1. Lösungsvorgehen

EXTREMWERTAUFGABEN .................................................................................................................................................. 1
1. LÖSUNGSVORGEHEN ............................................................................................................................................................... 1
2. BEISPIELE .............................................................................................................................................................................. 1
3. ZUSAMMENFASSUNG ............................................................................................................................................................ 11
Extremwertaufgaben
1. Lösungsvorgehen
Bei der Lösung von textuell formulierten Extremwertaufgaben sollte man immer in folgenden Schritten
vorgehen:
S1) Erstelle eine Skizze des Problems (z.B. ein rechteckiges Grundstück, einen Körper, usw.)
S2) Erkenne die Zielfunktion, d.h. „was ist zu maximieren/minimieren“, und stelle die Zielfunktion
als mathematische Funktion dar (z.B. wenn eine Grundstücksfläche zu maximieren ist, lautet die
Zielfunktion: F = x*y). Die Zielfunktion hängt immer von 2 Variablen ab (x und y; die
Variablennamen sind im Prinzip egal, sie sollten dem Problem angepasst sein –siehe Beispiele)
S3) Erkenne die Nebenbedingung, d.h. „welche Vorgaben gibt es für die Variablen der Zielfunktion;
welchen Bedingungen müssen die Variablen genügen“). Z.B. bei der Maximierung der
Grundstücksfläche könnte eine einfache Nebenbedingung sein, dass der Umfang einen
vorgegebenen Wert haben muss (z.B. Zaunlänge=1234): die Nebenbedingung lautet dann: 2x +
2y = 1234.
Hier liegt vielleicht die „Kunst“: man muss aus dem Aufgabentext erkennen wie die Variablen der
Zielfunktion zusammenhängen; die Skizze hilft dabei enorm!
S4) Der Rest ist reine „Rechnerei“:
a) Aus der Nebenbedingung isoliert man eine Variable: 2x + 2y = 1234 => y = (1234 –
2x)/2.
b) Nun setzt man diese Variable (y) in die Zielfunktion ein: damit wird die Zielfunktion eine
Funktion mit nur mehr 1 Variablen (x); von dieser Funktion kann man kann mit dem
„genialen Taschenrechner“ das Maximum/Minimum suchen
2. Beispiele
Mit einer vorhandenen Rolle Zaun (darauf sind 50 m) soll ein möglichst großes Stück Land rechteckig
eingezäunt werden.
S1)
1
Zaun
Stück Land
y
x
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Es soll „…ein möglichst großes Stück
Land rechteckig eingezäunt werden“, d.h. die Zielfunktion ist die Fläche:
F = x * y Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? „Mit einer vorhandenen Rolle Zaun (darauf sind 50 m)…“. D.h. der
Umfang des Grundstücks muss 50 Meter sein, also:
Nebenbedingung: Umfang U = 2x + 2y = 50
S4)
a) 2x + 2y = 50 
2y = 50 – 2x 
y = (50 – 2x)/2 
y = 25 – x
….. (1)
b) F = x * y  Max
F = x * (25-x)  Max
F = 25x – x2  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher…..
Aus einem Stück Draht, das 36 cm lang ist, soll eine "Säule" mit quadratischem Grundriß geformt
werden. Welches ist das maximal mögliche Volumen der Säule?.
S1)
Eine Säule mit quadratischem Grundriss schaut so aus:
2
h
a
a
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Gefragt ist „…Welches ist das maximal
mögliche Volumen der Säule“, d.h. die Zielfunktion ist das Volumen der Säule (= Grundfläche x Höhe):
V = a * a * h = a2 * h Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? „Stück Draht, das 36 cm lang ist…“. D.h. mit diesem Draht müssen alle
Kanten der Säule (= die Linien in obige Skizze) gebildet werden:
Nebenbedingung: Drahtgestell = 8*a + 4*h = 36
S4)
a) 8a + 4h = 36  … wir können a oder h isolieren, das ist egal
4h = 36 – 8a 
h = 9 – 2a
….. (1)
b) V = a2 * h  Max
V = a2 * (9-2a)  Max
V = 9a2 – 2a3  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: a = 3, V= 27; a=3 eingesetzt in (1) ergibt h = 9 – 2*3 = 3)
Antwort auf die Aufgabe: Das maximale Volumen der Säule ist 27 cm3, wobei a und h gleich 3 cm
sind.
Einem Schäfer1 stehen Zaunelemente der Gesamtlänge 1000 m zur Verfügung. Damit will er eine
rechteckige Einzäunung bauen, wobei eine Seite von einer Felswand gebildet wird. Welche Form
muss er dem Rechteck geben, damit die Fläche möglichst groß wird?.
1
Komischerweise spielen die meisten „praktischen“ Beispiele im landwirtschaftlichen Bereich…
3
S1)
Der geplante Schafstall schaut so aus:
Felswand
Schafstall
y
x
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Gefragt ist „…Welche Form muss er
dem Rechteck geben, damit die Fläche möglichst groß wird?“, d.h. die Zielfunktion ist die Fläche des
Schafstalls:
F = x * y Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? „Einem Schäfer stehen Zaunelemente der Gesamtlänge 1000 m zur
Verfügung …“. D.h. damit muss er den Schafstall wie oben skizziert umrahmen; beachte: er muss nur
3 Seiten umrahmen, die 4. Seite wir durch die Felswand gebildet:
Nebenbedingung: Umrahmung = x + 2y = 1000
S4)
a) x + 2y = 1000  … wir können x oder y isolieren, das ist egal
y = (1000 – x)/2 
y = 500 - x/2
….. (1)
b) F = x * y  Max
F = x * (500 – x/2)  Max
F = 500x – x2/2  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: x=500, F=125000m2; x=500 eingesetzt in (1) ergibt y=250)
Antwort auf die Aufgabe: Die maximale Fläche des Schafstalls beträgt 125000m2, wobei x=500 m und
y=250 m sind.
Von einem quadratischen Karton der Seitenlänge 60 cm sind quadratische Eckstücke so
auszuschneiden, dass die damit gefaltete Schachtel ein maximales Volumen besitzt.
4
S1)
Der Karton und die daraus gefaltete Schachtel sehen so aus:
ausschneiden
h
h
x
x
x
x+ 2h = 60
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Das Volumen der Schachtel ist zu
maximieren, also:
V= x2 * h Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? Der Skizze entnimmt man die Nebenbedingung:
Nebenbedingung: x + 2h = 60
S4)
a) x + 2h = 60  … wir können x oder h isolieren, das ist egal
2h = 60 - x 
h = 30 – x/2
….. (1)
b) V = x2 * h  Max
V = x2 * (30 – x/2)  Max
V = 30x2 – x3/2  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: x=40, V=16000cm3; x=40 eingesetzt in (1) ergibt h=10)
Antwort auf die Aufgabe: Die Schachtel hat ein Volumen von 16000 cm3; die Grundfläche der
Schachtel ist ein Quadrat der Seitenlänge 40cm; die Höhe der Schachtel ist 10cm.
Von einem Kreis mit dem Radius 10 cm ist ein Rechteck mit möglichst großer Fläche auszuschneiden.
Wie groß ist die Fläche?
S1)
5
Der Kreis und das ausgeschnittene Rechteck schauen so aus:
2*r
y
x
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Die Fläche des Rechtecks ist zu
maximieren, also:
F= x * y Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? Der Skizze entnimmt man dass die Diagonale des Rechtecks gleich
dem Durchmesser des Kreises (=20 cm) ist. Laut Pythagoras gilt somit die
Nebenbedingung: x2 + y2 = 202
S4)
a) x2 + y2 = 202  … wir können x oder y isolieren, das ist egal
y2 = 202 – x2 
y = wurzel_aus( 400 – x2 )
….. (1)
b) F = x * y  Max
F = x * wurzel_aus( 400 – x2 )  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: x=10*wurzel_aus(2)=14,14, F=200cm2; x eingesetzt in (1) ergibt y = x)
Antwort auf die Aufgabe: Das aus einem Kreis von 10cm Radius flächenmäßig am größten
herausschneidbare Rechteck ist ein Quadrat der Seitenlänge 10*wurzel_aus(2)=14,14 cm; die Fläche
des Quadrates beträgt 200 cm2.
Bauer Osman möchte ein rechteckiges Feld einzäunen. Anschließend will er es durch einen weiteren
Zaun - parallel zu einer der Seiten - in zwei Teile teilen, damit sich sein Pferd und seine Kühe nicht in
die Quere kommen. Die umzäunte Fläche soll ein Maximum werden.
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Wie sind die Seitenlängen zu wählen, wenn ihm insgesamt 192 m Elektrozaun zur Verfügung stehen?
S1)
Das geplante Gehege schaut so aus:
Kühe
y
Pferd
x
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Die Fläche des Geheges ist zu
maximieren, also:
F= x * y Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? Maximal 192 Meter Zaun stehen zur Verfügung, also
Nebenbedingung: 2*x + 3*y = 192
S4)
a) 2x + 3y = 192  … wir können x oder y isolieren, das ist egal
3y = 192 – 2x 
y = 64 – 2x/3
….. (1)
b) F = x * y  Max
F = x * (64 – 2x/3)  Max
F = 64x – 2x2/3  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: x=48m, F=1536m2; x eingesetzt in (1) ergibt y = 32)
Ein Sportplatz besteht aus einem Rechteck, wobei an die Breiten jeweils ein Halbkreis angesetzt ist.
Der Sportplatz ist so zu dimensionieren, dass bei gegebener Laufstrecke von 400 m die rechteckige
Fläche des Platzes maximal wird.
Wie groß ist die Fläche des Sportplatzes?
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S1)
Der geplante Sportplatz schaut so aus:
y
x
y/2
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Die Fläche des Sportplatzes ist zu
maximieren, also:
F= x * y Max (ist zu maximieren)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? Die Laufstrecke ist 400 Meter: sie setzt sich aus 2*x zusammen plus
der Länge der 2 Halbkreise links und rechts. Der Radius der Halbkreise ist y/2, die Länge eines
Halbkreises ist daher2 2*(y/2)*π / 2 = (y/2)*π.
Nebenbedingung: 2*x + 2 * (y/2) * π = 400 oder
2x + yπ = 400
S4)
a) 2x + yπ = 400  … wir können x oder y isolieren, das ist egal
yπ = 400 – 2x 
y = (400 – 2x)/π
….. (1)
b) F = x * y  Max
F = x * (400 – 2x)/π  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: x=100m, F=6366m2; x eingesetzt in (1) ergibt y = 63,66m)
Bauer Kunibert möchte ein rechteckiges Gehege für seine Gänse anlegen. Der Stall soll sich in einer
Ecke des Geheges befinden und somit ein Teil der Begrenzung sein. D.h. der Stall wird nicht
umzäunt. Der zur Verfügung stehende Zaun ist 50m lang. Der Stall ist 7m lang und 3m breit.
2
Merke: Umfang U eines Kreises mit Radius r ist: U = 2*r*π !
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Wie muss Kunibert das Gehege anlegen, damit es einen möglichst großen Flächeninhalt
hat?
S1)
Das geplante Gehege schaut so aus:
Stall
3m
7m
Zaun
y
Gehege
x
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Die Fläche des Geheges ist zu
maximieren, also:
F= x * y – 3*7 Max (ist zu maximieren; beachte: der Stall zählt nicht!)
S3)
Was ist die Nebenbedingung? Der Zaun (grün in der Skizze) ist 50m lang:
Nebenbedingung: Zaunlänge = x + y + (x-7) + (y-3) = 50 oder
2x + 2y – 10 = 50 oder
2x + 2y = 60 oder
x + y = 30
S4)
a) x + y = 30  … wir können x oder y isolieren, das ist egal
y = 30 - x
….. (1)
b) F = x * y -21  Max
F = x * (30 – x)  Max
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: x=15m, F=204m2; x eingesetzt in (1) ergibt y = 15m)
Es ist wohlbekannt, dass heimkehrende Tauben das Fliegen über große Wasserflächen vermeiden.
Der Grund für dieses Verhalten ist bisher noch nicht vollständig erklärt. Es wird jedoch vermutet, dass
die Tauben einen Umweg um einen See in Kauf nehmen, weil tagsüber die Luft über dem kalten
Wasser nach unten fällt, ein Phänomen, das den Energieverbrauch der Tauben zum Halten einer
bestimmten Flughöhe erhöht.
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Eine Taube wird von einem Boot B auf der Westseite eines Sees ausgesetzt, welches 3 km vom
nächstgelegenen Uferpunkt F der Südseite des Sees entfernt ist. Der Taubenschlag befindet sich im
Punkt S, der ebenfalls an der Südseite des Sees liegt und 15 km von F entfernt ist. Die Küste verläuft
zwischen den Punkten F und S mehr oder weniger geradlinig.
Die Taube wählt nicht den kürzesten Weg vom Boot in den Taubenschlag, sondern fliegt einen
Umweg. Sie fliegt zunächst zu einem Punkt P am südlichen Rand des Sees, um dann geradewegs
nach Osten in den Taubenschlag zu gelangen.
Es wird angenommen, dass die Taube eine Energie von 1 Joule verbraucht, um einen Kilometer
über Land zu fliegen, und eine Energie von 2 Joule, um einen Kilometer über Wasser zu fliegen.
Die Frage ist nun, wie muss der Punkt P gewählt werden, um die für den Heimflug von B nach S (über
P) benötigte Energie zu minimieren? Wie groß ist die benötigte Energie?
Anmerkung: Hier ist eine gute Skizze alles!
S1)
Die in der Angabe beschriebene Situation schaut so aus:
Boot B
mit
Taube
See
x
3 km
Taubenschlag
o
90
F
y
S
P
15 km
15-y
S2)
Was ist die Zielfunktion? Was ist zu maximieren/minimieren? Die von der Taube verbrauchte Energie
ist zu minimieren, also:
E (in Joule) = 2x + 1*(15-y) Min (ist zu minimieren)
10
S3)
Was ist die Nebenbedingung? Betrachtet man das den Punkten B, F und P aufgespannte
rechtwinkelige Dreieck so muss laut Pythagoras gelten:
32 + y2 = x2
Damit haben wir die Beziehung, welcher x und y genügen müssen.
S4)
a) 32 + y2= x2 
x = wurzel( y2 + 9 )….. (1)
b) E = 2x + 15-y  Min
E = 2*wurzel( y2 + 9 ) + 15 -y
(d.h. obiges (1) eingesetzt)
den Rest erledigt dein Taschenrecher….
(du wirst finden: y=1,732, E=20,196; y eingesetzt in (1) ergibt x =3,464)
Antwort: Die Taube fliegt vom Boot aus 3,464 km über See zum Punkt P und von P aus (151,732=13,268 km) direkt nach S. Der Punkt P liegt 1,732 km östlich von F. Die Taube verbraucht auf
ihrem Weg dabei 20,196 Joule
3. Zusammenfassung
Die Skizze ist sehr wichtig. Dabei sollten insbesondere die Variablen (meist x und y)
eingezeichnet werden.
Die Erstellung der Zielfunktion ist meistens relativ einfach und offensichtlich (…wenn die
Variablen in der Skizze stehen)
Die Nebenbedingung ist eine Beziehung zwischen den Variablen. Aus der Nebenbedingung
kann durch Umformen eine Variable als Funktion der anderen ausgedrückt werden (isoliert
werden). Die isolierte Variable kann dann in die Zielfunktion eingesetzt werden. Damit enthält
die Zielfunktion nur mehr 1 Unbekannte und kann (mit dem Taschenrechner)
maximiert/minimiert werden.
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