Arbeitsblatt 9: Das Drei-Türen-Problem

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Technisch-Naturwissenschaftliche
Fakultät
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten im
schulischen Kontext
Eine didaktische Aufarbeitung und Zusammenstellung von
Unterrichtsmaterialien
DIPLOMARBEIT
zur Erlangung des akademischen Grades
Magistra der Naturwissenschaften (Mag. rer. nat)
im Diplomstudium
LEHRAMT FÜR MATHEMATIK UND BILDNERISCHE
ERZIEHUNG
Eingereicht von:
Evelyn Neulinger
Angefertigt am:
Institut für Didaktik der Mathematik
Beurteilung:
Univ.-Prof. DI Mag. Dr. Markus Hohenwarter
Linz, Oktober 2012
1
Eidesstattliche Erklärung
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und
ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht
benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich
gemacht habe.
..............................................................
Ort, Datum
.........................................................
Neulinger Evelyn
2
Vorwort
Bereits während meiner eigenen Schullaufbahn hat mich ein ganz bestimmtes
mathematisches Thema, die Wahrscheinlichkeitsrechnung, besonders fasziniert und
interessiert. In Weiterer Folge wurde ich natürlich auch während meines Studiums
immer wieder mit stochastischen Phänomenen konfrontiert, denen meine besondere
Aufmerksamkeit galt. Insbesondere Beispiele, deren Lösung meist sehr paradox
erscheinen, die man also ohne stochastisches Vorwissen völlig falsch einschätzen
würde, haben mich immer fasziniert.
Daraus
resultierte
folglich
der
Beschluss,
im
Zuge
meiner
Diplomarbeit
wahrscheinlichkeitstheoretische Beispiele und Paradoxa zu behandeln.
Da ich außerdem einen sinnvollen Beitrag zu meiner zukünftigen beruflichen Tätigkeit
als Lehrerin leisten wollte, habe ich mich weitgehend auf den Bezug zur
Schulmathematik beschränkt. Infolgedessen beschreibe ich zu drei ausgewählten
stochastischen Aufgaben Ideen und Anregungen für die Bearbeitung im Unterricht.
Dabei war es mir ein besonderes Anliegen, einen Fokus auf den Einbezug von
Computerprogrammen zu legen, nicht zuletzt da dem Technologieeinsatz im
Mathematikunterricht eine immer größere Bedeutung zukommt.
3
Danksagung
In erster Linie möchte ich mich ganz herzlich bei meinem Betreuer DI Mag. Dr. Markus
Hohenwarter für die Unterstützung und die gute Zusammenarbeit während der
Entstehung dieser Diplomarbeit bedanken. Er hat sich sehr genau und gewissenhaft
mit meiner Arbeit auseinandergesetzt und hat auch seinerseits viel Zeit investiert,
wofür ich sehr dankbar bin, ebenso wie für die wertvollen Ratschläge und Anregungen.
Im Laufe meines Studiums an der JKU Linz und der UFG Linz haben mich auch viele
weitere Menschen begleitet und unterstütz, denen ebenfalls mein aufrichtiger Dank
gebührt.
So danke ich meiner Familie, meinen Eltern Wolfgang und Gerda Stieger,
insbesondere aber auch meinen Großeltern Anton und Berta Burgstaller, die mich in
dieser Zeit nicht nur mental, sondern auch finanziell unterstützt haben. Des Weiteren
bedanke ich mich bei meinen Freunden und StudienkollegInnen die mir immer mit Rat
und Tat zur Seite standen.
Meinen Dank möchte ich auch meinem damaligen Arbeitgeber, der Firma Hofer KG
und insbesondere meiner direkten Vorgesetzten Frau Elisabeth Gaigg, für die
Rücksichtnahme auf mein Studium und das Entgegenkommen beim Erstellen der
Dienstpläne aussprechen.
Ebenfalls stets sehr bemüht mir einen möglichst reibungslosen Studienablauf zu
ermöglichen, war die Leiterin der Abteilung für Bildnerische Erziehung an der
Kunstuniversität, Frau O.Univ.-Prof. Mag. Dr. M.A. Angelika Plank, wofür ich mich an
der Stelle auch bedanken möchte.
Nicht zuletzt bedanke ich mich bei Prof. Mag. Karl Schmidmayr für das Korrekturlesen
dieser Diplomarbeit, sowie bei Herrn Prof. Mag. Franz Schoberleitner und Herrn Mag.
Dr. Peter Kritzer für die Rückmeldung zu einzelnen Kapiteln.
DANKE!
4
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ................................................................................................. 8
2. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ............................................................ 10
2.1 Einblick in die historische Entwicklung ........................................................ 10
2.1.1
Zusammenfassung und Resümee .............................................. 14
2.2 Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Unterricht ........................ 16
2.3 Auflistung von Anwendungsbereichen ........................................................ 17
3. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten – Mathematischer Hintergrund . 19
3.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ......................................... 19
3.2 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung .................................................. 22
3.3 Direkte Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten .............................................. 22
3.3.1
Klassische Wahrscheinlichkeitsermittlung – Laplace
Wahrscheinlichkeit ..................................................................... 23
3.3.2
Statistische Wahrscheinlichkeitsermittlung – Relative Häufigkeit 23
3.3.3
Subjektive Wahrscheinlichkeitsermittlung ................................... 25
3.4 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ............................................................. 25
3.4.1
Additionssatz .............................................................................. 26
3.4.2
Bedingte Wahrscheinlichkeit ...................................................... 27
3.4.3
Multiplikationssatz ...................................................................... 27
3.4.4
Unabhängigkeit von Ereignissen ................................................ 28
3.4.5
Die totale Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes ............... 29
3.4.6
Baumdiagramme und Pfadregeln ............................................... 31
3.4.7
Hilfsmittel aus der Kombinatorik ................................................. 33
3.5 Weiterführung und Ausblick: Zufallsvariable und Verteilungen .................... 38
4. Stochastik in der Schule ....................................................................... 41
4.1 Lehrplanbezug ............................................................................................ 41
4.1.1
Bezug auf das Allgemeine Bildungsziel (AHS) ........................... 42
4.1.2
Allgemeines Bildungsziel einer BHS am Beispiel HTL ................ 43
5
4.1.3
Bezug auf Kompetenzen ............................................................ 44
4.1.4
Bezug auf den Lehrstoff ............................................................. 46
4.2 Grundkompetenzen der neuen schriftlichen AHS-Reifeprüfung .................. 47
4.3 Wozu Stochastikunterricht? ........................................................................ 48
4.4 Stochastisches Denken und Vorstellungen vom Wahrscheinlichkeitsbegriff50
4.5 Einführung im schulischen Kontext ............................................................. 53
4.5.1
Konzeptionen zur Einführung ..................................................... 54
4.5.2
Geometrische Wahrscheinlichkeit – Ein Beispiel für den Unterricht
................................................................................................... 55
4.5.3
Arbeitsblätter zur Approximation von 𝛑....................................... 59
4.6 Computer-Einsatz im Stochastikunterricht .................................................. 59
4.6.1
Stochastische Simulation ........................................................... 60
5. Einige interessante Beispiele und Paradoxa – Eine Aufarbeitung für
den Unterricht in der Sekundarstufe II ....................................................... 63
5.1 Das Geburtstagsparadoxon ........................................................................ 63
5.1.1
Beschreibung des Problems....................................................... 63
5.1.2
Berechnung der Wahrscheinlichkeit ........................................... 64
5.1.3
Anregungen für den Unterricht – Simulationen, Näherungen und
grafische Darstellung.................................................................. 66
5.1.4
Anleitung für Simulationen mit einem
Tabellenkalkulationsprogramm ................................................... 70
5.1.5
Die Berechnungsvorschrift ......................................................... 73
5.1.6
Anleitungen und Arbeitsblätter ................................................... 78
5.2 Das Monty-Hall-Problem ............................................................................. 80
5.2.1
Das Problem .............................................................................. 80
5.2.2
Einführung und Anwendungen in der Schule .............................. 81
5.2.3
Simulationen ohne Technologieeinsatz ...................................... 83
5.2.4
Möglichkeiten zur Simulation mit Computerunterstützung .......... 85
5.2.5
Zur Berechnung der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit ............... 90
5.2.6
Arbeitsblätter .............................................................................. 92
5.3 Das Frauenversteher-Spiel ......................................................................... 94
6
5.3.1
Kurze Erklärung zur Spieltheorie ................................................ 94
5.3.2
Beschreibung des Spiels ............................................................ 95
5.3.3
Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit ................................ 96
5.3.4
Anwendungen in der Schule ....................................................... 99
5.3.5
Simulation mit GeoGebra ......................................................... 100
5.3.6
Weiterführung und Ausblick ...................................................... 103
5.3.7
Arbeitsblätter und Spielvorlage ................................................. 105
6. Zusammenfassung und Ausblick ....................................................... 107
7. Anhang ................................................................................................. 109
8. Verzeichnisse ....................................................................................... 129
8.1 Abkürzungsverzeichnis ............................................................................. 129
8.2 Abbildungsverzeichnis .............................................................................. 131
8.3 Literaturverzeichnis................................................................................... 133
7
1. Einleitung
„Blinder Zufall genügt nicht zur Erklärung der Entstehung des Lebens“
(Theofried Heinrich Haardick zit. nach Kütting, 1994, S.16)
„Zufall“ – ein Begriff der uns im Laufe unseres Lebens in den unterschiedlichsten
Situationen immer wieder unterkommt.
Gerade im Unterrichtsfach Mathematik müssen Lehrer und Lehrerinnen die Chancen
erkennen und nutzen, die sich durch die ständige Weiterentwicklung technischer
Hilfsmittel (im speziellen der Computerprogramme) ergeben. So bieten sich diverse
Programme hervorragend für stochastische Simulationen an. Ich habe im Zuge dieser
Arbeit versucht Unterrichtsmaterialien zu entwickeln, die eben genau darauf abzielen,
mit
Hilfe
von
Tabellenkalkulationsprogrammen
und
einer
dynamischen
Geometriesoftware, Beispiele für SchülerInnen möglichst interessant und lebendig zu
gestallten.
Im Prinzip gliedert sich diese Arbeit in zwei Teile, den theoretischen Hintergrund zum
Thema und die Ausarbeitung von Unterrichtsmaterialien zu drei ausgewählten
Beispielen, dem Geburtstagsparadoxon (Abschnitt 5.1), dem Monty-Hall-Problem
(Abschnitt 5.2) und dem Frauenversteher-Spiel (Abschnitt 5.3).
Der theoretische Teil umfasst eine Abhandlung zur historischen Entwicklung
des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs (Kapitel 2) und die damit verbundenen Schwierigkeiten.
Außerdem bin ich auch auf die Frage eingegangen, in wie weit der Einbezug des
geschichtlichen Hintergrundes im Unterricht zum besseren Begriffsverständnis bei
SchülerInnen beitragen kann. Nach dieser einleitenden Bezugsherstellung beschreibe
ich in Kapitel 3 den notwendigen mathematischen Hintergrund zum Rechnen mit
Wahrscheinlichkeiten, insbesondere für die in Kapitel 5 (Beispiele und Paradoxa)
behandelten Aufgaben.
Kapitel 4 und 5 beziehen sich auf den schulischen Kontext.
In einer allgemeinen Abhandlung (Kapitel 4: Stochastik in der Schule) stelle ich Bezüge
zu AHS- und BHS-Lehrplänen her, aber auch Kompetenzen die im Zuge der neuen
AHS-Reifeprüfung erworben werden sollen, habe ich angeführt. Danach widme ich
mich verschiedenen Fragestellungen, beispielsweise warum Stochastik in der Schule
unterrichtet werden sollte, welche Vorstellungen SchülerInnen von Wahrscheinlichkeit
haben (wenn sie zuvor noch keinen Stochastikunterricht hatten) und welche möglichen
Konzeptionen es gibt, den Begriff im Unterricht einzuführen. Abschließend zu diesem
8
allgemeinen Teil habe ich mich auf die Bedeutung von Computer-Einsatz im
Stochastikunterricht, und speziell auf die Möglichkeit stochastische Simulationen
durchzuführen, bezogen.
Bei den drei behandelten Beispielen in Kapitel 5 handelt es sich um konkrete Probleme
aus
dem
Bereich
der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
wobei
das
Letzte,
das
Frauenversteher-Spiel, auch der Spieltheorie zugeordnet werden kann. Nach der
einführenden
Beschreibung
der
Situation,
folgen
jeweils
Ideen
und
Arbeitsanweisungen für den Unterricht und schließlich im Anhang, die von mir
erstellten Arbeitsblätter.
Die abschließende Zusammenfassung inklusive einem weiteren Ausblick (Kapitel 6)
bildet den letzten Teil dieser Diplomarbeit.
9
2. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
„Wahrscheinlichkeit ist der Grad der Möglichkeit des Eintretens bzw. der
Voraussagbarkeit eines Ereignisses.“
(Duden, 2011)
Die Frage nach einer konkreten Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs beschäftigte
Mathematiker
bereits
vor
einigen
Jahrhunderten.
Um
die
Problematik
der
Begriffsbildung besser verstehen zu können, kann es hilfreich sein, einen Blick in die
historische Entwicklung der Theorie zu werfen.
In diesem Kapitel erläutere ich demzufolge den geschichtlichen Hintergrund. Dabei
werde ich auch auf die Frage eingehen, ob und inwieweit es sinnvoll sein kann,
historische
Informationen
in
den
Mathematikunterricht,
speziell
in
dem
Stochastikunterricht, einzubinden.
2.1 Einblick in die historische Entwicklung
„Ein kluger Kaufmann verkauft und kauft nicht immer und überall
irgendwelche Waren, sondern er verkauft sie dann und da, wenn und wo
sie teuer sind, und wenn und wo sie billig sind, dann und da kauft er sie
und findet die guten heraus, und dies ist mit viel Fleiß verbunden. Bei
den Würfelspielern aber, da gibt es weder Ort noch Zeit und auch keine
Sache, die bald billig, bald teuer sein könnte.“ PSEUDO-OVIDIUS, um 1250
(Klopsch zit. nach Schneider, 1988, s.5)
Die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitstheorie wird vielfach um das Jahr 1654
datiert, jenes Jahr, in dem Blaise Pascal (1623 – 1662) und Pierre de Fermat (1601 –
1665) über Teilungsprobleme und diverse Probleme bei Würfelspielen in einem
Briefwechsel diskutierten. Aber auch Girolamo Cardano (1501 – 1576) und Chevalier
de Méré (1607 – 1684) seien in diesem Zusammenhang erwähnt, da vor allem de
Méré eine gewisse Grundlage für die Dialoge zwischen Pascal und Fermat lieferte.
Heutzutage ist bekannt, dass es Würfelspiele bereits sehr viel früher gegeben hat, wie
auch das zuvor genannte Zitat aus dem 13. Jahrhundert zeigt.
10
Bereits aus dem
Altertum (ca. 3000 v. Chr.) lassen sich Vorläufer von derartigen Spielereien mit
Astragalen1 nachweisen. Man kann also vermuten, dass in diesem Zusammenhang
auch das Reflektieren über Wahrscheinlichkeiten bereits sehr früh eingesetzt haben
muss (vgl. Kütting, 1999, S.20f).
Das Fundament für die weitere Entwicklung der Theorie wurde aber schließlich mit den
Anfängen der Glücksspielrechnung im 17. Jahrhundert geschaffen. Als DAS erste
Buch zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt Cardanos Liber de ludo aleae. Ebenfalls zu
den ersten Schriften über das Glücksspiel zählt Christiaan Huygens‘ (1629 – 1695)
Traktat über Glücksspiele De ratiociniis in ludo aleae. Bei diesem Werk handelt es sich
um eine Sammlung typischer wahrscheinlichkeitstheoretischer Probleme mit deren
Lösungen, aber auch neue Probleme dieser Zeit wurden darin niedergeschrieben.
Anzumerken ist, dass der Begriff Wahrscheinlichkeit noch nicht verwendet wurde.
Huygens schreibt in seinen Texten vom Wert der Hoffnung bzw. vom Erwartungswert
(vgl. Kütting, 1999, S.24).
Ein ebenso bedeutendes Werk wurde von Jakob Bernoulli (1654 – 1705) verfasst.
Inspiriert von Huygens schrieb Bernoulli das Buch Ars conjectandi
(Kunst des
Vermutens). In dieser Schrift ist zum ersten Mal die Rede von probabilitas – einer
messbaren Wahrscheinlichkeit, womit ein weiterer Grundstein für die uns heute
bekannte Theorie gelegt wurde (vgl. Schneider, 1988, S.4).
Das Kapitel 1 der 1713 erschienenen Ars conjectandi beinhaltet einige einführende
Bemerkungen über die Wahrscheinlichkeit, unter anderem die folgende:
“…Die Wahrscheinlichkeit ist nämlich
ein Grad der Sicherheit und
unterscheidet sich von ihr wie der Teil vom Ganzen. Sei z.B.
angenommen, die gesamte und absolute Sicherheit, die ich mit dem
Buchstaben 𝑎 oder mit der Einheit 1 bezeichne, bestehe aus fünf
Wahrscheinlichkeiten oder Teilen, von denen drei für die gegenwärtige
oder zukünftige Existenz irgendeines Ereignisses stehen, die restlichen
dagegen, so soll dieses Ereignis 3⁄5 𝑎 oder 3⁄5 der Sicherheit besitzen.
Deswegen wird das ‚wahrscheinlicher‘ als etwas anderes genannt, was
einen
größeren
Anteil
an
Sicherheit
beansprucht,
wenn
auch
umgangssprachlich nur das wirklich als wahrscheinlich bezeichnet wird,
1
Knochenteil aus der Hinterfußwurzel von einem Schaf oder einer Ziege, wurde als Würfel
verwendet
11
dessen Wahrscheinlichkeit die Hälfte der Sicherheit beträchtlich
übertrifft.“ (Bernoulli zit. nach Schneider, 1988, S.63)
Bernoulli beschreibt hierbei eine Möglichkeit zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit,
jedoch handelt es sich nicht um eine Begriffsdefinition.
Ein weiterer nennenswerter Briefwechsel ist jener zwischen Bernoulli und Leibnitz in
den Jahren 1703 bis 1705. Aus diesem geht unter anderem Bernoullis Hauptsatz
hervor, der uns heutzutage als Gesetz der großen Zahlen bekannt ist (vgl. Schneider,
1988, S.49 & S.124).
Auch
Abraham
de
Moivre
(1667
–
1754)
lieferte
wichtige
Beiträge
zur
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Neben seinem bedeutenden Grenzwertsatz und der
Entwicklung der Normalverteilung hatte er bereits vor Pierre Simon Laplace (1749 –
1827) in seiner Doctrine of chances ein Maß für die Wahrscheinlichkeit festgelegt:
„The Probability of an Event is greater or less, according the number of
Chances by which it may happen, compared with the whole number of
Chances by which it may either happen or fail.“ [sic]
(Vgl. de Moivre zit. nach Schneider, 1988, S.105)
Daraus erhalten wir also folgenden Quotienten als Maß für die Wahrscheinlichkeit:
Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
,
welcher auch von Laplace festgelegt wurde. Allerdings betonte Laplace dabei die
Voraussetzung der „Gleichmöglichkeit“ aller Fälle. Das angeführte Maß ist uns heute
bekannt als klassische Wahrscheinlichkeit oder Laplace-Wahrscheinlichkeit.
„Die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴) eines Ereignisses A ist gleich dem
Quotienten aus der Anzahl 𝑔(𝐴) der für das Ereignis 𝐴 günstigen Fälle
und der Anzahl m aller möglichen Fälle, wobei vorausgesetzt wird, dass
die verschiedenen Fälle alle gleichmöglich sind.“
(Laplace zit. nach Kütting, 1994, S.37)
Dieser Quotient ist aber auch keine konkrete Definition des Begriffs selbst, sondern
beschreibt ebenfalls eine Berechnungsmöglichkeit.
12
Ein kritisches Argument gegen das Laplace’sche Modell richtete sich lange Zeit vor
allem auf die Voraussetzung der „Gleichmöglichkeit“.
Gleichmöglich bedeutet in
diesem Zusammenhang auch gleichwahrscheinlich, womit diese „Definition“ von
Wahrscheinlichkeit den Begriff selbst enthält (Mathematiker brachten Mitte des 20.
Jahrhunderts wiederum Einwände gegen diesen Kritikpunkt).
Ebenfalls auf den Aspekt des „Gleichmöglichen“ bezieht sich der Einwand, dass in der
Praxis die Voraussetzung der Gleichmöglichkeit nur selten gegeben ist (vgl. Kütting,
1994, S.37). Des Weiteren können auch Probleme beim Auffinden und Abzählen der
Elementarereignisse2 auftreten, handelt es sich beispielsweise um Zufallsvorgänge3
mit sehr vielen Einflussfaktoren, oder auch mit unendlich vielen Elementarereignissen
(vgl. Bourier, 1999, S.13).
Ein Nachteil an der Laplace‘schen Theorie liegt also scheinbar in der eingeschränkten
Anwendbarkeit. So versuchte man zu Beginn des 20. Jahrhunderts einen anderen
Zugang zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zu schaffen. 1919 formulierte
Richard von Mises (1883 - 1953) Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (vgl.
Schneider, 1988, S.378ff). Dabei definiert er die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
𝐸 als Grenzwert der Folge der relativen Häufigkeiten4 ℎ𝑛 (𝐸) für 𝑛 gegen unendlich.
B. L. van der Waerden zeigte 1951 auf, dass diese Limesdefinition im Wiederspruch zu
anderen Sätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie seht, so konnte sich Mises „Definition“
nicht durchsetzen (vgl. Kütting, 1999, S.28).
Vor allem aber sei Andrei Nikolajewitsch Kolmogoroff (1903 - 1987) erwähnt, der sich
um 1933 ebenfalls mit den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
beschäftigte und schlussendlich die, von David Hilbert bereits 1900 geforderte,
axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie schuf (vgl. Bong, 2004).
Bei diesem axiomatischen Aufbau wird die Wahrscheinlichkeit als Mengenfunktion
definiert, dem sogenannten Wahrscheinlichkeitsmaß. Diese Funktion ist auf einer
Ereignisalgebra definiert und ordnet den Mengen dieser Ereignisalgebra reelle Zahlen
im Intervall [0; 1] zu (siehe 3.2 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung).
2
Siehe 3.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Siehe 3.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Siehe 3.3.2 Statistische Wahrscheinlichkeitsermittlung – Relative Häufigkeit
3
13
2.1.1
Zusammenfassung und Resümee
„Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist zentral für die Beschreibung von
Phänomenen,
die
dem
Zufall
unterliegen.
Mathematisch
werden
Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse von Zufallsexperimenten definiert.
Eine formale Definition der Wahrscheinlichkeit ist schwierig (und
umstritten).“ (mathe-online.at, 2011)
Im Prinzip kann man drei verschiedene Definitonsansätze erfassen.
Zum
Einen
gibt
es
die
der
Definition
Klassischen
bzw.
Laplace’schen
Wahrscheinlichkeit. Diese Berechnungsvorschrift ist jedoch nicht immer anwendbar, da
man von Voraussetzungen ausgeht, die nicht auf jede Situation übertragbar sind (z.B.
Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse).
Zum Anderen existiert der Ansatz von relativen Häufigkeiten als Näherungswerte für
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen. Das Problem hierbei liegt häufig genau darin,
dass exakte Wahrscheinlichkeiten so nicht berechnet werden können, allerdings
können (mit einer sehr großen Anzahl an Versuchsdurchgängen) meist gute
Näherungswerte erzielt werden.
Die dritte Möglichkeit ist jene, den Wahrscheinlichkeitsbegriff mit Hilfe von Axiomen
über
den
Funktionsbegriff
zu
definieren
(siehe
3.2
Axiome
Wahrscheinlichkeitsrechnung).
Die folgende Tabelle soll einen Überblick über die Geschichte der
Wahrscheinlichkeitsrechnung geben.
Dabei habe ich zu den jeweiligen
Epochen und Entwicklungsschritten Mathematiker angeführt, die maßgeblich an
der Entstehung der Theorie beteiligt waren.
14
der
Mathematiker
Zeitliche
Wichtige Entwicklungsschritte
die u.a. in diesem
Einordnung
in der Geschichte der
Zusammenhang wichtige
Wahrscheinlichkeitstheorie
Werke, Erkenntnisse und
Theorien entwickelten
ca. 16. – 17. Jhd.
Glücksspielrechnung;
Girolamo Cardano
Erste Auseinandersetzung mit
Chevalier de Méré
praktischen Problemen;
Blaise Pascal
Erste Erkenntnisse der
Pierre de Fermat
Stochastik;
Christiaan Huygens
Gesetz der großen Zahlen…
Jakob Bernoulli
…
Klassische (Laplace’sche)
ca. 18. – 19. Jhd.
Wahrscheinlichkeitstheorie;
Wahrscheinlichkeitsverteilungen;
Grenzwertsätze;…
Abraham de Moivre
Pierre Simon Laplace
Thomas Bayes
Carl Friedrich Gauß
Siméon-Denis Poisson
…
Wahrscheinlichkeit als Grenzwert
ca. 19. – 20. Jhd.
der Folge von relativen
Häufigkeiten;
Richard von Mises
Andrej A. Markoff
Pafnuti L. Tschebyscheff
Grenzwertsätze…
…
1.Hälfte des 20. Jhd. Axiomatischer Aufbau
Andrei N. Kolmogoroff
…
15
2.2 Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Unterricht
Aspekte der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik können auch im Unterricht
sinnvoll eingesetzt werden, nicht nur um ein angemesseneres Bild der Mathematik zu
vermitteln, sondern auch um die Aufmerksamkeit, das Interesse und die Motivation der
SchülerInnen zu fördern.
Kronfellner resümiert Erwartungen diverser AutorenInnen in Verbindung mit dem
Einbau von historischen Elementen in den Mathematikunterricht (vgl. Kronfellner, 2002,
S.23f):

Besseres Verständnis mathematischer Inhalte

Antworten auf Sinnfragen von SchülerInnen

Vermittlung eines adäquaten Bildes von Mathematik als eine sich ständig
weiterentwickelnde Wissenschaft

Auflockerung im Unterricht

Motivationssteigerung

Abbau psychischer Barrieren gegen die Mathematik

Aufklärung von „mathematischen Mythen“

Vermittlung eines Traditionsbewusstseins
Es gibt auch AutorenInnen, die dem Einbeziehen von geschichtlichen Inhalten in den
Mathematikunterricht kritisch gegenüberstehen. Freudenthal beispielsweise bezweifelt,
dass geschichtliche Kenntnisse das tatsächliche Verständnis von mathematischen
Inhalten fördern und meint, dass Lehrpersonen sich davor in Acht nehmen sollten,
nicht das eigene Interesse an der historischen Entwicklung den SchülerInnen
aufdrängen zu wollen (vgl. Kronfellner zit. nach Freudenthal, 2002, S. 24).
Meiner
Meinung
nach
bietet
sich
jedoch
gerade
im
Bereich
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung der Einbezug der geschichtlichen Entwicklung an. Die
SchülerInnen könnten mit historischen Hintergrundinformationen besser verstehen,
warum es von Bedeutung ist, ausgerechnet Würfelspiele und andere Glücksspiele im
Unterricht zu behandeln.
Es sollte ihnen bewusst sein, dass gerade durch diese
„Spielereien“ die Motivation zur weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie
entstand, die heute in so unterschiedlichen Wissenschaftsgebieten zum Einsatz
kommt. Im nächsten Abschnitt habe ich einige Anwendungsbereiche der Stochastik
angeführt.
16
2.3 Auflistung von Anwendungsbereichen
Der Bereich der Stochastik ist ein sehr anwendungsorientiertes Teilgebiet der
Mathematik. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung, sowie der beschreibenden
und beurteilenden Statistik sind aus vielen Fachgebieten kaum wegzudenken und
bilden wichtige Grundlagen für viele Berufe.
In
diesem
Abschnitt
werde
ich
einige
Bereiche
anführen,
in
denen
die
Wahrscheinlichkeitsrechnung in bestimmter Weise eine Rolle spielt. Dabei handelt es
sich nicht um eine vollständige Auflistung aller Gebiete die sich den Regeln der
Stochastik bedienen, sondern lediglich um einen Auszug. So soll eine Vorstellung über
die Vielseitigkeit der Anwendungsgebiete vermittelt werden.
Da
es
nicht
Ziel
und
Zweck
dieser
Arbeit
ist,
genaueres
über
diese
Anwendungsbereiche auszuarbeiten, sind zu den einzelnen Themengebieten keine
weiteren Erläuterungen angegeben.
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Anwendungen
findet
man
u.a.
in
folgenden
Wissenschaftsgebieten, bzw. Disziplinen:

in Biologie und Naturgeschichte (z.B. Evolutionsbiologie, Physiologie, Genetik
und Erblichkeitslehre, zufallsgesteuerte Blockversuche in der biologischen
Forschung)

in der Physik (z.B. Kinetische Gastheorie, Radioaktivität, Licht und Materie,
Quantenmechanik)

bei Wetterprognosen

beim Sport

im Bereich der Verhaltensforschung

im
Versicherungswesen
(z.B.
stochastische
Grundlagen
der
Rentenversicherung)

in der Medizin (z.B. Medizinische Diagnosen, Medizinische Therapie, Testung
und Erprobung von Medizinischen Präparaten)

bei Testverfahren in der Psychologie

bei Qualitätskontrollen (z.B. zur Überprüfung der Höhe des Ausschussanteils)

im Gerichtswesen

bei Glücksspielen, Lotterien und Sportwetten sowie bei einfachen Würfelspielen
17

bei der Kriegsführung

bei Intelligenztests

bei Meinungsumfragen

…
Nähere Informationen zu den jeweiligen Themen können in der Fachliteratur
nachgelesen werden.
Schon alleine aufgrund der Menge der zahlreichen Anwendungsgebiete der
Wahrscheinlichkeitsrechnung erlangt der Stochastikunterricht eine Berechtigung.
Dennoch möchte ich noch näher auf die Frage eingehen, warum es sinnvoll ist
Stochastik in der Schule zu unterrichten (siehe 4.3 Wozu Stochastikunterricht?).
18
3. Rechnen
mit
Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsräumen
in
endlichen
In diesem Teil der Diplomarbeit beschreibe ich die theoretischen Grundlagen.
Die angeführten Definitionen und Sätze beschränken sich weitgehend auf das
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten in endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen, womit die
Basis für die in Abschnitt 5 ausgearbeiteten Unterrichtsmaterialien gegeben ist.
Natürlich werden in der Schule auch stetige Wahrscheinlichkeitsräume behandelt, in
dieser Arbeit werde ich aber nicht näher auf den stetigen Fall eingehen.
Im
ersten
Teil
werden
die
wichtigsten
Zufallsexperimente benötigt werden.
Grundbegriffe
definiert,
die
für
Danach werden Methoden zur direkten
Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten beschrieben und weitere Rechenregeln
erläutert. Abschließend wird ein Einblick in die weiterführende Theorie von
Zufallsvariablen und Verteilungen gegeben.
Die angeführten Definitionen und Sätze des gesamten dritten Kapitels sind den
nachstehenden Quellen entnommen:

Bourier, G. (1999). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik.
Wiesbaden: Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH.

Dürr, W. & Mayer, H. (2004). Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende
Statistik. Studienbücher der Wirtschaft. 5. Auflage. München: Carl Hanser
Verlag München Wien.

Henze,
N.
(1999).
Stochastik
für
Einsteiger.
2.
Auflage.
Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg.

Krengel, U. (2003). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.
Wiesbaden: Vieweg.

Kütting, H. (1999). Elementare Stochastik. Mathematik Primarstufe. Prof. Dr.
Friedhelm Padberg (Hrsg.). Berlin: Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg.
3.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
19
Folgende grundlegende Begriffe werden für die Beschreibung von Zufallsexperimenten
benötigt und daher in diesem Abschnitt definiert:

Zufallsexperiment

Elementarereignis

Ereignisraum und Ereignis
Definition:
Ein Experiment heißt Zufallsexperiment, wenn dessen Ausgang vom Zufall
abhängig ist. Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein (vgl. Dürr & Mayer, 2004,
S.20):

Das Experiment wird nach einer genauen Vorschrift durchgeführt.

Es kann unter den gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.

Die möglichen Ergebnisse können alle angegeben oder abgeschätzt
werden.

Das Ergebnis, das sich beim Zufallsexperiment einstellen wird, kann nicht
mit Sicherheit vorhergesagt werden.
Definition:
Sei  eine Menge ( ≠ ∅ und endlich).
Jede Teilmenge A von  wird Ereignis genannt (𝐴   ).
Die einelementigen Teilmengen von , also die Teilmengen, die genau ein
Ergebnis enthalten, bezeichnet man als Elementarereignisse 𝜔𝑖 . Ein Ereignis A
setzt sich also aus einem oder mehreren Elementarereignissen zusammen.
 nennt man Ereignismenge (auch Ereignisraum) (vgl. Kütting, 1999, S.33).
Beispiel:
Zufallsexperiment: „Ein Würfel wird einmal geworfen.“
Die
Elementarereignisse
(die
möglichen
Versuchsausgänge)
sind
die
Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Die Ereignismenge  = {1,2,3,4,5,6}. Ein
Ereignis A wäre beispielsweise: „Werfen einer geraden Augenzahl“ also 𝐴 =
{2,4,6}.
Ereignisräume können diskret oder stetig sein. Diskrete Ereignisräume umfassen
endlich viele oder abzählbar unendlich viele Elementarereignisse, was bedeutet, dass
sich die Menge der Elementarereignisse auf die Menge der natürlichen Zahlen
20
abbilden lässt. Im stetigen Fall umfasst die Menge der Elementarereignisse
überabzählbar unendlich viele Elemente.
Beispiele für einen stetigen Wahrscheinlichkeitsraum:
„Eine Zahl zwischen 0 und 1“ oder „der Benzinverbrauch eines PKW’s auf 100
km“.
Beispiel für ein Ereignis mit überabzählbar vielen Elementarereignissen (vgl. Bourier,
1999, S. 8):
„Benzinverbrauch liegt unter 3 Liter pro 100km“.
Ein Ereignis 𝐴 tritt ein, wenn beim Zufallsexperiment ein Ausgang   𝐴 realisiert wird.
Mit dieser Bestimmung ist es möglich eine mengentheoretische Notation einzuführen.
Seien A, B Ereignisse, dann besagt   (𝐴 ∩ 𝐵), dass  in A und in B liegt.
𝐴 ∩ 𝐵 beschreibt also das Ereignis, dass sich A und B ereignen.
𝐴 ∪ 𝐵 beschreibt das Ereignis, dass sich A oder B ereignen.
Definition:
Als
Komplementärereignis
oder
Gegenereignis
𝐴𝑐
(manchmal
auch
𝐴′ oder 𝐴̅ geschrieben) von A in  wird das Ereignis bezeichnet, dass A nicht
eintritt (vgl. Krengel, 2003, S.3), also 𝐴𝑐 = \𝐴.
Das Maß für die Erwartung, mit der ein Ereignis 𝐴 eintritt, wird als
Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴) bezeichnet.
Die Menge aller möglichen Ereignisse, also die Menge aller Teilmengen von , ist die
Potenzmenge 𝒫(). 𝒫() ist (für  endlich) eine 𝜎 − 𝐴𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 (geschrieben: 𝒜)5.
Definition:
Die leere Menge ∅ heißt unmögliches Ereignis.
Für das unmögliche Ereignis gilt: 𝑃(𝐴) = 0.
Die (uneigentliche) Teilmenge  von , also die Ereignismenge selbst, heißt
sicheres Ereignis.
Für das sichere Ereignis gilt: 𝑃(𝐴) = 1.
Zwei Ereignisse 𝐴 und 𝐵 heißen disjunkt, wenn 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ gilt.
(Vgl. Kütting, 1999, S.33ff)
Unter der 𝜎 − 𝐴𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝒜 versteht man die Menge aller Ereignisse. Es gilt: 𝒜  𝒫().
Für  abzählbar, wir normalerweise 𝒜 = 𝒫() gewählt (vgl. Takacs, 2008, S.6).
5
21
3.2 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung (für  endlich)
Nachdem einige grundlegende Begriffe geklärt wurden, beschreibe ich in den
anschließenden
Abschnitten
einige
Eigenschaften
und
wie
den
Ereignissen
Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können. Zu beachten ist, dass es sich hierbei
um endliche Ereignismengen handelt.
Definition:
Eine
Abbildung
𝑃
von
𝒫()
(bzw.
von
𝒜)
in
[0,1]
heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsmaß 𝑃: 𝒜 → [0,1], falls
die folgenden Bedingungen erfüllt sind („Axiomensystem von Kolmogoroff“):

𝑃(𝐴) ≥ 0 für 𝐴  ,
(Nichtnegativität)

𝑃() = 1,
(Normiertheit)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) falls 𝐴 ∩ 𝐵 = { }. (Additivität)
Tripel (, 𝒫(), 𝑃),
Ein
oder
auch
kurz (, 𝑃),
heißt
endlicher
Wahrscheinlichkeitsraum, wobei  ≠ 0 eine endliche Menge und 𝑃 eine auf den
Teilmengen von  definierte, reellwertige Funktion ist (vgl. Henze, 1999, S.39f).
Einige Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten:
Für 𝐴, 𝐵, 𝐴𝑖 ∈ 𝒫() gilt (vgl. Krengel, 2003, S.4)

𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴),

𝐴 𝐵 ⟹ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵),

𝑃(𝐴\𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑚𝑖𝑡 (𝐴\𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ).
3.3 Direkte Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können auf unterschiedliche Weise berechnet
werden. Im Unterschied zu einer direkten Ermittlung, bei der ein Zufallsexperiment real
oder gedanklich realisiert wird, wird bei einer indirekten Ermittlung auf bereits bekannte
Wahrscheinlichkeiten von anderen Ereignissen zurückgegriffen, mit deren Hilfe die
Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses bestimmt werden kann (ohne dass
das zu Grunde liegende Zufallsexperiment explizit durchgeführt wird).
In diesem Teil der Arbeit erläutere ich drei Möglichkeiten zur direkten Ermittlung von
Wahrscheinlichkeiten (vgl. Bourier, 1999, S. 11ff), die statistische, die klassische und
22
die
subjektive
Wahrscheinlichkeitsermittlung.
Im
Abschnitt
3.4
Rechnen
mit
Wahrscheinlichkeiten werden Wege zur indirekten Wahrscheinlichkeitsermittlung
beschrieben (vgl. Bourier, 1999, S. 36ff).
3.3.1
Klassische Wahrscheinlichkeitsermittlung – Laplace Wahrscheinlichkeit
Die
klassische
Voraussetzungen
Wahrscheinlichkeitsermittlung
durchführbar:
Der
ist
Zufallsvorgang
nur
unter
muss
bestimmten
endlich
viele
Elementarereignisse besitzen und diese müssen alle gleich wahrscheinlich sein.
Zur Berechnung muss das Zufallsexperiment nicht explizit ausgeführt werden, es
reichen meist gedankliche Überlegungen.
Definition:
Nimmt man an, dass alle Elementarereignisse eines Zufallsversuchs gleich
wahrscheinlich sind, so spricht man von einem Laplace-Versuch.
Es gilt:
Liegt ein Laplace-Versuch mit 𝑛 Versuchsausgängen vor, so sind die
Wahrscheinlichkeiten 𝑝 der einzelnen Elementarereignisse gleich groß und es
gilt für jeden einzelnen Ausgang:
1
𝑝=𝑛
Für die Berechnung der (Laplace-)Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴) eines Ereignisses 𝐴
bei einem Laplace-Versuch gilt:
𝑃(𝐴) =
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑓ü𝑟 𝐴 𝑔ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑛 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑒𝑟𝑒𝑖𝑔𝑛𝑖𝑠𝑠𝑒
|𝐴|
=
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒𝑛 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑒𝑟𝑒𝑖𝑔𝑛𝑖𝑠𝑠𝑒
| |
Ein Nachteil dieser Berechnungsmethode liegt offensichtlich in der eingeschränkten
Anwendbarkeit, denn in der Praxis ist die Voraussetzung der Gleichwahrscheinlichkeit
der Elementarereignisse nur selten gegeben. Weitere Probleme können beim
Auffinden und Abzählen der Versuchsausgänge auftreten, da sich dies in vielen Fällen
als sehr schwierig und kompliziert erweist. Ebenfalls nicht angewendet werden kann
die Laplace-Methode, falls es unendlich viele Versuchsausgänge gibt. In diesem Fall
kann die Wahrscheinlichkeit eventuell geometrisch ermittelt werden (siehe 4.5.2
Geometrische Wahrscheinlichkeit).
3.3.2
Statistische Wahrscheinlichkeitsermittlung – Relative Häufigkeit
23
Wahrscheinlichkeiten können auch auf statistischem Wege ermittelt, bzw. abgeschätzt
werden, wobei hierzu das zugehörige Zufallsexperiment tatsächlich durchgeführt
werden muss. Dies ist vor allem dann sinnvoll, wenn die Wahrscheinlichkeiten der
Elementarereignisse nicht bekannt sind.
Würfelt
man
beispielsweise
mit
einem
unsymmetrischen
Würfel
mit
sechs
unterschiedlich großen Seitenflächen (nummeriert von 1 bis 6), so können die
jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6 im
1
Vorhinein nicht mit 𝑃 = 6 angenommen werden. Auch das Werfen eines Reißnagels ist
in diesem Zusammenhang ein häufig zitiertes Beispiel. Die Wahrscheinlichkeiten für
die Ereignisse „Nagel landet auf dem Kopf“ oder „Nagel landet mit der Spitze nach
unten“ können nur auf statistischem Wege ermittelt werden.
Dabei wird das Zufallsexperiment unter den gleichen Bedingungen 𝑛-mal ausgeführt
und beobachtet, wie häufig das gewünschte Ereignis eintritt.
Definition:
Tritt ein bestimmtes Ereignis 𝐴 genau 𝑘 von 𝑛 mal auf, so nennt man 𝑘𝑛 (𝐴) die
absolute Häufigkeit des Ereignisses A und ℎ𝑛 (𝐴) =
𝑘𝑛 (𝐴)
𝑛
die relative Häufigkeit
des Ereignisses 𝐴.
Es gilt:
Die relative Häufigkeit ℎ𝑛 (𝐴) eines Ereignisses 𝐴 nähert sich mit zunehmender
Anzahl 𝑛
an
(voneinander
unabhängigen)
Wiederholungen
eines
Zufallsexperiments, der Wahrscheinlichkeit P von 𝐴:
𝑃(𝐴) ≈
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑍𝑢𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠𝑣𝑜𝑟𝑔ä𝑛𝑔𝑒 𝑚𝑖𝑡 𝐴𝑢𝑠𝑔𝑎𝑛𝑔 𝐴
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝐷𝑢𝑟𝑐ℎ𝑓üℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡
Das „Gesetz der großen Zahlen“ von Bernoulli (um 1690) besagt schließlich, dass die
Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Unterschied zwischen der relativen Häufigkeit
ℎ𝑛 (𝐴) eines Ereignisses A und der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴) von A größer
als eine beliebig kleine Zahl 𝜀, mit wachsender Anzahl n der Durchführungen des
Zufallsexperiments gegen 0 geht:
lim (|ℎ𝑛 (𝐴) − 𝑃(𝐴)| > 𝜀) = 0.
𝑛→
Problematisch werden kann die Tatsache, dass in der Praxis Zufallsexperimente aus
Zeit- oder Kostengründen nicht immer unter den gleichen Bedingungen beliebig oft
24
wiederholt werden können und somit das Ergebnis der Berechnungen von der exakten
Wahrscheinlichkeit weit abweichen kann.
Außerdem kann es passieren, dass sich die Versuchsergebnisse für eine kurze Zeit
(wenn n nicht übermäßig groß ist) um einen bestimmten Wert stabilisieren, welchen
man folglich fälschlicherweise als Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses annehmen könnte.
Dennoch ist die statistische Ermittlung relativer Häufigkeiten in vielen Fällen die einzige
Möglichkeit zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten und gerade auch durch die
schnell fortschreitende technische Entwicklung von Computerprogrammen und
Simulationsmöglichkeiten von besonderer Bedeutung.
3.3.3
Subjektive Wahrscheinlichkeitsermittlung
Bei dieser Methode der Wahrscheinlichkeitsermittlung ist es Aufgabe einer bestimmten
Person, unter Berücksichtigung ihrer/seiner Erfahrungen und ihres/seines Wissens,
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses subjektiv, aber
rational einzuschätzen.
Dieser Wert stimmt in der Regel meist nicht
sehr gut mit der exakten
Wahrscheinlichkeit überein, jedoch stellt dieses subjektive Vorgehen in der Praxis oft
die einzige Möglichkeit zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten dar.
Beispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, dass es nächsten Juli an mehr als 10 Tagen regnet,
können wir schätzungsweise angeben, wobei man sich auf Erfahrungen (Anzahl
der Regentage im Juli) vergangener Jahre bezieht (vgl. Henze, 1999, S.46).
3.4 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Das
Rechnen
mit
Wahrscheinlichkeiten
ist
eine
indirekte
Art
der
Wahrscheinlichkeitsermittlung.
Ausgehend von bereits bekannten Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, kann man mit
Hilfe bestimmter Regeln weitere Wahrscheinlichkeiten berechnen. Beispiele hierfür
sind der Additions- und der Multiplikationssatz. Außerdem erkläre ich wie bedingte
Wahrscheinlichkeiten (das sind Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, unter der
Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist) ermittelt werden
können.
Anschließend
werde
ich
kurz
25
auf
die
Visualisierung
von
wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemen mittels Baumdiagrammen eingehen,
wobei ich die zwei Pfadregeln beschreibe.
Wahrscheinlichkeiten lassen sich manchmal (leichter) mit kombinatorischen Hilfsmitteln
bestimmen.
Der
letzte
Teil
in
diesem
Abschnitt
behandelt
daher
einige
(Ab)Zählformeln, die es ermöglichen unter bestimmten Voraussetzungen die Anzahl
der „günstigen Fälle“ zu bestimmen.
3.4.1
Additionssatz
Seien 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 Elementarereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt:
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ).
Für disjunkte Ereignisse kann der Additionssatz analog formuliert werden:
𝑛
𝑛
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖 ) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 )
𝑖=1
𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝐴1 , … 𝐴𝑛 𝑝𝑎𝑎𝑟𝑤𝑒𝑖𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑘𝑡.
𝑖=1
Daraus lässt sich unmittelbar ableiten, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse 𝜔 von A ist:
𝑃(𝐴) = ∑𝜔∈𝐴 𝑃({𝜔}).
Handelt es sich um beliebige (sich überschneidende) Ereignisse 𝐴𝑖 so kann die
Wahrscheinlichkeit
der
Vereinigung
dieser
Ereignisse
mit
der
Summe
der
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse nach oben abgeschätzt werden. Diese ist in
jedem Fall größer (oder maximal gleich), da die Wahrscheinlichkeiten der
Schnittmengen der jeweiligen Ereignisse mehrfach in die Summe einfließen:
𝑛
𝑛
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖 ) ≤ ∑ 𝑃(𝐴𝑖 )
𝑖=1
𝑓ü𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑖𝑒𝑏𝑖𝑔𝑒 𝐴1 , … 𝐴𝑛  𝒜.
𝑖=1
Will man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ereignis „A oder
B“ eintritt (wobei A und B nicht disjunkt sind), so muss man zur Berechnung der
Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) von der Summe der einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten
von A und B, die Wahrscheinlichkeit von 𝐴 ∩ 𝐵 subtrahieren, da diese ansonsten
doppelt gezählt wird:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
26
Wie man die Wahrscheinlichkeit von 𝐴 ∩ 𝐵
berechnen kann, wird in den
nachfolgenden Absätzen erläutert.
3.4.2
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition:
Seien (, 𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum,  endlich und 𝐴, 𝐵   mit 𝑃(𝐵) >
0. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐴 unter der Bedingung, dass das
Ereignis 𝐵 bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter
(der Bedingung) B, geschrieben 𝑃(𝐴|𝐵).
𝑃(𝐴|𝐵) ∶=
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
.
𝑃(𝐵)
Unter der Laplace-Annahme kann man folgende Überlegung anstellen:
Sei 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
,
||
𝑃(𝐵) =
|𝐵|
||
und 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
|𝐴∩𝐵|
.
||
Zu bestimmen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B.
Wenn das Ereignis B bereits eingetreten ist, reduziert sich der Ereignisraum
von  auf B. Die Anzahl der möglichen Fälle beschränkt sich also auf |B|, wobei
die günstigen Fälle jene sind, wo innerhalb von B auch A eintritt, also die
Anzahl der Elemente der Schnittmeng |𝐴 ∩ 𝐵|.

A
𝐀∩𝐁
B
Abbildung 1: Darstellung zur Bedingten Wahrscheinlichkeit
Somit gilt (mit 𝑃(𝐵) ∙ || = |𝐵| 𝑢𝑛𝑑 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ∙ || = |𝐴 ∩ 𝐵|):
𝑃(𝐴|𝐵) =
3.4.3
|𝐴 ∩ 𝐵| || ∙ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
=
=
.
|𝐵|
|| ∙ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵)
Multiplikationssatz
Durch einfaches Umformen aus der bedingten Wahrscheinlichkeit lässt sich der
allgemeine Multiplikationssatz ableiten:
27
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse A und B, mit 𝑃(𝐴) > 0 und 𝑃(𝐵) > 0,
gemeinsam eintreten beträgt demnach:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴)
𝑏𝑧𝑤.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵).
Fügt man nun ein weiteres Ereignis C hinzu, so erhält man:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵).
Allgemein gilt dementsprechend für 𝑛 Ereignisse 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 mit 𝑃(𝐴𝑖 ) > 0 für ∀𝑖 ∈
{1, … , 𝑛}:
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) ∙ 𝑃(𝐴2 |𝐴1 ) ∙ 𝑃( 𝐴3 |𝐴1 ∩ 𝐴2 ) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑛 |𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛−1 ),
in Kurzschreibweise:
𝑛
𝑖−1
𝑛
𝑃 (⋂ 𝐴𝑖 ) = 𝑃(𝐴1 ) ∙ ∏ 𝑃(𝐴𝑖 | ⋂ 𝐴𝑗 )
𝑖=1
3.4.4
𝑖=2
(𝐴𝑙𝑙𝑔𝑒𝑚𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑠𝑎𝑡𝑧).
𝑗=1
Unabhängigkeit von Ereignissen
In der Praxis ist es nun häufig interessant zu wissen, ob durch den Eintritt eines
Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, in irgendeiner Weise
beeinflusst wird oder nicht. Man möchte feststellen, ob die Ereignisse A und B
voneinander unabhängig sind.
Dies ist genau dann der Fall, wenn 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) gilt. In diesem Fall nennt man die
Ereignisse 𝐴 und 𝐵 (stochastisch) unabhängig. Analog gilt für 𝑛 Ereignisse:
Definition:
Es sei (, 𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum und 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 Ereignisse mit 𝑛 ≥ 2.
𝐴1 , … , 𝐴𝑛 heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
𝑃 (⋂ 𝐴𝑗 ) = ∏ 𝑃(𝐴𝑗 )
𝑗∈𝑇
𝑗∈𝑇
für jede relevante (d.h. mindestens zwei-elementige) Teilmenge 𝑇 {1,2, … , 𝑛}.
Sind beispielsweise drei Ereignisse A, B und C gegeben (also 𝑛 = 3) so kann man die
stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse feststellen, indem man die Gültigkeit
folgender vier Gleichungen überprüft:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
28
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)
3.4.5
Die totale Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes
Man betrachte folgende Situation (Abbildung 2):
𝐴1
𝐴2
𝐴3
B
𝐴4
𝐴𝑗
…
…
𝐴𝑛
Abbildung 2: Vollständiges Ereignissystem in  mit dem
Ereignis B
In Abbildung 2 wird ein vollständiges Ereignissystem in  dargestellt. Darunter versteht
man eine abzählbare Partition (𝐴𝑛 )𝑛≥1 von  mit 𝐴𝑛 𝜖 𝒫() für alle 𝑛, d.h. es gilt: 𝐴1 ∪
𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 =  und 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑖 ≠ 𝑗.
Überschneidet sich ein Ereignis B mit einigen Ereignissen 𝐴𝑖 , so kann man B als
Vereinigung, bzw. Zusammensetzung der Schnittmengen von B mit diesen Ereignissen
𝐴𝑖 auffassen:
𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ … ∪ (𝐴𝑛 ∩ 𝐵).
Somit ergibt sich mit der Addition der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen
Durchschnitte 𝐴𝑖 ∩ 𝐵 die totale Wahrscheinlichkeit von B (man beachte, dass die
Ereignisse 𝐴𝑖 ∩ 𝐵 paarweise disjunkt sind, wodurch der Additionssatz für disjunkte
Ereignisse verwendet werden darf):
𝑛
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵).
𝑖=1
Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Durchschnitte 𝐴𝑖 ∩ 𝐵 können mit dem
allgemeinen Multiplikationssatz ermittelt werden (siehe 3.4.3 Multiplikationssatz):
Satz: Es gilt:
29
𝑛
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) (𝑆𝑎𝑡𝑧 𝑑𝑒𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑊𝑎ℎ𝑟𝑠𝑐ℎ𝑒𝑖𝑛𝑙𝑖𝑐ℎ𝑘𝑒𝑖𝑡)
𝑖=1
Beweis:
Es gilt 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 =  und 𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ … ∪ (𝐴𝑛 ∩ 𝐵).
Da die Ereignisse 𝐴𝑘 ∩ 𝐵 für 𝑘 = 1, 2, … 𝑛 paarweise disjunkt sind, also (𝐴𝑖 ∩
𝐵) ∩ (𝐴𝑘 ∩ 𝐵) = ∅ 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑖 ≠ 𝑘 gilt, folgt mit dem Additionssatz
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐵) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ∩ 𝐵)
und
mit
dem
allgemeinen
Multiplikationssatz 𝑃(𝐴𝑘 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴𝑘 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑘 ) 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑘 = 1 … 𝑛.
Daraus ergibt sich:
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑛 ) also
𝑛
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) .
𝑖=1
Ein Anwendungsbeispiel:
Drei Maschinen 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 erzeugen Glühbirnen. Jede Maschine produziert einen
bestimmten Anteil der insgesamt produzierten Ware und davon wiederum einen
bestimmten Prozentsatz der gesamten Ausschussware A.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn man zufällig eine defekte Glühbirne
auswählt, dass diese (beispielsweise) von Maschine 𝑀3 kommt?
Die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝑀3 ), dass das ausgewählte Produkt von Maschine 𝑀3
erzeugt wurde, ist bekannt. Ebenso kennt man die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴), also die
Wahrscheinlichkeit dass das Produkt Ausschussware ist (errechnet sich mit der totalen
Wahrscheinlichkeit), wobei 𝑃(𝐴) > 0 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝑀3 |𝐴), die Wahrscheinlichkeit, dass die
Glühbirne von Maschine 3 kommt, wenn man weiß, dass sie defekt ist:
𝑃(𝑀3 |𝐴) =
𝑃(𝑀3 ∩ 𝐴) 𝑃(𝑀3 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝑀3 )
=
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴)
𝑤𝑜𝑏𝑒𝑖 𝑃(𝑀3 ) ≠ 0, 𝑃(𝐴) ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑃(𝑀3 ) 𝑏𝑧𝑤. 𝑃(𝐴|𝑀3 ) 𝑔𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛.
𝑀1
𝑀2
30A
𝑀3
Abbildung 3: Ausschuss A bei der Produktion von Glühbirnen auf
drei Maschinen 𝑴𝟏 , 𝑴𝟐 , 𝑴𝟑
Allgemein lässt sich der Satz von Bayes herleiten:
Satz:
Seien (, 𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum und 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 disjunkte Ereignisse mit
den Eigenschaften 𝑃(𝐴𝑖 ) > 0 (𝑖 = 1, … , 𝑛) und ⋃𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 =  . Dann gilt für jedes
Ereignis 𝐵 mit 𝑃(𝐵) > 0:
𝑃(𝐴𝑘 |𝐵) =
𝑃(𝐴𝑘 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑘 )
𝑛
∑𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 )
für jedes 𝑘 = 1, … , 𝑛
(𝑆𝑎𝑡𝑧 𝑣𝑜𝑛 𝐵𝑎𝑦𝑒𝑠)
Beweis:
Analog zum vorherigen Anwendungsbeispiel kann man den Satz von Bayes
beweisen. Man wendet zuerst die Berechnungsvorschrift für bedingte
Wahrscheinlichkeiten an:
𝑃(𝐴𝑘 |𝐵) =
𝑃(𝐴𝑘 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
anschließend die Multiplikationsregel:
𝑃(𝐴𝑘 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴𝑘 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑘 )
=
𝑓ü𝑟 𝑃(𝐴𝑘 ) ≠ 0, 𝑃(𝐵) ≠ 0.
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵)
Schlussendlich folgt mit 𝑃(𝐵) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 )
𝑃(𝐴𝑘 |𝐵) =
3.4.6
𝑃(𝐴𝑘 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑘 )
.
𝑛
∑𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 )
Baumdiagramme und Pfadregeln
Beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten können sogenannte Baumdiagramme zur
visuellen Unterstützung herangezogen werden. In solchen Diagrammen entspricht
jeder Weg (jeder „Ast“) einem möglichen Versuchsausgang, der sich aus mehreren
Teilversuchen zusammensetzt (Bsp. dreimaliges Werfen eines Würfels). Entlang der
Äste
werden
die
Wahrscheinlichkeit
einzelnen
eines
„Astes“
Teilwahrscheinlichkeiten
ergibt
Teilwahrscheinlichkeiten.
31
sich
aus
der
angeschrieben.
Multiplikation
Die
dieser
Kommen mehrere „Äste“ für ein gewünschtes Ereignis in Frage, so kann man die
Wahrscheinlichkeit aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser „Äste“ berechnen.
Man kann zwei Pfadregeln formulieren:
1. Pfadregel: Multiplikationsregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Versuchsausgans setzt sich aus dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilversuche zusammen, als dem Produkt
der Teilwahrscheinlichkeiten entlang eines Weges (=“Astes“).
2. Pfadregel: Additionsregel
Tritt ein bestimmtes Ereignis bei mehreren Versuchsausgängen (=“Ästen“) ein,
so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis aus der Summe
der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Wege im Baumdiagramm.
Abbildung 4: Beispiel für ein Baumdiagramm (Quelle: siehe Abbildungsverzeichnis)
Beispiel: Abbildung 4 zeigt ein Baumdiagramm, welches das dreimalige Würfeln mit
einem symmetrischen Spielwürfel darstellt. Dabei interessiert ob die Zahl „6“ gewürfelt
wird oder nicht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Mal hintereinander eine „6“ gewürfelt wird entspricht
dem rot-markierten Ast im Diagramm (linker Ast):
𝑃(3 𝑚𝑎𝑙 "6") =
1 1 1
1
∙ ∙ = 3 = 0,00462 …
6 6 6 6
32
Interessiert das Ereignis A „Es kommt genau einmal 6“, so muss man die
Wahrscheinlichkeiten aller „Äste“ addieren, bei denen dieses gewünschte Ereignis A
eintritt:
𝑃(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 1 𝑚𝑎𝑙 "6") =
1 5 5 5 1 5 5 5 1
25
25
25
75
∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ =
+
+
=
≈ 0,347.
6 6 6 6 6 6 6 6 6 216 216 216 216
Beispiel:
Beim Satz von Bayes kann ein Baumdiagramm ebenfalls sehr hilfreich sein.
Die totale Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B lässt sich mit Hilfe eines
Baumdiagrammes unter Berücksichtigung der „Pfadregeln“ einfach bestimmen. In
Abbildung 5 errechnet sich 𝑃(𝐵) demnach mit
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐴̅) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴̅).
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴̅)
𝑃(𝐵|𝐴)
𝐵
𝑃(𝐵̅|𝐴)
𝐵̅
𝑃(𝐵|𝐴̅)
𝐵
𝑃(𝐵̅|𝐴̅)
𝐵̅
𝐴
𝐴̅
Abbildung 5: Baumdiagramm zur bedingten Wahrscheinlichkeit
3.4.7
Hilfsmittel aus der Kombinatorik
„Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit
den Anordnungsmöglichkeiten von Dingen (Elementen) befasst.“
(Duden, 1982, S.405)
Bei der Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten können kombinatorische Zählformeln
häufig eine Hilfe darstellen, zum Beispiel beim Abzählen von günstigen und/oder
möglichen Versuchsausgängen eines Zufallsexperiments.
Ich möchte in diesem Abschnitt erklären, was man unter Permutationen und
Kombinationen versteht, nicht zuletzt da diese Begriffe auch im schulischen Kontext
33
relevant sind, und wie man die Anzahlen von solchen Permutationen, bzw.
Kombinationen ermitteln kann.
Zuvor erläutere ich anhand eines Beispiels das Fundamentalprinzip des Zählens.
Beispiel:
Auf
einer
Menükarte
Vorspeisen {𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 },
in
4
einem
Restaurant
werden
Hauptspeisen {𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , 𝐻4 }
und
3
verschiedene
2
Nachspeisen
{𝑁1 , 𝑁2 } angeboten.
Wie viele unterschiedliche Menükombinationen gibt es?
Zunächst kann der Gast aus drei Vorspeisen wählen. Jeder dieser drei Speisen folgen
jeweils vier mögliche Hauptspeisen. Somit ergeben sich 3 ∙ 4 = 12 Menüabläufe:
(𝑉1 , 𝐻1 ), (𝑉2 , 𝐻1 ), (𝑉3 , 𝐻1 ), (𝑉2 , 𝐻1 ), … (Abbildung 6). Jedem dieser 12 Möglichkeiten
folgen nun weiter 2 Wahlmöglichkeiten für das Dessert, daher gibt es insgesamt 3 ∙ 4 ∙
2 = 12 ∙ 2 = 24 mögliche Menüfolgen.
𝐻1
𝐻2
𝑉3
𝑉2
𝑉1
𝐻3
𝐻4
𝐻1
𝐻3
𝐻2
𝐻4
𝐻1
𝐻2
𝐻3
𝐻4
Abbildung 6: Baumdiagramm zur Menüfolge: Vorspeise und Hauptspeise
Daraus lässt sich das Fundamentalprinzip des Zählens ableiten:
Sind 𝑛 −gliedrige Sequenzen aus 𝑛 Zeichen 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 zu bilden und für die Stellen
𝑎1 gibt es 𝑘1 Möglichkeiten,
𝑎2 gibt es 𝑘2 Möglichkeiten,
…
𝑎𝑛 gibt es 𝑘𝑛 Möglichkeiten,
dann gibt es insgesamt 𝑘1 ∙ 𝑘2 ∙ … ∙ 𝑘𝑛 verschiedene Sequenzen. (Mittels vollständiger
Induktion kann dieser Satz bewiesen werden.)
In der Kombinatorik wird zwischen Permutationen (geordnete Stichprobe) und
Kombinationen (ungeordnete Stichprobe), jeweils mit Wiederholung (mit Zurücklegen)
oder ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen), unterschieden.
34
Bei Permutationen werden aus einer 𝑛 −elementigen Menge k-Tupel gebildet, wobei
die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt.
Handelt es sich beispielsweise um die Menge 𝑀 = {1, 2, 3, 4} und es sollen Tupel mit
drei Elementen gebildet werden (ohne dass ein Element mehrfach auftritt), so
entstehen aus den Elementen {1}, {2} und {3} die Tupel: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3),
(2,3,1), (3,2,1) und (3,1,2).
Bei den Kombinationen wird die Anordnung, also die Reihenfolge der Elemente, beim
Bilden
der
Tupel
nicht
berücksichtigt.
Sei
also 𝑀 = {1, 2,3,4}.
Möchte
man
Kombinationen mit 3 Elementen bilden (wiederum ohne dass ein Element doppelt
vorkommt), so ist im Bezug auf die Elemente {1}, {2} und {3} nur eine Kombination
relevant: {1,2,3}. Die weiteren Kombinationen mit 3 Elementen sind {1,2,4}, {1,3,4} und
{2,3,4}
Wie die Anzahl möglicher Permutationen und Kombinationen ermittelt werden kann,
erkläre ich nachfolgend (vgl. Henze, 1999, S.55ff).
Definition (vgl. Henze, 1999, S.55f):
Ist 𝑀 = {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 } eine beliebige 𝑛 −elementige Menge, so heißt ein 𝑘Tupel (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ) mit k Komponenten aus 𝑀 eine 𝑘-Permutation aus 𝑀 mit
Wiederholung, was bedeutet, dass Elemente aus 𝑀 im 𝑘-Tupel (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 )
mehrfach auftreten dürfen.
Ist
(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 )
eine
𝑘-Permutation
aus 𝑀
mit
lauter
verschiedenen
Komponenten, so nennt man (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ) eine 𝑘-Permutation aus 𝑀 ohne
Wiederholung, welche auch kurz Permutationen von 𝑀 heißen.
Sei 𝑀 = {1, … , 𝑛}.
𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑚𝑊) ≔ {(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ): 𝑎𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} 𝑓ü𝑟 𝑗 = 1, … , 𝑘}
bezeichnet
die
Menge aller 𝑘-Permutationen mit Wiederholung und
𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑜𝑊) ≔ {(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ) ∈ 𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑚𝑊): 𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗 𝑓ü𝑟 1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑘} die Menge
aller 𝑘-Permutationen ohne Wiederholung.
Definition (vgl. Henze, 1999, S.56):
Jede
𝑘-Permutation (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 )
der
Zahlen
{1, 2, … , 𝑛}
mit
der
„Anordnungseigenschaft“ 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑘 heißt eine 𝑘-Kombination aus
{1, … , 𝑛} mit
Wiederholung.
𝑘-Kombinationen
sind
also
spezielle
𝑘-
Permutationen.
Wir schreiben kurz: 𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑚𝑊) ≔ { (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ): 1 ≤ 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑘 ≤ 𝑛}
35
Gilt 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑘 so heißt (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ) eine 𝑘-Kombination aus {1, … , 𝑛}
ohne Wiederholung.
Wir schreiben kurz: 𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑜𝑊) ≔ { (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ): 1 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑘 ≤ 𝑛}
Satz (vgl. Henze, 1999, S.57) Es gilt:
1. |𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑚𝑊)| = 𝑛𝑘
𝑛!
2. |𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = (𝑛−𝑘)!
3. |𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑚𝑊)| = (𝑛+𝑘−1
)
𝑘
4. |𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = (𝑛𝑘) mit 𝑘 ≤ 𝑛
wobei die auftretenden Binomialkoeffizienten im Allgemeinen durch
𝑛
𝑛!
( ) ∶=
𝑘
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
definiert sind. Dabei ist 𝑛! ≔ 1 ∙ 2 ∙ … ∙ 𝑛 für 𝑛ℕ sowie 0! ≔ 1.
Beweis:
1. Zu zeigen: |𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑚𝑊)| = 𝑛𝑘
Für jede der 𝑘 −Stellen gibt es 𝑛 Besetzungsmöglichkeiten, da an jeder Stelle jedes
der n-Elemente stehen kann. Also ist die Anzahl der Permutationen von 𝑘
Elementen aus 𝑛 (mit Wiederholung) gegeben durch:
|𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑚𝑊)| = ⏟
𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ … ∙ 𝑛 = 𝑛𝑘
𝑘 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛
(vgl. Kütting, 1999, S. 81).
𝑛!
2. Zu zeigen: |𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = (𝑛−𝑘)!
Es gibt 𝑛 mögliche Elemente um die 1. Stelle zu besetzen, für die 2. Stelle 𝑛 − 1,
für die 3. Stelle 𝑛 − 2, …, für die 𝑘-te Stelle gibt es schließlich 𝑛 − (𝑘 − 1) mögliche
Anordnungen. Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es also insgesamt
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ (𝑛 − (𝑘 − 1)) Möglichkeiten.
Durch die Erweiterung mit (𝑛 − 𝑘)! erhält man folglich:
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ (𝑛 − (𝑘 − 1)) ∙
(vgl. Kütting, 1999, S. 76f).
3. Zu zeigen: |𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑚𝑊)| = (𝑛+𝑘−1
)
𝑘
36
(𝑛 − 𝑘) ∙ … ∙ 2 ∙ 1
𝑛!
=
(𝑛 − 𝑘)!
(𝑛 − 𝑘)!
Bevor ich mit dem Beweis zu diesem Satz beginne, werde ich ein Urnen-Beispiel
anführen, welches zum Verständnis beitragen soll.
Beispiel (vgl. Kütting, 1999, S. 85ff):
Gegeben sind 5 Urnen (𝑛 = 5). Auf diese Urnen sollen 3 Kugeln (𝑘 = 3) aufgeteilt
werden, wobei sich in einer Urne auch mehrere Kugeln befinden können.
Die Spalten in der folgenden Tabelle (Abbildung 7) beschreiben die jeweiligen
Urnen. Die 1-er in den Kästchen symbolisieren die drei Kugeln. Als Beispiel sind
drei verschiedene Möglichkeiten angegeben (jeweils in einer Zeile), wie die 3
Kugeln angeordnet werden können.
1
1
1
1
1
11
11
Abbildung 7: Urnenbeispiel
Um die Sequenzen ohne Tabelle anschreiben zu können, führt man anstatt der 4
Trennstriche zwischen den Spalten (die Rahmenlinien außen werden nicht
berücksichtigt) „Nullen“ ein. Die Tabelle wird demnach in folgende Sequenzen aus
den Ziffern 0 und 1 übersetzt (für eine Urne in der sich keine Kugel befindet wird
keine Ziffer gesetzt, d.h. die erste 0 in der 1. Zeile steht für die Trennlinie zwischen
erster und zweiter Urne):
0101001
1000110
1011000
Man bekommt also für 𝑛 = 5 7-ziffrige Sequenzen. Beispielsweise würde 0001110
heißen, dass sich alle drei Kugeln in der vierten Urne befinden.
Um die Anzahl aller Möglichkeiten zu ermitteln, die es gibt, um 3 Kugeln auf 5
Urnen aufzuteilen, muss man also feststellen, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 4
Nullen auf die 7 Stellen zu verteilen.
Dies kann man mit Hilfe des 4. Satzes „Kombination
berechnen:
7!
7
Es gibt ( ) = 4!∙3! = 35 verschiedene Arten.
4
37
ohne Wiederholung“
Zum Beweis:
Gegeben ist eine Menge mit 𝑛 Elementen. Hinzugefügt werden zwischen diesen 𝑛
Elementen (𝑛 − 1) Nullen. Werden nun Stichproben vom Umfang 𝑘 (𝑘 Zeichen)
entnommen, so entstehen Sequenzen mit 𝑛 + 𝑘 − 1 Stellen. Berechnet wird die
Anzahl der Möglichkeiten, (𝑛 − 1) Zeichen (die 0er) auf die 𝑛 + 𝑘 − 1 Stellen
aufzuteilen:
(
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑛+𝑘−1
𝑛+𝑘−1
)=
=(
).
(𝑛 − 1)! ∙ 𝑘!
𝑛−1
𝑘
4. Zu zeigen: |𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = (𝑛𝑘) mit 𝑘 ≤ 𝑛
Sei Z die gesuchte Anzahl an Kombinationen ohne Wiederholung, wobei eine
mögliche Kombination (ein Element von 𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑜𝑊)) 𝑘 − Stellen besitzt, also
Z ≔ |𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = (𝑛𝑘).
Bei Permutationen ohne Wiederholung kann jedes der Elemente von 𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑜𝑊)
zusätzlich auf 𝑘! Arten angeordnet werden.
𝑛!
Es gilt also: |𝑃𝑒𝑟𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = 𝑘! ∙ 𝑍, woraus folgt 𝑍 = |𝐾𝑜𝑚𝑘𝑛 (𝑜𝑊)| = (𝑛−𝑘)!∙𝑘! =: (𝑛𝑘).
3.5 Zufallsvariable und Verteilungen
Dieser Abschnitt soll lediglich einen kleinen Einblick in die sehr umfangreiche,
weiterführende Theorie geben. Dabei beschränke ich mich auf die Einführung der
Begriffe Zufallsvariable, Verteilung und Verteilungsfunktion, wobei diese nur für den
diskreten Fall genauer erläutert werden. Die Erweiterung der Theorie auf stetige
Zufallsvariablen wird in dieser Arbeit nicht behandelt, ist aber in den zu Beginn des 3.
Kapitels genannten Quellen nachzulesen.
Häufig interessiert bei einem Zufallsexperiment nicht explizit ein Ausgang 𝜔, sondern
eine bestimmte Größe 𝑋(𝜔), die von 𝜔 abhängt (bzw. in weiterer Folge die
Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Werte 𝑋(𝜔)).
Ein sehr typisches Beispiel hierfür ist die Augensumme bei zwei Würfen mit einem
(fairen) Würfel. Die Ergebnisse 𝜔𝑖 bei zwei Würfen seien gegeben durch
 ∶= {(𝑗, 𝑘) ∶ 𝑗, 𝑘 ∈ {1,2,3,4,5,6}}, wobei 𝑗 den ersten Wurf und 𝑘 den zweiten Wurf
darstellt. Die Augensumme der beiden Würfe wird durch 𝑋(𝜔) = 𝑗 + 𝑘 mit 𝜔 = (𝑗 , 𝑘)
bestimmt. Der Wertebereich ist gegeben durch die Menge {2, 3, … , 12}, wobei es nicht
38
von Bedeutung ist, ob die Augensumme „8“ von den Ausgängen (4,4), (3,5), (5,3),
(6,2) oder (2,6) impliziert wurde.
Folglich entsteht eine Abbildung, die den einzelnen Elementen von  reelle Zahlen
zuordnet. Diese Abbildung nennt man Zufallsvariable oder Zufallsgröße. Man
unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen.
Definition:
Sei (, 𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit abzählbarer Ergebnismenge .
Dann heißt jede Funktion (Abbildung)
𝑋:  → ℝ
mit 𝜔 → 𝑋(𝜔) eine
Zufallsvariable oder Zufallsgröße auf .
Definition:
Besitzt eine Zufallsvariable 𝑋 eine abzählbare Wertemenge 𝑋( ), so spricht
man von einer diskreten Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable mit einer
überabzählbaren Wertemenge heißt stetig.
Werden nun den einzelnen Werten von 𝑋 Wahrscheinlichkeiten zugeordnet, so spricht
man von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable (nachstehende
Definition). Beispielsweise bei der „Augensumme von zwei Würfeln“, möchte man
wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die jeweiligen Augensummen {2, 3, … , 12}
gewürfelt werden.
Definition:
Sei (, 𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit endlicher Ergebnismenge  und
𝑋:  → ℝ eine diskrete Zufallsvariable auf  , dann heißt das durch
𝑓ü𝑟 𝑘 ∈ ℝ
𝑃𝑋 ({𝑘}) = 𝑃({𝜔 ∈  ∶ 𝑋(𝜔) = 𝑘})
festgelegte Wahrscheinlichkeitsmaß 𝑃𝑥 die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder
kurz Verteilung der Zufallsvariablen 𝑋.
Definition:
Die Funktion 𝐹: ℝ → [0,1] mit
𝐹(𝑥) ≔ ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )
𝑥𝑖 ≤𝑥
heißt
Verteilungsfunktion
der
(diskreten)
Zufallsvariable 𝑋
mit
den
Eigenschaften, dass 𝐹(𝑥) monoton steigend ist und 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 𝑓ü𝑟 𝑥 ∈ ℝ.
gilt.
39
Beispiel: Lotto „6 aus 49“ (Lotto Deutschland)
Zufallsvariable 𝑋 = „Anzahl der Richtigen“
In der nachstehenden Tabelle sind in der zweiten Spalte die möglichen Realisationen
𝑥𝑖 (Elemente der Wertemenge) der Zufallsvariablen angeführt. Die dritte Spalte gibt die
Verteilung von 𝑋 an und in der vierten Spalte ist die Verteilungsfunktion angegeben,
wozu die bekannten Wahrscheinlichkeiten der Verteilung (Spalte 3) sukzessive addiert
werden. Zum Beispiel ist
𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 𝑥1 ) + 𝑃(𝑋 = 𝑥2 ) + 𝑃(𝑋 = 𝑥3 ) = 0,43596 + 0,41302 + 0,13238
= 0,98131 ≈ 98%.
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥𝑖 )
𝑖
𝑥𝑖
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )6
1
0
0,43596
0,43596
2
1
0,41302
0,84898
3
2
0,13238
0,98136
4
3
0,01765
0,99901
5
4
0,00097
0,99998
6
5
0,00002
1,00000 − 𝜀
7
6
0,00000 + 𝜀
1,00000
Graphisch betrachtet handelt es sich bei der Verteilungsfunktion hierbei um eine
Treppenfunktion (mit Sprungstellen).
In weiterer Folge kann man nun bestimmte Parameter wie den Erwartungswert oder
die Varianz berechnen. Ich werde deren Bedeutung kurz erläutern, jedoch ohne
genauere Definitionen oder damit verbundene Sätze anzugeben.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Durchschnittswert der möglichen
Ausgänge der Zufallsvariablen 𝑋 interpretiert werden, wobei diese mit ihren jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten gewichtet werden. Man kann sagen, dass der Erwartungswert
dem Mittelwert der Verteilung entspricht. Die Varianz gibt Auskunft über die Stärke der
Streuung rund um den Erwartungswert.
Bisher wurden lediglich diskrete Zufallsvariablen behandelt. Natürlich wird die Theorie
auch auf stetige Zufallsvariablen übertragen und weitergeführt, was u.a. in den zu
Beginn des 3. Kapitels zitierten Quellen nachgelesen werden kann.
6
Werte entnommen aus: Bourier, 1999, S.91
40
4. Stochastik in der Schule
Die Stochastik ist ein fester Bestandteil des Mathematikunterrichts in der AHS, aber
auch in den berufsbildenden höheren Schulen. Dieses Kapitel soll u.a. einen Bezug zu
den Lehrplänen von AHS und BHS herstellen, aber auch zu erwerbende Kompetenzen
im Bezug auf die neue standardisierte Reifeprüfung der AHS beleuchten. Abgesehen
davon, dass das Unterrichten von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik durch den
Lehrplan vorgeschrieben ist, habe ich anschließend an den Lehrplanbezug weiter
Gründe für die Behandlung von Stochastik im Unterricht laut Kütting resümiert (vgl.
Kütting, 1994, S.21ff). Um einen zielführenden Unterricht zu gestalten, ist es meiner
Meinung nach für Lehrpersonen wichtig, über bereits bestehende Vorstellungen von
Wahrscheinlichkeit bei SchülerInnen Bescheid zu wissen, bevor das Thema
unterrichtet wird. Daher habe ich mich im Absatz 4.4 mit Stochastischem Denken und
Schülervorstellungen auseinandergesetzt, bevor ich Möglichkeiten zur Einführung des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs im schulischen Kontext beschreibe (siehe Absatz 4.5).
Dabei habe ich abgesehen vom Laplace-Ansatz, dem Konzept von relativen
Häufigkeiten, der Wahrscheinlichkeit als subjektives Vertrauen und einer Überleitung
zum Axiomensystem, auch die Auffassung der geometrischen Wahrscheinlichkeit mit
einbezogen. Ein hierzu passendes Beispiel für den Unterricht ist die Approximation von
𝜋 über das Verhältnis von Flächen, welches im Absatz 4.5.2 beschrieben wird.
Arbeitsblätter zu diesem Beispiel befinden sich im Anhang (siehe 7.).
Abschließend gehe ich noch einmal auf die Vorteile von Computer-Einsatz im
Stochastikunterricht
und
im
speziellen
auf
die
besondere
Bedeutung
von
stochastischer Simulation ein.
4.1 Lehrplanbezug
Die aktuell gültigen Lehrpläne für den AHS-Bereich wurden 2004 veröffentlicht, haben
mit dem Schuljahr 2004/05 eingesetzt und ab 2007/08 die bis dato gültigen Lehrpläne
vollends ersetzt. Grundsätzlich gliedern sich die Inhalte des Stochastikunterrichts in die
Bereiche Beschreibende Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende
Statistik. Die Lehrpläne der berufsbildenden höheren Schulen sind auf die jeweiligen
Schultypen ausgerichtet und dementsprechend differenziert. Im Folgenden beziehe ich
mich auf den Lehrplan der höheren technischen und gewerblichen Lehranstalt, welcher
41
in der aktuellen Version 2011 verordnet wurde. Der erste Unterpunkt dieses Abschnitts
ist eine kurze Abhandlung über das allgemeine Bildungsziel. Dem folgt ein weiterer
Absatz, in dem ich die zu erwerbenden Kompetenzen, auch im Bezug auf den
Stochastikunterricht,
und
die
schulspezifische
Lehrstoffverteilung
kurz
zusammenfasse.
4.1.1
Bezug auf das Allgemeine Bildungsziel (AHS)
Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik sind in unserem Alltag sehr
präsent, denkt man beispielsweise an Statistiken. Diese werden in allen Bereichen der
Medien eingesetzt, umso wichtiger erscheint es, SchülerInnen die Fähigkeit zu
vermitteln diese kritisch zu hinterfragen, sie richtig einzuschätzen und
richtig zu
interpretierten. Dies deckt sich u.a. mit folgenden Inhalten des allgemeinen
Bildungsziels (AHS):
„
Urteils-
und
Kritikfähigkeit
sowie
Entscheidungs-
und
Handlungskompetenzen sind zu fördern, sie sind für die Stabilität
pluralistischer und demokratischer Gesellschaften entscheidend.“
(bmukk, 2004b, S.4)
„Das
Verständnis
wirtschaftliche,
für
gesellschaftliche
rechtliche,
soziale,
(insbesondere
politische,
ökologische,
kulturelle)
Zusammenhänge ist eine wichtige Voraussetzung für ein befriedigendes
Leben und für eine konstruktive Mitarbeit an gesellschaftlichen Aufgaben.“
(bmukk, 2004b, S.3)
Solche Zusammenhänge (siehe Zitat oben) können mit Hilfsmitteln aus der Statistik
veranschaulicht werden, womit bereits eine der Kompetenzen angesprochen wurde,
die die SchülerInnen im Zuge des Mathematikunterrichts erwerben sollen, nämlich
darstellendes - interpretierendes Arbeiten. Weitere Kompetenzen werden im Abschnitt
4.1.3 – Bezug auf Kompetenzen erläutert.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet eine Grundlage für viele Arbeitsbereiche. So
findet sie Anwendung in der Biologie, im Versicherungswesen, in der Medizin, der
Physik und Psychologie, in der Soziologie, oder beispielsweise bei Qualitätskontrollen
von
diversen
Produkten.
Aber
auch
für
42
Experimente,
Modellierungen
oder
Simulationen verschiedenster Arten kann die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Basis
darstellen.
„Verständnis für Phänomene, Fragen und Problemstellungen aus den
Bereichen
Mathematik,
Naturwissenschaft
und
Technik
bilden
die
Grundlage für die Orientierung in der modernen, von Technologien
geprägten Gesellschaft.“ (bmukk, 2004b, S.4)
„Die
Erstellung
eigenständiger
Arbeiten
mit
Mitteln
der
Informationstechnologie ist anzuregen. Dazu zählen:[…], Erstellung von
Kalkulationsmodellen, Durchführung und Auswertung von Befragungen und
Experimenten, […], Modellierung und Simulation,[…].“ (bmukk, 2004b, S.7)
Speziell auf den Mathematikunterricht bezogen, lautet die allgemeine Bildungsaufgabe,
formuliert vom Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur, wie folgt:
„Der Mathematikunterricht soll beitragen, dass Schülerinnen und Schülern
ihrer Verantwortung für lebensbegleitendes Lernen besser nachkommen
können. Dies geschieht vor allem durch die Erziehung zu analytischfolgerichtigem Denken und durch die Vermittlung von mathematischen
Kompetenzen, die für viele Lebensbereiche grundlegende Bedeutung
haben.“ (bmukk, 2004a, S.1)
4.1.2
Allgemeines Bildungsziel einer BHS am Beispiel HTL
In einer berufsbildenden höheren Schule (BHS) sollen SchülerInnen hinreichend für die
Berufspraxis ausgebildet werden. Da es bei den berufsbildenden Schulen viele
verschiedene Schultypen (HAK, HTL,…), mit internen Schulschwerpunkten (HTL für
Grafik und Design, HTL für Bautechnik, HTL für Tourismusmanagement,…) gibt und
eine vollständige Abhandlung aller Schulformen den Rahmen dieser Arbeit übersteigen
würde, habe ich mich in diesem Abschnitt auf die Beschreibung eines bestimmten
Schultyps beschränkt.
Höhere technische und gewerbliche Lehranstalten – HTL (vgl. bmukk, 2011, S.1f)
Im Bezug auf das Unterrichtsfach Angewandte Mathematik sollen die Lernenden die
für ihre zukünftige berufliche Tätigkeit, aber auch für weiterführende Studien
notwendigen mathematischen Begriffe, Denkweisen und Methoden kennen und
43
anwenden können. Dabei wird ein großes Augenmerk auf die Vermittlung der
Fähigkeit, bestimmte Sachverhalte in Technik und Wirtschaft durch mathematische
Modelle beschreiben und analysieren zu können, gelegt. Aus diesen sollen die
SchülerInnen Lösungen gewinnen und diese folglich korrekt interpretieren können.
Auch das Wissen über zielführende Verfahren zur Problemlösung bei mathematischen
Modellen soll vermittelt werden, wobei moderne Hilfsmittel eingesetzt werden sollen.
Dem Einsatz von neuen Technologien und Medien wird dabei eine große Rolle
zugeschieben. Des Weiteren sind in diesem Teil des Lehrplans viele Ziele angeführt,
die im Mathematikunterrichterreicht und vor allem auch im Stochastikunterricht erreicht
werden können. Repräsentativ hierfür habe ich im Folgenden zwei Ziele angeführt:
Die SchülerInnen sollen…
„…ein breites Spektrum von kognitiven und praktischen Fähigkeiten
erlangen, um sich Informationen zu verschaffen und neues Wissen
selbstständig anzueignen, um Phänomene und Prozesse zu analysieren,
mit
praxisüblichen
Problemlösungen
Verfahren
zu
und
erreichen
und
kreativen
Eigenleistungen
Entscheidungsfindungen
herbeizuführen (Methodenkompetenz).“ (bmukk, 2011, S. 1)
„
…sich
durch
Nutzung
der
technisch-wissenschaftlichen
Informationsquellen neues Wissen aneignen, das Wissen verschiedener
Disziplinen vernetzen, auf konstruktivem oder experimentellem Wege oder
durch Einsatz von Simulationstechniken kreative Problemlösungen - auch
in nicht vorhersehbaren Situationen - finden und diese argumentieren und
kommunizieren können“ (bmukk, 2011, S.2)
4.1.3
Bezug auf Kompetenzen
Neben der Sachkompetenz, soll den SchülerInnen, laut allgemeinem Bildungsziel,
auch Selbst- und Sozialkompetenz vermittelt werden. Den Lernenden dabei zu helfen
sich diese Kompetenzen anzueignen, ist Aufgabe jedes Lehrers und jeder Lehrerin und
sollte in den Unterrichtsfächern gleichermaßen fokussiert werden. Anzustrebende
Kompetenzen die die SchülerInnen im Bezug auf mathematische Fähigkeiten und
Fertigkeiten erlangen sollen, sind die folgenden (vgl. bmukk, 2004a, S.1):

Darstellend – interpretierendes Arbeiten
44

Formal – operatives Arbeiten

Kritisch – argumentatives Arbeiten

Experimentell – heuristisches Arbeiten
Die
Stochastik
kann
zum
Erwerb
dieser
Beispielsweise: Darstellen, interpretieren und
Statistiken;
–
experimentell
heuristisches
Fähigkeiten
durchaus
beitragen.
kritisch argumentieren im Bezug auf
Arbeiten
mit
Simulationen
und
Zufallsexperimenten; etc.…
Die fachspezifischen mathematischen Kompetenzen, die in einer HTL im Bereich der
Stochastik erworben werden sollen, werden in den folgenden Punkten resümiert
(bmukk, 2011, S. 22):
„Die Schülerinnen und Schüler…

können Beispiele für Zufallsexperimente und Ereignisse angeben, die
Wahrscheinlichkeit für Ereignisse mit Hilfe der klassischen Definition für
Wahrscheinlichkeiten nach Laplace bestimmen und die Additions- und
Multiplikationsregel auf einander ausschließende bzw. unabhängige
Ereignisse anwenden;

können Zufallsexperimente vom Typ „Auswählen mit Zurücklegen“ mit
Hilfe der Binomialverteilung modellieren;

kennen die Normalverteilung als Grundmodell der Beschreibung der
Variation von metrischen Variablen, können Werte der Verteilungsfunktion
bestimmen
und
zu
vorgegebenen
Verteilungsfunktionswerten
die
entsprechenden Quantile bestimmen;

können aus Stichprobenwerten Häufigkeitsverteilungen tabellarisch und
grafisch darstellen;

können Lage- und Streuungsmaße bestimmen und interpretieren und ihre
Auswahl argumentieren;

kennen
die
Methode
der
kleinsten
Quadrate
und
können
aus
vorgegebenen Punkten einen passende Ausgleichsfunktion mittels
Technologieeinsatz ermitteln;

können mittels Technologieeinsatz die Abhängigkeit einer metrischen
Zielvariablen
von
einer
metrischen
Einflussvariablen
durch
eine
Regressionsgerade oder einen passende Ausgleichsfunktion darstellen
und interpretieren.“
45
4.1.4
Bezug auf den Lehrstoff
Im AHS – Bereich:
Die Grundzüge der Beschreibenden Statistik sind im Bereich der AHS-Unterstufe zu
vermitteln. So soll den Schülerinnen und Schülern beispielsweise in der 1. Klasse der
Umgang mit Tabellen und grafischen Darstellungen zur Erfassung von Datenmengen
beigebracht werden. In weiterer Folge sollen sie im Stande sein, diese Darstellungen
auch kritisch zu hinterfragen und so Manipulationsmöglichkeiten erkennen. Außerdem
werden bestimmte statistische Kennzahlen wie absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit,
Häufigkeitsverteilung, Mittelwert, Median, Quartil, etc. eingeführt (vgl. bmukk, 2000,
S.5ff). Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird zum ersten Mal in der 6. Klasse der
AHS-Oberstufe thematisiert. Hierbei ist zwischen Wahrscheinlichkeit als relativer
Anteil, als relative Häufigkeit und als subjektives Vertrauen zu unterscheiden.
Außerdem wird auch das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, die Multiplikations- und
Additionsregel und das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (Satz von Bayes)
in dieser Schulstufe eingeführt (vgl. bmukk, 2004a, S.5). Der Inhalt dieser Diplomarbeit
bezieht sich also weitgehend auf den Lehrstoff der 6.Klasse der AHS-Oberstufe.
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, mit besonderem Augenmerk auf die
Binomialverteilung, Erwartungswert und Varianz sind (im diskreten Fall) Teil des
Unterrichts in der 7. Klasse.
Stetige Zufallsvariablen und stetige Verteilungen, im
Besonderen die Normalverteilung, sind im Lehrstoff der 8. Klasse vorgeschrieben,
sowie auch die Beurteilende Statistik (Testen von Hypothesen, Schätzen von Anteilen
und Konfidenzintervalle) (vgl. bmukk, 2004a, S. 5f).
Lehrstoffverteilung in der BHS am Beispiel HTL:
Die Einführung von Inhalten aus dem Kompetenzbereich „Stochastik“ beginnt in einer
HTL
im
zweiten
Jahrgang
mit
der
Behandlung
von
eindimensionalen
Datenbeschreibungen: Häufigkeitsversteilungen, Lage- und Streuungsmaße. Erst im
vierten und fünften Jahrgang wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung stärker fokussiert.
Zufallsexperimente, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Additions- und Multiplikationssatz (für
einander
ausschließende
Wahrscheinlichkeiten
sowie
bzw.
unabhängige
Ereignisse),
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
bedingte
(Binomial-
und
Normalverteilung) sind vom Lehrplan vorgeschrieben. Auch die Methode der kleinsten
Quadrate und Ausgleichsfunktionen sollen behandelt werden und im Bereich der
beurteilenden Statistik, lineare Regression und Korrelation (vgl. bmukk, 2011, S.22f).
46
4.2 Grundkompetenzen der neuen schriftlichen AHS-Reifeprüfung
Im folgenden Teil dieser Arbeit werde ich auf den Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit
und Statistik, der im Zuge des Projektes der neuen standardisierten schriftlichen
Reifeprüfung in Mathematik in Wien ausgearbeitet wurde (Stand: 2012), näher
eingehen (vgl. BIFIE, 2012). Grundsätzlich soll sich die zukünftige Klausur in
Mathematik in zwei Teile gliedern. Im ersten Teil werden einzelne Grundkompetenzen
abgeprüft, wobei der zweite Teil von den SchülerInnen ein Vernetzen dieser
Grundkompetenzen in komplexeren Beispielen verlangt.
Die Grundkompetenzen sind wie folgt formuliert:
Bei der Beschreibenden Statistik wird vor allem auf die richtige Interpretation
stochastischer Begriffe Wert gelegt. Die SchülerInnen sollen deren Aussagekraft
einschätzen, beurteilen können und fähig sein, einfache statistischen Tabellen und
Grafiken zu erstellen. Bei den Begriffen, Konzepten und Interpretationen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung kann man sich auf Grundlegendes beschränken. Diese
Basisbereiche werden in der anschließenden Auflistung genau definiert. Die
Projektleiter sind der Meinung, dass ein wichtiger und zentraler Aspekt in der
Wahrscheinlichkeitslehre jener ist, „… die Wahrscheinlichkeit als eine abhängige
Modellierung und Quantifizierung des Zufalls sowie als unverzichtbares Bindeglied
zwischen den beiden Statistiken zu verstehen.“ (Vgl. BIFIE, 2012, S.16)
Grundkompetenzen für den Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung:
(vgl. BIFIE, 2012, S.17)
Grundbegriffe

Angeben von Ereignisraum (Grundraum) und Ereignis in bestimmten
Situationen (verbal und auch formal) (WS 2.1)

Anwenden von relativer Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeiten
(WS 2.2)

Berechnungen mit Laplace-Wahrscheinlichkeit durchführen und interpretieren
können,
sowie
anwenden
und
interpretieren
von
Additionsregel
und
Multiplikationsregel (WS 2.3)

Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können (WS 2.4)
Im Bezug auf Wahrscheinlichkeitsverteilung(en)

Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und
Standardabweichung deuten und einsetzen können (WS 3.1)
47

Kennen der Binomialverteilung, als ein Modell einer diskreten Verteilung und
damit
arbeiten
können,
auch
in
anwendungsorientierten
Bereichen,
Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung ermitteln können, sowie
Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können
(WS 3.2)

Erkennen
und
beschreiben
von
Situationen,
in
denen
mit
einer
Binomialverteilung modelliert werden kann (WS 3.3)

Normalapproximation
der Binomialverteilung interpretieren und anwenden
können (WS 3.4)
4.3 Wozu Stochastikunterricht?
Teile der Stochastik sind im Lehrplan von AHS und BHS fix verankert, womit die Frage,
warum man Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unterrichten soll, irrelevant und
hinfällig erscheint. Ich möchte aber dennoch in diesem Abschnitt Begründungen
anführen, warum es sinnvoll ist, dieses mathematische Teilgebiet im Unterricht zu
behandeln (vgl. Kütting, 1994, S.21ff). Ein Hauptgrund warum Stochastik in der Schule
unterrichtet
wird,
ist
sicherlich
jener,
dass
gerade
der
Bereich
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ein sehr stark anwendungsorientierter ist.
Es gibt zahlreiche Wissenschaftsgebiete in denen stochastisches Wissen benötigt und
angewandt wird (siehe 2.3 Auflistung von Anwendungsbereichen). Kütting (1994)
beschreibt sechs Punkte warum Stochastik ein sinnvoller und notwendiger Teil des
Mathematikunterrichts ist. Dies soll nicht eine vollständige Auflistung aller möglichen
Gründe sein, sondern lediglich die Weite des Begründungsfeldes aufzeigen.
Punkt 1: Vermittlung anwendbaren Wissens
Aufgabe der Schule ist es, eine gewisse Grundbildung zu vermitteln, die ein
mathematisches Erfassen der Wirklichkeit ermöglicht. Da auch zufallsbedingte
Ereignisse in unserem Alltag vorkommen, ist es in diesem Sinne auch Aufgabe der
Schule Grundkenntnisse zum Verständnis solcher zufälliger Prozesse zu vermitteln. Es
geht also darum anwendbares Wissen zu vermitteln und in weiterer Folge um die
Fähigkeit dieses Wissen auf reale Situationen anzuwenden. Aussagen über
Zufallserscheinungen im Alltag können mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
objektiviert und vergleichbar gemacht werden.
48
Punkt 2: Prozess der Mathematisierung (Modellbildung)
Immer wieder kommt es in unserem täglichen Leben vor, dass ein komplizierter
Sachverhalt durch ein einfacheres Schema ersetzt werden kann. Man arbeitet also
sozusagen mit Modellen. Gerade in der Stochastik spielt die Mathematisierung, bzw.
Modellbildung von realen stochastischen Problemen eine große Rolle. Ziel des
Stochastikunterrichts sollte es also sein, den SchülerInnen die Fähigkeit zu vermitteln
für
reale
Problemstellungen
mathematische
Modelle
zu
entwickeln
(z.B.
Urnenmodelle), mit deren Hilfe Lösungen zu erarbeiten und die so erhaltenen
Erkenntnisse im Hinblick auf die reale Situation richtig zu interpretieren. Somit betont
Kütting vor allem auch den experimentellen Aspekt der Stochastik.
Reales stochastisches
Modellbildung
Problem
Stochastisches
Modell
stochastische
Theorie
Lösung des realen
Interpretation
stochastischen Problems
Lösung des stochastischen
Problems
Abbildung 8: Stochastische Modellbildung, vgl. Kütting, 1999, S.9
Punkt 3: Abrundung des Gesamtsystems
Da die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik an sich eine sehr
umfangreiche ist, ist es in gewisser Weise notwendig diese Theorie ins Gesamtsystem
mathematischer Erkenntnisse einzugliedern. Somit soll eine Abrundung der im
Mathematikunterricht erworbenen Kenntnisse und Denkfähigkeiten erzielt werden.
Nach Kolmogoroff, dem 1933 die axiomatische Begründung der Theorie gelang (siehe
3.2 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung), sollte jeder gebildete Mensch wissen
wie man mit der Erforschung „zufälliger“ Massenerscheinungen fertig wird.
Punkt 4: Intrinsische Motivation
Das Interesse der SchülerInnen ist bei bestimmten Aufgabenstellungen aus dem
Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik stärker als bei anderen
Themengebieten der Mathematik. Diese intrinsische Motivation, die die Lernenden so
entwickeln, bewirkt ein stärkeres „positives Problemlöseverhalten“.
49
Punkt 5: Beziehung zu traditionellen Gebieten der Mathematik
Abgesehen von der Notwendigkeit der Eingliederung der Stochastik ins mathematische
Gesamtkonzept (Punkt 3) ist Kütting der Meinung, dass die Stochastik auch eine
Möglichkeit zur Vertiefung einiger traditioneller Bereiche der Mathematik bietet. Als
Beispiel nennt er Rechengebiete wie Bruch- und Prozentrechnung, die im Bezug auf
relative Häufigkeiten und die klassische Wahrscheinlichkeit (siehe 3.3 Direkte
Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten) vertieft werden können. Er weist aber auch auf
wichtigere Beziehungen zur Algebra und Analysis hin, welche jedoch auf einer höheren
Ebene als der Schulmathematik abgehandelt werden und somit im Zusammenhang
dieser Arbeit nicht von Bedeutung sind.
Punkt 6: Die Entstehungsgeschichte der Stochastik
Interessanterweise nennt Kütting als einen Grund, warum Stochastik in der Schule
unterrichtet
werden
sollte,
die
„faszinierende“
Entstehungsgeschichte
diese
Teilgebietes (siehe 2.1 Einblick in die historische Entwicklung). So ist er der Meinung,
dass gerade durch den Einblick in die geschichtliche Entwicklung am besten
Bedeutung und Zusammenhang
der
Dinge
begründet
werden können.
Die
Grundlagendiskussion zum Begriff der Wahrscheinlichkeit und zahlreiche interessante
historische Beispiele und Paradoxa (siehe 5. Beispiele und Paradoxa) machen das
Lehren und Lernen dieser Theorie interessant und lebendig.
4.4 Stochastisches Denken und Vorstellungen vom
Wahrscheinlichkeitsbegriff
In unserem Alltag und Berufsleben werden wir täglich mit Situationen konfrontiert, in
denen wir Entscheidungen treffen müssen, ohne dass man sich sicher sein kann ob
diese „richtig“ sind, bzw. ohne ein bestimmtes Maß an Sicherheit. Bei solchen
Handlungen, die in Unsicherheit getroffen wurden, ist „stochastisches Denken“ gefragt.
Man versucht eine Situation zu beurteilen und angemessen zu reagieren. Aufgrund von
Erkenntnissen aus Erfahrungen werden schließlich Entscheidungen getroffen,
beibehalten oder revidiert (vgl. Tietze et al., 2002, S.135ff).
Borovcnik (1991, S.45f) unterscheidet drei verschiedene Denkansätze, wie im
Mathematikunterricht an Probleme herangegangen werden kann. Zum einen das
Logische Denken. Dabei geht es um klare Richtlinien und klare Beziehungen zwischen
50
Begriffen, wobei der Autor im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung
das Axiomensystem von Kolmorgorff nennt.
Neben dem logischen Denken gibt es das Kausale Denken, eine Art zu denken, die
sich auf das Zusammenspielen von Ursache und Wirkung bezieht und sich sehr an
physikalischen Gegebenheiten orientiert. Bei Versuchen wird ganz genau ausgetestet,
welche Annahmen getroffen werden müssen um ganz bestimmte Ergebnisse zu
erzielen.
Im Unterschied zu diesem Denkansatz, geht man beim Stochastischen Denken nicht
auf die Voraussage eines bestimmten Ergebnisses los, sonder man beschränkt sich
auf die Bestimmung der Gewichtung der jeweiligen Möglichkeiten. Als Beispiel wird der
„Münzwurf“ beschrieben. Bei einer kausalen Denkweise würde man die physikalischen
Gegebenheiten, wie Masse, Fallgeschwindigkeit, etc. ganz genau untersuchen. Der
stochastische Denkansatz begnügt sich damit, die möglichen Ausgänge abzuschätzen,
also eine Gewichtung für die Möglichkeiten zu bestimmen. Die einzige physikalische
Annahme die auch hierbei getroffen wird ist die Voraussetzung der symmetrischen
Beschaffenheit der Münze.
Borovcnik ist auch der Meinung, dass das stochastische Denken im Unterricht
weitgehend vernachlässigt wird, dass mehr Wert auf die Mathematik selbst gelegt wird,
als auf die Person und seine Art zu Denken. Schwierigkeiten die nun bei der
Entwicklung
stochastischen
Denkens
entstehen
können,
könnten
darauf
zurückzuführen sein, dass wir in unserer Entwicklung von Kind auf sehr stark vom
logisch-kausalen Denken geprägt sind (vgl. Tietze et al. 2002, S. 138ff).
Zusammenhänge von Ursache und Wirkung werden bereits sehr früh erlernt und
immer wieder reflektiert, beispielsweise die Wirkung von bestimmten physikalischen
Kräften (Gegenstand wird losgelassen – er fällt zu Boden). Aus diesen kausalen
Zusammenhängen versucht man schließlich logische Schlüsse zu ziehen, wodurch es
zu einem überwiegend kausal-logisch geprägten Denkmuster kommt.
Die Erfahrung von stochastischen Fragestellungen im Alltag kann, anders als bei der
zuvor erwähnten Denkweise, durch fehlende Reflexion und Aufarbeitung, zu falschen
Schlussfolgerungen führen. So kommt es bei der Auseinandersetzung mit solchen
stochastischen Situationen bei Kindern häufig zu einer falschen „primären Intuition“7.
Beispielsweise neigen Kinder dazu, die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim Würfeln mit
einem „normalen“ Würfel geringer einzuschätzen, da diese bei Würfelspielen meistens
wichtiger ist. In solchen Situationen wird die Symmetrie nicht erkannt. Problematisch ist
schließlich auch, dass wenn sich einmal fehlerhafte Denkmuster in diesem Kontext
„primäre Intuitionen sind die Vorstellungen, die sich ohne systematische Behandlung eines
Begriffs oder Konzepts entwickeln“ Tietze et al., 2002, S.139
7
51
gebildet haben, diese sich nur sehr schwer korrigieren lassen (vgl. Tietze et al., 2002,
S.141).
Es gibt zahlreiche Studien und Untersuchungen, die sich mit stochastischen
Denkmustern und der Vorstellungen von Wahrscheinlichkeit beschäftigen. Um den
Stochastikunterricht wirksamer zu gestalten kann es nun von Nutzen sein zu wissen,
wie
SchülerInnen
Aussagen
und
Informationen
über
Wahrscheinlichkeiten
interpretieren und verstehen, speziell wenn sie zuvor noch keinen Unterricht in
Wahrscheinlichkeitsrechnung
hatten.
Fehlauffassungen
können
so
konkret
angesprochen und behandelt werden.
Eine Studie mit 200 SchülerInnen zwischen 13 und 19 Jahren von Richard W. Madsen
(vgl. dt. Übersetzung von Borovcnik, 1996) zeigt, dass sich eine häufige
Fehleinschätzung von Wahrscheinlichkeiten auf „Repräsentativität“ bezieht. Demnach
neigen
SchülerInnen
dazu,
Ergebnisse
die
repräsentativer
erscheinen
als
wahrscheinlicher zu betrachten. Im Versuch von Madsen hatte dieser einen
Fragebogen bestehend aus 13 Fragen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit
SchülerInnen ohne Vorkenntnisse durchgeführt. Die ersten drei Fragen bezogen sich
auf das 6-malige Werfen einer Münze (mit den Ausgängen Zahl Z, oder Wappen W),
wobei die Lernenden bei vorgegebenen Versuchsausgängen einschätzen sollten,
welche davon wahrscheinlicher oder weniger wahrscheinlich waren. Dabei haben fast
die Hälfte der Probanden angegeben, dass sie Folgen, in denen W und Z
gleichermaßen auftreten (z.B. die Folgen WZW ZWZ und WWZ ZWW) für
wahrscheinlicher halten, als jene die rein aus sechs Wappen WWW WWW besteht. Da
beide Ausgänge gleich wahrscheinlich sind erwartet man, dass bei einer großen Reihe
an Versuchsdurchgängen ungefähr die gleiche Anzahl an Wappen und Zahlen
geworfen wird. „Repräsentativer“ für diese 50/50 Vermutung wäre also eher der Wurf
WZW ZWZ als WWW WWW.
Eine weitere interessante Erkenntnis aus dieser Untersuchung ist die Folgende:
Den SchülerInnen wurde zu Beginn (bevor sie den Fragebogen erhielten) erklärt, dass
sie bei jeder Frage die Möglichkeit haben mit „Ich weiß nicht“ zu antworten und diese
gegebenenfalls auch nutzen sollen. Dem Versuchsleiter war es besonders wichtig,
dass die Probanden jene Antwortmöglichkeit wählten, von der sie selber auch
überzeugt sind und so eine Verfälschung des Ergebnisses der Studie durch das
wahllose raten von Antwortmöglichkeiten vermindert wird. Dennoch wurde „Ich weiß
nicht“ sehr selten von den SchülerInnen gewählt, was so auslegt werden kann, dass
sie durchaus davon überzeugt waren, dass ihre Sichtweise von Wahrscheinlichkeit
52
richtig wäre, auch wenn dies oft nicht der Fall war. Nur wenn die Lehrperson weiß,
welche intuitiven Ansichten die SchülerInnen von Wahrscheinlichkeit im Laufe der Zeit
bereits entwickelt haben, kann man versuchen ihnen im Unterricht die Wiedersprüche,
die somit zu den allgemein gültigen Definitionen und Begriffen entstehen, aufzuzeigen
und korrekte Vorstellungen zu erzeugen.
4.5 Einführung im schulischen Kontext
„Ziel des Stochastikunterrichts ist es unter anderem, ein Gefühl für
Zufallsvorgänge zu entwickeln, wobei ein Tabellenkalkulationsprogramm
sehr von Nutzen sein kann.“ Strick (2003)
Entscheidend
für
die
Entwicklung
eines
Grundverständnisses
vom
Wahrscheinlichkeitsbegriff ist die Art und Weise wie dieser im Unterricht eingeführt
wird. Wenn der Unterricht von Beginn an ausschließlich auf den klassischen
Wahrscheinlichkeitsbegriff aufgebaut wird, man diesen auf die Glücksspielwelt
reduziert,
kann
es
passieren,
dass
den
SchülerInnen
das
Denken
in
Wahrscheinlichkeiten im Bezug auf die erlebte Umwelt schwer fallen wird (vgl. Eichler
& Vogel, 2009, S.173).
Eine Möglichkeit zum Einstieg ins Thema in der 6. Schulstufe, wäre beispielsweise
über ein berühmtes Beispiel oder Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die in
Kapitel 5 beschriebenen Beispiele, das Geburtstagsparadoxon und vor allem das
Monty-Hall-Problem, eignen sich hierzu meiner Meinung nach sehr gut. Die Lernenden
werden mit einem Sachverhalt konfrontiert, den sie sich im ersten Moment nicht
erklären können, der ihnen paradox und unlogisch erscheint. Diese Tatsache steigert
in der Regel die Motivation der SchülerInnen dem Problem, bestenfalls selbstständig,
auf den Grund gehen zu wollen. Im Laufe der Erarbeitung eines solchen Beispiels,
kann die Lehrperson dementsprechend einen Fokus auf die Unterscheidung zwischen
der (näherungsweisen) Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses über
relative Häufigkeiten und der klassischen Laplace-Wahrscheinlichkeit legen. Ebenso
möglich wäre ein Einstieg über den interessanten historischen Hintergrund der Theorie
– über die Glücksspielrechnung. Diverse Würfelprobleme, bzw. Spielprobleme aus
dem 17. Jahrhundert (Chevalier de Méré) können ebenfalls das Interesse der
SchülerInnen wecken, wenn diese entsprechend interessant aufbereitet wurden. Die
verschiedenen Möglichkeiten zur Simulation diverser Sachverhalte können gerade im
Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine besondere Herausforderung für
53
SchülerInnen darstellen. Ich denke, dass es sehr wichtig, ist die SchülerInnen zu
diesem Thema experimentell arbeiten zu lassen, sie dazu zu animieren selbstständig
und kreativ mögliche Lösungswege zu finden. Sie sollen im Laufe des Lernprozesses
ihre Ideen und Vermutungen immer wieder mit Kollegen und Kolleginnen diskutieren,
reflektieren und gegebenenfalls verwerfen oder überarbeiten. Die Lehrkraft soll
gegebenenfalls die SchülerInnen in die richtige Richtung lenken und Hilfestellung
leisten wo diese gefordert wird. Klemisch (1993) hat eine solche Einführung des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs mit dem Drei-Türen-Problem in einem StochastikLeistungskurs
der
Oberstufe
gewählt
und
seine
Erfahrungen
in
diesen
Unterrichtssequenzen dokumentiert. Sein Fazit:
„ Drei mal 45 Minuten zum 3-Türen-Problem haben meine SchülerInnen
vorwiegend über ihre eigene Initiative an eine Reihe von Fragestellungen
der Stochastik herangeführt, ihr Problembewusstsein und ihre Motivation
zum Erwerb von Hintergrundwissen gefördert und ihre Kritikfähigkeit
gegenüber
Ergebnissen
elektronischer
Datenverarbeitung
verstärkt.“
(Klemisch, 1993, S.13)
4.5.1
Konzeptionen zur Einführung
Zwei Konzeptionen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, die klassische LaplaceWahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeit über relative Häufigkeiten, werden in jedem
Fall im Stochastikunterricht in der Oberstufe thematisiert. Aber auch der Zugang zu
Wahrscheinlichkeit als subjektives Vertrauen sollte in der Regel mit den SchülerInnen
besprochen werden.
Bei einem Einstieg ins Thema über ein bestimmtes Beispiel, dass die Erarbeitung der
Laplace’schen Berechnungsvorschrift ermöglicht, wie dem Monty-Hall-Problem, oder
auch Würfelprobleme des Méré (vgl…), sollte den SchülerInnen deutlich werden, dass
diese Berechnungen nur unter einer bestimmten Voraussetzung gemacht werden
können.
Die
einzelnen
Versuchsausgänge
sind
immer
gleichwahrscheinlich
(beispielsweise bedingt durch die Symmetrieeigenschaft beim Würfel). Folglich kann
man die Lernenden mit der Frage konfrontieren, wann die Laplace’sche Theorie
schlussendlich versagt, bzw. was man machen kann, wenn keine symmetrischen
Objekte zu Grunde liegen. In diesem Kontext kann man die Überleitung zu
Wahrscheinlichkeitsberechnungen (näherungsweise) mit Hilfe relativer Häufigkeiten
schaffen. Die SchülerInnen könnten anstatt Versuchen mit symmetrischen Würfeln,
Versuche mit Streichholzschachteln durchführen, oder anstatt Münzen zu werfen, das
54
Werfen von Reißnägeln untersuchen (mit welcher Wahrscheinlichkeit landet der Nagel
auf dem Kopf, bzw. mit der Spitze am Boden). Anzumerken ist hierbei, dass diese
empirische
Methode
Wahrscheinlichkeiten
zu
approximieren,
sowohl
mit
symmetrischen als auch mit unsymmetrischen Zufallsgeräten funktioniert und hierzu
Computersimulationen eine besondere Bedeutung zukommt (siehe 4.6 ComputerEinsatz im Stochastikunterricht). Wichtig für die Lernenden ist es auch zu verstehen,
dass die relative Häufigkeit einer Versuchsreihe nur als ein Schätzwert der gesuchten
Wahrscheinlichkeit angesehen werden kann. In diesem Zusammenhang sollte auch
das Gesetz der Großen Zahlen im Unterricht behandelt werden, ist dies doch eine der
bedeutendsten Erkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie (vgl. Kütting, 1994, S.
29ff).
Resultierend aus den beiden genannten Konzeptionen, kann eine für SchülerInnen
durchaus plausible Herleitung des allgemeinen Axiomensystems von Kolmogoroff
(siehe 3.2 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung) eingeführt werden (vgl. Kütting,
1994, S.64ff). Das erste Axiom besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
zwischen Null und Eins liegen muss, also 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 gilt. Dies folg unmittelbar aus
𝐺ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒
der Laplace’schen Berechnungsvorschrift (𝑃(𝐴) = 𝑀ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒), da ja die Anzahl der
„günstigen Fälle“ immer zwischen Null (somit ist 𝑃(𝐴) = 0  unmögliches Ereignis)
und der maximalen Anzahl der möglichen Fälle liegen muss. In dem Fall kann 𝑃(𝐴)
maximal den Wert 1 annehmen. Das zweite Axiom kann ebenfalls aus der
Laplace’schen Theorie abgeleitet werden, denn wenn ein Ereignis A mit Sicherheit
eintritt, dann gilt 𝐴 =  und somit ist die Anzahl der günstigen Fälle gleich der Anzahl
der Möglichen, also ist 𝑃(𝐴) = 1. Das letzte Axiom für zwei Ereignisse A und B (wobei
diese unvereinbar8 sind) besagt, dass die Wahrscheinlichkeit von „A vereinigt B“ gleich
der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝐴) und 𝑃(𝐵) ist. Aus dem
Laplace’schen Ansatz folgt 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝐺ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒(𝐴∪𝐵)
.
𝑀ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒
Da die beiden Ereignisse A und B
nicht gleichzeitig eintreten können, ist die Anzahl der günstigen Fälle des Ereignisses A
oder B (= 𝑔(𝐴 ∪ 𝐵)) eben gleich der Summe der günstigen Fälle für A (= 𝑔(𝐴)) und der
günstigen Fälle für B (= 𝑔(𝐵)). Mit „𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒 𝐹ä𝑙𝑙𝑒“ = 𝑚 folgt also insgesamt:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
4.5.2
8
𝑔(𝐴∪𝐵)
𝑚
=
𝑔(𝐴)
𝑚
+
𝑔(𝐵)
𝑚
= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) für 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.
Geometrische Wahrscheinlichkeit – Ein Beispiel für den Unterricht
A und B können nicht gleichzeitig eintreten
55
Eine weitere interessante Betrachtung von Wahrscheinlichkeit liefert die geometrische
Wahrscheinlichkeit. Anstatt des Quotienten von bestimmten Anzahlen wird hierbei der
Quotient von Flächen oder Volumina gebildet. Der wesentliche Unterscheid zum
klassischen Ansatz liegt darin, dass bei der geometrischen Wahrscheinlichkeit ein
unendlicher, bzw. stetiger Ereignisraum zu Grunde liegt, im Gegensatz zum diskreten
Fall bei der Laplaceschen Theorie. Abgesehen davon, kann man mit der
geometrischen Berechnungsmethode zeigen, dass auch irrationale Zahlen für
Wahrscheinlichkeiten auftreten können, wohingegen der klassische Zugang und auch
der statistische über relative Häufigkeiten, stets rationale Zahlen liefern.
Approximation von 𝝅 – Eine Simulation mit GeoGebra
Ein
wohl
auch
für
den
Unterricht
geeignetes
Beispiel
zur
geometrischen
Wahrscheinlichkeit ist die näherungsweise Berechnung der Kreiszahl 𝜋 über das
Verhältnis von Flächen: Gegeben ist ein Einheitsquadrat, ein eingeschriebener
Viertelkreis mit Radius 1 und eine auf dem Quadrat zufällig verteilte Punktmenge.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴), dass ein einzelner zufällig positionierter
Punkt im inneren des Kreises landet (siehe Abbildung 9):
𝑃(𝐴) =
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒𝑙𝑘𝑟𝑒𝑖𝑠𝑒𝑠
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑒𝑠
.
Abbildung 9: Geometrische Wahrscheinlichkeit – Approximation von π, erstellt mit
GeoGebra
Da die Fläche des Viertelkreise mit 𝐴
=
𝑟²𝜋
4
56
=
𝜋
4
gegeben ist ergibt sich
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒𝑙𝑘𝑟𝑒𝑖𝑠𝑒𝑠
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑒𝑠
∙ 4 = 𝜋.
Über die Bestimmung der „Treffer“ im Viertelkreis kann man somit über den Quotienten
dieser „Treffer“ und der Punkte insgesamt, die Kreiszahl 𝜋 approximieren.
𝜋≈
𝑇𝑟𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟 𝑖𝑚 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠
𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡
∙4
Für SchülerInnen geeignete Möglichkeiten zur Simulation des Beispiels bieten u.a. die
Programme Excel oder GeoGebra. Die folgende Beschreibung einer Simulation wurde
mit GeoGebra durchgeführt.
Zuerst wird ein Einheitsquadrat mit einem eingeschriebenen Viertelkreis erzeugt,
welchen man beispielsweise mit dem Befehl: 𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛[𝑠𝑞𝑟𝑡(1 − 𝑥²),0,1] erhält. In
diesem Fall könnte die Betonung der Viertelkreisfläche durch farbige Hinterlegung mit
einem Integral erzeugt werden, jedoch verfügen SchülerInnen in der 6. Schulstufe noch
über kein Hintergrundwissen zur Integralrechnung. Schneller und einfacher kann man
den Viertelkreis mittels der Werkzeuge „Kreissektor (oder Kreisbogen) mit Mittelpunkt
zwischen zwei Punkten“ erzeugen, wodurch man automatisch auch die Fläche farbig
gestalten kann. Die Punkte (0,0), (1,0) und (0,1) können zuvor eingegeben werden.
Der nächste Schritt ist das Erzeugen einer zufällig verteilten Punktmenge auf dem
Quadrat. Man benötigt dazu Punkte, deren x- und y-Koordinaten zwischen 0 und 1
liegen. Zu diesem Zweck, werden in der Tabellenansicht zwei Spalten (A und B) mit je
100 Zufallszahlen ∈ [0,1] erstellt, z.B. mit dem Befehl =Zufallszahl[0,100]/100 (man
bekommt eine Zahl zwischen 0 und 1 mit zwei Nachkommastellen). Der Befehl
„Zufallszahl“
liefert
ganzzahlige
Zufallszahlen,
daher
würde
die
Eingabe
=Zufallszahl[0,1] nicht zielführend sein. Markiert man die beiden Spalten, so kann man
mit Klicken der rechten Maustaste eine „Liste von Punkten“ erzeugen. Berechnet man
in einer weiteren Spalte (C) die jeweiligen Radien 𝑟 = √𝑥² + 𝑦² der Punkte (mit =
𝑠𝑞𝑟𝑡(𝐴1² + 𝐵1²) im Feld C1), so kann man feststellen, ob die Punkte im, oder
außerhalb des Kreisbogens liegen. Mit dem Befehl =Wenn[C1<=1,1,0] wird „1“
ausgegeben wenn der Punkt im Kreis liegt und „0“ sonst (Spalte D). Zählt man die
Anzahl der Einser in dieser Spalte (=Summe[D1:D100]), so kann man den Quotienten
𝑇𝑟𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟 𝑖𝑚 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠
𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡
berechnen. Aus dem Simulationsbeispiel von Abbildung 10 ergibt sich
79
eine Näherung für die Kreiszahl mit 𝜋 ≈ 100 ∙ 4 = 3,16.
57
Abbildung 10: Tabelle zur Approximation von π, erstellt mit GeoGebra
Zusammenfassend kann man eine mögliche Vorgehensweise bei der Einführung der
Wahrscheinlichkeitsrechnung im Unterricht beschreiben:

Einführung durch ein Beispiel, welches das Interesse der SchülerInnen wecken und
die Motivation steigen soll

Herleitung der klassischen Wahrscheinlichkeit aus dem Einführungsbeispiel (unter
Berücksichtigung der Gleichwahrscheinlichkeit der einzelnen Fälle)

Möglichkeit zur Berechnung bei Versuchen mit nicht symmetrischen Zufallsgeräten
erarbeiten – näherungsweises Berechnen durch relative Häufigkeiten – Gesetz der
großen Zahlen

Überlegungen zur geometrischen Wahrscheinlichkeit: eine Ausweitung auf
kontinuierliche (stetige) Modelle – auch irrationale Zahlen für Wahrscheinlichkeiten
möglich (siehe Arbeitsblätter: Geometrische Wahrscheinlichkeit – Approximation
von 𝜋)

Zusammenfassung eines allgemeinen Axiomensystems (Herleitung der drei
Axiome von Kolmogoroff aus der Klassischen Wahrscheinlichkeit)
58
4.5.3
Arbeitsblätter zur Approximation von 𝛑
Im Anhang (siehe 7 Anhang) befinden sich zwei Arbeitsblätter zur Approximation von 𝜋
über den geometrischen Zugang zur Wahrscheinlichkeit. Das erste Arbeitsblatt ist als
informative Einführung für SchülerInnen gedacht, wohingegen das zweite eine
Anleitung zur Simulation mit GeoGebra beschreibt.
4.6 Computer-Einsatz im Stochastikunterricht
Da den neuen Medien9 eine immer größere Bedeutung zugemessen wird, sind
Computerprogramme aus dem Unterricht nicht mehr wegzudenken. Der Einsatz von
Technologien wird auch vom Lehrplan vorgeschrieben und bedingt nicht zuletzt eine
Notwendigkeit zur Neuorientierung von Mathematikunterricht. Mit der Verwendung
eines Computer-Algebra-Systems (CAS), einer Dynamischen Geometriesoftware
(DGS) oder einer Tabellenkalkulationssoftware (TKS) eröffnen sich völlig neue
Möglichkeiten und Methoden für den Unterricht. Einige Thesen über Chancen und
Risiken
von
Computereinsatz
im
Mathematikunterricht
hat
Leuders
(2010)
zusammengefasst. Folglich habe ich diese überblicksmäßig angeführt. Die einzelnen
Thesen sind meiner Meinung nach selbsterklärend und verständlich formuliert, sodass
ich hier von einer genaueren Erläuterung absehe.
Der Computer…
…öffnet den Weg zu globaler Information und Kommunikation
…ermöglicht auch Laien professionelle mediale Gestaltung und Präsentation
…ersetzt und ergänzt herkömmliche audiovisuelle und textbasierte Medien
…kann interaktiver Lernpartner sein
…entlastet vom Kalkül10 und schafft neue Freiräume
…ist ein dynamisches Werkzeug für das Gewinnen mathematischer Erkenntnisse
…ist ein Werkzeug für das Lösen mathematischer Probleme
…ist ein universelles Modellierungswerkzeug
Der Computereinsatz…
…erfordert eine neue Balance zwischen altem und neuem Strategiewissen
9
Gemeint sind hier elektronische Werkzeuge wie (grafische) Taschenrechner, aber vor allem
Computer und Internet
10 Kalkül (Duden): 1. Berechnung, Überlegung; 2. System von Regeln zur schematischen
Konstruktion von Figuren (Math.)
59
…erfordert auch einen kritischen Blick hinter die Kulissen
…das sorgfältige Abwägen zwischen Aufwand und Nutzen
…darf kritische Reflexion nicht verdrängen
Abgesehen von einem CAS, das wie auch in anderen Bereichen der Mathematik
schnellere und einfachere Berechnungen ermöglicht, kann man vor allem zwei weitere
nützliche
Komponenten
des
Computereinsatzes
für
das
Rechnen
mit
Wahrscheinlichkeiten aufzeigen. Zum einen ist dies die grafische Darstellung zur
visuellen Unterstützung. So können Histogramme zur Darstellung empirischer
Häufigkeiten verwendet werden oder Baumdiagramme bei der Visualisierung von
bedingten Wahrscheinlichkeiten hilfreich sein. Neben dem Aspekt der Visualisierung ist
ein weiterer wesentlicher Vorteil, den der Einsatz von Computer mit sich bringt, die
Möglichkeit stochastische Simulationen durchzuführen.
4.6.1
Stochastische Simulation
„Unter Simulation versteht man in der Stochastik Verfahren, mit Hilfe von
geeigneten
Zufallsgeneratoren
eine
stochastische
Situation
‚nachzuspielen‘, um so ein Modell für diese Situation zu erhalten, das dann
zur weiteren Analyse und zur Prognose eingesetzt werden kann.“ (Tietze et
al., 2002, S. 129f)
Das Wort Simulation kommt aus dem Lateinischen (simulare: ähnlich machen,
nachbilden, nachahmen) und wird im Fremdwörterbuch (Duden) wie folgt erklärt:
1.Verstellung, 2.Vortäuschung
(von Krankheiten), 3. Nachahmung (im Bezug auf
technische Vorgänge). Gerade im Bereich der Technik und der Naturwissenschaften
sind Simulationen weit verbreitet und äußerst hilfreich, da man so künstlich bestimmte
Situationen erzeugen kann, ohne diese real durchzuführen und dadurch mögliche
Ergebnisse und Auswirkungen in der Realität abschätzen kann.
Manche Simulationen, gerade auch im schulischen Bereich, lassen sich besonders gut
mit Tabellenkalkulationsprogrammen, wie beispielsweise Excel oder OpenOffice.calc,
realisieren. Mayer (2008) geht so weit zu behaupten, dass „der Computer für den
Stochastikunterricht noch wichtiger ist, als Geometrie- oder CAS-Programme für
andere Bereiche des Unterrichts.“ Eichler & Vogel (2009) unterscheiden zwei
didaktische Bedeutungsebenen von Simulationen. Zum einen „mit Blick auf die Sache
eine inhaltliche Ebene“ und zum anderen „mit Blick auf die Schülerinnen und Schüler
eine personale Ebene“ (Eichler & Vogel, 2009, S. 172f). Auf inhaltlicher Ebene kann
60
mit Hilfe von Simulationen die Gültigkeit eines theoretischen Modelles überprüft
werden. Umgekehrt kann aber auch durch die aus Simulationen gewonnenen
Erkenntnisse eine Idee für ein noch nicht vorhandenes theoretisches Modell entwickelt
werden. Die Vorteile von Simulationen auf personaler Ebene begründen die beiden
Autoren vor allem darin, dass die SchülerInnen ein besseres intuitives Verständnis für
zufällige Vorgänge aufbauen können, Begriffe wie Zufall und Wahrscheinlichkeit
werden „greifbarer“ und die mentale Modellbildung kann angeregt werden. Außerdem
wird gerade durch computergestützte Simulationen deutlich, dass auch beim Zufall
Gesetzmäßigkeiten regieren. Des Weiteren eignen sich Simulationen auch als
Projektarbeit,
wodurch
die
SchülerInnen
positive
Lernerfahrungen
aus
der
Eigentätigkeit erzielen können und Simulationen, besonders wenn Probleme behandelt
werden deren Ergebnisse ungewiss oder überraschend sind, können die Motivation der
SchülerInnen fördern (Vgl. Tietze et al., 2002, S.130).
Unterschiedliche Perspektiven von Simulationen im Unterricht, beschreiben auch
Biehler und Maxara (2007). Da die Stochastik im schulischen Kontext nicht nur eine
Lehre der Laplace’schen Theorie in endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen sein soll,
kommt der „Repräsentation von Zufallsexperimenten durch Simulation“ eine wichtige
Rolle zu. Eine weitere Bedeutungsebene ist „Simulation als Werkzeug im Wechselspiel
mit analytischen Methoden“. So können mit Simulationen nicht nur Ergebnisse geliefert
werden, sondern bereits bekannte Ergebnisse gegebenenfalls auch überprüft werden.
Als dritte Komponente wird „Simulation als Methode“ genannt, die in der Praxis zur
Anwendung kommt, wenn analytische Lösungen nicht (oder noch nicht) möglich, oder
für den Unterricht zu aufwendig sind und die gerade durch die Entwicklung der
Computertechnologie zu einer wichtigen Forschungsmethode geworden ist (vgl.
Biehler & Maxara, 2007, S45ff). Hervorgehoben werden sollte auch die Bedeutung von
Simulationen für die Entwicklung der Fähigkeit zur Modellbildung. Wesentlich dabei ist
auch, dass die SchülerInnen die Versuche weitgehend selbstständig durchführen
sollten.
Tietze et al. (2002) beschreibt folgende Phasen, die bei der Simulation von Problemen
auftreten:
-
Vorüberlegungen und Vermutungen
-
Aufstellen eines vorläufigen Modells
-
Auswahl eines geeigneten Zufallsgenerators
-
Durchführung der Simulation
-
Auswertung der Ergebnisse, Schätzungen von Parametern
-
Interpretation der Schätzwerte im Bezug auf die Lösung des Problems
61
Abschließendes Zitat:
„Das wesentliche stochastikdidaktische Potenzial der Simulationen ist darin
zu sehen, dass damit das Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
vertieft und schließlich das Tor zur schließenden Statistik aufgestoßen
werden kann“. (Eichler & Vogel, 2009, S.173)
62
5. Einige interessante Beispiele und Paradoxa – Eine
Aufarbeitung für den Unterricht in der Sekundarstufe II
„Als Paradoxon [gr.-lat.] bezeichnet man eine scheinbar zugleich wahre
und falsche Aussage.“ (Duden)
Werden im Unterricht Beispiele bearbeitet, deren Ergebnisse für die SchülerInnen sehr
überraschend,
oder
prinzipiell
paradox
erscheinen,
wie
beim
sogenannten
Geburtstagsproblem, so sind dies genau jene Beispiele die den Stochastikunterricht
lebendig und spannend machen. Interesse und Motivation können enorm gesteigert
werden, wenn man den SchülerInnen die Möglichkeit gibt, mit Versuchen und
Simulationen selbstständig Lösungsansätze von Problemen zu erarbeiten. Im
folgenden Teil dieser Diplomarbeit habe ich aus diesem Grund ausgewählte Paradoxa
für den schulischen Gebrauch ausgearbeitet und Ideen für ein experimentelles
Erarbeiten der Lösungen zusammengefasst. Nach einer einleitenden kurzen
Beschreibung der jeweiligen Probleme und deren Lösungen, habe ich mich im
Anschluss mit verschiedenen Möglichkeiten zur Bearbeitung der Beispiele im
Unterricht auseinandergesetzt. Dabei habe ich vor allem versucht Chancen und
Vorteile, die der Einsatz von Computertechnologie mit sich bringt, zu nutzen.
5.1 Das Geburtstagsparadoxon
Das sogenannte Geburtstagsproblem, bzw. Geburtstagsparadoxon, geht auf Richard
von Mieses zurück (vgl. Büchter & Henn, 2007 S. 242ff), der dieses Problem 1939
veröffentlichte. Bei genauerer Betrachtung kann man feststellen, dass es sich nicht um
ein Paradoxon im eigentlichen Sinn handelt, da die Aufgabe nicht auf eine
widersprüchliche Situation führt. Man neigt aber dazu den Sachverhalt ohne
Vorkenntnisse völlig falsch einzuschätzen, wodurch das Ergebnis sehr überraschend
und paradox erscheint.
5.1.1
Beschreibung des Problems
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 𝑛 zufällig ausgewählten
Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?
(Das Jahr wird dabei nicht berücksichtigt.)
63
Ein Versuch, der mit StudentInnen gemacht wurde, die das Problem nicht kannten (vgl.
Büchter, 2007, S. 242), zeigt folgende falsche Einschätzung (Abbildung 11):
Die Studierenden sollten die Wahrscheinlichkeiten skizzieren, dass bei Gruppengrößen
von n = 0 bis n = 400 Personen mindestens 2 gleiche Geburtstage auftreten. Bis zu
einer Gruppengröße von 200 Personen wurden die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
sehr gering eingeschätzt (unter 10%). Zwischen 300 und 350 Personen schätzten die
Studierenden die Wahrscheinlichkeiten zwischen rund 20% und 100% (schnell
steigend) ein. Erst bei einer Gruppengröße von ca. n = 365 vermuteten die
Studierenden, dass mit Wahrscheinlichkeit 1, also sicher, mindestens einmal ein Tag
doppelt vorkommen muss.
Abbildung 11: Einschätzung des
Geburtstagsparadoxon von StudentInnen, aus Büchter
& Henn, 2007, S. 242
Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit bereits bei einer Gruppengröße von 23 Personen
etwas über 50%, bei n = 57 bereits über 99%. Der Grund für die falsche Einschätzung
liegt möglicherweise in der inkorrekten Formulierung des gesuchten Ereignisses. Das
gesuchte Ereignis 𝐸 lautet folgendermaßen:
𝐸: Mindestens zwei von n Personen haben am selben Tag Geburtstag.
Vermutlich gehen viele, die zum ersten Mal mit diesem Problem konfrontiert werden,
von einem der folgenden falschen Ereignissen aus, die tatsächlich viel geringere
Wahrscheinlichkeiten aufweisen:
𝐸1 : Mindestens eine weitere Person hat den gleichen Geburtstag wie ich.
𝐸2 : Mindestens zwei Personen haben an einem ganz bestimmten Tag im Jahr
Geburtstag.
5.1.2
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Betrachten wir also das Ereignis 𝐸: Mindestens zwei von n Personen haben am selben
Tag Geburtstag. Gesucht wird nun die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸). “Mindestens“ zwei
64
bedeutet, dass auch drei, vier, oder auch n Personen denselben Geburtstag haben
können. Ebenso können auch zweimal zwei oder dreimal zwei Personen am gleichen
Tag geboren sein, usw. Diese Wahrscheinlichkeiten alle einzeln zu berechnen ist sehr
aufwendig. Einfacher lässt sich 𝑃(𝐸) mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸) = 1 −
𝑃(𝐸‘) bestimmen. Man benötigt also zuerst das Gegenereignis E‘ und die zugehörige
Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸‘). Des Weiteren wird davon ausgegangen, dass es keine
Schaltjahre gibt (der 29. Februar wird also nicht berücksichtigt) und dass jedes
Geburtsdatum gleich wahrscheinlich ist.
Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit
Das Gegenereignis 𝐸‘ lautet: Alle n Personen haben an unterschiedlichen Tagen
Geburtstag. Angenommen eine Person hat an einem beliebigen Tag Geburtstag. Für
diesen Tag gibt es 365 Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit beträgt also
365
.
365
Da es
für eine weitere Person noch 364 mögliche andere Geburtstage gibt, ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beide unterschiedliche Geburtsdaten haben demnach
also
365∙(365−1)
365²
365 364
∙
365 365
. Existiert nun eine dritte Person, für die es noch 363 mögliche Tage
gibt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Personen an unterschiedlichen Tagen
geboren wurden
365 364 363
∙
∙
365 365 365
=
365∙(365−1)∙(365−2)
.
365³
Auf diese Weise bekommt man die
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen alle an verschiedenen Tagen Geburtstag
haben:
P(E ′ ) =
∏ni=1(365 − i + 1)
365 ∙ 364 ∙ … ∙ (365 − n + 1)
=
365n
365n
und somit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐸:
∏ni=1(365 − i + 1)
365 ∙ 364 ∙ … ∙ (365 − n + 1)
P(E) = 1 −
= 1−
.
365n
365n
Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl n an Personen kann mit einem CAS
berechnet werden, beispielsweise mit wxMaxima.
65
Abbildung 12: Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer Gruppengröße von
30 Personen P(n = 30) ≈ 70%;, ausgeführt mit wxMaxima
5.1.3
Anregungen für den Unterricht – Simulationen, Näherungen und grafische
Darstellung
In diesem Abschnitt habe ich Möglichkeiten und Ideen zur Einführung und Bearbeitung
des Paradoxons im Unterricht entwickelt und zusammengefasst. Bei der Erarbeitung
des Geburtstagsparadoxons in der Schule könnte man dieses in zwei Teile gliedern.

Vermutungen anhand von Analysen (z.B. in der Schule) und
näherungsweise Berechnungen mit Computersimulationen

Exakte Berechnungen
Zum einen eignet sich der experimentelle Teil (Analysen und Simulationen) eventuell
als Einstieg ins Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung in der 10. Schulstufe. Dabei sind
grundsätzlich kaum wahrscheinlichkeitstheoretische Vorkenntnisse gefragt und die
SchülerInnen können die Wahrscheinlichkeiten näherungsweise durch Simulationen
bestimmen. Den SchülerInnen könnten die so erhaltenen Werte überraschend
erscheinen, wodurch die Motivation möglicherweise gesteigert werden kann. Die
Berechnungsformel würde ich erst nach der Einführung der theoretischen Grundlagen
erarbeiten.
Der interessante Aspekt, den das Problem beinhaltet, liegt offensichtlich in der falschen
ersten Einschätzung der Wahrscheinlichkeiten. Daher halte ich es für sinnvoll, die
SchülerInnen zu Beginn erst schätzen zu lassen. Dies kann auf unterschiedliche Weise
geschehen. Die SchülerInnen könnten beispielsweise, wie im zuvor erwähnten
Experiment mit StudentInnen beschrieben, probieren, die Wahrscheinlichkeit als
funktionale Abhängigkeit von der Gruppengröße 𝑛 = 1 bis n = 400 zu skizzieren. Zu
diesem Zweck habe ich einen kurzen Fragebogen entwickelt (siehe 7 Anhang:
Arbeitsblatt 3), welchen ich in 2 Klassen der 9.Schulstufe durchgeführt habe. Die
SchülerInnen hatten zu diesem Zeitpunkt keine wahrscheinlichkeitstheoretischen
Vorkenntnisse. Zuerst sollten die SchülerInnen angeben, ob in ihrer Klasse doppelte
Geburtstage auftreten oder nicht. In einer Klasse war dies der Fall (sogar zweimal zwei
SchülerInnen hatten am selben Tag Geburtstag), in der anderen kam kein Tag doppelt
66
vor.
In
jener
Klasse
in
der
doppelte
Geburtstage
vorkamen
wurde
die
Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Gruppengröße von 30 Personen mindestens zwei
gleiche Geburtstage vorkommen, von zwei Drittel der SchülerInnen auf 10% geschätzt,
wobei folgende Antwortmöglichkeiten zur Auswahl standen: 0,5%, 1%, 8%, 10%, 70%
und 90%. Sogar rund ein Drittel hat richtigerweise 70% angenommen, was vermutlich
genau darauf zurückzuführen ist, dass es in der Klasse SchülerInnen mit
gemeinsamen Geburtstagen gibt. In der anderen Klasse hat fast die Hälfte der
SchülerInnen die Wahrscheinlichkeit auf 1% oder 0,5% geschätzt und die restlichen
SchülerInnen vermuteten 8 bis 10 Prozent. Nur zwei (von fast 30) SchülerInnen
schätzten die Wahrscheinlichkeit auf 70%. Ausgehend von der Anzahl der
SchülerInnen in ihrer eigenen Klasse könnte man den SchülerInnen auch einen ganz
konkreten Wert für diese Gruppengröße n schätzen lassen. Des weiteren habe ich die
SchülerInnen befragt, wie viele Personen ihrer Meinung nach befragt werden müssen,
damit fast sicher (also mit ca. 99%) ein Geburtsdatum doppelt vorkommt. Bei dieser
Frage hat der Großteil der SchülerInnen vermutet, dass man rund 300 Personen
benötigt, tatsächlich reichen bereits ca. 50 Personen aus.
Der letzte Teil des Fragebogens bezieht sich auf den zuvor erwähnten Versuch mit
StudentInnen, den Büchter & Henn (2007) beschrieben haben. Die SchülerInnen
sollten die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Gruppengröße in einem
vorgegebenen Koordinatengitter skizzieren. Im Unterschied zu der Einschätzung der
StudentInnen (Abbildung 11), hat der Großteil der von mir befragten SchülerInnen, mit
steigender Gruppengröße, einen annähernd linearen Anstieg der Wahrscheinlichkeit
angenommen, wobei erst bei 𝑛 = 350 die Wahrscheinlichkeit auf 100% geschätzt
wurde (Abbildung 13).
67
Abbildung 13: Einschätzung von SchülerInnen
Bevor im Anschluss an einen solchen Fragebogen die Lehrperson die Lösung des
Problems preisgibt, könnte noch mit verschiedenen Versuchen getestet werden, ob
der von den SchülerInnen angenommene Wert annähernd richtig sein kann. Zum
Beispiel indem die SchülerInnen klassenweise die Geburtsdaten aller SchülerInnen der
Schule ermitteln, um anschließend die Wahrscheinlichkeit für mehrfach auftretende
Geburtstage in einer Klasse mit z.B. 25 Personen abzuschätzen.
Ein Beispiel: In einem Oberstufengymnasium mit 16 Klassen (sollten annähernd
gleichviele SchülerInnen pro Klasse sein) wird pro Klasse eine Jahreskalendertabelle
(Abbildung 14) durchgegeben, in der die jeweiligen Geburtstage angekreuzt werden
sollen.
68
Abbildung 14: Jahreskalendertabelle, erstellt mit Excel
Hierzu könnten die SchülerInnen gruppenweise in die Klassen gehen damit die Daten
schneller ermittelt werden können. Da man möglichst gleichgroße Gruppen braucht,
könnte man gegebenenfalls zwei kleinere Klassen zusammenlegen (man lässt dann
die SchülerInnen beider Klassen gemeinsam auf einer Liste eintragen). Die Lehrkraft
könnte auch bereits fertige Listen der Geburtsdaten der SchülerInnen organisieren,
jedoch denke ich, dass es für die SchülerInnen sicher motivierender ist, diese selbst zu
erfragen. Treten nun z.B. in 5 von den 16 Klassen Geburtstage mehrfach auf, so
bekommt man einen neuen Schätzwert von
5
16
= 0,3125 also rund 30%, der vermutlich
deutlich höher liegen wird als der Schätzwert, den die SchülerInnen zu Beginn
abgegeben haben. Es kann auch vorkommen, dass in keiner Klasse Geburtstage
doppelt
vorkommen.
Dies
sollte
gegebenenfalls
im
Anschluss
an
das
Simulationsexperiment, oder nach der konkreten Berechnung der tatsächlichen
Wahrscheinlichkeit diskutiert werden. Gemeinsam mit den SchülerInnen sollte man
anschließend besprechen, dass der so erhaltene Wert nur ein Näherungswert für die
tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist. Eine relativ geringe Anzahl an Klassen (16 im
vorherigen Beispiel), kann ein sehr ungenaues Ergebnis bedingen. Umso genauer
sollte dieses werden, je mehr Klassen man untersuchen kann. Da man aber in der
Regel keine 100 Klassen zur Verfügung hat, bietet sich in weiterer Folge eine
Computersimulation von Geburtsdaten an.
69
5.1.4
Anleitung für Simulationen mit einem Tabellenkalkulationsprogramm
Im Anhang dieser Diplomarbeit befindet sich eine für SchülerInnen geeignete
Versuchsanleitung für eine Simulation von zufälligen Geburtstagen (siehe 7. Anhang:
Arbeitsblatt 4). Diese ist für das Programm Excel ausgelegt, es kann aber auch mit
einem äquivalenten Freeware-Programm wie OpenOffice.calc oder LibreOffice
gearbeitet werden. Bei der Simulation wird jedem Tag des Jahres eine Zahl von 1 bis
365 zugeordnet und so eine Liste mit n Zufallszahlen erzeugt.
Folgende Befehle erzeugen eine Zufallszahl zwischen 1 und 365:
In Excel
=ZUFALLSBEREICH(1;365)
In OpenOffice.calc
=GANZZAHL(ZUFALLSZAHL()*365+1)
Mit der Taste F9 werden automatisch neue Zufallszahlen gebildet, womit man sehr
schnell 100 verschiedene „Schulklassen“ simulieren kann. Die SchülerInnen sollen sich
dabei notieren, in wie vielen Fällen von beispielsweise 100 Versuchsdurchgängen eine
Zahl mehrfach aufgetreten ist. Mit einer bedingten Formatierung wird das Experiment
visuell unterstützt. Dabei sollte idealerweise deutlich werden, dass bei 100 Versuchen
mit beispielsweise 30 Personen (also bei einer Liste mit 30 Zufallszahlen die 100mal
mit F9 aufs Neue gebildet werden) bei rund 70 „Klassen“ Geburtstage mehrfach
aufgetreten. Die so erhaltene Näherung für die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach
erstaunliche 70%, womit die SchülerInnen in der Regel nicht rechnen werden (es kann
davon ausgegangen werden, dass die ersten Schätzungen der SchülerInnen zu
Beginn bei einer sehr kleinen Prozentzahl liegen, möglicherweise unter 1%). An dieser
Stelle würde sich eine Diskussion eignen, worin die primäre Fehleinschätzung des
Problems begründet liegen könnte (siehe 5.1.1 Beschreibung des Problems).
Eine andere Möglichkeit zur Simulation des Paradoxons mit Excel beschreibt Jörg
Meyer im Artikel „Simulationen mit Excel“ (vgl. Meyer, 2008, S.4ff). Hierbei geht es
nicht darum, die Wahrscheinlichkeit einer „Doppelzahl“ bei einer bestimmten
Gruppengröße abzuschätzen, sondern darum zu untersuchen, an welcher Stelle zum
ersten Mal eine doppelte Zahl auftritt. Er erklärt, wie man mit Hilfe von
Mehrfachoperationen sehr schnell und einfach eine bestimmt Operation beispielsweise
1000 Mal wiederholen kann. Angewendet auf das Geburtstagsproblem kann das
folgendermaßen aussehen:
Man
erzeugt
100
Zufallszahlen
von
1
bis
365
in
der
Spalte
A
(mit
=ZUFALLSBEREICH(1;365)) und untersucht anschließend, an welcher Stelle das erste
Mal eine Zahl doppelt auftritt. Mit =VERGLEICH(A1;A:A;0) erzeugt man in der Spalte B
70
eine Liste, in der jeder Zahl aus der Spalte A die Nummer der Zeile in der die Zahl
steht zugewiesen wird. Die Spalte C soll nun aufzeigen, in welcher Zeile eine doppelte
Zahl auftritt (mit =WENN(B1=ZEILE();0;1)). Schlussendlich wollen wir jene Zahl explizit
angegeben haben, die die Stelle der ersten doppelt-vorkommenden Zahl angibt. In C1
steht also der Befehl =VERGLEICH(1;C:C;0). Abbildung 15 zeigt wie die Tabelle
demnach bis zu diesem Zeitpunkt aussieht. In diesem Beispiel ist schon die 12te
Zufallszahl eine Zahl, die doppelt vorkommt.
Abbildung 15: Tabelle mit Zufallszahlen, erstellt mit Excel
Diesen Prozess kann man nun mit einer Mehrfachoperation 1000-mal wiederholen.
Hierzu legt man zwei weitere Spalten an (in Abbildung 16: Spalte E und F), wobei in
einer Spalte die Nummer der Mehrfachoperation steht, also in unserem Fall die Zahlen
von 1 bis 1000 in Spalte E, und in der zweiten Spalte wird der dazugehörige
Versuchsausgang erzeugt, also jene Zahl, an der Stelle die erste „Doppelzahl“
aufgetreten ist, beim n-ten Durchlauf. Dies funktioniert, indem man eine korrekte
Simulation vorgibt und diesen Vorgang nun 1000-mal „kopiert“.
Man erzeuge eine Liste der Zahlen 1 bis 1000 in Spalte E von E2 bis E1001 (E1 muss
leer bleiben). Anschließend kopiert man D1 (das Resultat einer konkreten Simulation)
nach F1. Nun wird der Bereich von E1 bis F1001 markiert und Daten/Was-wärewenn/Datentabelle aufgerufen. Ein Fenster mit zwei Eingabefeldern öffnet sich. Im Feld
Werte aus Zeile wird nichts eingegeben und bei Werte aus Spalte gibt man eine leere
71
Zelle an (z.B. D2). Mit dieser Eingabe bekommt man also in der Spalte F 1000
Simulationen für das Auftreten der ersten Doppelzahl bei 100 Zahlen zwischen 1 und
365. Analysiert man wie häufig die erste Doppelzahl an welcher Stelle vorkommt (z.B.
mit =ZÄHLENWENNS(…)), so kann man dies mit einem Diagramm visualisieren
(Abbildung 16 und 17).
Abbildung 16: Geburtstagsproblem – Mehrfachoperationen, erstellt mit Excel
Abbildung 17: Auftreten der ersten „Doppelzahl“
72
Abbildung 9 zeigt, dass bei 1000 Simulationen von 100 Zufallszahlen zwischen 1 und
365, die erste doppelte Zahl am häufigsten ca. an der 20. Stelle vorkommt. Dies deckt
sich natürlich mit der Erkenntnis, dass die konkrete Wahrscheinlichkeit ab einer
Gruppengröße von 𝑛 = 23 über 50% liegt. Unter entsprechender Anleitung der
Lehrperson könnten diese Untersuchungen auch mit SchülerInnen durchgeführt
werden. Im Anschluss an diese Analysen könnte man nun mit den SchülerInnen die
Berechnungsvorschrift erarbeiten, damit auch exakte Werte für die Wahrscheinlichkeit
von doppelt auftretenden Zahlen in Abhängigkeit der Gruppengröße berechnet werden
können.
5.1.5
Die Berechnungsvorschrift
Für die Herleitung einer exakten Berechnungsvorschrift bietet sich unter anderem ein
Urnenmodell an, unterstützend visualisiert mit einem Baumdiagramm. Vorausgesetzt
sollte werden, dass die SchülerInnen zu diesem Zeitpunkt bereits den erforderlichen
theoretischen Hintergrund zum Thema kennen. Ich denke nicht, dass sich das
Geburtstagsproblem zum Erarbeiten von neuen Inhalten, wie dem Laplace’schen
Modell oder dem Arbeiten mit Gegenwahrscheinlichkeiten, eignet. Auch Begriffe wie
Ereignis und Gegenereignis sollten bereits erarbeitet worden sein und mit
Baumdiagrammen, der Multiplikations- und Additionsregel sollten die SchülerInnen
ebenfalls bereits umgehen können.
Das Problem als Urnenmodell
Man denke sich die Tage des Jahres als durchnummerierte Kugeln von 1 bis 365 in
einer Urne. n Personen ziehen der Reihe nach eine Kugel und legen diese
anschließend wieder zurück. Interessant ist nun, wie wahrscheinlich es ist, dass alle 𝑛
Personen eine unterschiedliche Zahl ziehen, also wie groß die Wahrscheinlichkeit des
Gegenereignisses 𝑃(𝐸‘) ist. Die erste Person hat 365 von 365 Möglichkeiten. Für die
zweite Person sind nur noch 364 Möglichkeiten günstig, für die dritte 363, usw. Als
visuelle Unterstützung könnte den SchülerInnen eine Darstellung mit einem
Baumdiagramm vorgelegt werden, wobei man der Einfachheit halber zuerst von einer
kleinen Gruppengröße ausgehen könnte. Abbildung 18 zeigt ein Diagramm für 𝑛 = 4.
73
Abbildung 18: Beispiel mit 4 Personen, erstellt mit Geogebra
Der interessante Zweig im Baumdiagramm ist jener ganz links (rot-markiert), also jener
wo immer wieder eine Zahl gezogen wurde, die zuvor noch nicht vorgekommen ist. Die
Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Personen unterschiedliche Zahlen ziehen, ist
demzufolge
365 364 363 362
∙
∙
∙ .
365 365 365 365
Ein solches Zahlenbeispiel, in dem n klein gewählt
wurde, kann dazu beitragen, dass die SchülerInnen die Herleitung einer allgemeinen
Formel für die Wahrscheinlichkeit bei n Personen besser verstehen. Hilfreich für die
Berechnungsvorschrift wäre außerdem die Einführung der Produktschreibweise
(Abbildung 19). Das Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung einer
Berechnungsformel soll die SchülerInnen dabei unterstützen (siehe 7. Anhang).
Abbildung 19: Produktoperator, http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Mathematik)
Berechnung einzelner Werte mit einem CAS
Die Wahrscheinlichkeiten für konkrete Werte von n können mit einem CAS wie
wxMaxima relativ einfach berechnet werden. Solche Berechnungen können ebenso
SchülerInnen durchführen (siehe 7. Anhang: Arbeitsblatt 6). Das Produkt muss hierzu
74
mit „product(Berechnungsvorschrift, Laufvariable, Startwert, Endwert)“ eingegeben
werden.
Abbildung 20: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Personen
mindestens zwei denselben Geburtstag aufweisen (rund 97%), ausgeführt
mit wxMaxima
Funktionsgraphen plotten mit wxMaxima oder GeoGebra
Etwas schwieriger ist es, die zugehörige Funktion, die die Wahrscheinlichkeit in
Abhängigkeit von der Gruppengröße x angibt, grafisch darzustellen. Ob die grafische
Darstellung des Problems im Unterricht behandelt werden sollte oder nicht, bleibt der
Einschätzung der Lehrkraft überlassen. Die Schwierigkeit hängt mit der Variablen x
zusammen und liegt bei der korrekten Eingabe der Funktionsvorschrift (Abblidung 21).
Abbildung 21: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeit – Fehler bei
der Eingabe der Funktion, erstellt mit wxMaxima
75
Bei der Eingabe der Funktion werden für x reelle Zahlen angenommen, jedoch wird
das Produkt nur für diskrete x-Werte gebildet. Anhand eines Beispiels wird dieses
Problem deutlicher.
Beispiel: Das Produkt im Zähler bleibt für 𝑛 = 2, 𝑛 = 2.1 oder 𝑛 = 2.9 immer gleich,
nämlich 132 860 (Abbildung 22).
Abbildung 22: Produktberechnungen
Abbildung 23: Produktberechnungen
Im Zähler (365𝑛 ) bekommt man für 𝑛 = 2 den Wert 133 225, jedoch für 𝑛 = 2.1 bereits
~240 333.9 also einen fast doppelt so großen Wert wie bei 𝑛 = 2 und für 𝑛 = 2.9 mehr
als das 200 − 𝑓𝑎𝑐ℎ𝑒 des Wertes bei 𝑛 = 2. Der Bruch für 𝑛 = 2.9 ist demnach fast 0
(Abbildung 24), womit der Funktionswert annähernd 1 ist.
Abbildung 24: Berechnung vom Quotienten
76
Das erklärt schließlich warum in Abbildung 21 die Funktionswerte zwischen den
einzelnen diskreten Zahlen immer größer werden und schließlich gegen 𝑃(𝐸) =
1 gehen. Beheben kann man den Fehler indem man für x ebenso diskrete Zahlen im
Nenner erzeugt. Anstatt der Variablen x kann floor(x) eingeben werden (365^𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟(𝑥)),
was das Abschneiden der Nachkommastellen von x bedingt. Folgende „StufenFunktion“ wird somit erzeugt (Abbildung 25):
Abbildung 25: Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Gruppengröße n, erstellt
mit wxMaxima
Es gibt natürlich auch andere Möglichkeiten näherungsweise den Funktionsgraphen zu
bestimmen. Eine Darstellung mit GeoGebra könnte für SchülerInnen vielleicht besser
geeignet sein. Die gewünschten Wahrscheinlichkeiten, z.B. für 𝑛 = 5, 𝑛 = 10, 𝑛 = 15
usw., kann man in der Tabellenansicht erzeugen. Man erstellt zunächst eine Liste mit
den Werten 5, 10, 15, usw. in der Spalte A. Anschließend gibt man folgenden Befehl in
B1 ein:
1 − 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡[𝑆𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒[365 − 𝑖 + 1, 𝑖, 1, 𝐴1]] / 365^𝐴1.
So erhält man die gewünschten Wahrscheinlichkeitswerte, welche in die AlgebraAnsicht übertragen werden können. Mit einem Polygonzug können die einzelnen
Punkte schließlich verbunden werden um die Wahrscheinlichkeit näherungsweise für
beliebige n darzustellen. (Die SchülerInnen könnten gegebenenfalls auch mit einem
77
CAS eine Wertetabelle erstellen, diese anschließend ins Geogebra übertragen und so
die Funktion mit einem Polygonzug annähern (Abbildung 26 und 27).)
Abbildung 26: Berechnung konkreter Wahrscheinlichkeiten
Abbildung 27: Wahrscheinlichkeit P(E), näherungsweise dargestellt mit Geogebra
5.1.6
Anleitungen und Arbeitsblätter
Abgesehen von einem für SchülerInnen geeigneten Fragebogen, welcher sich zur
Einführung des Themas eignet, befinden sich in im Anhang diverse Arbeitsblätter, bzw.
Anleitungen (siehe 7. Anhang: Arbeitsblatt 3 bis 6).
So habe ich eine Anleitung für ein Experiment in Excel mit Arbeitsaufträgen für
SchülerInnen
ausgearbeitet,
sowie
ein
78
Arbeitsblatt
zur
Herleitung
einer
Berechnungsformel für die Wahrscheinlichkeit P(E) bei n Personen und ein weiteres
Arbeitsblatt zur Berechnung einzelner Werte und zur grafischen Darstellung
(näherungsweise) mit wxMaxima und Geogebra. Diese Anleitungen sind weitgehend
so verfasst, dass die SchülerInnen selbstständig zum Thema arbeiten können,
möglicherweise in partnerarbeit oder in kleinen Gruppen.
79
5.2 Das Monty-Hall-Problem
Dieses
sehr
berühmte
Wahrscheinlichkeitsrechnung,
und
das
viel
auch
diskutierte
unter
Paradoxon
der
“Drei-Türen-Problem”
oder
„Ziegenproblem“ bekannt ist, geht auf eine US-amerikanische Spielshow aus den
frühen 90er Jahren zurück und ist nach dessen Moderator Monty Hall benannt. Bevor
ich mich mit der Aufarbeitung von Unterrichtsmaterialien auseinandersetze, werde ich
das Problem zuerst kurz erklären. Danach beschreibe ich Möglichkeiten zur Simulation
des Beispiels ohne, bzw. mit Technologie-Einsatz und dem folgt die Herleitung der
Berechnungsvorschrift. Arbeitsblätter zum Thema befinden sich im Anhang (siehe 7.
Anhang: Arbeitsblätter 11 bis 13).
5.2.1
Das Problem
Ein Spieler steht vor der Aufgabe, aus drei Türen eine Tür auszuwählen, wobei nur
hinter einer Tür ein Preis zu erwarten ist. Im Falle der Game-Show, war dies ein Auto.
Hinter den anderen beiden Türen verbirgt sich jeweils eine Ziege, also kein Gewinn für
den Spieler. Hat sich der Kandidat für eine der drei Türen entschieden, wird diese
nicht sofort geöffnet. Der Moderator weiß hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet.
Er öffnete eine der beiden übrigen Türen, hinter der eine Ziege steht und fragte
anschließend den Kandidaten, ob er lieber zur dritten Tür wechseln möchte (vgl.
Atmaca & Krauss, 2001, S.14ff).
Abbildung 28: YouTube-video: The Monty Hall Problem,
http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg
80
Beispiel: Abbildung 28 veranschaulicht diesen Sachverhalt. Der Kandidat hat sich für
Tür 3 entschieden, der Moderator hat Tür 2 geöffnet (weil er wusste, dass
dahinter eine Ziege steht) und fragt nun den Spieler, ob er nicht doch lieber Tür 1
wählen möchte.
Die wesentliche Frage die sich nun stellt ist, ob es sich für den Kandidaten lohnt, die
von ihm zuerst gewählte Tür zu wechseln. Man könnte nun die Annahme treffen, dass
es egal sein müsste welche der beiden übrigen Türen man wählt. Da hinter einer Tür
eine Ziege und hinter der anderen das Auto steht, muss die Wahrscheinlichkeit den
Gewinn zu bekommen für beide Türen gleich groß sein, nämlich 50%. Dass diese
Vermutung aber falsch ist, erscheint auf den ersten Blick etwas paradox. Tatsächlich
kann man mit einer sehr einfachen Überlegung zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit
das Auto zu gewinnen bei 66% liegt, wenn man die Tür wechselt.
5.2.2
Einführung und Anwendungen in der Schule
Dass sich das „Drei-Türen-Problem“ allgemein als experimenteller Einstieg in das
Kapitel
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
in
der
6.Schulstufe
eignen
kann,
dokumentiert Klemisch (1993), wobei er in seinen Unterrichtseinheiten besonders Wert
auf die Anwendung von Simulationen gelegt hat.
Auf
www.youtube.com
findet
man
unter
http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg ein sehr anschauliches Video zum
Monty-Hall-Problem (Abbildung 28: Video ca. bei Minute 1:20), welches sich meiner
Meinung nach sehr gut für den schulischen Gebrauch eignet. In diesem Video wird in
leicht verständlicher, englischer Sprache die Situation geschildert, wobei die visuelle
Darstellung zum besseren Verständnis des Problems beiträgt. In voller Länge wird
jedoch im Anschluss an die Beschreibung der Sachlage, die Lösung des Problems
erläutert. Es wäre nun sinnvoll das Video im Unterricht nur soweit abzuspielen, bis es
zur Fragestellung kommt, ob es sich für den Spieler nun lohnt zu wechseln, oder nicht.
Der restliche Teil des Videos, sprich die Auflösung der Situation, kann gegebenenfalls
im Anschluss an die Erarbeitung im Unterricht nachgeholt werden. Natürlich kann man
als Einstieg auch ein vorgefertigtes Arbeitsblatt wählen, womit den SchülerInnen das
Problem zu Beginn näher gebracht wird (siehe 7. Anhang: Arbeitsblatt 7).
81
Ist den SchülerInnen die Situation verständlich, so kann man die Lernenden im
Anschluss mit Experimenten und Simulationen auf verschiedene Art und Weise
motivieren, weitgehend selbstständig zur Lösung des Problems zu gelangen. Da
dieses Beispiel sehr populär ist, haben sich bereits unzählige Mathematiker und
Didaktiker damit beschäftigt, mögliche Lösungswege auszuarbeiten. Im Folgenden
habe ich einige dieser Ideen und Anregungen für den Unterricht zusammengefasst und
mit eigenen Vorschlägen ergänzt.
Im Überblick kann man folgende Schritte resümieren, welche die SchülerInnen der
Reihe nach durchführen könnten:
1. Vermutungen anstellen, diese versuchen zu begründen und im Plenum der
Klasse diskutieren;
2. Überprüfung
der
Vermutungen
mit
Experimenten
und
Simulationen:
„Nachspielen“ der Situation, Versuche mit Zufallsgeräten (z.B. mit Würfeln oder
Losen)
und
schließlich
umfangreichere
Simulationen
mit
Computerunterstützung um genauere Ergebnisse zu erlangen;
Die Erkenntnisse aus den Simulationen werden verarbeitet und gegebenenfalls
die zu Beginn getroffene Annahme revidiert;
3. Tatsächliche Berechnungen durchführen;
Der erste Schritt: Die SchülerInnen sollen sich ganz spontan und intuitiv eine Meinung
bilden und versuchen diese zu begründen. Vorausgesetzt es gibt unterschiedliche
Ansichten, kann sich im Anschluss möglicherweise eine interessante Diskussion
ergeben. So können sich zwei Gruppen innerhalb der Klasse bilden: Jene die denken,
dass sich durch wechseln ihre Gewinnchance erhöhen würde und auf der anderen
Seite die Nicht-Wechsler, die davon überzeugt sind, dass es sich nicht lohnt die Tür zu
wechseln. Wollring (1992) konnte in einer von ihm abgehaltenen Unterrichtssequenz
feststellen, dass es der Gruppe der Wechsler offensichtlich deutlich schwerer fiel ihre
Vermutung zu begründen, obgleich sie sich ihrer Sache doch sehr sicher waren.
Erfahrungsgemäß tendieren Personen, die das Problem nicht kennen, eher dazu, dass
sie nicht wechseln würden, bzw. zu glauben, dass es keinen Unterschied machen
würde, ob man die andere (noch geschlossene) Tür wählt, oder bei der zu Beginn
gewählten Tür bleibt. Da hinter einer Tür eine Ziege und hinter der anderen der Gewinn
wartet, sollte somit die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide Türen mit 50% doch gleich
hoch sein. Treffen nun alle SchülerInnen diese Entscheidung, so fällt eine Diskussion
82
an der Stelle wahrscheinlich aus, wird aber spätestens unumgänglich sein, wenn in
weiterer Folge mit Experimenten die Annahme der „Nichtwechsler“ wiederlegt wird.
5.2.3
Simulationen ohne Technologieeinsatz
Der zweite Schritt: Haben die SchülerInnen nun eine Vermutung getroffen, so können
sie sich in weiterer Folge selbst überlegen, wie sie das Spiel am besten simulieren
könnten, um der Lösung des Problems näher zu kommen. Dabei bietet sich
offensichtlich ein Nachspielen der Situation an, was die SchülerInnen mit großer
Wahrscheinlichkeit instinktiv als erstes probieren werden (vgl. Klemisch, 1993, S.10).
Man kann den SchülerInnen hierbei natürlich auch einige Hinweise, bzw.
Anleitungsschritte vorgeben. Zum Beispiel, dass sie in Partnerarbeit die Situation
nachspielen sollen, dass dabei einer den Spieler und einer den Spielleiter simuliert und
dass sie separat (jeder für sich) ein Protokoll führen sollen.
Wollring (1992) dokumentiert in einem Bericht folgende Simulationsversuche von
StudentInnen mit geringen Vorkenntnissen zum Thema: Im ersten Durchgang haben
sie versucht, die Situation durch Rollenspiele nachzustellen. Dabei gab es paarweise je
einen Spieler und einen Spielleiter. Da sich jene
StudentInnen, die den Spieler
simulierten, bei den einzelnen Durchläufen zunächst ohne System für Wechseln oder
Nicht-Wechseln entschieden, gab es schließlich Probleme beim Auswerten der
Ergebnisse, woraufhin sie sich eine verbesserte Strategie überlegten. In einer zweiten
Simulationsrunde haben die StudentInnen zwei separate Versuchsreihen durchgeführt
(mit jeweils mehr Durchgängen), eine Serie in der nie gewechselt wurde und eine
weitere Serie mit Wechsel. Protokolliert wurde nun wie häufig in beiden Fällen ein
Gewinn eintrat. In einer dritten Simulationsrunde wurde ein weiteres Mal versucht die
Modellannahmen zu verbessern. Um das Erraten möglicher Strategien des Spielleiters
beim Setzen des Gewinns durch dessen Mimik und Verhalten zu umgehen, haben die
Studenten in weiterer Folge ein neutrales Zufallsgerät für das Setzen der Gewinn-Tür
und das Wählen einer Tür durch den Spieler verwendet, beispielsweise Lose oder
Würfel. Die paarweise durchgeführten Simulationen wurden schließlich in der Gruppe
zu einer gesamten Serie zusammengefasst. Vermutet wurde nach dieser Runde, dass
die Wahrscheinlichkeit bei Nicht-Wechseln bei rund einem Drittel liegen sollte und die
Gewinnchance für Wechseln wurde auf ½ geschätzt (dass für 𝑃(𝜔) = 1 gelten muss
war den Studenten zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt).
83
Auch bei einer von Klemisch (1992) durchgeführten Unterrichtssequenz mit
SchülerInnen der Sekundarstufe II wurde nach den ersten Versuchen die Situation
nachzuspielen schnell die Forderung nach unbeeinflussten Zufallsmechanismen laut.
Die SchülerInnen haben letztendlich sehr kreative Wege und Methoden gefunden,
immerhin auch mit Computerunterstützung, um zur Lösung des Problems zu gelangen.
In wie weit man die SchülerInnen eigenständig ohne Hinweise und Anleitungen
arbeiten lässt, kann die Lehrkraft selbst entscheiden. Es könnten den SchülerInnen
beispielsweise auch vorgefertigte Protokollbögen ausgeteilt werden (Arbeitsblatt:
Versuch zum Drei-Türen-Problem).
Abbildung 29: Ausschnitt aus dem Arbeitsblatt: Versuch zum Drei-Türen-Problem,
erstellt mit Word
Mit Hilfe eines solchen Bogens könnten zum Beispiel 30 Spiele simuliert werden,
indem der Spielleiter Kreuze für das „Auto“ setzt und der Spieler, natürlich ohne dass
er die Kreuze des Spielleiters sieht, zufällig eine „Tür“ ankreuzt (siehe 7. Anhang:
Arbeitsblatt 8). Die Kreuze können aber auch mit einem Zufallsgerät ermittelt werden.
Nimmt man beispielsweise einen Würfel, so kann man festlegen (aufgrund der
Symmetrieeigenschaft und der gegebenen Gleichwahrscheinlichkeit der möglichen
Ergebnisse {1,2,3,4,5,6}), dass bei 1 und 2 das erste Kästchen angekreuzt wird, bei 3
und 4 das Zweite und schließlich bei 5 und 6 das Dritte. Man könnte auch das Setzen
des Autos und das Wählen einer Tür mit dem Ziehen aus einer Urne simulieren. Die
SchülerInnen ziehen abwechselnd (zuerst der Spielleiter, dann der Spieler) Zettel aus
einer Urne, die beispielsweise mit L (links), M (Mitte) und R (Rechts), oder mit 1, 2 und
3 beschriftet sind.
Im Anschluss wird gemeinsam überlegt, in welchen Fällen (bei Wechsel oder
Nichtwechsel) der Spieler gewonnen, bzw. verloren hätte, wobei in den jeweiligen
Spalten auf dem Protokollbogen 1 für „Gewinn“ und 0 für „kein Gewinn“ eingetragen
wird. Abschließend sollen die Einser, also die Gewinne, bei „wechseln“ und
„nichtwechseln“ in jeder Spalte addiert werden. So können die SchülerInnen nun
untereinander vergleichen, welche Strategie für den Spieler günstiger erscheint.
84
Abbildung 30: Ausschnitt aus dem Arbeitsblatt: Versuch zum Drei-Türen-Problem,
erstellt mit Word
Beispiel: Ein von mir durchgeführter Versuch ergab, dass in 23 von 30 Spielen der
Spieler durch Wechseln gewann (rund 76,6%) und nur in 7 Spielen (23,3%) durch
Nicht-Wechseln.
5.2.4
Möglichkeiten zur Simulation mit Computerunterstützung
Bereits beim einfachen Nachspielen der Situation kann man mit Hilfe eines
Computerprogrammes die Aufgabe des Spielleiters durch ein zufallsgeneriertes
System ersetzen. So kann man unter anderem mit Excel die Situation konstruieren.
Man gibt zunächst in einem beliebigen Feld (zum Beispiel bei A2) den Befehl =
𝑍𝑈𝐹𝐴𝐿𝐿𝑆𝐵𝐸𝑅𝐸𝐼𝐶𝐻(1; 3) ein. Danach kann man sich drei Türen konstruieren, die
anzeigen, hinter welcher sich der Gewinn befindet. Indem man bei der ersten „Tür“ =
𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐴2 = 1; "𝐺𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛"; 0), bei der Zweiten = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐴2 = 2; "𝐺𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛"; 0) und bei
der dritten „Tür“ = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐴2 = 3; "𝐺𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛"; 0) eingibt, kann man dies visualisieren.
Das Feld mit „Gewinn“ kann eventuell mit einer bedingten Formatierung zusätzlich
hervor gehoben werden (Abbildung 31). Mit drücken der F9-Taste können so
zahlreiche Spieldurchgänge simuliert werden.
85
Abbildung 31: Simulation des Drei-Türen-Problems, erstellt mit Excel
Man kann aber auch gleich eine ganze Liste von verschiedenen Spieldurchgängen
erzeugen, wobei die zufällige Position des Gewinns angezeigt wird (Abbildung 32). In
der Spalte A (beginne bei A2) möchte man 50 Zufallszahlen zwischen 1 und 3
erzeugen (= 𝑍𝑈𝐹𝐴𝐿𝐿𝑆𝐵𝐸𝑅𝐸𝐼𝐶𝐻(1; 3)). Anschließend simuliert man in drei weiteren
Spalten die drei Türen mit den Befehlen = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐴2 = 1; 1; 0) in C2 (vorausgesetzt
Spalte B bleibt frei), = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐴2 = 2; 1; 0) in D2 und = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐴2 = 3; 1; 0) in E2. Es
wird nun mit 1 der Gewinn und mit 0 die Niete angezeigt, wobei auch hier zum
Hervorheben der Gewinn-Tür wieder eine bedingte Formatierung angewendet werden
kann. Die Ausgabe Tür 1, Tür 3, usw. in Abbildung 25 wurde in Spalte F mit dem
Befehl = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐶2 = 1; "𝑇ü𝑟 1"; 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐷2 = 1; "𝑇ü𝑟 2"; "𝑇ü𝑟 3")) erzeugt.
Abbildung 32: Simulation mehrerer Durchgänge des Drei-Türen-Problems, erstellt mit
Excel
In weiterer Folge kann man auf diese Weise nicht nur das Setzten des Autos, sondern
auch die Wahl des Spielers „zufällig“ simulieren. Man braucht hierzu nur die bereits
erstellte Tabelle kopieren, wobei die erste Tabelle den Gewinn anzeigt und die zweite
86
Tabelle die Wahl des Spielers. Die SchülerInnen können nun ermitteln wie oft der
Spieler
durch
Wechseln,
bzw.
Nicht-Wechseln
gewinnt
und
so
die
Gewinnwahrscheinlichkeiten abschätzen. In Abbildung 33 stehen „1“ und „0“ in den
Spalten O und P, für Gewinn (=1) und kein Gewinn (=0). Man erhält die Werte „1“ und
„0“ durch folgende Überlegung: Wenn der Spieler nicht wechselt, dann gewinnt er
genau dann, wenn er die „Gewinntür“ bereits zu Beginn gewählt hat. In der Spalte F
(Abbildung 32) stehen die Gewinnertüren und in Spalte M (Abbildung 33) die vom
Spieler gewählte Tür. Stimmen also M und F in einer Zeile überein, heißt das, dass der
Spieler die „richtige“ Tür gewählt hat und somit gewinnt, wenn er nicht wechselt. Also
wird in R2 folgender Befehl eingegeben: = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐹2 = 𝑀2; 1; 0). In Q2 dagegen
muss der Befehl genau umgekehrt lauten, = 𝑊𝐸𝑁𝑁(𝐹2 = 𝑀2; 0; 1), da der Spieler bei
Wechsel nicht gewinnt, wenn er von vorne herein die Gewinntür gewählt hatte. In zwei
weiteren Spalten (Q und R) kann man die Anzahl der Gewinne bis zur jeweiligen
Runde aufsummieren. Zum Schluss werden die jeweiligen Summen der Gewinne bei
Wechseln und bei Nicht-Wechseln miteinander verglichen (hier bei 50 Spielrunden)
und auch die prozentuellen Werte ermittelt. Diese geben schlussendlich die
Näherungswerte für die Gewinnwahrscheinlichkeiten an.
…
Abbildung 33: Möglichkeit einer Simulation mit Excel
87
Natürlich bietet sich auch eine grafische Darstellung zur Repräsentation der Simulation
an. Hierzu hat man verschiedene Möglichkeiten. In Abbildung 34 werden die Summen
der Gewinne bei Wechsel und Nicht-Wechsel in Abhängigkeit der gespielten Runden
dargestellt (in diesem Fall 50 Runden). Mit der F9-Taste ist es möglich auf sehr
schnellem Weg viele weitere Runden zu simulieren. Auch in den zugehörigen Grafiken
werden die Werte entsprechend mit geändert. Die von den SchülerInnen zu Beginn
angestellte Vermutung kann so wiederlegt, oder bestätigt werden. Abbildung 35 zeigt
eine weitere Möglichkeit zur visuellen Darstellung, wobei sich diese gut zur
Abschätzung des Verhältnisses der Gewinnwahrscheinlichkeiten eignet.
Abbildung 34: Mögliche grafische Darstellung einer Simulation, erstellt mit Excel
Abbildung 35: Grafische Darstellungen von Simulationen zum Drei-Türen-Problem,
erstellt mit Excel
Eine weitere, für SchülerInnen gut geeignete, Möglichkeit zur Simulation des Problems
bietet
die
folgende
Spiel-Simulation
im
88
Internet
(vgl.
Spiel-Simulation
zum
Ziegenproblem, 2012): Hierbei kann man zuerst wählen ob man selber spielen möchte,
oder einfach vom Computer zufallsgenerierte Spieldurchläufe ausführen lassen
möchte. Wählt man „selber spielen“ so erscheint die „Tür-Auswahl“.
Abbildung 36: Eine Spielsimulation im Internet,
http://www.userpages.de/ziegenproblem/
Der Spieler kann wählt eine Tür, worauf sich eine der beiden anderen Türen mit einer
Ziege (Z) öffnet. Hat man bei Einstellungen „Spielverlauf anzeigen: Ja“ angegeben,
wird nach der „Auswertung“ der gespielten Durchgänge der Spielverlauf genau
dokumentiert. Ich habe zufällig Tür 2 gewählt, danach wurde Tür 3 (mit einer Ziege)
geöffnet. Ich kann mich nun entscheiden ob ich bei meiner Wahl bleibe oder wechsle.
Durch wiederholtes Klicken auf Tür 2 habe ich mich entschlossen nicht zu wechseln
mit dem Ergebnis, dass ich keinen Gewinn erhalten habe, da sich dieser hinter Tür 1
verbarg. In der „Auswertung“ unter den abgebildeten Türen wird dokumentiert, bei wie
vielen Spielen (nicht) gewechselt wurde, wie viele Spiele insgesamt gemacht wurden
und wie oft der Spieler bei der jeweiligen Entscheidung gewonnen, bzw. verloren hat.
89
Abbildung 37: Simulation von 40 Durchläufen des Ziegenproblems
Ich habe 40 Spieldurchläufe simuliert, wobei ich 20-mal gewechselt habe und 20-mal
nicht die Tür wechselte. Folgende Auswertung lieferte diese Simulation (Abbildung 37):
Man kann erkennen, dass bei den 20 Spielen, bei denen die Türen gewechselt wurde,
in genau der Hälfte der Fälle ein Gewinn eintrat. Daraus ist noch nicht wirklich gut
ersichtlich, dass das Wechseln der Tür eigentlich in 2/3 der Spiele gewinnbringend ist.
Erkennbar ist jedoch die Tendenz zum Verlieren beim Nicht-Wechseln. Bei 20
Durchläufen trat immerhin 16-mal kein Gewinn auf. Die Vermutung wird in diesem Fall
gestärkt, dass es durchaus sinnvoll sein muss die Tür zu wechseln.
Zu Beginn des Abschnitts 5.2.2 Einführung und Anwendungen in der Schule habe ich
drei Schritte angeführt, welche beim Erarbeiten des Beispiels der Reihe nach von den
SchülerInnen durchgeführt werden können. In Schritt 1 sollen sie lediglich eine
Vermutung äußern und versuchen diese in irgendeiner Weise zu begründen.
Möglichkeiten für Simulationen und Experimente, die die Lernenden nach und nach
näher zur Lösung führen sollen (Schritt 2) wurden zuletzt beschrieben. Es fehlen
Erläuterungen von Schritt 3, der tatsächlichen Berechnung des Problems.
5.2.5
In
Zur Berechnung der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit
diesem
Absatz
soll
geklärt
werden,
wie
man
die
Berechnung
der
Gewinnwahrscheinlichkeiten bei Wechsel und Nicht-Wechsel durchführt. Eine relativ
90
einfach zu verstehende Überlegung zeigt schnell, dass man beim „Wechseln“ in 2/3
der Fälle gewinnen wird, also mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 66%.
Bei der Wahl der Tür des Kandidaten ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich 1/3. Die
Restwahrscheinlichkeit von 2/3 ist auf die beiden verbleibenden Türen aufgeteilt. Wird
nun eine dieser beiden Türen vom Moderator geöffnet, so konzentriert sich die
restliche Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 auf die eine, noch verbleibende Tür.
Ein anderer Denkansatz beschäftigt sich mit den möglichen Konstellationen die man
mit einem Auto (A) und zwei Ziegen (Z) erzeugen kann. Diese sind gegeben durch
ZZA, ZAZ und AZZ (Abbildung 38). Angenommen der Spieler wählt die Tür mit dem
Gewinn. In diesem Fall verliert er sicher, wenn er die Tür wechselt. O.b.d.A. geben wir
den beiden Ziegen die Nummern 1 und 2. Hat sich der Spieler für jene Tür entschieden
hinter der Ziege Nummer 1 steht, so wird der Moderator die Tür mit der 2.Ziege öffnen
und der Spieler wird bei Wechsel gewinnen. Auch im Falle, dass sich der Spieler ohne
sein Wissen für die 2. Ziege entschieden hat, würde der Spieler durch einen Wechsel
der Tür gewinnen, da der Moderator ihm die Tür mit der 1. Ziege geöffnet hat. Bei zwei
von drei möglichen (gleichwahrscheinlichen) Spielabläufen, würde der Spieler also
2
3
durch wechseln der Tür gewinnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit liegt also bei . Diese
Überlegung geht auf die Laplace-Annahme zurück, bei der die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses durch den Quotienten
𝐺ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝐹ä𝑙𝑙𝑒
𝑀ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒 𝐹ä𝑙𝑙𝑒
91
berechnet wird.
Abbildung 38: Mögliche Konstellationen beim Ziegenproblem,
Atmaca & Krauss, 2001, S. 18
Eine Möglichkeit SchülerInnen zur Lösung des Problems zu führen wird in Arbeitsblatt
10: Das Drei-Türen-Problem – Ein möglicher Weg zur Lösung beschrieben (siehe 7.
Anhang). Die SchülerInnen sollen in einer Tabelle alle möglichen Spielabläufe
beschreiben, unter der Voraussetzung, dass der Spieler die Tür wechselt.
Anschließend sollen sie sich überlegen, in wie vielen Fällen die Entscheidung richtig
ist, also zum Gewinn führt, bzw. falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit für „Gewinn bei
6
2
Wechsel“ sollte mit Hilfe dieses Arbeitsblattes mit 9, also 3, abgeschätzt werden
können.
5.2.6
Arbeitsblätter
In dem folgenden Abschnitt habe ich einige Materialien für den Unterricht
zusammengestellt. Das Arbeitsblatt 7: Das Drei-Türen-Problem ist als Einstieg zum
Thema gedacht. Das Spiel wird erklärt und die SchülerInnen sind angehalten ihre
Vermutung erst intuitiv und spontan zu äußern. Anschließend sollen sie versuchen
diese (eventuell in einer Gruppendiskussion) zu begründen, bevor die SchülerInnen
92
aktiv an die Erarbeitung mit Versuchen und Simulationen herangehen sollen
(Arbeitsblatt 9). Dazu werden sie angeregt, die Situation durch nachspielen zu
simulieren, die Ergebnisse zu protokollieren und anschließend auszuwerten. Hierzu
kann Arbeitsblatt 8: Protokoll zum Drei-Türen-Problem hilfreich sein. In der
vorgefertigten
Liste
können
(gegebenenfalls
auch
mit
Hilfe
von
neutralen
Zufallsgeräten) zufällige Kreuze gemacht werden für die Tür mit dem Gewinn und für
die Wahl des Spielers. Danach sollen sich die SchülerInnen eintragen, ob der Spieler
bei Wechsel oder bei Nicht-Wechsel gewonnen hat. Mit einem solchen Protokollbogen
können 30 Spielrunden simuliert werden (z.B. in Partnerarbeit), wobei anschließend die
Ergebnisse
der
gesamten
Klasse
zu
einem
Näherungswert
für
die
Gewinnwahrscheinlichkeiten zusammengefasst werden könnten. Eine Hilfestellung zur
Lösung des Problems gibt Arbeitsblatt 10: Das Drei-Türen-Problem – Ein möglicher
Lösungsweg. Die SchülerInnen können in einer Tabelle alle möglichen Spielabläufe bei
Wechsel eintragen, wobei sie unterscheiden müssen, in welchen Fällen die
Entscheidung zu wechseln richtig, bzw. falsch war. Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei
Wechsel kann so mittels
𝐺ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝐹ä𝑙𝑙𝑒
𝑀ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒 𝐹ä𝑙𝑙𝑒
berechnet werden (die Bezeichnung „Laplace-
Wahrscheinlichkeit“ muss zu diesem Zeitpunkt noch nicht eingeführt werden).
93
5.3 Das Frauenversteher-Spiel
Nach
den
beiden
vorangegangenen,
sehr
berühmten
Paradoxa
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Das Geburtstagsparadoxon; Das Monty-Hall-Problem),
ist
das sogenannte „Frauenversteher-Spiel“ ein
weniger
bekanntes Beispiel,
wenngleich nicht weniger interessant. Es handelt sich dabei nicht um ein Paradoxon,
vielmehr geht es um ein Problem, das der Spieltheorie zugeordnet werden kann. Bevor
eine genauere Beschreibung der Situation folgt, möchte ich kurz erläutern, was man
unter Spieltheorie versteht. Da ich nur einen kleinen Einblick geben möchte, werden
dabei einige Fachbegriffe erwähnt, auf die nicht näher eingegangen wird. Allerdings
sind in diesen Fällen Quellenangaben zum Nachlesen hinzugefügt.
5.3.1
Kurze Erklärung zur Spieltheorie
Definition:
„Die Spieltheorie ist eine mathematische Methode, die das rationale
Entscheidungsverhalten in sozialen Konfliktsituationen ableitet, in denen
der Erfolg des Einzelnen nicht nur vom eigenen Handeln, sondern auch
von den Aktionen anderer abhängt. Der Begriff „Spieltheorie” beruht
darauf,
dass
am
Gesellschaftsspielen
Anfang
wie
der
mathematischen
Schach,
Mühle,
Spieltheorie
Dame
etc.
den
große
Aufmerksamkeit gewidmet wurde.“ (Gabler Wirtschaftslexikon, 2012a)
Die Spieltheorie ist ein Wissenschaftsgebiet, welches in seinen Anfängen mitunter von
Bernoulli, Bertrand, Cournot und Edgeworth behandelt wurde. Der Grundstein jedoch
wurde von John von Neumann 1928 gelegt. Seit 1944, dem Jahr der Erscheinung des
Buches „Games and Economic Behavior“ von Neumann und Oskar Morgenstern, hat
sich diese mathematische Disziplin stetig weiter entwickelt. Anzumerken ist, dass es
sich hierbei nicht um die Untersuchung von „Spielen“ im eigentlichen Sinn handelt, die
behandelten Situationen werden lediglich als „Spiele“ simuliert. So sind beispielsweise
beim „Cournot-Duopol“11 die Spieler Firmen und ihre jeweilige Handlungsoptionen sind
ihre Angebotsmengen (vgl. Wikipedia, 2012). Man unterscheidet zwischen der nichtkooperativen Spieltheorie und der kooperativen Spieltheorie, wobei bei letzterer den
Spielern keine Strategie oder Anwendung zur Verfügung steht, wodurch Vorteile erzielt
11
Ein bekanntes Problem aus dem Bereich der Wirtschaftswissenschaften, bzw. der Spieltheorie; u.a.
nachzulesen unter: http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/
kuhlenschmidt/cournot.htm (2012-08-07) oder www.wikipedia.com
94
werden können. Wissenschaftliche Anwendung findet die Spieltheorie vor allem im
Operations-Research12, in den Wirtschaftswissenschaften, Rechtswissenschaften, in
der Politikwissenschaft, in der Soziologie, in der Psychologie, in der Informatik und seit
den 1980ern auch in der Biologie (vgl. Wikipedia, 2012). Im Prinzip ist es Aufgabe
dieser Disziplin, Strategien zu entwickeln, z.B. um bessere Gewinne zu erwirtschaften,
möglichst optimale wirtschaftspolitische Entscheidungen zu treffen, etc…
Zur Beschreibung eines „Spiels“ wird eine Auszahlungsfunktion bestimmt, die jedem
Spielausgang einen Auszahlungsvektor zuordnet, wodurch festgelegt wird, wie viel ein
Spieler bei einem bestimmten Spielausgang gewinnt. Ein Beispiel für ein Modell der
Spieltheorie ist das sogenannte Null-Summen-Spiel, das dadurch charakterisiert ist,
dass ein Spieler genauso viel gewinnt wie der jeweilige Gegenspieler verliert. Der
dadurch entstehende Interessenskonflikt bedingt, dass eine Kooperation zwischen den
Spielern ausgeschlossen wird. Der Nachteil besteht darin, dass die Theorie von NullSummen-Spielen nicht sehr gut auf ökonomische Situationen anwendbar ist, da die
Annahme (gleicher Gewinn wie Verlust) viel zu speziell ist (vgl. Berninghaus et al.,
2006). Eines der wohl bekanntesten Konzepte der Spieltheorie ist das NashGleichgewicht13, welches ich im Zuge dieser Arbeit nicht näher erläutern werde.
5.3.2
Beschreibung des Spiels
Das Spiel
Von 1995 bis 1997 lief auf dem amerikanischen Musiksender MTV einen Dating-Show,
das „Singled Out Game“. In dieser Sendung kämpften 50 Männer um die Gunst einer
Frau. Von Runde zu Runde schieden immer wieder Kandidaten aus, bis schlussendlich
nur noch drei Kandidaten übrig blieben. Die Moderatorin stellte nun der Frau
verschiedene Fragen, die sie nur mit „Ja“ oder „Nein“ beantworten konnte. Bevor sie
aber ihre Antwort preisgab, mussten die drei Männer nacheinander ihre Vermutung
über die Antwort der Frau äußern. Wer richtig lag, bekam einen Punkt, andernfalls
gingen die Kandidaten leer aus. Gewonnen hatte letztendlich derjenige, der als erster 5
Punkte erreichte (vgl. Pöppe, 2005).
Vereinfachte Annahme und Fragestellung
Bei der Bearbeitung des Problems beschränken wir uns der Einfachheit halber auf zwei
Kandidaten, A und B. Es stellt sich die Frage, ob einer der beiden Kandidaten
„Die Zielsetzung des OR ist die Entwicklung und der Einsatz von mathematischen Verfahren zur
Unterstützung von Entscheidungsprozessen.“ (Gabler Wirtschaftslexikon, 2012b)
13 „Im Nash-Gleichgewicht verhalten sich alle Spieler (Wirtschaftssubjekte) optimal bei gegebenen
Aktionen der anderen Spieler.“ (Gabler Wirtschaftslexikon, 2012c)
12
95
möglicherweise einen Vorteil gegenüber dem anderen hat, bzw. ob es eine Strategie
gibt, die einem der beiden einen entscheidenden Vorteil verschaffen kann und somit
dessen Gewinnwahrscheinlichkeit gesteigert wird. Die Antwort ist Ja, aber wer hat nun
einen Vorteil und warum?
Geht man davon aus, dass A beginnt, so kann man den Ablauf beim Beantworten einer
Frage wie folgt beschreiben: A bleibt nichts anderes übrig als zu raten, wobei B drei
Möglichkeiten hat. Entweder er kopiert A, was irgendwann zum Gleichstand führt (dann
entscheidet das Los), er sagt immer das Gegenteil, oder er wählt seine Antwort
ebenfalls zufällig. In allen Fällen ist auch seine Gewinnchance lediglich 50%.
Die Strategie
B kann tatsächlich durch eine bestimmte strategische Vorgehensweise seine
Gewinnwahrscheinlichkeit steigern. Die Strategie, welche ihm den entscheidenden
Vorteil gegenüber A verschafft, stützt sich darauf, dass B die Antwort von A kennt.
Wenn er ihm nun permanent widerspricht, solange bis er im Laufe des Spieles zufällig
einmal einen Vorsprung von einem Punkt erreicht, kann er ab diesem Zeitpunkt die
Antworten von A einfach kopieren. Somit erreicht er mit Sicherheit als Erster fünf
Punkte und gewinnt.
5.3.3
Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit
Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit, dass B nach n-Fragen einen Punkt vor A liegt.
Abbildung 39 zeigt ein Gitter, in dem jeder Koordinatenpunkt für einen bestimmten
Spielstand steht. Z.B. bedeutet der Punkt (2|3), dass A zwei Punkte hat und B drei. Ein
Pfeil in x-Richtung bedeutet einen Punkt für A, ein Schritt in y-Richtung ein Punkt für B.
Die Pfeile stellen also dar, wer von den beiden Spielern einen Punkt macht, wobei die
Wahrscheinlichkeiten für A macht einen Punkt, bzw. B macht einen Punkt, jeweils mit
1
2
gegeben sind. Die roten Punkte sind jene, bei denen Spieler B um einen Punkt voraus
ist, womit er schließlich (mit seiner Strategie) mit Sicherheit gewinnen wird. Die
Spielstände (A:B) lauten zu diesen Zeitpunkten 0:1, 1:2, 2:3, 3:4 oder 4:5 wobei B
schließlich mit 0:5, 1:5, 2:5, 3:5 oder 4:5 gewinnen würde. Die Diagonale (blau
gepunktet) bedeutet Gleichstand. Für die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit
für B muss man nun alle möglichen Wege in diesem Gitterraster in Betracht ziehen, die
zu den jeweiligen roten Punkten führen. Beachten muss man dabei, dass man entlang
eines solchen Weges (vor dem zu erreichenden roten Punkt) zuvor noch keine
anderen roten Punkte durchlaufen darf.
96
Abbildung 39: (Einziger) möglicher Weg zum Punkt (1 | 2)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von
1
2
erreicht B bereits bei der ersten Frage einen Punkt
Vorsprung und gewinnt. Der zweite rote Punkt (bei (1|2)) in Abbildung 39 bedeutet
einen Punkt Vorsprung nach der dritten Frage. Dies erreicht B schließlich auf dem
„blauen Weg“, das heißt er beantwortet die erste Frage falsch, die zweite und die dritte
jedoch richtig. Dies tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
1 1 1
∙ ∙
2 2 2
1
= 8 ein. Zum dritten
roten Punkt gelangt B nach 5 Fragen auf zwei verschiedenen Wegen. Mit der
Antwortreihenfolge F-F-R-R-R und F-R-F-R-R (wobei F für falsche Antwort und R für
richtige Antwort steht) erreicht er so einen Punkt Vorsprung. In Abbildung 40 sind die
beiden Wege grün markiert. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich also mit
1 1 1 1 1
∙ ∙ ∙ ∙
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
+ ∙ ∙ ∙ ∙ =
1
32
+
1
32
=2∙
1
.
32
Abbildung 40: Mögliche Wege zu (2,3)
97
Da man zum vierten roten Punkt mit 7 Fragen und auf 5 verschiedenen Wegen kommt,
1 7
kann man die Wahrscheinlichkeit mit 5 ∙ (2) berechnen. Vielleicht etwas schwieriger
abzuzählen sind die möglichen Wege, die zum 5. roten Punkt führen. Es sind 14
1 9
Möglichkeiten und jeder Weg hat die Wahrscheinlichkeit (2)
bei neun gestellten
Fragen. In Summe ergibt sich Folgendes:
Kandidat B kann bei der 1., der 3., der 5., der 7., oder der 9. Frage zum ersten Mal
einen Punkt voraus sein, wenn man bedenkt, dass maximal 5 Punkte erreicht werden
können. Die Wahrscheinlichkeit, dass B im Laufe des Spiels einen Punkt Vorsprung
erreicht, ergibt sich aus der Summe Wahrscheinlichkeiten für die Spielstände 0:1, 1:2,
2:3, 3:4 und 4:5:
𝐵1 … 1 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 1. 𝐹𝑟𝑎𝑔𝑒 − 𝑒𝑖𝑛 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑓ü𝑟 𝐵
𝐵3 … 1 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 3. 𝐹𝑟𝑎𝑔𝑒 − 𝑧𝑤𝑒𝑖 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑓ü𝑟 𝐵
𝐵5 … 1 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 5. 𝐹𝑟𝑎𝑔𝑒 − 𝑑𝑟𝑒𝑖 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑓ü𝑟 𝐵
𝐵7 … 1 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 7. 𝐹𝑟𝑎𝑔𝑒 − 𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑓ü𝑟 𝐵
𝐵9 … 1 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 9. 𝐹𝑟𝑎𝑔𝑒 − 𝑓ü𝑛𝑓 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑓ü𝑟 𝐵
𝑃(𝐵 𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛𝑡) = 𝑃(𝐵1 ) + 𝑃(𝐵3 ) + 𝑃(𝐵5 ) + 𝑃(𝐵7 ) + 𝑃(𝐵9 )
1
1 3
1 5
1 7
1 9 193
= + ( ) + 2 ∙ ( ) + 5 ∙ ( ) + 14 ∙ ( ) =
≈ 0,7539 …
2
2
2
2
2
256
Tatsächlich erreicht Kandidat B mit seiner Strategie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von
rund 75,4%. Demnach ist
193
𝑃(𝐴 𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛𝑡) = 1 − 𝑃(𝐵 𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛𝑡) = 1 − 256 ≈ 0,246 … also rund 24,6%.
Eine kurze Anmerkung zum Spiel mit drei Kandidaten A, B und C:
Wäre nun ein weiterer dritter Kandidat C im Spiel, so kann man nachweisen, dass
dieser den größten Vorteil hat, da er beide Antworten seiner Kollegen kennt. Dieser ist
jedoch nur sehr gering und auch nur unter bestimmten Umständen realisierbar.
Prinzipiell kann man zeigen, dass auch jener Kandidat mit der Minderheitsmeinung
einen Vorteil hat. Während dieser durch richtiges Beantworten einer Frage einen Punkt
Vorsprung gegenüber seinen beiden Konkurrenten erreicht, müssen diese immer noch
gegeneinander kämpfen. Für Kandidat B ist es (unabhängig von der Antwort von C)
immer von Vorteil A zu wiedersprechen, C wiederum sollte A zustimmen. Um die
Gewinnwahrscheinlichkeiten zu ermitteln, müssen die verschiedenen Möglichkeiten
98
von einem Computer ausgezählt werden. Da die Aufgabe somit durchaus komplexer
wird, werde ich im Rahmen dieser Arbeit nicht näher darauf eingehen (vgl. Pöppe,
2005).
5.3.4
Anwendungen in der Schule
Anbieten würde sich die Behandlung des Beispiels in höheren Schulen mit
wirtschaftlichem Schwerpunkt, in Handelsakademien oder auch im WPG Mathematik.
Auch eine Fächerübergreifende Auseinandersetzung, beispielsweise eine Projektarbeit
in den Fächern
Mathematik und Wirtschaftskunde, könnte ich mir in diesem
Zusammenhang durchaus gut vorstellen. Immerhin handelt es sich um ein Beispiel der
Spieltheorie, welche gerade für die Wirtschaftswissenschaften von Bedeutung ist. Des
Weiteren kann man anhand dieses Beispiels zusätzlich erklären was ein sogenannter
Random-Walk (Irrfahrt), als Beispiel eines stochastischen Prozesses, ist (siehe 5.3.6
Weiterführung und Ausblick). Prinzipiell ist es sinnvoll, wenn den SchülerInnen bewusst
gemacht wird, dass es in vielen Situationen bestimmte Strategien gibt, die zur
Gewinnsteigerung beitragen. Gerade auch im Wirtschaftssektor ist dies der Fall und es
ist daher wichtig, solche Strategien zu entwickeln und zu erforschen.
Naheliegend ist natürlich, dass man die SchülerInnen das Frauenversteher-Spiel
zuerst durch Nachspielen selbst simulieren lässt, ganz ohne Strategie. Dies kann auf
verschiedene Art und Weise geschehen, beispielsweise als Rollenspiel vor der Klasse.
Man wählt drei freiwillige SchülerInnen, die die Rollen der befragten Frau und der zwei
Kandidaten übernehmen. Der Moderator kann vom Lehrer oder der Lehrerin gespielt
werden. Dieser oder diese kann sich hierzu gegebenenfalls wirklich adäquate Fragen
überlegen. Eine andere Möglichkeit wäre, dass jene Schülerin, die die Frau spielt,
zuerst „Ja“ oder „Nein“ versteckt auf die Tafel schreibt, bevor die beiden Kandidaten
antworten.
Das Spiel kann aber auch von allen SchülerInnen gleichzeitig simuliert werden, jeweils
in dreier, oder vierer Gruppen (falls der Moderator auch gespielt wird). Der
Arbeitsauftrag lautet, sie sollen das Spiel 5-mal durchspielen und die Spielverläufe
dokumentieren (siehe 7. Anhang: Arbeitsblatt 11). Wichtig ist der Hinweis, dass bei den
beiden Kandidaten, die die Antwort erraten müssen, immer derselbe beginnen muss.
Die Antworten der „Frau“ können gegebenenfalls auch mit einem Zufallsgenerator
erzeugt werden.
In GeoGebra kann man zu diesem Zweck eine Liste mit den Elementen „Ja“ und „Nein“
erstellen (𝐿𝑖𝑠𝑡𝑒1 = {“𝐽𝑎“, “𝑁𝑒𝑖𝑛“}) und anschließend in der Tabellenansicht mit =
99
𝑍𝑢𝑓ä𝑙𝑙𝑖𝑔𝑒𝑠𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡[ 𝐿𝑖𝑠𝑡𝑒1 ] eine Liste mit zufälligen Antworten erzeugen. Bei diesen
Simulationen sollen sich die Lernenden überlegen, ob beide Kandidaten die gleiche
Gewinnchance haben, oder ob vielleicht doch ein Kandidat einen Vorteil hat. Im besten
Fall kommen die SchülerInnen selbst zur Erkenntnis, dass sobald der 2. Spieler vor
dem 1. Spieler liegt, er diesen nur mehr kopieren muss, um sicher zu gewinnen. Dies
kann gegebenenfalls in einer anschließenden Gruppendiskussion besprochen werden.
Hat man somit gemeinsam mit den SchülerInnen die Strategie erarbeitet, so könnte
man erst Vermutungen anstellen, um wie viel sich die Gewinnchance von B durch die
besagte Strategie verbessert, bzw. wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist. Diese
Annahmen könnten anschließend in weiteren Versuchen überprüft werden. So könnten
die SchülerInnen erneut 5-mal das Spiel durchlaufen, diesmal mit Strategie und ihre
Ergebnisse hinterher in der Klasse vergleichen.
Eine weitere Möglichkeit zur Überprüfung der vermuteten Gewinnwahrscheinlichkeit ist
eine Simulation mit Computerunterstützung, z.B. mit GeoGebra oder Excel. Ob man
das Erstellen der Spielsituation gemeinsam mit den SchülerInnen erarbeitet, kann die
Lehrperson entscheiden. Gegebenenfalls kann auch eine vorgefertigte Datei den
SchülerInnen vorgelegt werden, diese führen lediglich Simulationen (mit F9) durch und
notieren sich dabei wer gewinnt (A oder B). Daraus können sich die Lernenden bei
einer großen Anzahl an Spieldurchläufen (z.B. 100) die Gewinnwahrscheinlichkeiten
für A und B über relative Häufigkeiten berechnen.
5.3.5
Simulation mit GeoGebra
Man
simuliert
das
Beispiel
am
besten
zweidimensional.
Die
Punkte
im
Koordinatensystem geben den jeweiligen Spielsand an, wobei in Richtung der x-Achse
die Punkte für A und in Richtung der y-Achse die Punkte für B eingetragen werden. So
bedeutet der Punkt (3 | 4), dass A drei Punkte hat und B vier. Man muss also alle
Punkte im Quadrat von (0 | 0) bis (5 | 5) erzeugen (insgesamt 6 ∙ 6 also 36 Punkte),
was sich einfach über die Tabellenansicht realisieren lässt (Abbildung 36: Spalte A und
B). Der Vektor (10) bedeutet, dass A einen Punkt macht, (01) bedeutet, dass B einen
Punkt bekommt. In der diagonalen Linie befinden sich genau jene Spielstände, wo
Gleichstand herrscht. Der Bereich unter der Diagonale bedeuten, dass A führt,
wogegen das dreieckige Feld oberhalb der Diagonale ein Vorsprung für B anzeigt. Man
möchte nun einen „Weg“ ausgehend von (0 | 0) simulieren, womit ein zufälliger
Spielverlauf beschrieben wird (Abbildung 41).
100
Abbildung 41: Das Frauenversteher-Spiel - Simulation eines zufälligen Spielverlaufs
Dazu habe ich zuerst eine Liste mit den Elementen {(0 , 1), (1 , 0)} erstellt (Befehl:
𝐿𝑖𝑠𝑡𝑒1 = {(0,1), (1,0)}). Folglich habe ich in der Tabellenansicht eine Spalte mit
zufälligen Elementen aus Liste1 erstellt. Diese gibt an, welcher Kandidat der Reihe
nach einen Punkt gemacht hat, in Abbildung 42 ist dies Spalte C. In einer weiteren
Spalte (D) werden die Punkte der Reihe nach addiert. In D2 steht somit die Summe
von C1 und C2. In D3 soll die Summe von D2 und C3 stehen, usw… Die Spalte D
repräsentiert also den Weg des Spielverlaufes. Um die einzelnen Schritte mit Vektoren
darzustellen, gibt man in einer weiteren Spalte (E) mit dem Befehl Vektor[
<Anfangspunkt>, <Endpunkt> ] die einzelnen Verbindungsvektoren ein.
101
Abbildung 42: Tabelle für eine Simulation des Frauenversteher-Spiels
Maximal wird in 10 Schritten der Punkt (5 | 5) erreicht, jedoch kann das Spiel bereits
nach 5 Schritten zu Ende sein, nämlich dann, wenn ein Spieler immer die richtige
Antwort gibt. Mit einigen zusätzlichen Eingaben kann man erreichen, dass die Vektoren
(vom 6. bis zum 10.) nur dann angezeigt werden, falls die beiden Koordinaten der
Punkte die erreicht werden, nicht größer als 5 sind. Dies funktioniert, indem man bei
Eigenschaften – Erweitert im Feld Bedingung, um Objekt anzuzeigen angibt, dass der
Vektor nur gezeigt werden soll, falls die x-Koordinate und die y-Koordinate des
vorherigen Punktes kleiner sind als 5.
Interessant im Verlauf eines solchen Weges ist nun, wenn das erste Mal ein Punkt
erreicht wird, wo B einen Vorsprung erlangt. Das sind die Spielstände 0:1, 1:2, 2:3, 3:4
oder 4:5. In Abbildung 34 sind diese verstärkt hervorgehoben. Diese Simulation kann
eventuell auch von der Lehrperson vorgefertigt werden. Die SchülerInnen können
somit (mit F9) z.B. 100 Spieldurchläufe erzeugen und dabei beobachten, ob einer der
Punkte (0 | 1), (1 | 2), (2 | 3), (3 | 4) oder (4 | 5) erreicht wurde, was bedingt durch die
Strategie, Sieg für B bedeutet. In meinen Versuch von 100 Durchgängen habe ich 28
Siege für A und 72 Siege für B erhalten, was einen Näherungswert der
Gewinnwahrscheinlichkeit für B von 72% ergibt.
Um mit den Lernenden die Berechnung der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit
herzuleiten, müssen sie erst begreifen, in welchen Fällen B gewinnt (genau dann,
102
wenn der Weg des Spielverlaufes einen der Punkte (0 | 1), (1 | 2), (2 | 3), (3 | 4) oder
(4 | 5) berührt). Man muss also alle Wege die zu diesen Punkten führen ermitteln, ihre
Wahrscheinlichkeit bestimmen und diese anschließend addieren. Hierzu habe ich ein
Arbeitsblatt erstellt (siehe 7. Anhang: Arbeitsblatt 13), womit die SchülerInnen die
Anzahl der möglichen Wege zu den jeweiligen Punkten leichter ermitteln können. Bleibt
nur noch die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wege und deren
Aufsummierung.
5.3.6
Weiterführung und Ausblick
Im Anschluss an die Bearbeitung dieses Beispiels könnte man noch weitere
Definitionen in diesem Zusammenhang einführen, oder zumindest kurz erwähnen. Zum
Beispiel der Begriff „Random-Walk“ als Anwendung eines Stochastischen Prozesses,
welcher besonders wegen seinem anwendungstheoretischen Charakter in vielen
Wissenschaftsgebieten erwähnenswert ist.
Ein stochastischer Prozess ist im Prinzip eine Folge von Zufallsvariablen 𝑋𝑡 , wobei
jedem Zeitpunkt 𝑡 eine Zufallsvariable zugeordnet wird (vgl. Schlittgen & Streitberg,
2001). Bei einem Random-Walk handelt es sich um eine sogenannte Irrfahrt, eine
Zufallsbewegung mit der wesentlichen Eigenschaft, dass die einzelnen Schritte zwar
abhängig von der vorherigen Position sind, jedoch unabhängig von den vorherigen
Schritten verlaufen. Das bedeutet, dass zuvor bereits belegte „Plätze“ nochmals belegt
werden können und die Wege sich immer wieder kreuzen können. Eine sehr einfache
Vorstellung beschreibt einen Random Walk: Man startet bei einem beliebigen
Anfangspunkt x0 und geht in eine beliebige Richtung mit einer zufälligen
Schrittweite dx. Die Frage, die sich anschließend stellt ist, wie weit man nach 𝑛
Schritten kommt (vgl. Sutmann, 2012). Sehr häufig angewandt werden Random-Walks
in der Physik, z.B. bei der Diffusion von Partikeln in Flüssigkeiten und Festkörpern oder
bei
der
Modellierung
von
chemischen
Reaktionen.
Aber
auch in
anderen
Wissenschaftsgebieten, z.B. in der Biologie (DNA-Sequenzen, Genetische Evolution)
oder der Finanzmathematik (zur Modellierung von Finanzkursen), etc…, kommen
Random Walks zur Anwendung. Unter bestimmten gegebenen Voraussetzungen (z.B.
dass der Ausgangspunkt in unserem Fall bei (0 | 0) vorgegeben ist, die Bewegung nur
in zwei Richtungen verlaufen kann, nämlich nach oben und nach rechts und die
einzelnen Schritte die gleiche Länge haben) handelt es sich bei der Simulation des
Frauenversteher-Spiels genau um eine solche Zufallsbewegung.
103
Simulieren lassen sich derartige Irrfahrten allgemein auch mit den Programmen
GeoGebra und Excel, was sich durchaus auch für den schulischen Gebrauch in
höheren Schulstufen (eventuell im Zuge von Projektarbeiten oder fächerübergreifend)
eignet. Abbildung 43 zeigt eine Simulation einer Zufallsbewegung mit GeoGebra.
Dabei wurden die möglichen Richtungen mit (0,1), (1,0), (-1,0) und (0,-1) eingegeben
und diese anschließend 100-mal zufällig hintereinander ausgeführt (Spalte B). Mit
Strecke[ <Punkt>, <Punkt> ] wurden die jeweiligen Positionen miteinander verbunden
(Spalte C).
Abbildung 43: Random Walk, erstellt mit GeoGebra
Eine Simulation in Excel kann wie folgt aussehen (Abbildung 44): In den Spalten A und
B werden Zufallszahlen aus {−1, 0, 1} eingegeben. (𝐴1 | 𝐵1) beschreibt also die
Richtung der ersten Bewegung. In diesem Beispiel sind neben den vier Bewegungen
Oben – Unten – Links – Rechts auch die vier Kombinationen (1,1), (-1,1), (1,-1) und (1,-1), in diagonaler Richtung möglich. In zwei weiteren Spalten kann man die einzelnen
Bewegungen aufsummieren und so die Positionen der Zufallsbewegung nach dem 𝑛 −
𝑡𝑒𝑛 Schritt angeben. Diese kann man schließlich in eine Grafik übertragen.
104
Abbildung 44: Random Walk, erstellt mit Excel
5.3.7
Arbeitsblätter und Spielvorlage
Die zum Frauenversteher-Spiel zusammengestellten Arbeitsblätter, die sich im Anhang
befinden, dienen zum einen zur Simulation des Spiels und zum anderen zur Herleitung
der Berechnungsvorschrift. Beim Arbeitsblatt 11: Protokoll zum Frauenversteher-Spiel
können
die
SchülerInnen
dokumentieren,
wie
ihre
Simulationen
(ohne
Computereinsatz) verlaufen sind. Dazu sind fünf Tabellen gegeben, in denen die
Spielstände eingetragen werden können. Zusätzlich kann auch das zweite Arbeitsblatt:
Spielvorlage zum Frauenversteher-Spiel verwendet werden. Man benötigt für dieses
Spiel zwei Kegel, die auf den Feldern positioniert werden und je nach Punktestand ein
Feld weiter rücken können. Außerdem ist in der Spielanleitung von einer vorgefertigten
Liste mit Zufallsantworten („Ja“, „Nein“) die Rede. Diese kann von der Lehrperson
erstellt und ausgeteilt werden, oder die SchülerInnen erstellen sich selbst eine solche
Liste.
Arbeitsblatt 13: Das Frauenversteher-Spiel – Herleitung
der Berechnungsvorschrift
besteht aus zwei Teilen. Auf der ersten Seite sollen die SchülerInnen ermitteln wie
viele Wege es zu den, für Kandidat B „günstigen“, Punkten gibt (die Sieg für B
bedeuten). Dazu habe ich das quadratische Raster aller möglichen Spielstände
vorgegeben und die SchülerInnen sollen jeweils die möglichen Wege einzeichnen. Das
soll das abzählen der Möglichkeiten erleichtern. Auf der zweiten Seite sollen die
jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wege ermittelt werden, bevor die
endgültige Gewinnwahrscheinlichkeit für B, über die Summe der Wahrscheinlichkeiten
aller günstigen Wege addiert wird.
105
Von einer, für SchülerInnen geeigneten, Anleitung zur selbstständigen Erarbeitung
einer Simulation des Spiels mit GeoGebra habe ich abgesehen, da ich der Meinung
bin, dass dies die Lernenden überfordert. Ich denke, dass es möglicherweise sinnvoller
ist, die Bearbeitung mit GeoGebra gemeinsam mit den SchülerInnen auszuarbeiten.
106
6. Zusammenfassung und Ausblick
Während dem Schreiben dieser Arbeit und dem Entwickeln der Unterrichtsmaterialien,
ist
mir
deutlich
Bewusst
geworden,
dass
die
Thematik
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung oft sehr schwierig und kompliziert sein kann.
Umso wichtiger erscheint es, sich als Lehrperson gründlich mit diesem Kapitel
auseinander zu setzten, bevor man Stochastik unterrichtet. Junge Lehrer und
Lehrerinnen, die zum ersten Mal Bereiche der Wahrscheinlichkeitsrechnung für den
Unterricht aufarbeiten, sollten über die Problematik die sich bei der Begriffsbildung
ergibt, informiert sein und sich sorgfältig mit den verschiedenen Konzeptionen zur
Einführung im schulischen Kontext beschäftigen.
Meiner Meinung nach bieten bestimmte Paradoxa eine gute Möglichkeit, die Motivation
und das Interesse von SchülerInnen zu steigen. Häufig ergeben sich nämlich bei
solchen Aufgaben Ergebnisse, mit denen die Lernenden nicht rechnen.
Daher habe ich in dieser Diplomarbeit versucht, solche Beispiele für den Unterricht
aufzuarbeiten. Die Auswahl der Beispiele habe ich nach folgender Überlegung
getroffen:
Das erste Beispiel, das Geburtstagsparadoxon, ist ein Beispiel welches einen
gewissen Bezug zur Realität aufweist und sich mit SchülerInnen gut aufarbeiten lässt.
Das Ziegenproblem habe ich ausgewählt, weil es eines der wohl bekanntesten
Probleme
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
ist.
Das
dritte
Beispiel,
das
Frauenversteherspiel, ist eine Aufgabe die auch der Spieltheorie zuzuordnen werden
kann und ist im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung wohl eher nicht
so bekannt. Dabei geht es darum, eine Strategie zu entwickeln um eine
Gewinnwahrscheinlichkeit
zu
steigern.
Diese
Aufgabe
lässt
sich
gut
mit
wirtschaftstheoretischen Überlegungen und Anwendungen ergänzen.
Besonders wichtig ist mir der Einbezug von Computerprogrammen, da die Bedeutung
von Technologieeinsatz auch für den Unterricht immer größer wird.
Die SchülerInnen können im Unterricht beispielsweise mit einem geeigneten
Computerprogramm selbstständig Simulationen zu diversen Aufgaben durchführen und
Anschließend die so erhaltenen Ergebnisse mittels Rechnung überprüfen.
107
Die von mir ausgearbeiteten Vorschläge zu den drei Aufgaben, sollen aber auch
Anregungen für das Erarbeiten weiterer wahrscheinlichkeitstheoretischer Beispiele
geben und Vorteile aufzeigen, die sich durch Computersimulationen ergeben.
Für meine zukünftige Berufliche Tätigkeit hat mir die Auseinandersetzung mit diesem
Thema viele wertvolle Erkenntnisse gebracht, beispielsweise, dass es für die
Unterrichtsplanung wichtig sein kann, über vorherrschende Schülervorstellungen zum
Begriff Wahrscheinlichkeit Bescheid zu wissen um so falsch eingelernte Vorstellungen
im Stochastikunterricht gezielt korrigieren zu können.
108
7. Anhang
Arbeitsblatt 1: Geometrische Wahrscheinlichkeit – Approximation von 𝝅
Arbeitsblatt 2: Approximation von 𝝅 – Eine Simulation mit GeoGebra
Arbeitsblatt 3: Fragebogen zum Geburtstagsparadoxon
Arbeitsblatt 4: Das Geburtstagsparadoxon – Ein Experiment mit Excel
Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung einer Berechnungsformel
Arbeitsblatt 6: Das Geburtstagsparadoxon – wxMaxima und GeoGebra
Arbeitsblatt 7: Das Drei-Türen-Problem
Arbeitsblatt 8: Versuchsprotokoll zum Drei-Türen-Problem
Arbeitsblatt 9: Das Drei-Türen-Problem – Anleitung zu Simulationen mit Excel
Lösung zum Arbeitsblatt 9: Das Drei-Türen-Problem – Anleitung zu
Simulationen mit Excel
Arbeitsblatt 10: Das Drei-Türen-Problem – Ein möglicher Weg zur Lösung
Arbeitsblatt 11: Protokoll zum Frauenversteher-Spiel
Arbeitsblatt 12: Spielvorlage zum Frauenversteher-Spiel
Arbeitsblatt 13: Das Frauenversteher-Spiel – Herleitung der
Berechnungsvorschrift
109
Arbeitsblatt 1: Geometrische Wahrscheinlichkeit –
Approximation von 𝝅
Einführende Informationen
Mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit wird, anders als bei der Klassischen
Wahrscheinlichkeit nach Laplace, nicht der Quotient von
Anzahlen bestimmt, sondern von Flächen oder Volumina.
Beispiel:
Es seien zwei Zielscheiben gegeben, ein Kreis (Annahme:
Radius = 1) und ein Quadrat mit Seitenlänge 1. Gesucht
ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
abgeschossener Pfeil eine bestimmte farbige Fläche der
Figuren trifft. Die Wahrscheinlichkeit, dass das rote Feld
1
1
getroffen wird ist im Falle des Kreises 4 beim Quadrat 3.
𝑟𝑜𝑡𝑒 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒
𝜋
4
𝑟𝑜𝑡𝑒 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒
𝜋
1
1∙
Kreis:
𝑃(𝑟𝑜𝑡) = 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 =
Quadrat:
𝑃(𝑟𝑜𝑡) = 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 =
1
3
1
=4
1
=3
Über das Verhältnis von Kreisfläche zu Quadrat kann man so einen Näherungswert für
die Kreiszahl 𝜋 ermitteln.
Gegeben:
Gesucht:
Ein Einheitsquadrat (Seitenlänge = 1) und ein
eingeschriebener Viertelkreis mit Radius 1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein (im Quadrat)
zufällig positionierter Punkt innerhalb des
Kreises landet.
𝑃(𝐴 𝑖𝑚 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠) =
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒𝑙𝑘𝑟𝑒𝑖𝑠
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑒𝑠
Drücke aus der Formel 𝜋 aus:
=
𝜋=
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt im Inneren des Kreissegments landet, kann
nun mittels relativer Häufigkeiten abgeschätzt werden. Man erzeugt hierzu
beispielsweise 100 solcher zufälliger Punkte und zählt die Anzahl der „Treffer“ im Kreis.
𝑃(𝐴 𝑖𝑚 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠) ≈
𝑇𝑟𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟 𝑖𝑚 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒𝑙𝑘𝑟𝑒𝑖𝑠
𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡
110
Arbeitsblatt 2: Approximation von 𝝅 – Eine Simulation mit
GeoGebra
Arbeitsauftrag: Versuche dieses Beispiel mit GeoGebra zu simulieren!
Schritt 1:
Zeichne ein Einheitsquadrat und einen eingeschriebenen Viertelkreis mit
Radius 1.
Schritt 2:
Erzeuge eine auf dem Quadrat zufällig verteilte Punktmenge mit 100 Punkten.
Die Punktmenge kannst du in der Tabellenansicht erzeugen.
Ein Punkt (𝑥|𝑦) besteht aus einer x- und einer y-Koordinate, die jeweils
Zufallszahlen aus dem Intervall [0,1] sein sollen.
Hinweis: Dazu benötigst du den Befehl
=Zufallszahl[von,bis]. Vorsicht: Dieser liefert nur
ganzzahlige Zufallszahlen!
Überlege wie du trotzdem mit Hilfe dieses Befehls
Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 erzeugen kannst!
In der Spalte A stehen die jeweiligen x-Koordinaten und in der Spalte B
die y-Koordinaten. Markiere nun beide Spalten und erzeuge (klick auf
die rechte Maustaste) eine „Liste von Punkten“.
Schritt 3: Ermittle wie viele Punkte innerhalb des Viertelkreises liegen.
Sei ein Punkt A=(𝑋|𝑌) gegeben. Was muss für den Radius r gelten,
damit A innerhalb des Kreises liegt?
Berechne in Spalte C die Werte von r. In Spalte D
soll nun „1“ stehen, falls der Punkt innerhalb des
Kreisbogens liegt und „0“ sonst.
Hinweis: Verwende den Befehl
=Wenn[Bedingung,Dann,Sonst]
Die Tabelle sollte nun folgendermaßen aussehen:
Schlussendlich kannst du mit
=Summe[von:bis] die Anzahl
der „1“er, und somit die Anzahl
der Punkte innerhalb des
Viertelkreises, zählen.
111
Schritt 4: Berechne eine Näherung für 𝜋 und vergleiche den Wert mit deinen
MitschülerInnen. Notiere den Wert den du erhalten hast und vier weitere Werte
von KollegInnen.
Aus 𝑃(𝐴 𝑖𝑚 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠) ≈
𝑇𝑟𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟 𝑖𝑚 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒𝑙𝑘𝑟𝑒𝑖
𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡
folgt
𝜋≈
Werte von MitschülerInnen:
Mit der Taste F9 kannst du neue Zufallszahlen erzeugen.
Erzeuge so 10-mal neue Zahlen und notiere dir dabei immer die Anzahl der
„Treffer“ im Viertelkreis. Bilde anschließend den Mittelwert. Was kannst du
im Vergleich zu dem ersten erhaltenen Wert bei 100 Zufallszahlen
aussagen? Hast du so einen genaueren Näherungswert erhalten?
Anzahl der „Treffer“ bei 10 Versuchen:
1:
6:
2:
7:
3:
8:
4:
9:
5:
10:
Durchschnittliche
Anzahl der Treffer:
Wert für 𝜋:
112
Arbeitsblatt 3: Fragebogen zum Geburtstagsparadoxon
Gibt es in deiner Klasse zwei SchülerInnen, die am selben Tag Geburtstag haben?
Nein
Ja, zwei haben am gleichen Tag Geburtstag
Ja, sogar mehr als zwei SchülerInnen haben am gleichen Tag
Geburtstag
Wie groß schätzt du ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 30
SchülerInnen zwei SchülerInnen am selben Tag Geburtstag haben?
⎕ 90 %
⎕ 70 %
⎕ 10 %
⎕ 8%
⎕ 1%
⎕ 0,5 %
Es gibt 365 verschiedene Tage im Jahr (der 29. Februar wird nicht berücksichtigt). Wie
viele Personen glaubst du müssen nach ihrem Geburtstag befragt werden, damit fast
sicher (zu rund 99%) ein Geburtsdatum (unabhängig vom Geburtsjahr) doppelt
vorkommt?
A:………………………………Personen.
Versuche die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen mindestens zwei am gleichen
Tag Geburtstag haben, in Abhängigkeit von der Gruppengröße n, als Funktion zu
zeichnen.
Die x-Achse gibt die Anzahl an Personen an und auf der y-Achse ist die
Wahrscheinlichkeit in % gegeben. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeit nicht größer
als 100% sein kann.
113
Arbeitsblatt 4: Ein Experiment mit Excel
Lies dir die folgende Anleitung für ein Experiment zum Geburtstagsproblem durch.
Du kannst auch die jeweiligen Arbeitsschritte die erklärt werden gleich ausprobieren.
Im Anschluss sollst du in Partnerarbeit die Arbeitsanweisung ausführen.
Arbeitsanleitung
Wir wollen nun versuchen, eine Liste mit „zufälligen“ Geburtstagen zu erzeugen
um zu untersuchen, wie häufig dabei gleiche Tage auftreten. Das funktioniert mit
einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel.
Man kann jedem Tag des Jahres eine Zahl von 1 bis 365 zuordnen. Dem 1. Jänner
wird die Zahl 1 zugeordnet, dem 2. Jänner ordnen wir die Zahl 2 zu, usw. Der 29.
Februar wird dabei nicht berücksichtigt.
1. Erstelle mit Excel eine Tabelle (wie Abb.1):
Trage dabei die Tage vom 1. Jänner bis zum 31. Dezember
in einer Spalte ein und in einer weiteren Spalte trägst du
die Zahlen von 1 bis 365 ein.
2. Erzeuge Zufallszahlen
Der Befehl: =ZUFALLSBEREICH gibt eine ganze Zufallszahl
aus einem ausgewählten Bereich zurück.
Beispiel: =ZUFALLSZAHL(1;10) liefert eine vom
Computer zufällig gewählte Zahl zwischen Eins und
Zehn, einschließlich den Zahlen 1 und 10.
Gib nun den Befehl: =ZUFALLSZAHL(1;365) ein.
Du erhältst so eine Zahl zwischen 1 und 365 die jeweils für
einen bestimmten Tag im Jahr steht. Beispielsweise steht
die Zahl 221 für den 8. August.
Wir simulieren nun die Geburtstage von 30 SchülerInnen einer Schulklasse.
Erzeuge hierzu eine Liste mit 30 zufälligen Zahlen (Geburtstagen).
Erzeuge eine Liste wie in der nebenstehenden
Abbildung. Die Zahl 284 steht für den 10.Oktober, 98 für
den 7. April, usw.…
Aus dieser Tabelle kannst du nun feststellen, ob in
unserem Experiment einmal zwei gleiche Geburtstage
auftreten oder nicht.
Besser und schneller sichtbar werden mehrfach
vorkommende
Zahlen
mit
einer
Bedingten
Formatierung:
Mit Hilfe der Bedingten Formatierung kann man
Voraussetzungen angeben, unter denen bestimmte
Zellen markiert werden. In unserem Fall interessieren
uns jene Felder in der Spalte der „Geburtstage“, in
denen eine Zahl (somit ein Geburtstag) doppelt
vorkommt.
114
Wähle also:
Bedingte Formatierung – Regeln zum Hervorheben von Zellen – Doppelte Werte
In dem Eingabefeld, welches nun erscheint, kann man wählen, ob man die doppelten
oder die einfachen Werte markieren möchte, beziehungsweise wie man diese Felder
hervorheben möchte. Hebe die doppelten Werte mit einer beliebigen Farbe hervor.
Mit der Taste F9 kannst du immer wieder neue Zufallszahlen erzeugen und somit
zahlreiche „Schulklassen“ simulieren.
115
Arbeitsanweisung – Partnerarbeit
Versuch zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schulklasse mit
15, beziehungsweise in einer Klasse mit 30 SchülerInnen, mindestens zwei am
selben Tag Geburtstag haben
Simuliert die Geburtstage einer Klasse mit 30 SchülerInnen und einer Klasse mit 15
SchülerInnen. Beachtet dabei auch die Bedingte Formatierung.
Mit Hilfe der F9 Taste könnt ihr immer wieder neue Geburtsdaten von Schulklassen
erzeugen. Bearbeite folgende Fragen und fülle die Tabelle im Anschluss aus.
a) Wie oft kommt es bei 100 Klassen mit 15 SchülerInnen vor, dass mindestens
zwei Personen am selben Tag geboren sind?
b) Wie oft kommt dies bei 100 verschiedenen Klassen, bei einer Gruppengröße
von 30 Personen vor?
c) Wie wahrscheinlich sind a) und b) demnach?
bei 15 SchülerInnen
pro Klasse
……………. von 100
Wahrscheinlichkeit
ca.: …………%
bei 30 SchülerInnen
pro Klasse
……………. von 100
Wahrscheinlichkeit
ca.: …………%
116
Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung einer
Berechnungsformel
Da 𝑃(𝐸) = 1 − 𝑃(𝐸‘) gilt, müssen wir zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit des
Ereignisses berechnen.
E: Mindestens zwei von n Personen haben den gleichen
Ereignis:
Geburtstag
Gegenereignis:
Geburtstag
E‘: Alle n Personen haben an unterschiedlichen Tagen
Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit:
Angenommen wir haben eine Urne, in der Kugeln mit den Nummern von 1 bis 365
liegen.
Dabei steht jede Zahl für einen bestimmten Tag. 1 steht für den 1.Jänner, 2 für den
2.Jänner, …, und 365 steht für den 31.Dezember. n Personen ziehen nun der Reihe
nach eine Kugel (eine Zahl) und legen diese dann wieder zurück.
Wir wollen uns nun die Wahrscheinlichkeit überlegen, dass bei n Personen alle
Personen eine unterschiedliche Zahl gezogen haben (das entspricht der
Gegenwahrscheinlichkeit vom Geburtstagsproblem). Die folgende Grafik zeigt ein
Baumdiagramm für 𝑛 = 4 Personen:
Überlege dir die folgenden Berechnungen und versuche anschließend eine
allgemeine Rechenvorschrift für n Personen anzuschreiben.
Wahrscheinlichkeit von 4 unterschiedlichen Zahlen:
365 364
∙
365 365
∙
363 362
∙
365 365
=
365∙(365−1)∙(365−2)∙(365−3)
3654
Wahrscheinlichkeit von 5 unterschiedlichen Zahlen:
365 364
∙
365 365
∙
363 362 361
∙
∙
365 365 365
=
365∙(365−1)∙(365−2)∙(365−3)∙(365−4)
3655
Wahrscheinlichkeit von 6 unterschiedlichen Zahlen:
365 364
∙
365 365
∙
363 362 361 360
∙
∙
∙
365 365 365 365
=
117
365∙(365−1)∙(365−2)∙ … ∙(365−5)
3656
Wie lautet die Rechenvorschrift der Gegenwahrscheinlichkeit bei n Personen?
∙
∙
∙
365 365 365 365
∙ …∙
365
=
Kannst du die Rechenvorschrift auch mit dem Produktsymbol ∏ anschreiben?
Hinweis:
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛 = ∏𝑛𝑖=1 𝑖
Es gilt
und somit für 𝑛 = 4:
365∙(365−1)∙(365−2)∙(365−3)
3654
=
∏3𝑖=0 365−𝑖
3654
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen jede/r eine Zahl (von 1 bis 365) zieht, die
zuvor noch nicht vorgekommen ist:
𝑃(𝐸′) =
∏
Die Formel für die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸) lautet also:
𝑃(𝐸) =
118
Arbeitsblatt 6: Das Geburtstagsparadoxon – wxMaxima und
GeoGebra
Die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸), dass bei n Personen mindestens zwei am selben Tag
Geburtstag haben, kann mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸‘) wie folgt
berechnet werden:
P(E) = 1 − P(E ′ ) = 1 −
∏ni=1(365 − i + 1)
365 ∙ 364 ∙ … ∙ (365 − n + 1)
=
1
−
365n
365n
Berechne mit wxMaxima folgende Wahrscheinlichkeiten:
für n=10
für n=30
für n=50
für n=100
𝑃(𝐸10 ) = …….
𝑃(𝐸30 ) = …….
𝑃(𝐸50 ) = …….
𝑃(𝐸100 ) = ……
Hinweis: Das Produkt bekommst du mit: product(Formel, i, Startwert von i, Endwert
von i
Ab welchem Wert n ist die Wahrscheinlichkeit größer als 50%?
A:………………………………………………………..
Wann kann man von einem (fast) sicheren Ereignis sprechen, das heißt ab welchem
Wert n ist die Wahrscheinlichkeit größer als 99%?
A:……………………………………………………….
Vervollständige die Tabelle:
𝑖
0
5
10
𝑃(𝑛 = 𝑖)
Wenn du alle Werte berechnet hast, kannst du die einzelnen
Punkte ins Geogebra übertragen und anschließend so die
Funktion, die die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der
Gruppengröße angibt, näherungsweise (mit einem Streckenzug)
bestimmen. Mache eine Skizze:
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
119
Arbeitsblatt 7: Das Drei-Türen-Problem
Stelle dir folgendes Spiel vor:
Ein Spieler steht vor drei Türen. Hinter einer Tür befindet sich ein Gewinn, nämlich ein
Auto. Hinter den beiden anderen Türen befinden sich Nieten, dargestellt durch Ziegen.
Das Spiel verläuft nun in folgenden Schritten (vgl. Klemisch, 1993, S. 9f):
1. Der Leiter des Spieles wählt zufällig eine Tür aus, hinter der er den Gewinn
platziert. Hinter den übrigen beiden Türen stellt er die Ziegen.
2. Der Spieler muss nun eine Tür wählen, wobei die Türen noch geschlossen
bleiben.
3. Der Spielleiter öffnet nun eine der beiden übrigen Türen, hinter der sich mit
Sicherheit eine Ziege befindet. Es bleiben nun zwei Türen geschlossen,
jene die der Spieler ausgewählt hat und eine weitere.
4. Der Spieler kann sich nun entscheiden, ob er bei seiner ausgewählten Tür
bleiben möchte oder ob er zur noch geschlossenen Tür wechseln möchte.
Abbildung: http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg
Das Problem:
Lohnt es sich die Tür zu wechseln oder nicht? Das heißt, ist die
Gewinnwahrscheinlichkeit bei „Wechseln“ oder bei „Nichtwechseln“ höher?
Was vermutest du spontan? Kreuze an:
Wechseln
Nichtwechseln
Begründung und Diskussion:
Diskutiere nun mit einem Kollegen / einer Kollegin über deine Vermutung und versuche
diese zu begründen. Deine Meinung kann sich auch im Laufe der Diskussion ändern.
Nachspielen und Experimentieren:
Überlegt euch nun Möglichkeiten wie ihr die Situation nachstellen könnt, um der
Lösung des Problems näher zu kommen. Zum Beispiel könnt ihr in einem Experiment
das Spiel nachspielen und euch dabei Notizen machen. Es können aber auch
Zeichnungen und Skizzen hilfreich sein…
120
Arbeitsblatt 8: Versuchsprotokoll zum Drei-Türen-Problem
Spielleiter setzt
Auto
Spieler wählt
1
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
2
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
3
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
4
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
5
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
6
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
7
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
8
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
9
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
10
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
11
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
12
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
13
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
14
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
15
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
16
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
17
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
18
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
19
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
20
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
21
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
22
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
23
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
24
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
25
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
26
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
27
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
28
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
29
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
30
(⃞
⃞
⃞)
(⃞
⃞
⃞)
Summe der Gewinne bei 30 Versuchen:
121
Spieler
wechselt
Spieler
wechselt nicht
Notiere 1 für Gewinn
Notiere 0 für Niete
Arbeitsblatt 9: Das Drei-Türen-Problem – Anleitung zu
Simulationen mit Excel
Versuche mit Hilfe das Programms Excel das Ziegenproblem
zu simulieren. Hierzu kannst du dir eine Liste mit
beispielsweise 100 Zufallszahlen von 1 bis 3 erstellen (z.B. in
Spalte A), die bei 100 verschiedenen Spieldurchgängen
jeweils angibt, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet.
Eine zweite Liste mit Zufallszahlen zwischen 1 und 3 soll
angeben, welche Tür der Spieler wählt (Spalte B).
Hinweis: =ZUFALLSBEREICH(Untere_Zahl; Obere_Zahl)
Was muss auf ein Zahlenpaar (z.B. in A1 und B1) pro Zeile zutreffen, damit der
Spieler ohne zu wechseln gewinnt?
Antwort:
Versuche in der Spalte C für jede „Spiel-Zeile“ Gewinn (1) oder Kein Gewinn (0) bei
NICHT-WECHSEL mit den Zahlen 0 und 1 darzustellen. Notiere dir den Befehl, den du
hierzu in C1 eingeben musst!
(Hinweis: Verwende =WENN(…))
Befehl:
In Spalte D soll nun mit 0 (=kein Gewinn), bzw. 1
(=Gewinn) angezeigt werden, ob der Spieler bei einem
Wechsel der Tür gewinnt oder nicht. Wie muss der
Befehl bei WECHSEL lauten?
(Hinweis: In diesem Fall ist ein Gewinn gegeben, wenn der Spieler zu Beginn nicht die
„Gewinntür“ gewählt hat, sondern eine der beiden anderen.)
Befehl:
Vergleiche die Anzahl der Gewinne bei Nicht-Wechsel (=Summe in Spalte C) und
Anzahl der Gewinne bei Wechsel (=Summe Spalte D). Drücke die F9-Taste, damit du
neue Zufallszahlen und somit weitere 100 Spieldurchgänge bekommst. Notiere dir
dabei 10-mal die Anzahl der Gewinne bei Wechsel und Nicht-Wechsel. Was kannst du
daraus schließen? Wie stehen die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Wechsel und NichtWechseln zueinander?
Gewinne bei Wechsel:
Gewinne bei Nicht-Wechsel:
Versuche mit einer geeigneten Grafik die Gewinnanteile darzustellen.
122
Lösung zum Arbeitsblatt 9: Das Drei-Türen-Problem –
Anleitung zu Simulationen mit Excel
Befehle die eingegeben werden müssen:
Spalte C: Gewinn bei Nicht-Wechsel
Spalte D: Gewinn bei Wechsel
=WENN(A2=B2;1;0)
=WENN(A2=B2;0;1)
Anzahl der Gewinne bei Nicht-Wechsel
Anzahl der Gewinne bei Wechsel
=SUMME(C2:C101)
=SUMME(D2:D101)
Beispiele für Grafiken:
123
Arbeitsblatt 10: Das Drei-Türen-Problem – Ein möglicher Weg
zur Lösung
Trage in der Tabelle alle möglichen Spielabläufe ein, wenn sich der Spieler immer für
Wechseln entscheidet. Die erste Möglichkeit ist bereits eingetragen. Fülle die restliche
Tabelle analog aus (Auto ist hinter Tür A und Spieler wählt B, Auto ist hinter Tür A und
Spieler wählt C…) und überlege ob die jeweiligen Entscheidungen für den Spieler
richtig oder falsch sind.
Auto ist
hinter Tür…
Spieler wählt
Tür…
Moderator
öffnet...
Kandidat
wechselt zu…
Entscheidung
ist…
A
A
B oder C
B oder C
Falsch
a) Was haben die Fälle gemeinsam, die beim Wechseln der Tür eine falsche
Entscheidung, also keinen Gewinn für den Spieler mit sich ziehen?
b) Wie viele verschiede Spielabläufe gibt es insgesamt? In wie vielen Fällen davon
kann man mit einem Gewinn rechnen? Was sagt dies schließlich über die
Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln, bzw. beim Nicht-Wechseln der Tür
aus?
124
Arbeitsblatt 11: Protokoll zum Frauenversteher-Spiel
Spielt das Frauenversteher-Spiel 5-mal und protokolliert dabei den Spielverlauf. Tragt
dazu die Spielstände in der folgenden Tabelle ein:
1.Spiel
( 0 : 0
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
1.Spiel
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
2.Spiel
( 0 : 0
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
3.Spiel
( 0 : 0
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
2.Spiel
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4.Spiel
( 0 : 0
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
3.Spiel
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
5.Spiel
( 0 : 0
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
(
:
4.Spiel
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
5.Spiel
Gewinner:
Gruppendiskussion:
Haben beide Spieler die gleiche Chance zu gewinnen, oder hat vielleicht ein Spieler
einen Vorteil? Besprecht eure Vermutungen mit euren KlassenkollegInnen.
125
Arbeitsblatt 12: Spielvorlage zum Frauenversteher-Spiel
Ihr benötigt für dieses Spiel drei Spieler und zwei Kegel. Ein Spieler bekommt eine
Liste, auf der per Zufallsgenerator die Antworten „Ja“ oder „Nein“ erzeugt wurden. Die
beiden anderen Spieler tragen ihren Namen in den Feldern unten ein und stellen
anschießend ihre Kegel auf das Feld. Kandidat A beginnt eine Antwort zu raten,
danach gibt Kandidat B seinen Tipp ab. Nun gibt die Person mit der Liste die erste
Antwort preis. Haben die beiden Spieler eine Antwort richtig erraten, bekommen sie
einen Punkt und dürfen ein Feld vorrücken. Wer als erster 5 Punkte erreicht hat, hat
gewonnen. Kommen beide Spieler gleichzeitig ins Ziel entscheidet das Los.
5 Punkte
4 Punkte
3 Punkte
2 Punkte
1 Punkt
Name Spieler 1:
Start
126
Name Spieler 2:
Arbeitsblatt 13: Das Frauenversteher-Spiel – Herleitung der
Berechnungsvorschrift
Bestimme die Anzahl der günstigen Wege!
Zeichne alle möglichen Wege, ausgehend von (0,0) zu den roten Punkten ein. Die
einzelnen Wegschritte können nur nach oben oder nach rechts verlaufen, nicht
diagonal, nach links, oder nach unten. Beachte dabei, dass du im Laufe des Weges,
also vor dem zu erreichenden roten Punkt, keine roten Punkte berühren darfst.
Zum Punkt (0,1) führt nur ein Weg, daher wird dieser hier nicht berücksichtigt.
Wege zu (1,2) :
Wege zu (2,3) :
Wege zu (3,4) :
Wege zu (4,5) :
127
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wege
Die Wahrscheinlichkeit, dass A einen Punkt bekommt liegt bei …
Die Wahrscheinlichkeit, dass B einen Punkt bekommt liegt ebenfalls bei
%
Der erste Punkt der besagt, dass B einen Vorsprung (von
einem Punkt) erreicht hat ist (0,1). Das bedeutet, dass B
gleich die erste Frage richtig beantwortet hat, somit wird er
mit seiner Strategie gewinnen. Dies geschieht mit einer
1
Wahrscheinlichkeit von 2.
Der zweite Punkt (1,2) wird auf dem Weg A – B – B erreicht,
also nach 3 Fragen, wobei A für „A gewinnt“ und B für „B
gewinnt“ steht. Diese Folge, dass zuerst A gewinnt dann
1 1 1
1 3
1
zweimal B, hat die Wahrscheinlichkeit 2 ∙ 2 ∙ 2 = (2) = 8.
Nach wie vielen Fragen (Schritten) werden die Punkte (2,3), (3,4) und (4,5) erreicht?
Welche Wahrscheinlichkeiten haben die jeweiligen Wege zu diesen Punkten?
Anzahl der Fragen (Schritte) zu (2,3):
Wahrscheinlichkeit eines solchen Weges:
Anzahl der Fragen (Schritte) zu (3,4):
Wahrscheinlichkeit eines solchen Weges:
Anzahl der Fragen (Schritte) zu (4,5):
Wahrscheinlichkeit eines solchen Weges:
Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeit für B:
Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Kandidat B setzt sich aus der Summe der
Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Wege zu den jeweiligen Punkten
(0 ,1), (1 , 2), (2 , 3), (3 , 4) und (4 , 5) zusammen.
𝑃(𝐵 𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛𝑡) =
128
8. Verzeichnisse
8.1 Abkürzungsverzeichnis
Abb.
Abbildung
AHS
Allgemeinbildende höhere Schule
Bd.
Band
BHS
Berufsbildende höhere Schule
BIFIE
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation und Entwicklung
des österreichischen Schulwesens
bmukk
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur
bzw.
beziehungsweise
ca.
circa
CAS
Computer-Algebra-System
Co. KG
Compagnie Kommanditgesellschaft
DGS
Dynamische-Geometrie-Software
DI
Diplom-IngeneurIn
DNA
Deoxyribonucleic acid
Dr.
DoktorIn
dt.
deutsche
et al.
et alii
etc.
et cetera
f
und die folgende Seite
ff
fortfolgende Seite
GmbH
Gesellschaft mit beschränkter Haftung
gr. – lat.
griechisch – lateinisch
HAK
Handelsakademie
HTL
Höhere Technische Lehranstalt
htp
Hölder Pichler Tempsky (Schulbuchverlag)
Jg.
Jahrgang
M.A.
Master of Arts
Mag.
Magister/Magistra
Mag. rer. nat.
Magister/Magistra
rerum
naturalium;
Naturwissenschaft
MTV
Music Television
o.B.d.A
ohne Beschränkung der Allgemeinheit
129
Magister/Magistra
der
OR
Operations Research
öbv
Österreichischer Bundesverlag
Prof.
ProfessorIn
S.
Seite
[sic]
(lat.) so, wirklich so
t
Zeit
TKS
Tabellen-Kalkulations-Software
u.a.
unter anderem
UFG Linz
Universität für künstlerische und industrielle Gestaltung Linz
Uni.-Prof.
UniversitätsprofessorIn
usw.
und so weiter
vgl.
vergleiche
WPG
Wahlpflichtgegenstand
WS
Wahrscheinlichkeit und Statistik
WWW
World Wide Web
z.B.
zum Beispiel
zit. nach
zitiert nach
130
8.2 Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Darstellung zur Bedingten Wahrscheinlichkeit ...................................... 27
Abbildung 2: Vollständiges Ereignissystem in  mit dem Ereignis B ........................ 29
Abbildung 3: Ausschuss A bei der Produktion von Glühbirnen auf drei Maschinen
𝑀1, 𝑀2, 𝑀3................................................................................................................. 31
Abbildung 4: Beispiel für ein Baumdiagramm, erstellt von Gabriele Jauck, Gabriele
Bleier & Markus Hohenwarter, aus WWW:
(http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/wkeit/lernpfad/041_RechnenBaum
diagramme.html) ......................................................................................................... 32
Abbildung 5: Baumdiagramm zur bedingten Wahrscheinlichkeit ............................... 33
Abbildung 6: Baumdiagramm zur Menüfolge: Vorspeise und Hauptspeise ............... 34
Abbildung 7: Urnenbeispiel ....................................................................................... 37
Abbildung 8: Stochastische Modellbildung, vgl. Kütting, 1999, S.9............................ 49
Abbildung 9: Geometrische Wahrscheinlichkeit – Approximation von π, erstellt mit
GeoGebra ................................................................................................................... 56
Abbildung 10: Tabelle zur Approximation von π, erstellt mit GeoGebra..................... 58
Abbildung 11: Einschätzung des Geburtstagsparadoxon von StudentInnen, aus
Büchter & Henn, 2007, S. 242 .................................................................................... 64
Abbildung 12: Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer Gruppengröße von 30
Personen Pn = 30 ≈ 70%;, ausgeführt mit wxMaxima ................................................ 66
Abbildung 13: Einschätzung von SchülerInnen ......................................................... 68
Abbildung 14: Jahreskalendertabelle, erstellt mit Excel ............................................. 69
Abbildung 15: Tabelle mit Zufallszahlen, erstellt mit Excel ........................................ 71
Abbildung 16: Geburtstagsproblem – Mehrfachoperationen, erstellt mit Excel .......... 72
Abbildung 17: Auftreten der ersten „Doppelzahl“ ....................................................... 72
Abbildung 18: Beispiel mit 4 Personen, erstellt mit Geogebra ................................... 74
Abbildung 19: Produktoperator, http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Mathematik) ... 74
Abbildung 20: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Personen mindestens
zwei denselben Geburtstag aufweisen (rund 97%), ausgeführt mit wxMaxima ........... 75
Abbildung 21: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeit – Fehler bei der Eingabe
der Funktion, erstellt mit wxMaxima ............................................................................ 75
Abbildung 22: Produktberechnungen ........................................................................ 76
Abbildung 23: Produktberechnungen ........................................................................ 76
Abbildung 24: Berechnung vom Quotienten .............................................................. 76
Abbildung 25: Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Gruppengröße n, erstellt
mit wxMaxima ............................................................................................................. 77
Abbildung 26: Berechnung konkreter Wahrscheinlichkeiten ...................................... 78
Abbildung 27: Wahrscheinlichkeit P(E), näherungsweise dargestellt mit Geogebra .. 78
Abbildung 28: YouTube-video: The Monty Hall Problem,
http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg ........................................................ 80
Abbildung 29: Ausschnitt aus dem Arbeitsblatt: Versuch zum Drei-Türen-Problem,
erstellt mit Word .......................................................................................................... 84
Abbildung 30: Ausschnitt aus dem Arbeitsblatt: Versuch zum Drei-Türen-Problem,
erstellt mit Word .......................................................................................................... 85
Abbildung 31: Simulation des Drei-Türen-Problems, erstellt mit Excel ...................... 86
131
Abbildung 32: Simulation mehrerer Durchgänge des Drei-Türen-Problems, erstellt mit
Excel ........................................................................................................................... 86
Abbildung 33: Möglichkeit einer Simulation mit Excel ................................................ 87
Abbildung 34: Mögliche grafische Darstellung einer Simulation, erstellt mit Excel ..... 88
Abbildung 35: Grafische Darstellungen von Simulationen zum Drei-Türen-Problem,
erstellt mit Excel.......................................................................................................... 88
Abbildung 36: Eine Spielsimulation im Internet,
http://www.userpages.de/ziegenproblem/ ................................................................... 89
Abbildung 37: Simulation von 40 Durchläufen des Ziegenproblems .......................... 90
Abbildung 38: Mögliche Konstellationen beim Ziegenproblem, Atmaca & Krauss,
2001, S. 18 ................................................................................................................. 92
Abbildung 39: (Einziger) möglicher Weg zum Punkt (1 | 2) ....................................... 97
Abbildung 40: Mögliche Wege zu (2,3)...................................................................... 97
Abbildung 41: Das Frauenversteher-Spiel - Simulation eines zufälligen Spielverlaufs
................................................................................................................................. 101
Abbildung 42: Tabelle für eine Simulation des Frauenversteher-Spiels ................... 102
Abbildung 43: Random Walk, erstellt mit GeoGebra ............................................... 104
Abbildung 44: Random Walk, erstellt mit Excel ....................................................... 105
132
8.3 Literaturverzeichnis
Atmaca, S. & Krauss, S. (2001). Der Einfluss der Aufgabenformulierung auf
stochastische Performanz - Das "Drei-Türen-Problem". In: Stochastik in der Schule, Jg.
21/3 2001 http://stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/jahrgang212001/heft3/2001-3_Atm_Kra.pdf (2012-07-01)
Berninghaus, S. Erhart, K-M. Güth, W. (2006). Strategische Spiele – Eine Einführung in
die Spieltheorie. Springer-Verlag (2. Auflage). WWW: http://han.ubl.jku.at/han/sprebook-swi/www.springerlink.com/content/t47r5663256n8458/fulltext.pdf
Biehler, R. & Maxara, C. (2007). Integration von stochastischer Simulation in den
Stochastikunterricht mit Hilfe von Werkzeugsoftware. In: Der Mathematikunterricht.
Stochastik-Allgemeinbildung-Daten, Jg 53/3 (S.45 – 62)
BIFIE Wien (Hrsg.). (2012). Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik.
Inhaltliche und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer
Grundkompetenzen (Stand: April 2012). Projektteam: V. Aue, M. Frebort, M.
Hohenwarter, M. Liebscher, E. Sattlberger, I. Schimer, H.-S. Siller, G. Vormayr, M.
Weiß, E. Willau
bmukk. (2000). Lehrplan für AHS-Unterstufe.
WWW:http://www.bmukk.gv.at/medienpool/789/ahs14.pdf (2011-11-24)
bmukk. (2004a). Lehrplan für AHS-Oberstufe.
WWW:http://www.bmukk.gv.at/medienpool/11859/lp_neu_ahs_07.pdf (2011-11-24)
bmukk. (2004b). AHS - Allgemeines Bildungsziel und didaktische Grundsätze.
WWW:http://www.bmukk.gv.at/medienpool/11668/11668.pdf (2011-11-24)
bmukk. (2011). Portal für berufsbildende Schulen. HTL – Allgemeines Bildungsziel
WWW:
http://www.htl.at/fileadmin/content/Lehrplan/HTL_VO_2011/BGBl_II_Nr_300_2011_Anl
age_1.pdf
Bong, U. (2004). Wahrscheinlichkeitsrechnung, Geschichte. WWW: http://home.phfreiburg.de/bongfr/skripte/wahrscheinlichkeitsrechnung/09%20Geschichte.pdf (201107-09)
Borovcnik M. (1991). Ein intuitiver Zugang zur bedingten Wahrscheinlichkeit. In:
Didaktikhefte der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft, 1991 Heft 19. WWW:
http://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/1991%20Band%2019/Borovcnik1991.pdf
(2012-07-16)
133
Bourier, G. (1999). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik.
Wiesbaden: Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH
Brand, C. Dorfmayr, A. Lechner, J. Mistlbacher, A. Nussbaumer, A. (2010). Thema
Mathematik 6. Schulbuch. Linz: VERITAS-Verlag
Büchter, H. & Henn, H.-W. (2007). Elementare Stochastik – Eine Einführung in die
Mathematik der Daten und des Zufalls. 2. Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag
Duden. (2011). WWW:
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