (Plain Vanilla Produkt für Kallibrierung) zeigen Abhängigkeit von
der instantanten Korrelationsfunktion
Texp
Preise hängen ab von
  (u) 
i
j
(u )ij(u ) du mit i und j Index über alle Forward Rates, die die
0
Swaprate bestimmen, Texp Maturity der Swaption.
Abhängigkeit ist gegeben durch die terminale nicht die instantane (De)Korrelation mit
T
  (u) 
i
ij (T ) 
j
(u ) ij (u )du
0
vi (T )v j (T )
T
mit vi (T )    i (u ) 2 du
( 3)
0
Terminale Korrelation ist beeinflußt durch sowohl instantane Korrelation als auch der
Zeitabhängigkeit der instantanen Volatilität
Konsequenz: Verschieden Kombinationen von instantane Volatiltiätsfunktinen und
Korrelationsfunktionen führen zur gleichen terminalen Korrelationen und somit zum gleichen
Kovarianzmatrixelement und somit zum gleichen Swaptionpreis
n
B 
Swaprate SR (t )   wi f i (t ) mit fi (t ) der iten Forward Rate und den Gewichten wi  n i1 i
i 1
 B j1 j
i 1
Bi ist der diskontierte Bond terminiert am Zahltag der iten Forwardrate, τi Tenor and n die Anzahl
der Forwardrates im Swap
Voraussetzung jede Forward Rate folgt einem Diffusionsprozes mit instantaner Volatilität σi(t)
und die Brownschen Bewegungen für die einzelnen Forward Rates sind mittels E[dwi,dwj]=ρij
miteinander verknüpft, kann die instantane Volatilität σSR(t) der Swaprate geschrieben werden
als:
( w j  r 1
n
 dSR 

 SR 
 SR (t ) 2  E 
2



  E   j (t ) k (t ) j (t ) k (t )dw j dwk  mit  j 

 j k

wr
) fj
f i
r 1 wr f r
n
( 4)
(siehe Kapitel 10)
Annahme ςj(t) sind deterministisch und gleich ihrem heutigen Wert folgt approximativ
 SR (t ) 2    j (0) k (0) j (t ) k (t ) E[dw j dwk ]
j
( 5)
k
Spezialfälle:
 Perfekte Korrelation E[dw j dwk ]  1 für jedes j,k


 SR (t )   j (0) j (t )
 j

2
2
( 6)
0-Korrelation für die nicht diagonal Elemente E[dw j dwk ]   jk

 SR (t ) 2    j (0) j (t )
2
( 7)
j
Identische Korrelation ρ<1 für die nicht diagonal Elemente E[dw j dwk ]   jk  (1   jk ) 



 SR (t )    j (0) j (t ) (1   )     j (0) j (t )
j
 j

2


2
2
( 8)
Fall 3 ergibt sich als Linearkombination aus den anderen beiden Fällen
Volatilität der Swaprate ist in geringem Maße abhängig von der Höhe der Korrelation.
Keine Abhängigkeit von der Form der Korrelationsfunktion
Mit ρij=exp(-β|Ti-Tj|) und Abschätzung von (4) kann man berechnen
 SR (t ) 2  w f t T  w f t 
( 9)





Errechnen der instantanen Swapratevolatilität aus 9
Kalkulieren des Durchschnitts der diagonal Elemente aus der resultierenden Korrelation
Setze den Durchschnitt als identische Korrelation für die nicht diagonal Elemente
Kalkulieren der instantanen Swapratevolatilität für die neue Korrelationsfunktion
Vergleich der berechneten Ergebnisse für konstante und exponentielle
Korrellationsfunktion
Ergebnis: Bei gleicher Durchschnittskorrelation nahezu identische Volatilität der Swaprate zu
beobachten
Zeitabhängigkeit der instantanen Volatiltiätsfunktion erzeugt terminale Dekorrelation , die
typischerweise die Volatilität um ein bis zwei Vegas in Bezug auf den konstanten Volatilitätsfall
verringert (Kapitel 8.2).
Statistische Probleme
Marktkurve unterteilt sich in MM, Future und Swapbereich –> unterschiedliche Finanzmärkte
mit unterschiedlichen Zielstellungen, Korrelationen müssen zwischen den Sätzen der einzelnen
Segmente gefunden werden
Zeitreihenanalysen: Märkte der einzelnen Segmente schließen zu unterschiedlichen Tageszeiten,
d.h. bei einem Satz für einen Tag ist noch mehr Information in den Wert eingeflossen als bei den
anderen.
Problem beim Übergang der einzelnen Märkte 12 M Libor relativ illiquide im Vergleich zum 1
Futuressatz
Faktorabhängigkeit
Formen der Korrelationsfunktionen sind start abhängig von der Anzahl der modellierten Faktoren
für die Abbildung der Forwardkurve
Mit wenigen Hauptfaktoren lässt sich eine von außen gegebene geschätzte instantane
Korrelationsfunktion schwer nachbilden
Unproblematisch bei der very long jump technique hier kann man viele Faktoren gleichzeitig
simulieren problematisch bei Bermudan Swaptions
Vorschlag im weiteren Buch: Korrelationsfunktion sollte aus wenigen frei wählbaren Parametern
bestehen
Empirische Daten und Plausibilität
Ergebnisse der Untersuchungen von Longstaff und Fisher
 Konvexe Form der Korrelationsfunktion zwischen den ersten Forwardrates und den später
auslaufenden Forwardrates
 Negative Konvexität für den Teil der Korrelationsfläche, die sich auf spät auslaufende
Forwardrates bezieht
 Korrelation nähert sich einen positiven Wert ungleich 0 an lim j 1 j  K , K  0
Abhängigkeit von der Anzahl der Faktoren
Korrelationsfunktion im zwei/ drei Faktormodell
df i
 i (t )dt   i1dz1   i 2 dz2
fi
( 10)
df i
 i (t )dt   i1dz1   i 2 dz2   i 3dz3
fi
( 11)
Brownschen Inkremente dzi orthogonal zueinander, d.h. dzidzj=δijdt
Mit der instantanen Volatilität der i-ten Forwardrate als σi(t) lässt sich umschreiben als
df i
 i (t )dt   i (bi1dz1  bi 2 dz2 )
fi
( 12)
df i
 i (t )dt   i (bi1dz1  bi 2 dz2  bi 3dz3 )
fi
( 13)
mit

s
2
k 1 ik
b 1
Zwei Faktormodell
bi21  bi22  1 kann immer für Forwardrate abhängige Mengen von reellen Werten {θi} erfüllt
werden, solange man
bi1  sin( i )
da sin( x) 2  cos( x) 2  1
bi 2  cos(i )
somit ergibt sich: ij 
E[df i / f i , df j / f j ]
vi v j
mit vi  E[df i / f i , df j / f j ]
ij  sin( i ) sin(  j )  cos(i ) cos( j ) somit ij  cos(i   j )
( 14)
Bei Annäherung an die Maturity der Forwardrates verhält sich die Dekorrelation wie eine
Cosinusfunktion.
Die Dekorrelation zwischen verschiedenen Paaren von Forwardrates mit derselben Differenz
zwischen den beiden Maturities kann nur dann verschieden sein wenn die Abhängigkeit von θ
von i anders als linear ist. Um positive Konvexität zu erhalten, sollte es am Ursprung nahezu
linear sein
Dreidimensionalen Fall
bi1  cos(i ) cos(i )
bi 2  sin( i ) sin( i )
bi 3  cos(i )
{φi} und {θi} Mengen und Forwardrate-abhängigen reellen Zahlen
Da (cos( x) sin( y)) 2  (sin( x) sin( y)) 2  (cos( y)) 2  1
ij  cos(i   j )  sin( i ) sin(  j )[1  cos(i   j )]
( 15)
Ergebnis im Vergleich zu 2-Faktor Modell hängt nicht nur von der Differenz zweier Winkel ab.
Auch wenn die Abhängigkeit der Funktion θ von den Forward Rates linear ist, ein dritter Faktor
macht es mögliche komplexere Abhängigkeiten unter den Korrelationen zu finden
Verallgemeinerung:
Orthogonalisierung einer n x n Korrelationsmatrix als Ergebnis m < n Komponenten folgt, die
hochfrequenten Komponenten wurden herausgefiltert.
Als Ergebnis erhält man eine Korrelationsfunktion, bei der er es nicht möglich ist, stark um den
Ursprung zu wechseln.
Die Anzahl an Frequenzen, die man benötigt, um normales Verhalten zu erzeugen, ist relativ
hoch
Wenn man sich auf einen kleinen Ausschnitt der Korrelationsmatrix konzentriert, ist es dennoch
möglich lokal eine stark variierende Korrelationsfunktion zu erzeugen.
Mögliche Funktionen
Nicht prametrische Abschätzung (Bootstrapping mit Hife von europäischen Swaptions)
Zuerst Wahl einer geeigneten instantanen Volatilitätsfunktion
Bestimmen der stückweisen konstanten Korrelationen für jedes Element der Kovarianzmatrix
basierend auf der Menge der benötigten europäischen Swaptions
Probleme:
 Bid Ask Preise
 Interpolierte Volatilitäten für illiquide Swaptions
 Nicht synchrone Daten
 Ergebnisse basieren auf der Zeitabhängigkeit instantanen Volatilität der Forwardrate, die
im Markt so nicht zu beobachten ist.
 Konvergenz des Caplet und Swaptions Marktes nicht gegeben
Führen zu einer wild fluktuierenden Korrelationsfläche
Vorraussetzungen für die Modelfunktionen
 (t , Ti , T j )   (Ti  t , T j  t )
lim 1, p  LongCorr LongCorr > 0
p
Matrix [ρ] folgendermaßen
1. Die Funktion ρi,i+p wachsende Funktion in Abhängigkeit von i, d.h die Dekorrelation
zwischen Forward Rates terminierend in ein und zwei Jahren sollte größer sein als die
Dekorrelation zwischen der 17 und 20jährigen Forwardrate
2. Dynamik der Forwardratekurve b erklärbar durch folgende Deformationen:
Parallelverschiebung, Steigung, Krümmung (in dieser Reihenfolge von Wichtigkeit)
Mathematische Vorraussetzungen für Korrelationen
 ii  1
  1   ji  1
  ji  ij
 Matrix [ρ] positiv definit
Eigenvektoren der Matrix sollen kongruent mit dem empirisch beobachtbaren sein
Form der Eigenvektoren als Ergebnis der Orthogonalisierung hängt von der Größe der Elemente
in der Matrix ab
Verschiebung, Steigung und Krümmung sind die wichtigsten Deformationen der
Forwardratekurve
Eigenvektoren der Korrelationsmatrix sollten diese nachbilden können
Mögliche Funktionen
ij (t )  LongCorr  (1  LongCorr ) exp[   (Ti.  t )  (T j  t ) ]
 LongCorr  (1  LongCorr ) exp[   (Ti.  T j ) ]
ij (t )  LongCorr  (1  LongCorr ) exp[   (Ti.  t )   (T j  t )  ]
für t  min( Ti , T j )
ij (t )  LongCorr  (1  LongCorr ) exp[   (Ti.  T j )   max( Ti , T j ) ]
für t  min( Ti , T j )
( 16)
( 17)
( 18)
Bei zeitunabhängiger Korrelation (γ=1) kann man die Kovarianzelemente so umschreiben:
T
  (u)
i
0
T
j
(u ) ij (u )du   (Ti , T j )   i (u ) j (u )du
0
Einfach zu kalkulieren, da die Korrelationsterm nicht im Integranden vorkommt. Aber
Dekorrelation zwischen Paaren von Forwardrates mit gleichem zeitlichen Abstand ist konstant.
Für Gamma = 1 die Konvexität entlang der Hauptdiagonale kann nicht wechseln. Dies kann mit
Werten ungleich 1 erreicht werden
Bei drittem Fall Faktor α entspricht der Geschwindigkeit der Abnahme der Korrelation in
Abhängigkeit von der Position auf der Kurve
Fall 2 und 3 garantieren nicht immer eine positiv definite Korrelationsmatrix, Überprüfung der
Eigenwerte auf > 0 für jede gewählte Parameterauswahl
Mit all den drei Funktionen ist die Korrelation zeit homogen
Bedingungen für das Vorhandensein von Exponentiellen Korrelationsflächen
Spielmodell
3 Forwardrates f1,f2, f3 mit T1 < T2 < T3
1. Korrelation von der Form    ( Ti  T j )
2. Anteil der Antwort auf die Ankunft der Information von f1 ist unkorelliert mit der der
Antwort von f2 und unkorreliert mit der Antwort von f3
Schock 1 beeinflusst alle 3 Forward Rates
Schock 2 nur die erste
Schock 3 nur die dritte
Vernachlässigung der Driftterme ergibt sich
df1
  1 ( 1  122 dZ1  12dZ 2 )
f1
df 2
  2 (dZ 2 )
f2
( 19)
df 3
2
  3 (  23dZ 2  1   23
dZ 3
f3
dZi unabhängige Brownsche Inkremente
Wegen Annahme1 ρi,i+p sollte immer den selben Wert haben für alle i, in diesem Fall: T2-T1=T3T2, ρ12= ρ23
Z2 steht für eine nahezu parallele Verschiebung
Z1, Z3 (miteinander unkorreliert) erzeugen instantan entweder einen Wechsel in der Krümmung
oder Steigung der Yield Kurve abhängig vom Vorzeichen der Shocks, im Durchschnitt erhält
man eine formlose Deformation der Yieldkurve.
Berechnen der Korrelation erhält man 13  12  23 und wegen Annahme 1:  ij   ( Ti  T j ) folgt
dann 13 ( T3  T1 )   ( T3  T2 )  ( T2  T1 )
Logarithmus von ρ muss eine lineare Funktion f(a+b) = f(a) +f(b)) sein mit f ()  ln  
mit a=T3-T2, b=T2-T1, a+b=(T3-T2)+(T2-T1)=T3-T1
Und ρ mit
ρ(a+b) = ρ(a) ρ(b)
ρ(0)=1
 und
( 20)
1≥ ρ>0
Es muss also ein β≥0 existieren mit

 ij   Ti  T j   exp   Ti  T j

Dieselbe Konstante β wird auf die gesamte Zinskurve angewandt; Spezialfall von Fall (17)
Einzige mögliche funktionale Form gemäß den Annahmen
( 21)

Andere Änderungen in der Korrelationsmatrix als durch  ij   Ti  T j   exp   Ti  T j

gegeben können sein
 Schock, der sowohl auf f1 und f3 einwirkt, aber nicht auf f2
 ρ besitzt eine andere Abhängigkeit als von |Ti-Tj|
Beispiel 2
Schock Z2 wirkt auf f1, f2, f2
Schock Z1 wirkt auf f1, f2
Schock Z3 wirkt auf f3
df1
  1 ( 1  122 dZ1  12 dZ 2 )
f1
df 2
  2 (dZ 2 )
f2
( 22)
df 3
  3 ( AdZ1   23dZ 2  BdZ 3
f3
mit B 2  1   23  A 2
und A 
13  12  23
1  122
3
B wird benötigt um sicherzustellen, dass
b
i 1
2
3i
 1 . Durch B keine Deformation der
Korrelationsstruktur.
 Änderungen in der Korrelationstruktur kommt nur von Term A
 Schockstruktur ist die allgemeinst mögliche für 3 Faktor Modell wegen Choleski
Zerlegung
 A steht für eine Änderung der Steigung (A<0) oder der Krümmung (A>0)
Wenn 13  12  23 gilt, dann A = 0, daraus folgt nur wenn ρ13 ungleich ρ12 ρ23 ergibt sich eine
signifikante Steigung oder Krümmung
Je größer die Differenz zwischen ρ13 und ρ12 ρ23 ist, desto größer der zweite und dritte Eigenwert
der orthogonalisierten Korrelationsmatrix im Verhältnis zum ersten Eigenwert.
Im Vergleich zum einfachen Fall
 ρ23 ungleich ρ12 Im Gegensatz zur Annahme 1
 A ist ungleich von 0 Gegensatz zur Annahme 2
Erster Fall hat keinen Effekt auf die Steigung oder Krümmung der Forwardratekurve, da ρ23 nur
die dritte Forward Rate mit dem Schock dZ2 verändert.
Weitere Untersuchung nur für A≠0
13  12 23   somit
A

1  122
Wenn Ziel
 Positive Konvexität der Korrelationsfunktion, d.h. 13  (1  212 )
( 23)


Monoton abfallende Funktion ρ
Zunehmende Korrelation für Korrelationen zwischen gleichen Zeitabständen zwischen
den beiden Forwardrates bei zunehmender Maturity, d.h ρ23> ρ12
Dann ρ23 > ρ12 und Δ entweder positiv und kleiner als ρ12(1-ρ13)
Oder negativ und größer als ρ12(2-ρ23)
Wenn Δ positiv dann Krümmung wichtiger als Steigung
Wenn Δ negativ dann Steigung wichtiger als Krümmung
Um Steigung wichtiger zu machen als Krümmung benötigt man Δ kleiner 0, hier kommt es oft zu
negativer Konvexität, d.h. die Menge an Werten für Δ, die hier funktionieren sind gering
Semi parametrischer Ansatz
n
df i
 i (t )dt   i  bij dzi ;
fi
j 1
n
b
j 1
2
ij
1
( 24)
Fasst mann die b1, ..., bn als n-te Spalte der Vektoren {b11, ..., b1n}, ..., {bn1, ..., bnn}
Dann ij  biT b j
Definiere
 ij  biT b j 
min( d i , d j )
( 25)
max( d i , d j )
Für di so, dass
 di > dj für i > j
 di/di+1 > dj/dj+1 für j > i Verhältnis streng monotone steigende Funktion
 d1=1
{di} können als Sequenze nicht negativer Nummern Δi, 2 ≤ i ≤ n-1 dargestellt werden mit
 n 1

d i  exp  min( k  1, i  1) k 
 k 2



 für i  j
 k i 1

Voll parametrisiert hat man O(n2) Freiheitsgrade, hier O(n)
Dies wird erreicht in dem die Koeffizienten abhängig von i gemacht werden.
Annahmen für die Δ
Δ2= Δ3=...= Δn-2=α≥0
Δn-1 = β ≤ 0
In diesem Fall kann die Korrelationsfunktion gegeben werden als
ij  exp     Tn1  T(i j 1) / 2 Ti  T j
 ij  exp 

n 1
 min( k  1, j  i)
k

Oder (mit drei Parametern)
 Δ2 = α1 ≥ 0
 Δn-2 = α2 ≥ 0
 Δk varieren linear für 3 ≤ k ≤ n zwischen α1 und α2
 Δn-1 = β ≤ 0
Beide Semiparametrisierungen ergeben eine positiv definite Korrelationsmatrix, positive
Konvexität, und eine Funktion ρi,i+p die mit i monoton wachsend ist.
Vorteil gegenüber den oben untersuchten Funktionen wegen konvexer Korrelationsmatrix