Prüfungsaufgaben, Analyse I, Beispiele

Prüfungsaufgaben, Analyse I, Beispiele
I.
Reihen
1. Ist die numerische Reihe ∑∞
𝑖=1
4∙(−1)𝑛 +7∙4𝑛−1
5∙72𝑛+1
konvergent? Wenn so, was ist die
Grenzenwert?
2. Annähern Sie den Wert von tan 1° mit dem MacLaurin-polynom dritten Grades
und schätzen Sie den Fehler!
3. Ein periodische Sägenzahnfunktion steigt von -1 bis 1 auf dem Intervall 0 bis
und senkt wieder bis -1 auf dem Intervall
2𝜋
bis 2𝜋. Schreiben Sie den
3
2𝜋
,
3
Fourier
Reihe und der Fourier Polynom vierten Grades der Funktion
II.
Lineare Algebra
−3 2
1
4. Diagonalisieren Sie den folgenden Matrix: ( 1 −3 2 ). Schreiben Sie das
1
2 −3
Transformationsmatrix auf!
−2 1
1
5. Schreiben Sie den Jordanform der folgenden Matrix auf: ( 1 −2 1 ).
1
1 −2
Bestimmen Sie auch das Transformationsmatrix!
6. Bestimmen Sie die Kanonische Form der folgenden quadratischen Form: 𝑥 2 −
2𝑥𝑦 + 4𝑥𝑧 + 2𝑦 2 − 2𝑦𝑧 + 𝑧 2 .
III.
Reelle Funktionen mit mehrere Veränderlichen
7. Sei 𝐹(𝑟) = 𝑟 ∙ 𝑒 −𝑟 , wo 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , der Distanz zum Nullpunkt ist.
Bestimmen Sie ∇𝐹! Ein Masse bewegt sich in diesem System auf diesem
Trajektorie: 𝑥 = 3 ∙ sin 2𝑡 , 𝑦 = 3 cos 2𝑡 , 𝑧 = 6𝑡, so ist 𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑟 (𝑥(𝑡))).
Bestimmen Sie
𝑑𝐹(𝑡)
𝑑𝑡
!
8. Bestimmen Sie die Extremwertstellen der Funktion 𝑥 +
𝑦2
4𝑥
+
𝑧2
𝑦
2
+ . Schreiben
𝑧
Sie den Taylorpolynom zweites Grades um dem Punkt (1, 1, 1) auf!
9. Integrieren Sie sin 𝑥 2 + 𝑦 2 auf dem Kreis mit Einheitsradius im Nullpunkt.